22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 同步训练（含解析）2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.1.2 二次函数y=ax 的图象和性质 同步训练
一、单选题
1．抛物线的对称轴为（ ）
A．直线 B．直线 C．轴 D．x轴
2．嘉嘉用软件绘制抛物线时，将“2”按成了“3”，和原图象相比，发生改变的是（ ）
A．开口方向 B．开口大小 C．对称轴 D．顶点坐标
3．抛物线的图像大致是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列关于二次函数的说法正确的是( )
A．它的图象经过点 B．当时，有最大值为0
C．它的图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而减小
5．已知函数，当时，的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．若二次函数的图象经过点，则该图象必经过点（ ）
A． B． C． D．
7．已知点，,，都在二次函数的图象上，则（ ）
A． B．
C． D．
8．已知点，在抛物线上，则下列判断错误的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
二、填空题
9．已知是二次函数，且其图象开口向上，则
10．已知点，，在函数的图象上，则，，的大小关系是 ．（用“<”连接）
11．已知四个二次函数的图像如图所示，那么，，，的大小关系是 （请用“”连接排序）
12．若点在函数的图象上，则点关于这个函数的对称轴对称的点的坐标为 ．
13．已知二次函数，当自变量的取值范围是时，函数值的取值范围为 ．
三、解答题
14．在平面直角坐标系中，对于点，，若满足，则称，两点互为“倍点”．
(1)已知直线上的点是点的“2倍点”，
①若点在轴上，求点的横坐标．
②若点在抛物线上，求点的坐标．
(2)已知，若在抛物线上存在唯一的点是点的“倍点”，求的值．
15．在平面直角坐标系中，，，．
(1)写出A，B两点分别关于y轴的对称点，的坐标．
(2)画出以O为顶点并过A和B两点的抛物线图象．
16．根据条件，求下列各题中的取值或取值范围．
(1)函数有最小值；
(2)函数，当时，随着的增大而增大；
(3)与的函数图象形状相同；
(4)函数的图象是开口向下的抛物线．
17．在如图所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数和的图象，并根据图象回答下列问题(设小方格的边长为1)：
(1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；
(2)抛物线，当______时，抛物线上的点都在轴的上方，它的顶点是图象的最______点；
(3)函数，对于一切的值，总有函数______0；当______时，有最______值是______．
参考答案
1．C
【分析】本题主要考查了二次函数的对称轴，熟练掌握二次函数的基本性质是解题的关键．
根据抛物线的对称轴性质来判断．
【详解】解：∵ 抛物线的解析式为，该抛物线符合的形式，
∴ 其对称轴为y轴，
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；越大，抛物线的开口越小，即可解答，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：抛物线：和的对称轴都是轴，顶点坐标都是，开口方向都向上，而抛物线的开口比抛物线的开口大，
∴和原图象相比，发生改变的是开口大小，
故选：B．
3．A
【分析】根据的开口方向和顶点坐标即可判断．
本题主要考查了而函数图像与性质，熟练掌握图像与性质是解题的关键
【详解】解：∵抛物线中，，
∴图像开口向上，且顶点为坐标原点，
故选：A．
4．D
【分析】本题考查二次函数的基本性质，包括对称轴、最值和增减性．二次函数的二次项系数为正，图像开口向上，对称轴为轴(即)，在对称轴左侧随增大而减小．
【详解】解：
∵二次函数，
∴，图像开口向上，对称轴为．
对于选项A：当时，，∴A错误．
对于选项B：当时，，为最小值，不是最大值，∴B错误．
对于选项C：对称轴为，不是，∴C错误．
对于选项D：当时，随增大而减小，∴D正确．
故选：D．
5．B
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据函数（）的性质进行判断，即可求解．
【详解】解：∵ ，
当时，随增大而减小，
当时，，
当时，，
故选：B ．
6．C
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．先确定出二次函数图象的对称轴为y轴，再根据二次函数的对称性解答．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为y轴，
∴若图象经过点，则该图象必经过点．
故选：C．
7．B
【分析】本题考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键．
通过直接计算各点的函数值，比较大小即可得出答案．
【详解】解：根据题意得，二次函数
当时，，
当时，，
当时，，
则，即，
故选：B．
8．D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键．通过计算点和点的纵坐标表达式，比较大小关系，结合抛物线的性质进行判断即可．
【详解】解：点和在抛物线上，
，，
选项A：当时，
，
，
，选项A正确；
选项B：当时，
即，
，
，
，
，选项B正确；
选项C：当时，
，
，选项C正确；
选项D：当时，
即，
，
但选项D要求，而不一定满足（例如时但），
选项D错误；
故选：D．
9．
【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的图象，由二次函数的定义可得，即得，，再根据二次函数的图象可得，进而即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵是二次函数，
∴，
解得，，
∵其图象开口向上，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
10．
【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是y轴，根据时，y随x的增大而减小，即可得出答案．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，
∴当时，y随x的增大而减小．
∵，
∴．
故答案为：．
11．
【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，掌握二次项系数与图像的关系是解题的关键．
直接利用二次函数的图像开口大小与a的关系即可得出答案．
【详解】解：根据图像可知，的图像和的图像的开口向上，且的图像的开口小于的图像的开口，
∴，
根据图像可知，的图像和的图像的开口向下，且的图像的开口大于的图像的开口，
∴，
∴．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了二次函数的图像及性质，关键是二次函数的对称轴的确定；
函数的对称轴为轴，点关于轴的对称点即为点，其横坐标互为相反数，纵坐标不变．
【详解】解：∵的对称轴是：直线，
∵点在函数的图象上，
∴关于直线对称，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了二次函数的性质．
根据抛物线的顶点，当时，最大，当时，最小．
【详解】解：由题意，的对称轴为轴，开口向上，
函数值有最小值．
当时，；
当时，；
当时，；
结合图象，可得当时，的取值范围是．
故答案为：．
14．(1)①；②点的坐标或
(2)2或 14
【分析】本题考查解一元一次方程，二次函数性质，解一元二次方程，根的判别式等．
（1）①设，点，根据题意列式计算即可求出本题答案；②设点，列式，整理得，解出即可；
（2）设点，再列式，利用根的判别式即可求出本题答案．
【详解】（1）解：①∵直线上的点是点的“2倍点”，
∴设，点，
，解得：，
②∵点在抛物线上，
∴设点，，即，解得，．
点的坐标或；
（2）解：∵，若在抛物线上存在唯一的点是点的“倍点”，
∴设点，
有唯一解，
即，
，解得，．
即的值为2或．
15．(1)，
(2)见解析
【分析】本题考查坐标与图形变换-轴对称，二次函数的性质、画二次函数的图象，掌握二次函数的性质是解答的关键．
（1）根据点关于y轴对称的点的坐标特征“纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解即可；
（2）根据二次函数的对称性描点画图即可．
【详解】（1）解：∵A，B两点分别关于y轴的对称点为，，，，
∴，；
（2）解：∵抛物线以O为顶点并过A和B两点，
∴该抛物线关于y轴对称，并经过，两点，
在平面直角坐标系中描点、连线可得抛物线，如图所示：
16．(1)
(2)
(3)或
(4)
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
（1）根据二次函数的性质：当时，有最小值，可得，解不等式即可；
（2）根据二次函数的性质：当时，在对称轴的左侧，随的增大而增大，得出，解不等式即可；
（3）根据二次函数的性质：相等时，函数图象形状相同，得出，解方程即可；
（4）根据二次函数的性质：当时，抛物线开口向下，得出，解方程，求出负数即可．
【详解】（1）解：函数有最小值，
，
；
（2）解：当时，函数的函数值随着的增大而增大，
，
；
（3）解：与的函数图象形状相同，
，
或；
（4）解：函数的图象是开口向下的抛物线，
且，
或，
，
．
17．(1)图见解析；二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为；二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为．
(2)，低．
(3)，，大，0．
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，能够正确作出二次函数的图象是解题关键．
（1）先在网格内画出两个二次函数的图象，然后再根据图象即可知开口方向，对称轴和顶点坐标；
（2）根据函数的图象解答即可；
（3）根据函数的图象解答即可．
【详解】（1）解：图象如图：
由图可得：二次函数的图象开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为；二次函数的图象开口向下，对称轴为y轴，顶点坐标为．
（2）解：抛物线，当时，抛物线上的点都在轴的上方，它的顶点是图象的最低点．
故答案为：，低．
（3）解：函数，对于一切的值，总有函数；当时，有最大值是0．
故答案为：，，大，0．