21.2.1配方法 同步训练（含答案）2025-2026学年人教版数学九年级上册

21.2.1 配方法 同步训练
一、单选题
1．一元二次方程的解是（ ）
A．1 B． C．0 D．
2．用配方法将代数式变形，结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．若m为实数，，则P，Q的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
4．用配方法解方程．下列配方的结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．用配方法解方程，将方程变为的形式，则m值为（ ）
A． B．3 C． D．2
6．已知关于的一元二次方程配方后得到，则的值为（ ）
A． B． C． D．4
7．若满足，，则的值是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
8．把方程配方后得到方程 ．
9．已知，代数式 ．
10．若（，为实数），则 ．
11．将方程转化为的形式，则 ．
三、解答题
12．解下列方程．
(1)；
(2)．
13．配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的．
例如：已知，求，的值．
由题意，得，
即，
，，
，．
根据以上材料，解答下列各题．
(1)若，求的值；
(2)若，，分别表示的三边长，且，试判断的形状，并说明理由．
14．在解一元二次方程时，小明的解法如下：
第一步：
第二步：
第三步：
第四步：
第五步：
问：
(1)小明第三步配方的依据是＿；
A．完全平方公式 B．平方差公式 C．多项式与多项式乘法法则
(2)小明的解答过程从第几步开始出现错误？_____．
(3)直接写出该方程的根是_____．
15．阅读材料并解决问题：
材料一：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题．
例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？
当时，代数式有最小值．
根据上面的材料请解决下面问题：
如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成．
(1)请用含x的代数式表示矩形鸡场的面积；
(2)当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？
参考答案
1．D
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，通过直接开平方求解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：D．
2．D
【分析】本题考查了配方法的应用，关键是找到完全平方式然后进行配方，将代数式通过配方法变形，需将二次项和一次项组合成完全平方形式，并调整常数项．
【详解】解：，
故选：D．
3．A
【分析】本题考查比较两个代数式的大小．根据题意通常作差后判断符号．计算，利用配方法，再根据完全平方的非负性即可确定符号．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，即：，
故选：A．
4．B
【分析】本题考查了配方法，配方法的关键是添加一次项系数一半的平方．
在方程两边同时加上4，即可解答．
【详解】解：∵ 方程 中，二次项系数为1，一次项系数为4，
∴ 两边同时加4，得 ，即 ，
故选：B．
5．B
【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握一元二次方程的配方法是解题的关键．
通过配方法将方程转化为完全平方形式，直接比较得出m的值．
【详解】解：∵，
∴ 移项得．
配方：，
即．
∴ 比较 ，得：；
故选B．
6．B
【分析】本题考查了一元二次方程的配方法，解题的关键是将配方后的方程展开，与原方程对比系数求的值．
先将展开为，整理成一般式，再与原方程对比，得到．
【详解】配方后得到 ，
展开得 ，
即 ，
又原方程为 ，
．
故选B
7．B
【分析】本题主要考查了配方法的应用、非负数的性质、代数式求值等知识点，求得的值成为解题的关键．
三式相加可得，再运用配方法可得，由非负数的性质可得，然后代入求值即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选B．
8．
【分析】本题考查了一元二次方程的配方法：先把二次系数变为1，即方程两边除以a，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数的一半，这样把方程左边变形为完全平方式．先把方程的常数项移到右边，然后方程两边都加上，这样方程左边就为完全平方式．
【详解】解：原方程变形为：，
方程两边都加上，得，
∴．
故答案为：．
9．
【分析】本题考查配方法的应用，解题的关键是掌握，把变形为：，再代入代数式，即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
10．6
【分析】本题考查了配方法的应用，利用配方法得到，再利用非负数性质得到，，然后计算的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
∴，，
∴．
故答案为：6．
11．
【分析】根据配方法解题即可．
本题考查了配方法的应用，求代数式的值，熟练掌握配方是解题的关键．
【详解】解：，
移项，得．
配方，得，即．
又．
解得．
故，
故答案为：．
12．(1)，
(2)，．
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
（1）利用配方法对方程进行求解即可；
（2）利用配方法对方程进行求解即可．
【详解】（1）解：
∴
∴
∴或
解得：，；
（2）
解得：，．
13．(1)
(2)是等边三角形，理由见解析
【分析】本题主要考查配方法的应用及三角形的分类，等边三角形的判定，熟练掌握配方法的应用及三角形的分类是解题的关键；
（1）用完全平方公式对方程左边进行配方，再根据非负数和为0的性质求得x、y，再代值计算便可；
（2）先将方程两边都乘以2，再把方程左边分解成几个完全平方式之和，进而根据非负数和为0的性质得出，再由此判断三角形的形状．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：是等边三角形．理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
14．(1)A
(2)第二步
(3)
【分析】本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键：
（1）配方法利用的是完全平方公式，判断即可；
（2）第二步，等式右边没有加1；
（3）正确的解方程即可．
【详解】（1）解：小明第三步配方的依据是完全平方公式；
故选A；
（2）解：第二步开始出现错误，等式右边没有加1；
（3）解：，
，
，
解得．
15．(1)
(2)当时，围成的矩形鸡场的面积最大，面积是
【分析】本题考查了配方法的应用、完全平方式、代数式求值等知识点，正确读懂题目中的阅读材料，理解配方的方法是关键．
（1）直接根据题意列代数式即可；
（2）先运用完全平方公式配方，然后再根据完全平方的非负性求解即可．
【详解】（1）解：由题意可得：鸡场的长为，
则鸡场的面积：；
（2）解：，
∵，
∴，
∴当时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是，
∵，，
∴最大面积是符合题意．
故当时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是．