2.6利用三角形测高 同步训练（含解析）2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级上册
文档属性
| 名称 | 2.6利用三角形测高 同步训练（含解析）2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级上册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-04 21:00:28 | ||
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文档简介
2.6 利用三角形测高 同步训练
一、单选题
1．从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度，船离灯塔的水平距离为（ ）
A．米 B．米 C．21米 D．42米
2．如图，慢慢将电线杆竖起，如果所用力F的方向始终竖直向上，则电线杆竖起过程中所用力的大小将（ ）
A．变大 B．变小 C．不变 D．无法判断
3．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC=3m，则坡面AB的长度是（ ）
A．9m B．6m C． D．
4．如图，已知于，于，要计算，两地的距离，甲、乙、丙、丁四组同学分别测量了部分线段的长度和角的度数，得到以下四组数据：甲：，；乙：，，； 丙：和；丁：，，．其中能求得，两地距离的有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
5．下表是小亮填写的实践活动报告的部分内容：
题目 测量树顶到地面的距离
测量目标示意图
相关数据 米，，
设树顶到地面的高度米，根据以上条件，可以列出求树高的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．2022年北京冬季奥运会日益临近，国家跳台滑雪中心建设已初具规模，国家跳台滑雪中心的赛道线剖面因与中国传统吉祥饰物“如意”的形曲线契合，被形象地称为“雪如意”．“雪如意”的剖面示意图如图：跳台由顶部的顶峰平台、中部的大跳台腾空起点、赛道、底部的看台区组成．为有效进行工程施工监测，现在处设置了监测标志旗（标志旗高度忽略不计），赛道可近似视作坡度为的一段坡面，通过高程测量仪测得点、点的海拔高度差（即）是160米，从顶峰平台点俯视处的标志旗，俯角约为37°．由处释放的遥控无人机竖直上升到与平台水平位置后，遥感测得之间距离为152米，若图中各点均在同一平面，则赛道长度约为（ ）米．（参考数据：，，）
A．116.2 B．118.4 C．119.6 D．121.2
二、填空题
7．已知某建筑物在地面上的影长为36米，同时高为1.2米的测杆影长为2米，则该建筑物的高为 ．
8．河堤横断面迎水坡的坡度，若水平宽度为18米，则铅垂高度为 米．
9．在高为100米的楼顶测得地面上某十字路口的俯角为，那么楼底到这个十字路口的水平距离是 米（用含的代数式表示）.
10．如图，为测量一座大厦AB的高度，当小明在C处时测得楼顶A的仰角为60°，接着沿BC方向行走30 m至D处时测得楼顶A的仰角为30°, 则大厦AB的高度是 .
11．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为 海里．（结果保留根号）
三、解答题
12．安阳红旗渠机场于2023年11月29日正式通航，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡上的处看见飞机A的仰角为30°，若斜坡的坡比，铅垂高度米（点、、、在同一水平线上）．求飞机距离地面的高度．（结果保留根号）
13．如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得顶端A的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得顶端A的仰角为，则电子厂的高度为多少米？
（参考数据：，，）
14．法门寺文化景区地处陕西省宝鸡市的法门镇，法门寺又名“真身宝塔”，被誉为皇家寺庙，因安置释迦牟尼佛指骨舍利而成为举国仰望的佛教圣地，被誉为“护国真身宝塔”．为了测量这座宝塔的高度，某校数学应用实践小组做了如下的探索：小明站在D处，用测角仪测得宝塔顶端A的仰角为；然后，小明在点N处竖立高2.4米的标杆，接着沿走到点F，恰好看到标杆顶端M和宝塔顶端A在一条直线上．已知小明的眼睛到地面的距离米，米，米．测量示意图如图所示，已知点D、B、N、F在一条直线上，，，，，求这座宝塔的高度．（参考数据：，，）
15．在数学项目——测量净月潭女神像高度的活动中，某校九年级学生给出以下两种测量方案．从两种方案中任选其中一种，计算净月潭女神像的高度（精确到）．
活动项目 测量净月潭女神像的高度
活动方案 方案一 方案二
测量工具 测角仪、卷尺 平面镜、卷尺
方案示意图
实施过程 1．观测者站在与女神像底端位于同一水平面的点处； 2．用测角仪测量从点处观察女神像顶点的仰角； 3．测量点到地面的高度． 1．观测者站在与女神像底端位于同一水平面的点处； 2．在线段上放置一个平面镜，调整平面镜的位置，使观测者刚好从镜中看到女神像的顶点； 3．测量两点间的距离； 4．测量到地面的高度．
参考数据 ，，，，，． ．
备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直． 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直； 3．由物理学知识可得．
选择方案______，进行完整解答．
试卷第1页，共3页
参考答案
1．A
【分析】在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．
【详解】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°=42（米）.
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
2．C
【详解】试题分析：如果人用力的方向总是竖直向上，先确定动力臂和阻力臂的关系，再根据杠杆的平衡条件得出动力的大小变化情况．
若动力总是竖直向上，则△OAA’∽△OBB’，
所以为定值，即动力臂和阻力臂的比值为定值，
因为阻力（钢管重）不变，根据F×OB=G×OA可得：动力F保持不变．
故选C．
考点：杠杆平衡条件的应用
点评：本题把物理知识与数学知识结合应用，体现了学科渗透的特点，很有新意，难度不大.
3．B
【详解】试题分析：由题意，可得，解得m，所以m，故本题选B．
考点：锐角三角形函数的应用；坡比
4．C
【分析】分别根据直角三角形的性质及相似三角形的判定与性质对四组数据进行逐一分析即可．
【详解】甲：∵已知AC、∠ACB，∴AB=AC tan∠ACB，故甲组符合题意；
乙组：∵AB⊥AE于A，EF⊥AE于E，
∴AE∥EF，
∴∠A=∠E=90°，
∵∠ADB=∠EDF，
∴△DEF∽△DAB，
∴，
∴AB=，故乙组符合题意；
丙：∵∠E=90°，∴∠EDF=90°-∠DFE，
∵∠ADB=∠EDF，△ADB是直角三角形，
∴AB=AD tan∠ADB，故丙组正确；
丁组： CD，DE，∠ACB无法求得AB的长，
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解直角三角形的应用，解答此题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形或直角三角形中，利用相关知识进行解答即可.
5．B
【分析】根据∠β=45°，得出BC＝CD＝x，再根据，用它的正切列方程即可．
【详解】解：∵，
∴BC＝CD＝x，
∵AB＝30，
∴AC＝x+30，
∴tan28°＝，
∴x＝（x+30）tan28°，
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
6．C
【分析】如图，由题意得： 由 求解 再在中，可得 设 则 由勾股定理可得 从而有 再解方程可得答案．
【详解】解：如图，由题意得：
在中，
在中，
设 则
经检验：符合题意，
故选：
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握构建直角三角形，利用锐角三角函数解决实际问题是解题的关键．
7．21.6
【详解】试题分析：设该建筑物的高为x米，根据同一时刻物体的高与影长的关系即可列方程求解.
设该建筑物的高为x米，由题意得
解得
则该建筑物的高为21.6米.
考点：相似三角形的应用
点评：本题是相似三角形的基础应用题，难度一般，主要考查学生对生活常识的理解能力.
8．
【分析】根据坡度的概念计算求解即可．
【详解】解：∵迎水坡的坡度，水平宽度为18米，
∴铅垂高度为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，解题的关键在于明确坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比．
9．．
【分析】画出图形，利用锐角三角函数余切表示水平距离即可．
【详解】如图所示，
∵，，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，读懂题意准确计算是解题的关键．
10．15
【分析】分别在Rt△ACB和Rt△ABD中，利用解直角三角形用AB表示出BC、BD的长，列方程即可解答.
【详解】在Rt△ACB中，∠ACB=60°
∵tan∠ACB= 即tan60°==
∴BC=
在Rt△ABD中，∠ADB=30°
∵tan∠ADB= 即tan30°==
∴BD=
∵CD=30
∴-=30
AB=15
故答案为15
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，解题关键是在直角三角形中利用三角函数表示出所需线段的长.
11．40
【分析】根据题意画出草图，再利用三角函数就可以求解出的距离．
【详解】解：作PC⊥AB于C，在Rt△PAC中，
∵PA＝80，∠PAC＝30°，
∴PC＝40海里，
在Rt△PBC中，PC＝40，∠PBC＝∠BPC＝45°，
∴PB＝40海里，
故答案为40．
【点睛】本题主要考查三角函数的应用，通过构造直角三角形，利用三角函数来计算未知量，此类题目应当引起注意，是经常的考题模式．
12．飞机距离地面的高度为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键．过点作于点，先根据坡比的概念得到米，然后证明米，，设米，在中，根据三角函数的定义列方程，并求解即得答案．
【详解】解：过点作于点，如图，
斜坡的坡比，铅垂高度米，
，
米，
，，
四边形是矩形，
米，，
，，
是等腰直角三角形，
，
设米，则米，
米，
在中，，
，
解得，
米，
答：飞机距离地面的高度为米．
13．的高度为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．设，根据三角函数的定义，在和中， 分别求出，的值，再根据列方程，求出x的值，即可进一步求得答案．
【详解】解：由题意得：，，，，，
设，则，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得：，
，
，
图书馆的高度为．
14．这座宝塔的高度为46.8米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
过点E作于点Q，交于点P，由，可得延长经过点C，设，则，在中，解直角三角形求出，然后证明出，得到，然后代数求解即可．
【详解】解：过点E作于点Q，交于点P，由，可得延长经过点C，
则，，，．
设，则，
在中，，
，
，
．
，，
，
，即，
解得：，则．
答：这座宝塔的高度为46.8米．
15．一或二，解答见解析
【分析】本题考查三角函数测高与相似测高，选择方案一，利用三角函数测高的方法，解直角三角形即可得到答案；选择方案二，利用三角形相似的判定与性质，由相似比列方程求解即可得到答案；熟练掌握三角函数测高与相似测高的方法，数形结合是解决问题的关键．
【详解】解：选择方案一，
解答过程如下：
，
∴四边形是矩形，
，
在中，，，
，
，
答：净月潭女神像高约为；
解：选择方案二，
解答过程如下：
，
，
，
，
，
，
，解得，
答：净月潭女神像高约为．
一、单选题
1．从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度，船离灯塔的水平距离为（ ）
A．米 B．米 C．21米 D．42米
2．如图，慢慢将电线杆竖起，如果所用力F的方向始终竖直向上，则电线杆竖起过程中所用力的大小将（ ）
A．变大 B．变小 C．不变 D．无法判断
3．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），坝高BC=3m，则坡面AB的长度是（ ）
A．9m B．6m C． D．
4．如图，已知于，于，要计算，两地的距离，甲、乙、丙、丁四组同学分别测量了部分线段的长度和角的度数，得到以下四组数据：甲：，；乙：，，； 丙：和；丁：，，．其中能求得，两地距离的有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
5．下表是小亮填写的实践活动报告的部分内容：
题目 测量树顶到地面的距离
测量目标示意图
相关数据 米，，
设树顶到地面的高度米，根据以上条件，可以列出求树高的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．2022年北京冬季奥运会日益临近，国家跳台滑雪中心建设已初具规模，国家跳台滑雪中心的赛道线剖面因与中国传统吉祥饰物“如意”的形曲线契合，被形象地称为“雪如意”．“雪如意”的剖面示意图如图：跳台由顶部的顶峰平台、中部的大跳台腾空起点、赛道、底部的看台区组成．为有效进行工程施工监测，现在处设置了监测标志旗（标志旗高度忽略不计），赛道可近似视作坡度为的一段坡面，通过高程测量仪测得点、点的海拔高度差（即）是160米，从顶峰平台点俯视处的标志旗，俯角约为37°．由处释放的遥控无人机竖直上升到与平台水平位置后，遥感测得之间距离为152米，若图中各点均在同一平面，则赛道长度约为（ ）米．（参考数据：，，）
A．116.2 B．118.4 C．119.6 D．121.2
二、填空题
7．已知某建筑物在地面上的影长为36米，同时高为1.2米的测杆影长为2米，则该建筑物的高为 ．
8．河堤横断面迎水坡的坡度，若水平宽度为18米，则铅垂高度为 米．
9．在高为100米的楼顶测得地面上某十字路口的俯角为，那么楼底到这个十字路口的水平距离是 米（用含的代数式表示）.
10．如图，为测量一座大厦AB的高度，当小明在C处时测得楼顶A的仰角为60°，接着沿BC方向行走30 m至D处时测得楼顶A的仰角为30°, 则大厦AB的高度是 .
11．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，这时，海轮所在的B处与灯塔P的距离为 海里．（结果保留根号）
三、解答题
12．安阳红旗渠机场于2023年11月29日正式通航，很多市民共同见证了这一历史时刻．如图，市民甲在处看见飞机A的仰角为45°，同时另一市民乙在斜坡上的处看见飞机A的仰角为30°，若斜坡的坡比，铅垂高度米（点、、、在同一水平线上）．求飞机距离地面的高度．（结果保留根号）
13．如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得顶端A的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得顶端A的仰角为，则电子厂的高度为多少米？
（参考数据：，，）
14．法门寺文化景区地处陕西省宝鸡市的法门镇，法门寺又名“真身宝塔”，被誉为皇家寺庙，因安置释迦牟尼佛指骨舍利而成为举国仰望的佛教圣地，被誉为“护国真身宝塔”．为了测量这座宝塔的高度，某校数学应用实践小组做了如下的探索：小明站在D处，用测角仪测得宝塔顶端A的仰角为；然后，小明在点N处竖立高2.4米的标杆，接着沿走到点F，恰好看到标杆顶端M和宝塔顶端A在一条直线上．已知小明的眼睛到地面的距离米，米，米．测量示意图如图所示，已知点D、B、N、F在一条直线上，，，，，求这座宝塔的高度．（参考数据：，，）
15．在数学项目——测量净月潭女神像高度的活动中，某校九年级学生给出以下两种测量方案．从两种方案中任选其中一种，计算净月潭女神像的高度（精确到）．
活动项目 测量净月潭女神像的高度
活动方案 方案一 方案二
测量工具 测角仪、卷尺 平面镜、卷尺
方案示意图
实施过程 1．观测者站在与女神像底端位于同一水平面的点处； 2．用测角仪测量从点处观察女神像顶点的仰角； 3．测量点到地面的高度． 1．观测者站在与女神像底端位于同一水平面的点处； 2．在线段上放置一个平面镜，调整平面镜的位置，使观测者刚好从镜中看到女神像的顶点； 3．测量两点间的距离； 4．测量到地面的高度．
参考数据 ，，，，，． ．
备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直． 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直； 3．由物理学知识可得．
选择方案______，进行完整解答．
试卷第1页，共3页
参考答案
1．A
【分析】在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决．
【详解】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°=42（米）.
故选：A．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
2．C
【详解】试题分析：如果人用力的方向总是竖直向上，先确定动力臂和阻力臂的关系，再根据杠杆的平衡条件得出动力的大小变化情况．
若动力总是竖直向上，则△OAA’∽△OBB’，
所以为定值，即动力臂和阻力臂的比值为定值，
因为阻力（钢管重）不变，根据F×OB=G×OA可得：动力F保持不变．
故选C．
考点：杠杆平衡条件的应用
点评：本题把物理知识与数学知识结合应用，体现了学科渗透的特点，很有新意，难度不大.
3．B
【详解】试题分析：由题意，可得，解得m，所以m，故本题选B．
考点：锐角三角形函数的应用；坡比
4．C
【分析】分别根据直角三角形的性质及相似三角形的判定与性质对四组数据进行逐一分析即可．
【详解】甲：∵已知AC、∠ACB，∴AB=AC tan∠ACB，故甲组符合题意；
乙组：∵AB⊥AE于A，EF⊥AE于E，
∴AE∥EF，
∴∠A=∠E=90°，
∵∠ADB=∠EDF，
∴△DEF∽△DAB，
∴，
∴AB=，故乙组符合题意；
丙：∵∠E=90°，∴∠EDF=90°-∠DFE，
∵∠ADB=∠EDF，△ADB是直角三角形，
∴AB=AD tan∠ADB，故丙组正确；
丁组： CD，DE，∠ACB无法求得AB的长，
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解直角三角形的应用，解答此题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形或直角三角形中，利用相关知识进行解答即可.
5．B
【分析】根据∠β=45°，得出BC＝CD＝x，再根据，用它的正切列方程即可．
【详解】解：∵，
∴BC＝CD＝x，
∵AB＝30，
∴AC＝x+30，
∴tan28°＝，
∴x＝（x+30）tan28°，
故选：B．
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
6．C
【分析】如图，由题意得： 由 求解 再在中，可得 设 则 由勾股定理可得 从而有 再解方程可得答案．
【详解】解：如图，由题意得：
在中，
在中，
设 则
经检验：符合题意，
故选：
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握构建直角三角形，利用锐角三角函数解决实际问题是解题的关键．
7．21.6
【详解】试题分析：设该建筑物的高为x米，根据同一时刻物体的高与影长的关系即可列方程求解.
设该建筑物的高为x米，由题意得
解得
则该建筑物的高为21.6米.
考点：相似三角形的应用
点评：本题是相似三角形的基础应用题，难度一般，主要考查学生对生活常识的理解能力.
8．
【分析】根据坡度的概念计算求解即可．
【详解】解：∵迎水坡的坡度，水平宽度为18米，
∴铅垂高度为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，解题的关键在于明确坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比．
9．．
【分析】画出图形，利用锐角三角函数余切表示水平距离即可．
【详解】如图所示，
∵，，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，读懂题意准确计算是解题的关键．
10．15
【分析】分别在Rt△ACB和Rt△ABD中，利用解直角三角形用AB表示出BC、BD的长，列方程即可解答.
【详解】在Rt△ACB中，∠ACB=60°
∵tan∠ACB= 即tan60°==
∴BC=
在Rt△ABD中，∠ADB=30°
∵tan∠ADB= 即tan30°==
∴BD=
∵CD=30
∴-=30
AB=15
故答案为15
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，解题关键是在直角三角形中利用三角函数表示出所需线段的长.
11．40
【分析】根据题意画出草图，再利用三角函数就可以求解出的距离．
【详解】解：作PC⊥AB于C，在Rt△PAC中，
∵PA＝80，∠PAC＝30°，
∴PC＝40海里，
在Rt△PBC中，PC＝40，∠PBC＝∠BPC＝45°，
∴PB＝40海里，
故答案为40．
【点睛】本题主要考查三角函数的应用，通过构造直角三角形，利用三角函数来计算未知量，此类题目应当引起注意，是经常的考题模式．
12．飞机距离地面的高度为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键．过点作于点，先根据坡比的概念得到米，然后证明米，，设米，在中，根据三角函数的定义列方程，并求解即得答案．
【详解】解：过点作于点，如图，
斜坡的坡比，铅垂高度米，
，
米，
，，
四边形是矩形，
米，，
，，
是等腰直角三角形，
，
设米，则米，
米，
在中，，
，
解得，
米，
答：飞机距离地面的高度为米．
13．的高度为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．设，根据三角函数的定义，在和中， 分别求出，的值，再根据列方程，求出x的值，即可进一步求得答案．
【详解】解：由题意得：，，，，，
设，则，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得：，
，
，
图书馆的高度为．
14．这座宝塔的高度为46.8米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
过点E作于点Q，交于点P，由，可得延长经过点C，设，则，在中，解直角三角形求出，然后证明出，得到，然后代数求解即可．
【详解】解：过点E作于点Q，交于点P，由，可得延长经过点C，
则，，，．
设，则，
在中，，
，
，
．
，，
，
，即，
解得：，则．
答：这座宝塔的高度为46.8米．
15．一或二，解答见解析
【分析】本题考查三角函数测高与相似测高，选择方案一，利用三角函数测高的方法，解直角三角形即可得到答案；选择方案二，利用三角形相似的判定与性质，由相似比列方程求解即可得到答案；熟练掌握三角函数测高与相似测高的方法，数形结合是解决问题的关键．
【详解】解：选择方案一，
解答过程如下：
，
∴四边形是矩形，
，
在中，，，
，
，
答：净月潭女神像高约为；
解：选择方案二，
解答过程如下：
，
，
，
，
，
，
，解得，
答：净月潭女神像高约为．