21.2.2 公式法 同步训练（含答案）2025-2026学年人教版数学九年级上册

21.2.2 公式法 同步训练
一、单选题
1．下列方程中，没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
2．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．2
3．是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A． B．
C． D．
4．对于任意4个实数a，b，c，d，定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
5．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．在用求根公式求一元二次方程的根时，佳琪正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．一元二次方程的求根公式的发现，是数学思想史上的一个里程碑，对于任意有实数根的一元二次方程，其求根公式为 ；
8．若一元二次方程无实数根，请写出一个满足条件的一元二次方程： ．
9．请你写出一个负整数的值： ，使关于的一元二次方程有实数根．
10．对实数a，b，定义运算“*”如下：．例如：．若，则x的值为
三、解答题
11．解方程：
(1)．
(2)．
12．解方程：
解：，____________，____________；
____________；
____________；
____________，____________．
13．解一元二次方程时，两位同学的解法如下：
甲同学： 或 ∴或 乙同学： ， ∵， ∴此方程无实数根．
(1)你认为他们的解法是否正确？直接写出判断结果．
甲同学的解法___________，乙同学的解法_________．（填“正确”或者“不正确”）
请选择合适的方法解一元二次方程．
14．关于的一元二次方程．
(1)求证：无论为何值，该方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根大于2，求的取值范围．
《21.2.2 公式法 同步训练 2025-2026学年人教版数学九年级上册》参考答案
1．B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式逐一判断即可求解．
【详解】解：A、，则原方程有两个相等的实数根，故该选项不符合题意；
B、，则原方程无实数根，故该选项符合题意；
C、，则原方程有两个不相等的实数根，故该选项不符合题意；
D、，则原方程有两个相等的实数根，故该选项不符合题意；
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义；一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式为零，代入系数求解即可．
【详解】解：∵方程 有两个相等的实数根，
∴判别式 ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
3．A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程公式法求解，通过对比一元二次方程的求根公式，直接确定系数a、b、c的值，从而匹配对应方程
【详解】解：一元二次方程，
，
，
，即；，即；
，
，
故方程为 ，
故选：A
4．B
【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况．对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解．
【详解】解：∵运算定义为，
∴ 方程可化为，
即；
这是一个一元二次方程，其中，，，
判别式，
∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根；
故选：B
5．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
一元二次方程有两个实数根的条件是判别式大于或等于零，据此列不等式求解．
【详解】解：∵ 方程 有两个实数根，
∴ 判别式，
∴ ，即 ，
故选：D．
6．B
【分析】本题主要考查了公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．
根据求根公式的结构，比较给定表达式，直接确定系数a、b、c的值，即可得到原方程．
【详解】解：∵求一元二次方程的根时，佳琪正确地代入了a，b，c得到，
∴，，，
∴ 原方程为 ．
故选：B
7．
【分析】本题考查了一元二次方程求根公式的推导，解题的关键是掌握配方法推导求根公式的步骤．
按照配方法的步骤，移项，系数化为1，同时加上一次项系数一半的平方，求解即可．
【详解】解：对于一元二次方程 （其中 ），
移项得，，
系数化为1得，，
两边加上 得，，
则，
开平方得，，
移项得，，
故答案为： ．
8．（答案不唯一）
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程无实数根的条件是判别式小于零得到，取，可得，可取，则方程满足条件．
【详解】解：一元二次方程无实数根，
，
取，则，
解得，
可取，则方程满足条件，
故答案为：（答案不唯一）．
9．答案不唯一，如或或
【分析】先将一元二次方程化为一般式，再根据根的判别式与根的情况，当时方程有实数根，解不等式即可；本题主要考查了根的判别式和解一元一次不等式，熟练掌握相应的计算方法是解题的关键．
【详解】解：先将一元二次方程化为一般式，
∴，
∴，
∵一元二次方程有实数根，
∴，
解得，
又∵为负整数，
∴的值可以取；
故答案为：或或．
10．或
【分析】本题考查了实数的新定义运算，公式法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
根据新定义，转化为一元二次方程，先化为一般形式，再利用公式法求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
，，，
，
，
即，，
故答案为：或．
11．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题的关键．
（1）先将方程变形，再利用配方法解方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，；
（2）解：，，，
，
，
，．
12．，，，，，．
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法的步骤，根据公式法求解即可．
【详解】解：，
，，，
，
，
，，
故答案为：，，，，，．
13．(1)不正确，不正确
(2)，．
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是运用恰当的方法进行计算．
（1）利用因式分解法解方程可对解法一进行判断；根据公式法可对解法二进行判断；
（2）利用配方法求解即可．
【详解】（1）解：甲同学的解法不正确，第一步需因式分解为，再进行解答；
乙同学的解法不正确，值应为，判别式不是，
故答案为：不正确；不正确；
（2）解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，．
14．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，掌握相关知识是解题的关键．
（1）求出方程的判别式的值，利用配方法得出，根据判别式的意义即可证明；
（2）设方程的两个根分别为，，利用公式法求方程的解，然后根据题意列出关于k的不等式，即可求得k的取值范围．
【详解】（1）证明：，，，
，
无论为何值，方程总有两个实数根；
（2）解：由（1）知，，，，，
解方程得，
，．
由题意可知，，
．