21.3 实际问题与一元二次方程 同步训练（含答案）2025-2026学年人教版数学九年级上册

21.3 实际问题与一元二次方程 同步训练 2025-2026学年人教版数学九年级上册
一、单选题
1．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘，若每天“遗忘”的百分比是一样的，设百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．小红以冬奥会为主题，裁剪了一张长是，宽是的矩形剪纸．小红为了完好保存剪纸，将其塑封，塑封时四周留白的宽度相同，如图所示，塑封后整幅图的面积是，设留白部分的宽度是，则可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．根据重庆市统计局数据，2022年重庆市GDP为2.91万亿元，2024年增至3.22万亿元．若2023年和2024年GDP保持相同的年平均增长率，设平均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，用一张长，宽的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为，则可列出关于的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．福州花花工艺品厂一月份生产脱胎漆器50万个，三月份生产脱胎漆器60.5万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，这是某小区绿化带上的植草砖，其由一个正方形砖块将四角镂空半径相同的四分之一个圆以及中心镂空同样半径的圆制成，已知正方形的剩余边的长为，砖面面积为．设原正方形的边长为x，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．今年 7 月某市新能源汽车总销售额约为 35 亿元，经过各经销商的大力推广，今年 9 月该市新能源汽车总销售额为 亿元，那么该市今年这两月新能源汽车销售额的月平均增长率为 ．
8．随着科技的不断进步，人工智能（）正逐渐渗透到我们的生活和工作．某人工智能科技体验馆在十一假期间为学生们制订了丰富多彩的体验活动，团体票收费标准为：如果人数不超过10人，人均费用为240元；如果人数超过10人，每增加1人，人均费用降低5元，但人均旅游费用不得低于170元．某兴趣小组的学生们去参加体验活动，团体票的费用共3600元，则参加活动的学生人数为 ．
9．某校九年级举办了一场以“日出东方，力拔天河”为主题的拔河比赛，安排每两个班之间都要比赛一场，若一共比赛28场，则九年级参赛的班级数为 ．
10．如图，某工人用三角形瓷砖（小三角形）铺设一块梯形地面，每块三角形瓷砖的面积为1，整块梯形地面的面积为48，设三角形瓷砖共铺设了层，则依据题意可列方程为 ．
11．某校组织乒乓球比赛，初赛时参加比赛的每两名选手之间都要进行一场比赛，初赛共进行了45场．若设有名选手参加比赛，可列方程为 ．
三、解答题
12．2025年国家消费补贴政策已进入第四批资金冲刺阶段，覆盖家电、数码、汽车、家装等领域．在政府消费补贴政策推动下，家电市场销售持续升温．某家电商场采购一批扫地机器人进行销售，每台进货价为1200元．调查发现，当销售价为1500元时，平均每天能售出12台；而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出6台．商场要想使这种扫地机器人的销售利润平均每天达到4800元，每台扫地机器人的定价应为多少元？
13．“户太八号”被广泛种植，某葡萄种植基地到2022年年底已经种植100亩，到2024年年底的种植面积达到169亩．
(1)求该基地这两年“户太八号”种植面积的年平均增长率；
(2)市场调查发现，当“户太八号”的售价为20元千克时，每天能售出200千克，销售单价每降低0.5元，每天可多售出25千克，为了尽快减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“户太八号”的平均成本为12元/千克，若使销售“户太八号”每天可获利1750元，则销售单价应降低多少元？
14．2025年第十届中国（太原）国际茶产业博览会于7月4日-7日在晋阳湖国际会展中心举办．养生茶是以食材或药材制作的茶饮品，让人们通过饮茶的方式达到养生保健的目的，陈皮茶具有祛痰止咳，促进消化的功效，某电商主播以每罐20元的价格购进了一批陈皮茶，根据以往的销售经验，当售价定为每罐24元时，每天可售出160罐．经市场调研发现，若每罐陈皮茶的售价每上涨1元，则平均每天少售出10罐．电商平台规定：在该电商平台销售的商品利润率不能高于，若该主播希望通过销售陈皮茶平均每天获得960元的利润，求每罐陈皮茶的售价．
15．新能源汽车如今已成为越来越多人购车的首选．为了方便居民充电，某小区将一块长为米、宽为米的长方形停车场进行改造．如图所示，在停车场内部沿着两条相邻边各划出相同宽度的区域安装充电桩，剩余停车场的面积为平方米．请问边和各减少了多少米？
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《21.3 实际问题与一元二次方程 同步训练 2025-2026学年人教版数学九年级上册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 A C B C C A
1．A
【分析】本题考查一元二次方程的应用，设每天遗忘百分比为x，最初知识量为1．根据每天遗忘百分比相同，两天后剩余知识为一半，列出方程．
【详解】解：设每天遗忘百分比为x，最初知识量为1．
∵第一天后剩余知识为，第二天后剩余知识为，
又∵两天后剩余知识为一半，即，
∴．
故选A．
2．C
【分析】本题考查了与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
设留白部分的宽度是，先用表示出塑封后整幅图的长、宽，再根据塑封后整幅图的面积是列出方程．
【详解】解：设留白部分的宽度是，
塑封后整幅图的长为，宽为，
则，
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了增长率问题的一元二次方程应用，解题的关键是掌握“增长后的量增长前的量 （为增长次数）”的数量关系．
年为万亿元，年平均增长率为，则年为 年为，结合年为万亿元列方程．
【详解】解：年为万亿元，经2次增长后年为，对应万亿元，
∴方程为，
故选：B．
4．C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设剪去的正方形边长为，根据矩形的面积公式列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
【详解】解：设剪去的正方形边长为，
由题意可得：．
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了一元二次方程应用中的增长率问题，根据平均每月增长率模型，从一月至三月经过两个月增长，三月份产量应为一月份产量乘以，即可解答．
【详解】解：设该厂二、三月份平均每月的增长率为，
根据题意，得．
故选：C．
6．A
【分析】本题主要考查方程建模和图形面积的计算，找出与不规则图形相关联的规则图形，通过和差法将涉及的规则图形面积相加或相减，得到不规则图形的面积是解题关键．
砖面面积=原正方形面积-镂空部分的总面积，四个角的镂空分别是圆，中心镂空的是同半径的圆，因此圆的半径为，求出两个圆的面积，结合正方形面积列方程求解即可．
【详解】解：原正方形边长为x，长为，
四个角的镂空圆半径，
中心镂空圆的半径与四角镂空圆相同，
镂空部分的面积为，
砖面面积为，
可列方程．
故选：A．
7．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．找到正确的等量关系并列出方程是解题的关键．
设月平均增长率为 ，根据增长问题模型，由7月到9月经过2个月，列出方程 ，解方程即可．
【详解】设月平均增长率为 ，
则 ，
，
（取正值），
．
故答案为．
8．18
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
设参加活动的学生人数为x人，则人均费用为元或元，根据题意，列出方程，即可求解．
【详解】解：设参加活动的学生人数为x人，则人均费用为元或元，
∵，
∴，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
当时，人均费用为，符合题意；
当时，人均费用为，不符合题意，舍去．
答：参加活动的学生人数为18人．
故答案为：18
9．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设参赛班级数为个，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解．
【详解】解：设参赛班级数为个，根据题意得，
解得或(舍去，因为班级数不能为负数)．
故参赛班级数为：．
故答案为：．
10．或
【分析】本题考查了图形类规律探究，一元二次方程的应用．
先根据图形得出从上往下第x层有个三角形，从而一共有个三角形，结合整块梯形地面的面积为48可得方程．
【详解】解：从上往下第1层有个三角形，
从上往下第2层有个三角形，
…，
从上往下第x层有个三角形，
∴一共有个三角形，
∵整块梯形地面的面积为48，每块三角形瓷砖的面积为1，
∴或．
故答案为：或．
11．
【分析】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用．设共有x个队参加比赛，每个队与其他个队各赛一场，由于每场比赛涉及两个队，总比赛场数需除以2以避免重复计算，因此总比赛场数为，根据总场数为45，即可列出方程．
【详解】解：设有x个队参加比赛，
根据题意得，
故答案为：．
12．1400元
【分析】本题考查了一元二次方程在销售利润问题中的应用，解题的关键是根据“利润=每台利润×销量”的关系，结合售价与销量的变化规律列方程．
设售价降低元，表达出实际定价、每台利润和每天销量，根据利润公式列方程，求解后得到定价．
【详解】解：设每台扫地机器人的售价降低了元（为正整数），
则：实际定价为（）元；
每台利润为元；
每天销量为台．
由题意得
整理得
经检验，符合题意
将代入定价公式：
每台扫地机器人的定价应为1400元．
13．(1)该基地“户太八号”种植面积的年平均增长率为
(2)销售单价应降低3元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．
（1）设该基地 “户太八号”种植面积的平均增长率为x，根据该基地2022年及2024年“户太八号”的种植面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设销售单价应降低y元，根据总利润=每千克的利润×销售数量，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设该基地“户太八号”种植面积的年平均增长率为x，由到2024年年底的种植面积达到169亩得：，
解得（舍去），
答：该基地“户太八号”种植面积的年平均增长率为；
（2）解：
设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克，
根据每天可获利1750元得：，
整理得：，
解得：．
为了尽快减少库存，则销售单价应降低3元，
答：销售单价应降低3元．
14．每罐陈皮茶的售价为28元
【分析】本题考查一元二次方程的应用—销售问题，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键，设每罐陈皮茶的售价为元，根据题意列出方程，求得每罐陈皮茶的售价，再根据利润率不能高于，得到，从而得到答案．
【详解】解：设每罐陈皮茶的售价为元，则单件利润为元，销量为罐．
根据题意，得：，
，
解得，
又因为，
即，
所以要将舍去，
故每罐陈皮茶的售价为28元．
15．边和各减少了米．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设边和各减少了米，由题意得，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】解：设边和各减少了米，
由题意得，，
，
，
，，
∵，
∴（舍去），
答：边和各减少了米．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页