3.5确定二次函数的表达式 同步训练（含解析）2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级上册

2.5 确定二次函数的表达式 同步训练
一、单选题
1．若抛物线的顶点坐标为，与轴相交于点，则该抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
2．将抛物线先向左移动3个单位，再向下移动2个单位，所得新抛物线经过原点，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
3．若二次函数的图象经过点，则下列选项中，对应的的值最大的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知二次函数（）的图象经过点，，，则当时，x的取值范围是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
5．二次函数（a，b，c为常数，且）与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列关于二次函数的说法中正确的是（ ）
A．二次函数图象的对称轴是直线
B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是3
C．当时，y随x的增大而减小
D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是8
6．如图，若二次函数的图象经过点，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
7．已知二次函数（，，为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表：
… …
… …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上
B．图象经过第二、三、四象限
C．当时，的值随的值增大而增大
D．图象的对称轴是直线
8．二次函数的与的部分对应值如下表：
… …
… …
则下列判断中正确的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线与轴交于负半轴
C．当时，随的增大而减小 D．当时
二、填空题
9．写出一个满足与抛物线开口方向相同，且过点的抛物线的表达式： ．
10．已知二次函数的图象经过点，则当时，y的取值范围是 ．
11．已知二次函数中，函数值与自变量的部分对应值如下表：
0 1 2 3 4
10 5 2 1 2 5
若点都在该函数的图象上，则 ．（填“>”，“<”或“=”号）
12．若二次函数（）的x与y的部分对应值如下表：则当时，y的值为 ．
x 0 1 2 3
y 14 7 2
三、解答题
13．抛物线与轴交于点，，与轴交于点，求抛物线的解析式．
14．已知二次函数的图象如图所示．求该二次函数的表达式．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．

(1)求这条抛物线的解析式；
(2)当时，求出函数值的取值范围；
(3)当时，求函数值的最大值．
16．在二次函数中，与的几组对应值如表所示．
… …
… …
(1)求二次函数的表达式．
(2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象．
(3)根据图象写出一条函数性质．
参考答案
1．A
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据顶点坐标设抛物线解析式为，再代入点，求出系数，问题得解．
【详解】解：∵抛物线顶点为，
∴设解析式为，
又∵抛物线过点，
∴，
解得，
∴解抛物线析式为．
故选：A
2．D
【分析】本题考查抛物线的平移规律，掌握“左加右减”和“上加下减”的原则是解题的关键．
根据抛物线平移规律求出平移后的解析式，再代入原点求解a．
【详解】解：由题意得平移后的抛物线表达式为：。
∵所得新抛物线经过原点(0,0)，
∴ 代入得，
解得，
故选：D．
3．B
【分析】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的图象性质．由于二次函数图象经过点和，可设交点式，再代入点表达a的值，然后计算各选项中a的值并比较大小，即可作答．
【详解】解：∵图象经过和，
∴设二次函数为 ，
∵图象经过点，
∴，
∴，
当，则，
当，，
当，，
当，，
∵，
故a的值最大为，
故选：B．
4．A
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质与性质是解题的关键，由点和可知二次函数的根为和，再代入点求出系数，从而函数开口向上，故时的取值范围在根之外．
【详解】解：∵ 二次函数图象经过点和，
∴ 和是的两个根，
设二次函数为，
∵函数图象过：
∴，
∴，
∴，
∴，即：
∴，
∴或
故选A．
5．D
【分析】本题考查了二次函数的性质，解决本题的关键是求出二次函数解析式．
利用待定系数法求出二次函数解析式，再根据其性质，对称性，增减性进行判断即可．
【详解】解：将二次函数转化为，
又∵二次函数的顶点坐标为，
∴，
∵二次函数与x轴的一个交点的横坐标是，
∴
，
∴二次函数的解析式为，
∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误；
∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线，
∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是4，故选项B错误；
∵，对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误；
将代入解析式得
，
∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是8，故选项D正确，
故选D．
6．A
【分析】本题考查了二次函数图象上的点，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征．将坐标代入二次函数表达式即可求出a的值，再由二次函数图象开口向上即可得出结果．
【详解】解：把代入函数解析式，
得：
解得，
由图象得：开口向上，
，
故．
故选：A．
7．D
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据即可判断选项A；根据四个象限内均存在函数图象经过的点，即可判断选项B；根据二次函数的增减性和对称性即可判断选项C、D．
【详解】解：将点，和代入二次函数得： ，
解得，
二次函数的解析式为，
，
函数图象的开口向下，故A选项错误，不符合题意；
当时，，
当时，，
函数图象经过点， 位于第一象限，
函数图象经过点， 位于第三象限，
由表格可知，函数图象经过点， 位于第二象限，
函数图象经过点， 位于第四象限，
这个二次函数的图象经过第一、二、三、四象限，故B选项错误，不符合题意；
对称轴为直线 ， ，
当时，的值随的值增大而增大，
当时，的值随的值增大而减小，故C选项错误，不符合题意； D选项正确，符合题意．
故选：D ．
8．C
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．根据表格数据，代入二次函数解析式求出、、的值，得到函数表达式，再逐一分析各选项．
【详解】解：把，，代入解析式，
得
解得
二次函数为，
A、，抛物线开口向下，故该选项错误；
B、当时，，抛物线与轴交于正半轴，故该选项错误；
C、对称轴，，当时，随增大而减小，故该选项正确；
D、当时，，故该选项错误．
故选：C．
9．（答案不唯一）
【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的开口方向由二次项系数的符号决定，并利用待定系数法确定函数表达式．
先根据开口方向相同确定二次项系数的符号，再结合过点确定常数项，进而写出抛物线表达式．
【详解】解：抛物线的二次项系数为1，开口向上，
要满足与它开口方向相同，则所求抛物线的二次项系数也需大于0，
又因为抛物线过点，将代入抛物线一般式，可得，
不妨取，则抛物线表达式为．
故答案为：（答案不唯一）．
10．
【分析】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，二次函数的最值．
先将点代入函数解析式求出 b 的值，得到二次函数表达式，再根据开口方向和对称轴确定当的最值即可．
【详解】解：将点代入，得，即，
解得，
因此函数为．
该二次函数开口向上，对称轴为，顶点坐标为，
比较端点值：当时，；
当时，．
因此，最大值为5，
故y的取值范围是．
故答案为：．
11．>
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据表格数据，确定二次函数的解析式，进而计算点A和点B的函数值，比较大小，即可作答．
【详解】解：由表可知，当时，，代入，得；
当时，，代入，得，解得；
故二次函数为，
∵点都在该函数的图象上，
则，
∵，
∴，
故答案为：>．
12．
【分析】本题考查了求二次函数解析式．
求出二次函数解析式，将代入计算即可．
【详解】解：由表格可知，二次函数经过、、，
则，
解得：，
即，
当时，．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键，用待定系数法求函数的解析式即可．
【详解】解：将点、代入得：
，
解得：，
∴．
14．
【分析】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式．利用待定系数法求出二次函数的解析式．
【详解】解：根据图象可设二次函数的表达式为，且过点，
，
解得．
该二次函数的表达式为．
15．(1)抛物线的解析式为
(2)的取值范围是
(3)当时，的最大值为，当时，的最大值为16
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）直接把点，代入进行计算，即可作答．
（2）先根据得出对称轴为直线，抛物线开口向上，运用二次函数的图象性质进行分析，即可作答．
（3）理解题意，根据，进行分类讨论，运用二次函数的图象性质进行分析，即可作答．
【详解】（1）解：抛物线经过点，．
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：由（1）得抛物线的解析式为；
∴对称轴为直线，
又，
∴抛物线开口向上，
当时，随的增大而减少；
当时，随的增大而增大．
则当时，，
当时，，
当时，，
当时，的取值范围是
（3）解：由（1）得抛物线的解析式为；对称轴为直线，抛物线开口向上，
当时，，
令，
解得，，
当时，随的增大而减少．
当时，随的增大而增大．
①当时，在有最大值
②当时，在有最大值
综上所述，当时，的最大值为，当时，的最大值为16
16．(1)
(2)顶点坐标为，见解析
(3)时，随的增大而减小；时，随的增大而增大（答案不唯一）
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）由表格所给数据用待定系数法求函数解析式；
（2）将二次函数解析式化为顶点式求顶点坐标，描点连线画函数图像；
（3）写出二次函数的增减性（答案不唯一）．
【详解】（1）解：设二次函数解析式为，
由题意图象过，，代入得，
，
解得，
二次函数的表达式为；
（2）解：，
顶点坐标为．
作图如下：
（3）解：当时，随的增大而减小；
当时，随的增大而增大（答案不唯一）