3.2二次函数 同步训练（含解析）2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级上册

3.2 二次函数 同步训练
一、单选题
1．下列函数是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．当函数是二次函数时，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．若是关于的二次函数，则的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．0
4．用12米长的围栏围成一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园，设垂直于墙面的边长为x米，矩形的面积为y平方米，根据题意，可列式为（ ）
A． B． C． D．
5．二次函数的常数项是（ ）
A． B． C．2 D．1
6．如图，有一块正方形的花圃，正中间有一块圆形水池．从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为．记正方形内除水池外的面积为，圆的半径为，则关于的函数表达式是（ ）
A． B．
C． D．
7．跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为．则表格中的值为（ ）
（秒） 0 1 2 3 4 …
（米） 0 20 …
A．40 B．50 C．80 D．160
二、填空题
8．已知：是关于的二次函数，则 ．
9．二次函数中，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ．
10．两个正方形的周长之和是．若以两个正方形面积之和为因变量，其中一个正方形的边长（单位：）为自变量，则它们之间的关系式是 ．
11．2025年的“蒙超足球联赛”燃遍全网，由于本年度比赛激烈程度和网上关注度超乎想象，2026年要增加参赛球队数，进行主客场双循环比赛（每两队之间都进行两场比赛），设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为 ．
12．建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为 ．
三、解答题
13．下列函数中，哪些是二次函数？并分别指出其二次项系数、一次项系数和常数项．
(1) ；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
14．写出下列各函数的关系式，并说明是什么函数：
(1)直角边的和为20，其中一条直角边长为x，直角三角形的面积为S，写出S和x之间的函数关系式；
(2)写出圆的面积S与半径x的函数关系式；
(3)写出正方形的面积y与边长x之间的函数关系式；
(4)写出圆的周长C与半径r之间的函数关系式．
15．关于x的函数，甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”谁的说法正确？为什么？
16．关于x的函数（为常数），甲说：“此函数不一定是二次函数．”乙说：“此函数一定是二次函数．”请问谁的说法正确？为什么？
《3.2 二次函数 同步训练 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级上册》参考答案
1．C
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义形如的函数叫做二次函数，熟记二次函数的定义是解题的关键．据此即可求解．
【详解】解：A、若，则不是二次函数，故不符合题意；
B、是一次函数，不符合题意；
C、是二次函数，符合题意；
D、，未知数的最高次是3，不是二次函数，不符合题意，
故选：C．
2．B
【分析】本题考查二次函数的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据二次函数的定义，二次项系数不能为零．
【详解】解：∵ 函数 是二次函数，
∴ 二次项系数 ，
∴ ．
故选：B．
3．A
【分析】本题考查了二次函数的定义：一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数，叫做二次函数其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，（a，b，c为常数，）也叫做二次函数的一般形式．
根据二次函数的定义，最高次项必须为二次且系数不为零求解即可．
【详解】解：∵是关于的二次函数，
∴且．
解方程得或．
又∵，
∴．
∴．
故选 ：A．
4．C
【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由围栏的全长及垂直于墙面的边长，可得出平行于墙面的边长为米，再利用矩形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式，此题得解，根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式是解题的关键．
【详解】解：围栏的全长为12米，且设垂直于墙面的边长为x米，
平行于墙面的边长为米．
根据题意得：，
故选：C．
5．A
【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如（、、是常数，）的函数，叫做二次函数．其中、是变量，、、是常量，是二次项系数，是一次项系数，是常数项可得常数项是．本题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号．
【详解】∵ 对应一般形式，
∴常数项为 ．
故选 ：．
6．C
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意得，正方形的边长为，然后通过面积差即可求解，掌握二次函数的应用是解题的关键．
【详解】解：根据题意得，正方形的边长为，
∴，
故选：．
7．C
【分析】此题考查了二次函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键．
根据给定关系式，利用表中时 的条件求出常数 ，再代入计算的值．
【详解】∵ ，且当 时，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时，，
∴ ．
故选：C．
8．0
【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，函数最高次项指数必须为2且二次项系数不为零，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵是关于的二次函数，
∴且，
∴或，且，
即，
故答案为：0
9．
【分析】本题考查二次函数的定义，关键是熟练应用定义解题；
二次函数的一般形式为 （其中 ，， 是常数且），称为二次项系数，称为一次项系数，称为常数项．
【详解】解：对于二次函数 ，其一般形式中，，，
因此二次项系数为，一次项系数为，常数项为．
故答案为：，，．
10．
【分析】本题考查了函数关系式，解决本题的难点是求得另一正方形的边长，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．
根据两个正方形的周长之和为，可求出另一个正方形的边长为 ，再利用正方形面积公式得到面积之和的函数关系式．
【详解】解：设其中一个正方形的边长为，则其周长为，
由于两个正方形的周长之和为，
因此另一个正方形的周长为，
故另一个正方形的边长为，
第一个正方形的面积为，
第二个正方形的面积为，
所以两个正方形的面积之和，即．
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了列二次函数关系式；根据题意，每个队伍参加场比赛，列出函数关系式，即可求解．
【详解】解：设共有个队参加比赛，比赛总场数为，则关于的关系式为．
即．
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据题意先求出平行于墙的一边长为米，再根据长方形面积计算公式求解即可．
【详解】解：由题意得，平行于墙的一边长为米，
∴，
故答案为：．
13．(1)是二次函数，二次项系数是3，一次项系数是，常数项4
(2)不是二次函数
(3)是二次函数，二次项系数是，一次项系数是0，常数项3
(4)不是二次函数
(5)是二次函数，二次项系数是，一次项系数是0，常数项0
【分析】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的定义，二次函数的一般形式，是解题的关键．二次函数的定义：形如（a、b、c常数，）的函数，称为二次函数．
（1）化成一般形式，根据二次函数的定义判定，是二次函数，写出各项系数；
（2）根据二次函数的定义判定，不是二次函数；
（3）化成一般形式，根据二次函数的定义判定，是二次函数，写出各项系数；
（4）化成一般形式，根据二次函数的定义判定，不是二次函数；
（5）根据二次函数的定义判定，是二次函数，写出各项系数．
【详解】（1）解：，
是二次函数，
二次项系数是3，一次项系数是，常数项4．
（2）解：，
不是二次函数；
（3）解：，
是二次函数，
二次项系数是，一次项系数是0，常数项3．
（4）解：，
不是二次函数；
（5）解：，
是二次函数，
二次项系数是，一次项系数是0，常数项0．
14．(1)，S是x的二次函数；
(2)，S是x的二次函数；
(3)，y是x的二次函数；
(4)，C是r的一次函数．
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据各数量之间的关系，找出y与x之间的函数关系式是解题的关键．
（1）根据两直角边之间的关系可得出另一条直角边为，利用三角形的面积计算公式，即可找出S与x之间的函数关系式，
（2）根据圆面积的公式即可得出函数解析式，
（3）由正方形面积的计算方法可得出函数解析式，
（4）由圆的周长的计算方法可得出函数解析式，由此即可判断函数类型．
【详解】（1）解：由三角形的面积计算方法可得：，
S是x的二次函数；
（2）由圆面积的计算方法可得：，
S是x的二次函数；
（3）由正方形面积的计算方法可得：，
y是x的二次函数；
（4）由圆的周长的计算方法可得：，
C是r的一次函数．
15．乙的说法对，理由见解析
【分析】本题考查了二次函数的定义，配方法的应用，将配方得出，从而得出无论取何值，，结合二次函数的定义即可得解．
【详解】解：乙的说法对，理由如下：
，
∵，
∴，
∴无论取何值，，
∴此函数一定是二次函数，即乙的说法对．
16．乙说法正确，理由见解析．
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义即可求解，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
【详解】解：乙说法正确，理由：
由题意得：，
∴关于的函数（为常数）一定是二次函数，
所以乙的说法正确．