3.7 二次函数与一元二次方程 同步训练（含解析）2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级上册

3.7 二次函数与一元二次方程 同步训练
一、单选题
1．已知抛物线（）过点，则当时，自变量的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
2．已知二次函数的图象与轴的交点的坐标为，顶点的坐标为，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图是二次函数和一次函数的图象，当时，x的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．或
4．抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知二次函数，函数值y与自变量x的部分对应值如表所示，则一元二次方程的根为（ ）
x … 0 …
y … 0 3 4 3 …
A． B．，
C．， D．，
6．二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值列表如下：
x … 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 …
y … 0.04 0.59 1.16 …
则一元二次方程的一个根的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知抛物线与x轴的一个交点坐标为，它的对称轴为直线，则一元二次方程的解为（ ）
， B．，
C．， D．，
二、填空题
8．二次函数，当时，自变量的取值范围是： ．
9．已知是关于的二次函数，当时，的取值范围是： ．
10．抛物线的部分图像如图所示，则关于的方程的解是 ．
11．如图所示，抛物线经过点，对称轴为直线，当时，x的取值范围是 ；
三、解答题
12．已知二次函数．
(1)若，且二次函数象经过点，求函数顶点坐标；
(2)若，
①求证：二次函数的图象和x轴有两个交点；
②若，点在该二次函数图象上，当时，n的最小值是，求b的值．
13．已知抛物线与x轴交于点与．
(1)求该抛物线的解析式及它的对称轴．
(2)当函数值时，请直接写出自变量的取值范围．
14．已知二次函数，y与x的部分对应值如下表：
x … 0 2 …
y … 5 …
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)求该函数图象与x轴的交点坐标；
(3)请直接写出关于x的不等式的解集．
15．已知二次函数．
(1)用配方法将其化为的形式；
(2)直接写出函数的顶点坐标、与x轴的交点坐标、与y轴的交点坐标及对称轴；
(3)在所给的平面直角坐标系中，画出函数的图象．
参考答案
1．B
【分析】此题考查二次函数的性质，根据抛物线对称轴和过点，利用对称性确定另一交点，结合开口方向判断时x的取值范围
【详解】∵抛物线的对称轴为，且过点，
∴由对称性，抛物线过点,
∵，
∴抛物线开口向下,
∴当时，x的取值范围是
故选B
2．B
【分析】本题考查二次函数图象上点的特征，熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键，由顶点坐标和交点坐标的关系，结合对称性求出另一个交点，利用交点式表示函数，通过比较系数求出的值，再代入顶点坐标求即可．
【详解】解：∵ 顶点的坐标为，且，
∴ 对称轴为直线，
∵ 函数与轴交于点，
∴ 另一个交点为 ，
设函数为，
与比较常数项，得，
∴ ，
当时，
，
∴ ．
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数图象的综合判断，利用交点求不等式的解集．
根据图象可得一次函数图象与抛物线的交点的横坐标为和，则的解集即为抛物线在直线下方时的取值范围．
【详解】解：可得一次函数图象与抛物线的交点的横坐标为和，
∴当时，x的取值范围是或，
故选：D．
4．C
【分析】本题考查了二次函数的性质，将交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键，由图象可知的根即为直线与抛物线的交点横坐标，是其中一个根，再根据抛物线的对称性可得另一根．
【详解】解：由图象可知的根即为直线与抛物线的交点横坐标，是其中一个根，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴另一个根为．
故选：C．
5．B
【分析】本题考查了二次函数的对称性及一元二次方程的根与二次函数图象的关系，解题的关键是利用二次函数的对称性确定其与x轴的另一个交点．思路是根据表格中和时y值相等得出对称轴，再结合时，利用对称性找到另一个使的x值，进而得到方程的根．
【详解】解：由表格知，当和时，，故二次函数的对称轴为．
又当时，，根据对称轴的对称性，与关于对称的点的横坐标为，此时，即方程的根为，．
故选：B．
6．C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
通过观察函数值符号变化，确定方程根所在区间；当函数值由负变正时，对应区间内必有一根．
【详解】解：∵ 当 时，；
当 时，；
∴ 在 到 之间，函数值由负变正，
故方程 的一个根在 范围内．
故选 ：C．
7．D
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标，抛物线对称性，理解抛物线是轴对称图形是解题的关键．根据抛物线是轴对称图形，利用抛物线上对称的点到对称轴的距离相等得出方程的解．
【详解】解：与x轴的一个交点坐标为，它的对称轴为直线，
个到对称轴的距离是2，
抛物线与x轴另一交点到对称轴的距离也是2，所以交点坐标是
一元二次方程的解为，
故选：．
8．
【分析】本题考查了二次函数的图象与不等式的关系，关键是找到图象与轴的交点；
先求二次函数的图象与轴的交点的横坐标，再根据开口方向确定 时 的取值范围．
【详解】解：当时， ，
，
∴ ，
∵，
∴抛物线开口向上，
∴当 时， ，
故答案为 ：．
9．
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，能够根据二次函数解析式判断出抛物线的开口方向、对称轴，并熟练运用数形结合思想是解题的关键．根据函数解析式得出抛物线的对称轴，抛物线开口向上，当时，函数有最小值，距离对称轴越远，函数值越大，由此可解．
【详解】解：∵二次函数解析式为，且，
∴抛物线开口向上，对称轴为，
∴在范围内，当时，函数有最小值，最小值为，
当时，函数有最大值，最大值为，
∴的取值范围为，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，
根据抛物线的对称轴为直线与x轴的交点为，利用抛物线的对称性即可求得．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线与x轴的交点为，
设另一个交点为
，
解得：，
故另一个交点为，
关于的方程的解是：，
故答案为; ．
11．
【分析】本题主要考查了图象法解一元二次不等式，轴对称的性质等知识点．利用轴对称的性质求出关于对称轴的对称点，然后结合图象即可得出时的取值范围．
【详解】解：∵对称轴是直线，且抛物线与轴交于点，
∴利用轴对称的性质可得，抛物线与轴的另一个交点为，
根据图象可知，当时，，
故答案为：．
12．(1)
(2)①证明见解析；②
【分析】本题考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键．
（1）将和代入中，求出解析式，即可求出函数的顶点坐标；
（2）①令得到一元二次方程，利用判别式来证明二次函数的图象和x轴有两个交点即可；
②根据和，将代入，得到关于的二次函数，求出对称轴和顶点坐标，根据二次函数的增减性进行计算求解即可．
【详解】（1）解：当时，二次函数的解析式为,
将点代入二次函数的解析式，得：，
解得，
则该二次函数的解析式为，
因此，该二次函数顶点坐标为；
（2）①证明：根据题意得，，则，
令得，，
判别式，
因此，二次函数的图象和x轴有两个交点；
②解：由于点在该二次函数图象上，
则，
由于，，
则，即，
所以，
当时，n的最小值是，
函数，开口向上，对称轴为，
所以当时，即，
当时，取最小值，
即，
整理得，
解得或（舍去），
当，即时，，取最小值，
则，
解得，不符合题意，舍去
综上所述，的值为．
13．(1)函数解析式为：，对称轴为直线
(2)或
【分析】本题考查了抛物线的交点式解析式、对称轴求解及函数值正负的取值范围分析，熟练掌握抛物线的性质是解答本题的关键．
（1）利用抛物线与轴的交点坐标，设出交点式解析式并展开，结合对称轴公式求出对应结果；
（2）根据抛物线的开口方向及与轴的交点，分析函数值大于时自变量的取值范围．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于点与，
，
解得：，
函数解析式为：，
，
对称轴为直线；
（2）解： 抛物线与轴交于点与，
当时，或．
14．(1)
(2)，
(3)
【分析】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数解析式，抛物线于坐标轴的交点，二次函数与不等式，准确计算是解题的关键．
（1）根据待定系数法计算即可；
（2）求出时x的值，即可得解；
（3）根据表格得出时x的值，再根据二次函数的性质即可得出解集
【详解】（1）解：依题意有：将，，代入，
得：，解得：，
∴二次函数的解析式为：；
（2）解：令时，则有：，
解得：，，
∴该函数图象与x轴两个交点的坐标分别是，；
（3）解：由题意得：不等式的解集是：．
15．(1)
(2)函数的顶点坐标为，与x轴的交点为，，与y轴的交点为，对称轴为直线
(3)画函数图象见解析
【分析】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的性质，二次函数图象与x轴的交点问题，熟练掌握配方法的操作，整理成顶点式形式，求出顶点坐标和对称轴更加简便．
（1）运用配方法可得；
（2）根据顶点式可得顶点坐标，分别令求出y的值，令求出x的值，即可求解；
（3）根据列表、描点、连线可得函数图象．
【详解】（1）解：
.
∴；
（2）解：由（1）可得，函数的顶点坐标为，
对于，令，则，
令，解得或3，
故与x轴的交点为，，与y轴的交点为，
由（1）可得，对称轴为直线，
即函数的顶点坐标为，与x轴的交点为，，与y轴的交点为，对称轴为直线；
（3）解：列表：
x 0 1 2 3 4
y 3 0 0 3
描点、连线如图：