21.2.3 因式分解法 同步训练（含解析）2024-2025学年人教版数学九年级上册

21.2.3 因式分解法 同步训练
一、单选题
1．一元二次方程的根是（ ）
A． B．
C． D．
2．方程的解为（ ）
A． B． C． D．
3．某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程，解答过程如下所示：
甲 乙
两边同时除以，得． 移项，得．．或，解得．
其中完全正确的是（ ）
A．甲 B．都正确 C．乙 D．都不正确
4．已知方程的解是，，则另一个方程的解是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．如果等腰的两边长分别是方程的两个根，则的周长为（ ）
A．12 B．9 C．12或9 D．10
6．已知，则的值为（ ）
A．或2 B．或4 C．4 D．2
7．如图，为矩形对角线上的一点，，，则方程的正数解是（ ）
A．线段的长 B．线段的长
C．线段的长 D．线段的长
二、填空题
8．方程的根是 ．
9．方程的根是 ．
10．等腰三角形的边长是方程的解，则这个三角形的周长是 ．
11．定义 上述记号叫做2阶行列式 ．若，则 ．
三、解答题
12．解下列一元二次方程：
(1)；
(2)．
13．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：此方程总有两个实数根；
(2)若此方程恰有一个根小于，求k的取值范围．
14．下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程的过程，
请仔细阅读并完成相应的任务．
小刚同学： 解：第一步 第二步 第三步 解得第四步 小颖同学： 解：第一步 第二步 第三步 或第四步 解得第五步
任务一：
①小刚同学的解答过程中，从第___________步开始出现错误．错误的原因是___________；
②小颖同学的解答过程中，从第___________步开始出现错误．错误的原因是___________
任务二：请直接写出该一元二次方程的正确的解___________
任务三：解方程：；
15．（1）解方程：
（2）计算题小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程．
解：原方程可变形，得：．，．直接开平方并整理，得，
我们称小明这种解法为“平均数法”．下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程．
解：原方程可变形，得：．，
∴．直接开平方并整理，得：，．
上述过程中的、、、表示的数分别为______，______，______，______．
《21.2.3 因式分解法 同步训练 2024-2025学年人教版数学九年级上册》参考答案
1．A
【分析】本题考查一元二次方程的根，将方程化为标准形式后因式分解，利用零乘积性质求解即可．
【详解】解：∵,
∴,
∴,
∴或,
∴方程的根为,．
故选：A．
2．C
【分析】本题考查解一元二次方程，可通过因式分解法直接求解．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
∴ 或 ，
即解为 ，
故选：C．
3．C
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的管家．
甲的解法错误，因为两边同时除以 可能漏解（当 时）；乙的解法正确，通过移项和因式分解得到所有解．
【详解】解：∵方程的解可能为或，甲同学两边同时除以时，未考虑的情况，导致漏解；
乙同学移项得，
移项，得，
，
或，
解得，
∴完全正确的是乙．
故选C．
4．B
【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．
通过变量代换，将新方程转化为已知方程的形式，利用已知解求解即可．
【详解】解：设，则新方程化为，
∵方程的解为，，
∴或，
解得或，
∴新方程的解为，．
故选：B．
5．A
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法及等腰三角形的定义，熟练掌握一元二次方程的解法及等腰三角形的定义是解题的关键；解方程得到两根为2和5，即为等腰三角形的两边长，分两种情况讨论：腰为2底为5或腰为5底为2，利用三角形三边关系检验，只有腰为5底为2成立，再计算周长即可
【详解】解：∵方程可化为，
∴两根为，，
∵等腰三角形两边长分别为2和5，
∴可能情况：
①腰为2，底为5：但，不满足三角形三边关系，不成立；
②腰为5，底为2：，，，均成立；
∴三角形边长为5、5、2，周长为；
故选：A
6．D
【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，已知式子的值求代数式的值，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
设，将原方程转化为二次方程求解，再根据平方和的非负性确定的值．
【详解】解：∵，
设，则原方程化为：
，
解得：或，
又∵，
∴舍去，
∴．
故选：D．
7．D
【分析】此题考查了解一元二次方程，矩形的性质，勾股定理等知识．首先求出一元二次方程的解为或，然后由矩形的性质得到，，然后利用勾股定理求出，进而得到，即可求解．
【详解】解：，
因式分解得，
或，
解得或，
∵四边形是矩形，，
∴，，
∴，
∴．
∴方程的正数解是线段的长．
故选：D．
8．，
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可．
【详解】解：
或
或 ，
故答案为：，．
9．
【分析】本题考查一元二次方程的因式分解法，解题的关键是通过因式分解将方程转化为两个一次方程求解．
将看作一个整体，对原方程进行因式分解，进而求出方程的根．
【详解】解：，
提取公因式得：，
化简得：，
得：或，
解得：或．
故答案为：．
10．
10
【分析】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，解题的关键是根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得出相应的边的值，再根据周长公式进行计算．通过求解一元二次方程得到根，结合等腰三角形的性质和三角形三边关系确定有效边长，进而计算周长．
【详解】解：解方程 ，
因式分解得 ，
所以 或 ，
等腰三角形的边长是方程的解，因此边长可能为 2 或 4，
若腰长为 2，底边为 4，则 ，不满足三角形两边之和大于第三边，故无效，
若腰长为 4，底边为 2，则 ，，满足三角形三边关系，
因此三角形边长为 4、4、2，周长为 ，
故答案为：10．
11．或2
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，将2阶行列式化成一元二次方程是解题的关键．
根据2阶行列式的定义，将已知行列式表达式转化为关于x的一元二次方程，然后通过移项、化简和因式分解求解即可．
【详解】解：由2阶行列式的定义，得，
∵
∴
移项整理得，即，
因式分解得
所以或．
故答案为：或2．
12．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法，因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
（1）配方法解一元二次方程；
（2）因式分解法解一元二次方程．
【详解】（1）解： ，
移项，得，
两边同时加上4，得
即
开平方，得
解得：；
（2），
方程左边分解因式，得
即，
所以或，
解得：．
13．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程，为常数的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，掌握以上知识是解题的关键．
（1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证；
（2）根据因式分解法求得方程的解，得出，根据题意列出不等式，解不等式即可求解．
【详解】（1）证明： ，
所以方程总有两个实数根．
（2）解：，
所以，
∵此方程恰有一个根小于，
，
．
14．任务一：①二，方程两边同时除以可能为0的代数式；②三，去括号时，括号前面是负号，中的2没有变号；
任务二：，；
任务三：，．
【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
任务一：①根据等式的性质即可判断求解；②根据去括号法则即可判断求解；
任务二：利用因式分解法解方程即可求解；
任务三：利用因式分解法解答即可求解．
【详解】解：任务一：①小刚同学的解答过程中，从第二步开始出现错误，错误的原因是方程两边同时除以可能为的代数式，
故答案为：二，方程两边同时除以可能为的代数式；
②小颖同学的解答过程中，从第三步开始出现错误，错误的原因是去括号时，括号前面是负号，中的没有变号，
故答案为：三；去括号时，括号前面是负号，中的没有变号；
任务二：，
，
即，
或，
解得，；
故答案为：，；
任务三：∵，
∴，
∴或，
∴，．
15．（1），（2）7、、、
【分析】本题考查解一元二次方程．
（1）移项，用因式分解法解方程即可；
（2）根据“平均数法”解方程，与小明的解题过程进行对比，即可得、、、表示的数．
【详解】（1）解：，
移项得，
因式分解得，
∴，或，
∴，．
（2）解：，
原方程可变形得，
∴，
∴，
∴，
直接开平方并整理得，．
∴，，，．
故答案为：，，，．