21.1 一元二次方程 同步训练（含解析）2025-2026学年人教版数学九年级上册

21.1 一元二次方程 同步训练
一、单选题
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．关于的方程，下列说法错误的是（ ）
A．二次项系数为1 B．一次项系数为
C．常数项为0 D．它是一元二次方程
3．下面的一元二次方程中，一次项系数为5的方程是（）
A． B．
C． D．
4．若关于x的方程是一元二次方程，则a的值不可以为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
5．已知是关于x的一元二次方程的一个根，则a的值为（）
A． B．4 C．2 D．
6．将一元二次方程化为一般形式后，一次项系数是（ ）
A．2 B． C．3 D．
7．列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程：的解是（ ）
0 1 2 3 ...
...
A． B． C．或 D．或
二、填空题
8．若方程的一个根为，则 ．
9．关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值为 ．
10．若是方程的一个根，则的值为 ．
11．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么 ．
三、解答题
12．已知关于的一元二次方程有一个根为1，有一个根为，求的值．
13．阅读下题的解答过程，请判断是否有错，若有错误请你写出正确的解答．
已知：是关于的方程的一个根，求的值．
解：把代入原方程，化简得，两边同除以，得，
，把代入原方程检验可知：符合题意．
答：的值是．
14．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
15．已知关于x的一元二次方程，如果a，b，c满足，我们就称这个一元二次方程为波浪方程．
(1)判断方程是否为波浪方程，并说明理由．
(2)已知关于x的波浪方程的一个根是，求a，b的值．
《21.1 一元二次方程 同步训练 2025-2026学年人教版数学九年级上册》参考答案
1．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）判断各选项即可．
【详解】解：一元二次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程．
A：方程中含有两个未知数x和y，不是一元方程，故本选项不符合题意；
B：方程中含有分式项 ，不是整式方程，故本选项不符合题意；
C：方程中只含未知数x，且最高次数为2，是整式方程，符合定义，故本选项符合题意；
D：方程中含有两个未知数x和y，不是一元方程，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程的一般形式：，其中叫二次项系数，叫一次项系数，叫常数项．根据一元二次方程的一般形式“一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式，其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做常数项”进行判断即可得．
【详解】解：方程是一元二次方程，二次项系数是，一次项系数是，常数项是，
则说法错误的是C，
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义；一元二次方程的标准形式为，其中是一次项系数．直接检查各选项方程中一次项的系数是否为5即可．
【详解】解：∵一元二次方程的一次项系数是标准形式中的系数．
选项A：，一次项系数为，不符合．
选项B：，一次项系数为，符合．
选项C：，一次项系数为，不符合．
选项D：方程化为一般式为：，一次项系数为，不符合．
∴一次项系数为5的方程是B．
故选：B．
4．B
【分析】本题考查一元二次方程方程的定义．根据一元二次方程的二次项系数不为0求解即可．
【详解】解：∵方程是一元二次方程，
∴，则，
故选：B．
5．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，掌握方程的解是满足方程的未知数的值成为解题的关键．
将代入方程得到关于a的方程求解即可．
【详解】∵是方程的根，
∴将代入得，即，解得：．
故选B．
6．D
【分析】本题主要考查一元二次方程的一般式，掌握一元二次方程的定义，各项系数的知识是关键．
先将方程化为一般形式，再识别一次项系数．
【详解】解：∵ 原方程：，
移项得：，
∴ 一次项系数为，
故选：D．
7．D
【分析】本题考查列表法求一元二次方程的解，将方程变形为 ，从表格中找出使该式值为6的x值，即为方程的解．
【详解】解：∵ 可化为 ，
由表可知，当 或 时，，
∴ 方程的解为 或 ．
故选：D．
8．1
【分析】本题考查了一元二次方程的解，利用一元二次方程解的定义，得到，再整体代入代数式求值，
【详解】解：∵方程的一个根为，
∴，
则，
故答案为：1
9．
【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的解，掌握相关知识是解决问题的关键．将根 代入方程，得到关于 的方程，解出 ，并检验是否满足一元二次方程的条件．
【详解】解：将 代入方程 ，
得 ，
即 ，
解得 或 ，
∵一元二次方程二次项系数 ，
∴，
∴．
故答案为：．
10．2029
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根．根据一元二次方程根的定义得到，得到，化为，代入计算即得．
【详解】解：由题意可知：，
∴，
∴．
故答案为：2029．
11．
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据“同族二次方程”的定义，两个方程具有相同的和，因此将第二个方程化为与第一个方程相同的形式，通过比较系数求解和的值即可．
【详解】解：由第一个方程得，．
第二个方程应等价于．
展开右边：．
比较系数：一次项系数：，常数项：．
由常数项得，代入一次项系数得，解得．
因此．
故答案为：．
12．0
【分析】本题考查一元二次方程的根的应用，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键，将代入一元二次方程中，可得到关于的三元一次方程组，再将两个式子相加即可得到答案．
【详解】解：∵和是一元二次方程的两个根，
∴代入可得：，
∴两式相加得：．
13．有错，的值是，正确解答见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，解题的关键是注意当时的特殊情况，不能直接在等式两边除以．
将代入方程，得到关于的方程，然后通过因式分解求解，同时要考虑的情况．
【详解】有错，不能直接约去，也有可能，因为当时，是不能作分母的．
正确的解答为：正确的解答为：把代入原方程，化简得，
．
将的三个值代入方程检验，均符合题意，故的值是．
14．见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且）．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
先把一元二次方程化成一般式，然后根据二次项、一次项、常数项的定义解答即可．
【详解】解：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
9 4 1
2
15．(1)是
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的定义，波浪方程的定义，熟知波浪方程的定义是解题的关键：
（1）直接根据波浪方程的定义判断即可；
（2）先根据波浪方程的定义得到，再由一元二次方程的解的定义得到，据此联立①②求解即可；
【详解】（1）解：方程为波浪方程，理由如下：
由题意得，，
∴，
∴方程为波浪方程，
（2）解：∵关于x的方程为波浪方程，
∴，且，
∴，
∵是关于x的方程的一个根，
∴，
联立①②解得；