3.3二次函数y=ax2的图象与性质 同步训练（含解析 ）2025-2026学年（鲁教版五四制）数学九年级上册

3.3 二次函数y=ax 的图象与性质 同步训练
一、单选题
1．下列二次函数的图象中，顶点坐标为的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列函数中，当时，y随x的增大而减小的是（）
A． B． C． D．
3．下列关于抛物线和的关系的说法中，正确的是（ ）
A．它们的形状相同，开口方向也相同；
B．它们都关于y轴对称；
C．它们的顶点不相同；
D．点既在抛物线上也在上．
4．如图，在平面直角坐标系中，该函数图象的解析式是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，四个二次函数的图像中，分别对应的是：①；②；③；④，则a，b，c，d的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．已知抛物线经过三点，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
7．若二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．关于抛物线，下列说法错误的是（ ）
A．当时，随的增大而增大
B．对称轴是直线
C．顶点坐标
D．经过点
9．已知点，在抛物线上，则下列判断错误的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交抛物线，于点，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知点在抛物线上，则的值为 ．
12．抛物线经过点，，则 ．
13．已知二次函数，请写出一个二次函数，要求它的图象与函数的图象开口大小相同、方向相反，则 ．
14．当时，二次函数的最大值为8，则 ．
15．在同一平面直角坐标系中，作、、的图像，下列结论正确的有 ．（将正确结论的序号全部写在横线上）
①都是关于轴对称；②顶点都在坐标轴上；③图像都有最低点；④都与轴有交点．
三、解答题
16．已知二次函数的图象经过点．
(1)求的值；
(2)点在该函数的图象上，求的值．
17．已知二次函数．
(1)求该抛物线的对称轴和顶点坐标；
(2)当时，请直接写出的取值范围__________．
18．在平面直角坐标系中，，，．
(1)写出A，B两点分别关于y轴的对称点，的坐标．
(2)画出以O为顶点并过A和B两点的抛物线图象．
19．如图，抛物线的顶点为，且与轴交于点．
(1)求，两点的坐标；
(2)若点为点关于对称轴对称的点，点在抛物线上且在第一象限内，且，求点的坐标．
20．已知二次函数（m是常数）的图象抛物线记为图象C．图象C经过点和点．
(1)用m表示图象C的顶点坐标________；
(2)若，则________，________，由此尝试比较大小：______；
(3)若将第（2）问中条件“”改成“”，那么结论与的大小关系还成立吗？请说明理由．
试卷第1页，共3页
参考答案
1．B
【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．
根据二次函数顶点式的顶点坐标为，即可求解．
【详解】解：A、的顶点坐标为，故本选项不符合题意；
B、的顶点坐标为，故本选项符合题意；
C、的顶点坐标为，故本选项不符合题意；
D、的顶点坐标为，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．B
【分析】本题考查一次函数和二次函数的性质，掌握知识点是解题的关键．
根据一次函数和二次函数的性质，逐项判断各函数在时的增减性即可．
【详解】解：A．是一次函数，，∴当时，随增大而增大，故此选项不符合题意；
B．是二次函数，二次项系数，抛物线开口向下，对称轴为，∴当时，随增大而减小，故此选项符合题意；
C．是二次函数，二次项系数，抛物线开口向上，对称轴为，
∴当时，随增大而增大，故此选项不符合题意；
D．是一次函数，，∴当时，随增大而增大，故此选项不符合题意．
故选：B．
3．B
【分析】此题主要考查了二次函数的性质，根据顶点式得出二次函数性质是解决本题的关键．通过比较两条抛物线的二次项系数、开口方向、顶点和对称轴，判断各说法的正误即可．
【详解】解：∵抛物线和中二次项系数的绝对值相等，
∴它们的形状相同，开口方向相反，故A错误；
它们的对称轴都是y轴，故B正确；
它们的顶点都是，故C错误；
把代入得：，
∴点在抛物线上，
把代入得：，
∴点不在抛物线上，故D错误．
故选：B．
4．D
【分析】本题考查了二次函数的性质，由图象可得，该图象的解析式经过点，再逐项分析即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：由图象可得，该图象的解析式经过点，
A、当时，，故不符合题意；
B、当时，，故不符合题意；
C、当时，，故不符合题意；
D、当时，，故符合题意；
故选：D．
5．C
【分析】本题考查了二次函数的性质：①抛物线的开口大小由决定，越大，抛物线的开口越窄，越小，抛物线的开口越宽；②抛物线的开口方向由决定，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下．根据以上抛物线性质即可分析出的大小关系．
【详解】解：抛物线、开口向上，
且抛物线的开口更窄，
，
抛物线、开口向下，
且抛物线的开口更窄，
，
．
故选C．
6．D
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质，直接计算抛物线上各点的纵坐标，比较,,的大小关系．
【详解】∵，
对于点，有；
对于点，有；
对于点，有．
∴,,，
∴．
故选：D．
7．A
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，由二次函数的解析式可知二次函数开口向下，对称轴为直线，在对称轴左侧随增大而增大，要求当时随增大而增大，故需对称轴在直线右侧或重合，即．
【详解】解： 二次函数中，
抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，随增大而增大，
当时，随的增大而增大，
．
故选：A．
8．C
【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的对称轴，顶点坐标，函数增减性，以及抛物线的开口方向的确定，是基础题，熟记二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数的性质对各选项分析判断即可 ．
【详解】解：∵抛物线，
∴顶点坐标为，对称轴为，故B选项正确，不符合题意；C选项错误，符合题意；
∵，
∴抛物线开口向下，
当时，随的增大而增大，则当时，随的增大而增大，故A选项正确，不符合题意；
令，得，
抛物线经过点，故D选项正确，不符合题意．
故选：C．
9．D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键．通过计算点和点的纵坐标表达式，比较大小关系，结合抛物线的性质进行判断即可．
【详解】解：点和在抛物线上，
，，
选项A：当时，
，
，
，选项A正确；
选项B：当时，
即，
，
，
，
，选项B正确；
选项C：当时，
，
，选项C正确；
选项D：当时，
即，
，
但选项D要求，而不一定满足（例如时但），
选项D错误；
故选：D．
10．C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，先求出点坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出的值即可．
【详解】解：∵直线分别交抛物线，于点，
∴的纵坐标均为2，
当时，解得，
∴，
∵，
∴，
把代入，得，
解得；
故选C．
11．18
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
将点的横坐标代入抛物线解析式求解．
【详解】解：将代入抛物线，
得：．
故答案为：18．
12．2
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，理解题意是解此题的关键．
将和进行求解即可．
【详解】解：∵抛物线经过点和，
∴
或，
解得（不成立，舍去）,
解得，
故答案为：2．
13．（答案不唯一）
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质，开口方向由二次项系数a的符号决定，开口大小由决定，要求开口大小相同、方向相反，故a取相反数．
【详解】解：对于二次函数，其二次项系数为2，因此图象开口向上，且开口大小由决定，
要使的图象与的图象开口大小相同，则；方向相反，则，
故，
因此．
故答案为：（答案不唯一）．
14．或
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的求值．先计算二次函数的对称轴为直线，然后分两种情况进行分类讨论求解即可．
【详解】解：的对称轴为直线，
当时，在内，
当时，取最大值8，代入解析式得：
，
，
；
当时，在内，
当时，取最大值8，代入解析式得：
，
，
．
故答案为：或．
15．②
【分析】本题考查了二次函数的性质．
通过分析每个二次函数的顶点、对称轴、开口方向及与x轴交点情况，判断各结论是否正确．
【详解】对于：顶点为 ，在 x 轴上；对称轴为 ，不是 y 轴；开口向上，有最低点；与 x 轴有交点；
对于：顶点为 ，在 y 轴上；对称轴为 y 轴，关于 y 轴对称；开口向下，有最高点，无最低点；不与 x 轴相交；
对于：顶点为 ，在坐标轴上；对称轴为 y 轴，关于 y 轴对称；开口向上，有最低点；与 x 轴有交点；
结论①：不是所有函数都关于 y 轴对称（第一个函数对称轴为 ），错误；
结论②：所有函数的顶点都在坐标轴上（第一个在 x 轴，第二个在 y 轴，第三个在原点），正确；
结论③：不是所有函数都有最低点（第二个函数有最高点），错误；
结论④：不是所有函数都与 x 轴有交点（第二个函数无交点），错误；
故答案为：②．
16．(1)4
(2)16
【分析】本题考查了求二次函数解析式，求函数的值，熟练掌握二次函数的相关知识是解答本题的关键．
（1）把点代入解析式即可求出的值；
（2）根据（1）中所求得到该二次函数的解析式，然后令，求出函数的值即为所求的值．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
，
解得：；
（2）解：由（1）可知，二次函数解析式为，
∵点在这个图象上，
．
17．(1)对称轴为直线，顶点坐标为
(2)
【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是会由二次函数的顶点式得知二次函数的性质．
（1）根据顶点式即可求解；
（2）利用开口方向和对称轴及自变量的取值即可求得y的取值范围．
【详解】（1）解：∵，
∴对称轴为直线，顶点坐标为
（2）解：∵，，
∴抛物线开口向上，
∴当时，函数最小值为，
∵
∴y的取值上界由处的函数值决定，
将代入，得，
∴当时，y的取值范围，
故答案为：．
18．(1)，
(2)见解析
【分析】本题考查坐标与图形变换-轴对称，二次函数的性质、画二次函数的图象，掌握二次函数的性质是解答的关键．
（1）根据点关于y轴对称的点的坐标特征“纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解即可；
（2）根据二次函数的对称性描点画图即可．
【详解】（1）解：∵A，B两点分别关于y轴的对称点为，，，，
∴，；
（2）解：∵抛物线以O为顶点并过A和B两点，
∴该抛物线关于y轴对称，并经过，两点，
在平面直角坐标系中描点、连线可得抛物线，如图所示：
19．(1)，
(2)
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质：
（1）根据二次函数的性质解答即可；
（2）设点的坐标为，根据抛物线的对称性可求出点的坐标，再由，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为，
∴点，
当时，，
∴点；
（2）设点的坐标为，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点为点关于对称轴对称的点，点，
∴点，
∴，
∵，
∴，
即，
解得：，
∵点在抛物线上，将代入抛物线得，
，
解得：，
∵在第一象限内，
∴，
∴点的坐标为．
20．(1)
(2)1，2，
(3)还成立，理由见解析
【分析】本题考查了的图象与性质；
（1）根据的性质求解即可；
（2）当时，可求出、，然后把点A、B的横坐标分别代入函数解析式，求出、，即可求解；
（3）根据的增减性求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴顶点坐标为，
故答案为：；
（2）解：当时，，
∴；
当时，，
∴，
∴，
故答案为：1，2，；
（3）解：还成立；
理由：在中，，
∴抛物线开口向上，在对称轴y轴的右侧，y随x的增大而增大，
∵，
∴，
∴．