3.2圆的对称性 同步训练（含解析）2025-2026学年北师大版数学九年级下册

3.2 圆的对称性 同步训练
一、单选题
1．如图，是的直径，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．已知中，，则弦和的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
3．如图，在中，，下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，、是的弦，且，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在中，满足，则下列对弦与弦大小关系表述正确的是（　　）
A． B． C． D．无法确定
6．观察下列选项中的图及相应推理，其中正确的是（ ）
A．∵，∴
B．∵，∴
C．∵的度数为，∴
D．∵，∴
7．如图，分别为的两条弦，于M，于N，且，则下列结论中，正确的个数为（　　）
①；②；③．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
8．如图，在中，请添上一个条件： ，使得．
9．若的半径为，一条弦分为两部分，这条弦的长度为 ．
10．如图，圆中两条弦相交于点E，其中两条劣弧的度数分别为，圆O的半径为5，，则的长为 ．
11．如图，在中，若，，则的度数为 ．
三、解答题
12．如图，，是的两条弦，．求证：．
13．如图，是的直径，，．求的度数 ．
14．如图，的弦，相交于点E，且．求证：
(1)=
(2)．
15．如图，O为等腰三角形的底边的中点，以为直径的半圆分别交，于点D，E．求证：
(1)
(2)．
16．如图，为的直径，C、D分别为的中点，，点E、F都在上，
求证：
(1)；
(2)；
(3)．
《1.2 圆的对称性 同步训练 2025-2026学年北师大版数学九年级下册》参考答案
1．D
【分析】本题考查了弧、圆心角的关系，先求出，然后根据弧、圆心角的关系求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
2．C
【分析】本题考查同圆中弧、弦之间关系，三角形三边之间关系，掌握同圆中弧、弦之间关系，三角形三边之间关系是解题关键．取中点为E，连接，根据题意结合同圆中弧、弦之间关系可得，再利用三角形三边关系即可解答．
【详解】解：取中点为E，连接，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，．
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了圆心角，弦，弧之间的关系、全等三角形的判定与性质．解决本题的关键是根据弧相等的关系找到边、角之间的相等关系．
【详解】解：A选项：，
，
，
，
故A选项正确；
B选项：和不一定相等，
和不一定相等，
故B选项不正确；
C选项：，
，
，
故C选项正确；
在和中，，
，
，
故D选项正确；
故选：B．
4．D
【分析】本题考查弧、弦、圆心角之间的关系，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质．
连接，由已知可得，从而可得，根据三角形的内角和定理，结合等腰三角形的性质计算即可．
【详解】解：连接，
∵、是的弦，且，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为．
故选：D．
5．B
【分析】本题考查圆心角，弧，弦之间的关系，三角形的三边关系等知识，解题的关键是理解题意正确作出辅助线．
如图，取弧的中点E，连接，证明，再利用三角形的三边关系解决问题．
【详解】解：如图，取弧的中点E，连接，
，，
，
，
，
．
故选：B．
6．B
【分析】本题主要考查了圆的圆心角、弧、弦的相关知识，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键．根据圆的圆心角、弧、弦的相关知识逐一分析即可解答．
【详解】解：A、由于两条弧不在同圆或等圆中，则，故A选项错误，不符合题意；
B、在同圆或等圆中，两条弧相等，所对弦相等，故B选项正确，符合题意；
C、弧的度数等于它所对圆心角的度数，则，故C选项错误，不符合题意；
D、因为不是圆心角，则，故D选项错误，不符合题意；
故选：B．
7．D
【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦及弦心距的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦及弦心距四者之间的关系是解题的关键．结合已知条件，根据“在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等”得到与之间的关系；根据圆心角、弧、弦及弦心距四者之间的关系即可得到弦与，弦心距与的数量关系，进而得出正确选项．
【详解】解：∵分别为的两条弦，，
∴，故③正确；
∵，于M，于N，
∴，故①②正确．
综上可知，正确的有3个．
故选：D．
8．
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系．根据圆心角、弧、弦之间的关系即可求解．
【详解】解：添加，
则．
故答案为：．
9．
【分析】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，根据弦分圆周长为两部分，则分圆心角也为两部分，求出劣弧所对的圆心角，再根据等腰直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：∵一条弦分为两部分，
∴这条弦所对的圆心角的度数为，
∴这条弦与两条半径构成一个等腰直角三角形，
∴这条弦的长度为．
故答案为：．
10．/
【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，
连接，可得，可得是等边三角形，，进入得出，再根据含直角三角形得性质得，然后根据勾股定理求出，则答案可得．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴．
在中，，
∴．
根据勾股定理，得，
∴．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查圆心角、弧、弦的关系，关键是掌握在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角也相等．根据圆心角、弧、弦的关系定理直接推出．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
12．见解析
【分析】本题考查了弧与圆周角的关系，平行线的性质；连接，根据平行线的性质得出，进而根据弧与圆周角的关系，即可得证．
【详解】证明：如图，连接，
∵，
∴．
∴．
13．
【分析】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．根据圆心角、弧、弦的关系得到，再利用平角的定义得到的度数，然后根据弧的度数等于它所对的圆心角的度数求解．
【详解】解：∵，，
∴，而为直径，
∴
答：的度数为.
14．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查圆的基本性质以及等腰三角形的判定定理（等角对等边）；掌握同圆内弦、弧、圆周角之间的相互转化关系，通过逐步推导实现角与边的关系转化，是解题的关键．
（1）同圆中等弦对等弧，由得对应弧相等，两段弧同加一段公共弧，即证目标弧相等；
（2）同圆中等弧对等圆周角，由前述相等的弧得对应两角相等，依等角对等边，即证 ．
【详解】（1）解：∵，
∴
∴
即．
（2）解：∵
∴
∴．
15．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质等知识，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
（1）首先得到，推出，然后等量代换得到，由三角形内角和得到，即可得到；
（2）由得到，然后结合求解即可．
【详解】（1）证明：∵O为等腰三角形的底边的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴．
∵，
∴，即．
16．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理以及含30度的直角三角形三边的关系，
1.连接，根据半径相等得到，则根据“”可判断，所以；
2.先说明，易得到，根据圆心角、弧、弦的关系即可得到；
3.由得，根据三角形外角性质有，则，所以，于是得到．
【详解】（1）证明：连接，如图，
∵为的直径，C、D分别为的中点，
∴，
∴，
而，
∴，
∴；
（2）证明：在中，取的中点G，连接，
∴，
∴.
∵，
∴,
∴.
∵是的外角，
∴，
∴，
解得，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．