21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 同步训练 （含解析）2025-2026学年人教版数学九年级上册

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
一、单选题
1．若，是方程的两个根，则（）
A． B． C． D．
2．下列一元二次方程中，两个实数根的和为1的方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知一元二次方程的两个实数根为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，是方程的两个根，则的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
5．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知是一元二次方程的两个根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．对于一元二次方程（为常数，且），给出下列说法：①，则方程必有一个根为1；②当时，方程至少有一个根为0；③若方程的两个根为，2，则必有成立；④若，则方程一定有两个相等的实数根．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
8．若一元二次方程有一个根是1，则另一个根是 ．
9．已知一元二次方程的两根为，则 ．
10．已知和是一元二次方程的两个根，则的值为 ．
11．若实数a、b分别满足，，且，则的值为 ．
12．关于的方程的解分别为，则的值为 ．
三、解答题
13．若、是一元二次方程的两个根，求下列代数式的值．
(1)
(2)
(3)
(4)
14．已知关于的方程，
(1)求证：无论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程的一根为1，求其另一根．
15．已知关于的方程有两个不等实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若方程的两根为，且，求的值．
16．请阅读下列材料：
已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则，所以，把代入已知方程，得．
化简，得，故所求方程为，这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
(1)已知一元二次方程，求一个未知数为的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程的一般形式为：______；
(2)已知一元二次方程，求一个未知数为的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数，则所求方程的一般形式为：______；
(3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，求一元二次方程的两根．
参考答案
1．B
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键．
利用一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积．
【详解】解：∵方程中，，，，
∴，．
只有选项B正确．
故选B．
2．D
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．
利用一元二次方程根与系数的关系，对于方程 ，两根之和为．计算各选项的该值，判断是否等于1．
【详解】解：A．，，；
B．，，；
C．，，；
D．，，；
只有D选项的两根之和为1．
故选：D．
3．A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，直接用公式求解即可．
【详解】∵方程 中，，，
∴
故选：A．
4．C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据题意，得到：，，代入求值即可．
【详解】解：由题意，得：，，
∴；
故选：C．
5．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入所求表达式计算．
【详解】解：∵ m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴ ，，
∴ ．
故选：B．
6．B
【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数关系是解题的关键．
利用一元二次方程的解及根与系数关系解答即可．
【详解】解：∵是一元二次方程的两个根，
∴，
把代入可得：，即，
∴，
故选：B．
7．C
【分析】本题考查一元二次方程的根的定义、根与系数的关系以及判别式的应用；①和②通过代入验证；③利用两根和与积的关系推导；④通过判别式判断根的情况即可．
【详解】解：①∵，
∴当时，，
∴方程必有一根为；故①正确；
②当时，方程变为，
即，
∴或，
∴方程至少有一个根为；故②正确；
③若方程两根为和，
则两根之和为，即，
两根之积为，即，
∴；故③正确；
④若，则，
判别式，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，但说法是“有两个相等的实数根”，故④错误；
综上，正确的有①②③，共3个；
故选C．
8．
【分析】设方程的另一个根a，根据根与系数之间的关系得，求出a即可．
本题考查了一元二次方程的根与系数之间的关系，解题的关键是熟记根与系数的关系．
【详解】解：设方程的另一个根为 ，
∵一元二次方程有一个根是1，
∴，即，
即另一个根是．
故答案为：
9．14
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入所求表达式计算．
【详解】解：对于一元二次方程 ，
由根与系数的关系，得 ，，
则 ，
故答案为：14．
10．16
【分析】根据题意，利用根与系数关系，变形计算解答即可．
本题考查了根与系数关系，求代数式的值，掌握解答的方法是解题的关键．
【详解】解：∵和是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：16．
11．4
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．
先根据题意可以把、看作是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到．
【详解】解：∵、分别满足，
∴可以、看作是一元二次方程的两个实数根，
∴，
故答案为：4．
12．
【分析】本题考查了因式分解以及根与系数的关系，利用根与系数的关系求出 和 ，然后将所求表达式化简为 ，并代入 得出结果．
【详解】方程化为一般形式为，
由于、是方程的解，根据根与系数的关系，有，，
所求表达式 展开并化简：
，
两式相减得：
，
分组并提取公因式：
，
代入，
得，
因此：．
故答案为：．
13．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则．
（1）利用一元二次方程根与系数的关系，直接求出；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系，直接求出；
（3）先计算，再代入，求解；
（4）先由完全平方公式得到，再计算，然后再代入求值．
【详解】（1）解：∵ 、是一元二次方程的两个根， ，，。
∴根据根与系数的关系得，，
（2）解：根据根与系数的关系得，；
（3）解：；
（4）解：，
∴．
14．(1)见解析
(2)另一个根为
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，解题的关键是熟练运用判别式判断根的情况．
（1）计算方程的判别式并证明其恒大于0；
（2）代入已知根求出 k 的值，再利用一元二次方程根与系数的关系求出另一根．
【详解】（1）证明：∵ 方程为，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即，
∴ 无论 k 取何实数，该方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：把代入方程得：，
即，解得，
设另一根为，由一元二次方程根与系数的关系得，
∴ ，
答：另一根为．
15．(1)
(2)
【分析】（）根据一元二次方程根的判别式列出关于的不等式解答即可求解；
（）利用一元二次方程根和系数的关系解答即可求解；
本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根和系数的关系，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，，
解得；
（2）解：由一元二次方程根和系数的关系得，，，
∵，
∴，
∴．
16．(1)
(2)
(3)，．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的变换（换根法）、一元二次方程根与系数的关系的应用、解一元二次方程，熟练掌握换根法的思想（通过根的关系代入原方程化简）是解题的关键．
（1）设所求方程的根为，利用“根是已知方程根的相反数”得到与原根的关系，代入原方程化简．
（2）设所求方程的根为，利用“根是已知方程根的倒数”得到与原根的关系，代入原方程化简．
（3）先由原方程的根求出、、的关系，再代入新方程，求解新方程的根．
【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，即．
把代入已知方程，得，
化简得；
（2）解：设所求方程的根为，则（），即．
把代入已知方程，得，
化简得；
（3）解：原方程的根为、，根据根与系数的关系得
，
∴，．
将，代入新方程，得
，
化简得，
，
∴新方程的根为，．