23.3.3相似三角形的性质 同步训练（含解析）2025-2026学年华东师大版数学九年级上册

23.3.3 相似三角形的性质 同步训练 2025-2026学年华东师大版数学九年级上册
一、单选题
1．已知与相似，且相似比为，则与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，点E是的边的中点，连接与交于点O， 延长交的延长线于点F．若，则的长为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
3．如图，是的中线，G是的重心，过点G作，分别交，边于点E，F，连结，．若的面积为6，则的面积为（ ）
A．12 B．24 C．26 D．27
4．如图，在中，点在上，，交于E，下列结论中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径作弧，交AC于点，再分别以B，D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接，以下结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，的高，相交于点，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图是一块三角形钢材，其中边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形零件的边长是（ ）
A．4 B．4.8 C．5.2 D．6
二、填空题
8．如图，在中，，，垂足为，如果，，那么 ．
9．如图，在中，，分别是，上的点，且，若，，，则 ．
10．如图，在中， D在上，，，若，则的值为 ．
11．如图，在中，D是的中点，，且．若，则的长为 ．
12．如图，已知中，，，，平分，将绕着点旋转后，点、的对应点分别记为、，如果点落在射线上，那么的长度为______．

三、解答题
13．如图，在中，是上一点，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
14．如图，在四边形中，，交于点．点在上，且，．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
15．如图，在中，，，分别是边和上的点，且，
(1)求证：；
(2)求的值
16．如图，在中，，，，点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为秒．
(1)求的长；
(2)当为何值时，与相似？
(3)连接，当为何值时，？
试卷第1页，共3页
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《23.3.3 相似三角形的性质 同步训练 2025-2026学年华东师大版数学九年级上册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 D C D D C D B
1．D
【分析】本题主要考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．
【详解】解：∵，相似比为，
∴，
故选：D．
2．C
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质．先根据平行四边形的性质得出，，，推出，，由E是的中点，证得，得出，由得出的值，利用“”证明，得出，进而求得答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，
又∵E是的中点，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
3．D
【分析】本题考查的是三角形重心的知识、相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．
根据G是的重心，可得，，则，，，再根据，可得，，则，，设，则，，，由的面积为6，可得的值，即可求出的面积．
【详解】解：是的重心，
，，
，，．
，
，．
，．
设，
则，，，
，解得．
．
故选：D．
4．D
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形对应边之比等于相似比、相似三角形周长之比等于相似比是解题的关键．
由得，，即可证明，B选项正确；根据，就可以证明，A选项正确；再证明，C选项正确；由，可得，易判断D选项错误．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，B选项正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即A选项正确；
∵，
∴，，
∴，C选项正确；
∵，，
∴，D选项错误．
故选：D．
5．C
【分析】此题考查了等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程．根据作图可知，为的角平分线，根据等腰三角形的性质求出的度数，进而得出，可得，根据等腰三角形的性质及外角性质得出，可得，由，推出，即可判定A正确；根据，为公共角证明，根据相似三角形的性质可判定C错误, B 、D正确；熟练掌握相关性质及判定定理是解题的关键．
【详解】解：，，
，由作图可知：，为的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，故A正确，
，，
，
，即，
整理得：，
，
，
，故C错误，
，，
，
，
，故B正确；
，，，
，故D正确．
故选：C．
6．D
【分析】此题主要考查相似三角形的性质与判定，解题的关键是找出所有的相似三角形，从而找到对应边成比例，由于、是的高，利用两组对应角相等，易证，，根据相似三角形中对应边成比例易证只有D不正确．
【详解】解：∵，
又∵，
∴，
∴，即，B选项正确；
又∵
∴，
∴，即，C选项正确；
又∵，
∴
∴，即 ，A选项正确；
∴，
∴，即，
无法证明，
故D选项不正确，
故选：D．
7．B
【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，根据正方形的性质设，平行于，进而得到，证明得到比例，代入求解．
【详解】四边形是正方形，
设，平行于，
在中，边，高，
，
，
根据平行线间的距离处处相等得：，
，
平行于，
，
，
，
解得，
，
即这个正方形零件的边长是．
故选：B．
8．
【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
，
∴，
，即，
，，
，
．
故答案为：．
9．
【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键．
首先由，可证得，进而可根据相似三角形得到的比例线段求得的长．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了相似三角形性质的应用．根据平行线的性质得出相似三角形，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方来求解．
【详解】解：∵，，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
则和的相似比为，
∴．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质.
根据是的中点，，得，再证明，则，代入数值进行化简计算，即可作答．
【详解】解：∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∵，
即，
解得，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性质定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据已知条件，设，利用角平分线的性质定理得到，由勾股定理列方程求出，从而得到，，的长度，画出绕着点旋转后的图形，过点作 ，证得，利用相似比求出的长度，进一步得到的长度，证得，利用相似比即可得出结论．
【详解】解：中，，，，
，
过点作 ，
设，则，
平分，，
，
，
．
，
，
，
，，．
画出绕着点旋转后的图形，如下所示，过点作 ，
平分，
．
，
．
，
．
，
，
，
，
，
，，．
，，
．
，
，
，
，
．
故答案为：．
13．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．
（1）在这两个三角形中有一对已知角和一对公共角即可证明；
（2）根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴．
14．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．
（1）先证出，再根据相似三角形的判定即可得证；
（2）先根据相似三角形的性质可得，再证出，然后根据相似三角形的性质即可得．
【详解】（1）证明：，
．
．
，
．
（2）解：，
．
，
．
15．(1)证明见解析
(2)10
【分析】本题考查相似三角形的证明及性质，能够证得三角形相似是解题关键；
（1）根据即可证得三角形相似；
（2）根据相似三角形的性质得到，通过变形进而可求解．
【详解】（1）证明，
，
（2）解：，
．
16．(1)10
(2)或
(3)
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理：
（1）直接利用勾股定理解答即可；
（2）分两种情况，结合相似三角形的性质解答即可；
（3）根据当时，可得，即可求解．
【详解】（1）解：在中，∵，，，
∴．
（2）解：由题意得，，，
因此，
与相似有两种情况，
①当时，，
即，
解得；
②当时，，
即，
解得；
综上所述，当为或时，与相似；
（3）解：当时，，
由（2）可知，．
所以当为时，．
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