3.4二次函数y=ax?+bx+c的图象与性质 同步训练（含解析）2025-2026学年鲁教版（五四制）数学

3.4 二次函数y=ax +bx+c的图象与性质
一、单选题
1．如果三点，和在抛物线的图象上，那么，与之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线的顶点在x轴上， 则m的值为（ ）
A．4 B．1 C． D．2
3．将抛物线向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的新抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，抛物线的部分图像，对称轴为直线，则的值（ ）
A．－3 B．－2 C．－1 D．0
5．二次函数的开口方向及最值分别为（ ）
A．向下，最大值 B．向上，最小值
C．向下，最大值0 D．向上，最小值0
6．已知二次函数，当时，，当时，则的值满足（　　）
A． B． C． D．
7．将抛物线向右平移个单位长度，在平移的过程中抛物线与y轴的交点也会随之变化，设平移后的抛物线与y轴的交点为Q，则在抛物线平移的过程中，点Q的纵坐标的最大值为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
8．在平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．关于抛物线，下列说法正确的是（　　）
A．开口向上
B．对称轴是直线
C．函数有最小值
D．可由抛物线向右平移4个单位再向下平移2个单位而得
二、填空题
10．二次函数的最小值为 ．
11．将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，得到抛物线的解析式为 ．
12．已知抛物线经过和两点，则 ．
13．已知点，，都在函数的图像上，请将，，按从大到小的顺序排列 ．
14．已知二次函数，函数值与自变量的部分对应值如表：当时，的值是 ．
．．． 0 1 2 3 ．．．
．．． 5 2 1 2 ．．．
三、解答题
15．已知二次函数
(1)求该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2)当时，直接写出x的取值范围．
16．已知函数是二次函数．
(1)求的值，并写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标；
(2)当时，求的取值范围．
17．已知二次函数．
(1)用配方法将化成的形式；
(2)当取何值时，随的增大而减小？
18．已知二次函数．
(1)将函数化为的形式；
(2)写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(3)在平面直角坐标系中画出该函数的图象．
19．已知抛物线．
．．． ．．．
．．． ．．．
(1)该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ；
(2)选取适当的数据填入表中，并在如图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；
(3)若该抛物线上两点，的横坐标满足，试比较，的大小．
参考答案
1．A
【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．
通过将二次函数化为顶点式，确定对称轴和开口方向，利用二次函数的性质比较点的纵坐标大小即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，当时，y随x的增大而增大，
∴关于对称轴的对应点为，
∵，
∴．
故选：A
2．A
【分析】本题考查了二次函数的性质．抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，通过配方法将函数化为顶点式，得到顶点坐标，令纵坐标为0，即可求解．
【详解】解：，
∴顶点坐标为，
∵顶点在x轴上，
∴，
解得m的值为4，
故选：A
3．B
【分析】本题主要考查二次函数顶点式，二次函数平移的性质，掌握二次函数顶点式的计算，二次函数图象平移的规律是关键．
先通过配方求出原抛物线的顶点坐标，再根据平移规则（右移横坐标加，上移纵坐标加）得到新顶点坐标．
【详解】解：∵ 原抛物线 配方得 ，
∴ 顶点坐标为
∵ 向右平移3个单位，横坐标加3： ，
向上平移2个单位，纵坐标加2： ，
∴ 新顶点坐标为 ，
故选：B．
4．D
【分析】本题考查二次函数的图像和性质，解题关键是掌握二次函数的性质．
根据二次函数关于对称轴对称，可以求出与轴另一个交点坐标，再将坐标代入解析式中即可求解．
【详解】解：设抛物线与轴交点的横坐标为，，
由图像得，，
对称轴为直线，
，．
抛物线经过点．
．
故选：D．
5．B
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次项系数判断开口方向，通过配方化为顶点式求最值即可．
【详解】解：∵二次函数 中 ，
∴图象开口向上．
配方得，
∴顶点坐标为 ，
∵图象开口向上，
∴函数有最小值，最小值为．
故选B．
6．C
【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点，二次函数的增减性，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
依据题意，可得抛物线的对称轴是直线，再求出抛物线坐标轴的交点，结合当时，，可得出的范围，从而求出的范围，最后可以判断的范围．
【详解】解：二次函数，
二次函数的对称轴为直线．
，
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．
当时，，
二次函数的最小值必定小于0．
当时，．
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
．
．
当时，，
当时，，
当时，．
故选：C．
7．A
【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，
依据题意，由抛物线为，即，从而向右平移个单位长度可得新抛物线为，又令，则，可得点Q的纵坐标为，最后结合二次函数的性质可以判断得解．
【详解】解：由题意，∵抛物线为，即，
∴向右平移个单位长度可得新抛物线为，
∴令，则．
∴点Q的纵坐标为．
∵，，
∴当时，点Q的纵坐标的最大值为12．
故选：A．
8．A
【分析】考查二次函数及一次函数的图像的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数、一次函数图像与系数的关系逐项判断即可．
【详解】解：一次函数和二次函数都经过轴上的，两个函数图象交于轴上的同一点，排除C；
当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除D；
当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，排除B；
故选：A．
9．B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的平移，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
根据二次函数顶点形式的性质，分析开口方向、对称轴、最值和平移规律即可．
【详解】解：∵，
∴，开口向下，故A错误；
对称轴为直线，故B正确；
顶点坐标为，开口向下，函数有最大值，无最小值，故C错误；
抛物线向右平移4个单位得，
再向下平移2个单位得，与给定抛物线不符，故D错误．
故选：B．
10．
【分析】考查二次函数的性质（顶点式求最值）．解题关键是利用二次函数顶点横坐标公式确定最值点，代入函数求最值；易错点是记错顶点横坐标公式，或代入计算时符号出错．
首先对于二次函数（时函数有最小值），先通过公式计算顶点横坐标；其次将、代入公式，得；最后把代入原函数，计算得y的值，即为函数的最小值．
【详解】二次函数的顶点横坐标为，代入函数得 ，故最小值为．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了二次函数的平移规律，根据平移规律“上加下减，左加右减”进行分析，即可作答．
【详解】解：∵将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，
∴得到平移后的抛物线的解析式为，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了二次函数的性质．根据抛物线经过两点纵坐标相同，可知这两点关于对称轴对称，先求对称轴，再根据对称轴公式求b，即可作答．
【详解】解：∵抛物线经过和两点，且这两点的纵坐标相同，
∴二次函数的对称轴为直线，
则，
解得．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查二次函数图像，熟练掌握二次函数图像是解题的关键．
通过直接计算各点的函数值，比较大小即可．
【详解】解：对于函数 ，
当 时，，
当 时，，
当 时，，
因为 ，所以 ，
故答案为：．
14．5
【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的对称性，由表中数据确定对称轴，再利用对称性求函数值，据此进行分析，即可作答．
【详解】解：由表可知，当时，此时和，
因此二次函数的对称轴为直线，
则点关于直线的对称点为，
故当时，，
故答案为：5．
15．(1)开口方向向上，对称轴为直线，顶点坐标为
(2)或
【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握图象开口，对称轴，顶点坐标的计算是关键．
（1）根据二次函数解析式中二次系数的正负性判定图象开口，将一般式化顶点式可得对称轴直线，顶点坐标；
（2）根据二次函数图象开口，与x轴交点判定即可求解．
【详解】（1）解：由，
∵，
∴开口方向向上，
由顶点式得到对称轴为直线，顶点坐标为．
（2）解：当时，，
解得，，
∵图象开口向上，与x轴的交点坐标为，
∴当时，或．
16．(1)，对称轴为直线，顶点坐标为
(2)
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键；
（1）根据二次函数的定义，得到，求出的值，进而写出函数解析式，化为顶点式求出对称轴和顶点坐标即可；
（2）根据增减性，求出时，函数的最大值和最小值即可．
【详解】（1）解：由题意，，
解得；
∴，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）∵，
∴抛物线开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越小，
∵，
∴当时，函数值最大为；
当时，函数值最小为；
∴．
17．(1)
(2)
当时，y随x的增大而减小
【分析】此题考查二次函数化为顶点式及二次函数的性质，
（1）根据配方法将二次函数化为顶点式；
（2）根据二次函数的性质确定增减性．
【详解】（1）解：
（2）∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小．
18．(1)
(2)开口向上，对称轴：，顶点坐标为
(3)图象见解析
【分析】（1）利用配方法即可化成顶点式；
（2）由（1）可直接进行解答；
（3）由（2）及五点法进行作图即可．
本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及五点法作图是解题的关键．
【详解】（1）解：；
（2）解：∵，
∴二次函数的图象开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线；
（3）解：∵二次函数的开口向上，
顶点坐标为，与轴的交点为，对称轴为直线，与轴的交点坐标为，则关于对称轴对称的点坐标为，然后在平面直角坐标系里描出这五个点，进而用圆滑的曲线连接即可，如图示：
．
19．(1)；
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查二次函数的综合知识，二次函数中对称轴的计算方法，顶点的计算方法和绘图的方法，熟知二次函数图像的性质是解题的关键．
（1）将抛物线变为顶点式即可求解顶点坐标；
（2）根据抛物线自变量的取值范围，适当选取自变量的值，计算函数值，并在平面直角坐标系中描点，连线即可；
（3）根据函数图像的性质即可求解．
【详解】（1）解：
，
∴抛物线的对称轴是，顶点坐标是，
故答案为：，；
（2）解：当时，，
当时，
或
解得，
当时，
，
综上所述，可选取，
依次描点、连线如图所示，
（3）解：∵，
∴由图可得．