3.6 二次函数的应用 同步练习（含解析） 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级上册
文档属性
| 名称 | 3.6 二次函数的应用 同步练习（含解析） 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级上册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 543.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-04 20:57:59 | ||
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文档简介
3.6 二次函数的应用 应用
一、单选题
1．某商店销售一种商品，其利润（元）与销售单价（元）的函数关系式为，则该商品的最大利润为（ ）．
A．20元 B．45元 C．50元 D．70元
2．如图，一名运动员在水平地面上训练抛实心球，若以实心球出手时的正下方地面上一点O 为原点建立平面直角坐标系，该运动员某次抛出去的实心球行进过程中的高度与水平距离之间的关系为，则该运动员这次抛出的水平距离为（ ）
A． B． C． D．
3．在中考体育训练期间，小童对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度与水平距离之间的关系式为，由此可知小童此次实心球训练的成绩为（ ）
A． B． C． D．
4．广信六中为迎接新生入学，设计一个如图1所示的抛物线型气拱门入口，图2是它的平面示意图，其中与地面平行，，抛物线最高点（点）到的距离为，，，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．如图1，在菱形中，，连接，点从点出发沿方向以的速度运动至点，点同时从点出发沿方向以的速度运动至点．设运动的时间为，的面积为．已知与之间的函数图象如图2所示，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶到水面的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为了一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2．已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，水柱所在抛物线第一象限部分的函数解析式为 雕塑的高为 ．
9．如图是抛物线拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽度4米，水面宽度减少1米时，水位上升 米．
10．跳丸是一种传统游戏，已知竖直上抛的丸铃，在不考虑空气阻力的情况下，有如下的关系式：，其中是物体上升的高度，是抛出时的速度，是重力加速度（），是抛出后的时间．如果杂技师以的初速度竖直向上抛出丸铃，经过 秒钟后它在离抛出点高的地方．
11．用一根长20米的绳子围成一个矩形，则能围成的矩形最大面积是 米．
三、解答题
12．某商店销售一种成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨1元，月销售量就减少10千克．
(1)写出月销售利润y（单位：元）与销售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式．
(2)当销售价定为多少元时会获得最大利润？
13．综合与探究
【问题情境】
乒乓球是学生十分喜爱的一项体育运动．某校乒乓球馆借助发球机进行辅助训练，发球位置在桌面中线端点A的正上方，且每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，均落在桌面中线上．
【数学建模】
在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为x米，与桌面的高度为y米，以点A为原点，桌面中线为x轴，桌面中线的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．经多次测试后，得到如下部分数据．
0 1 2 …
…
【问题解决】
（1）当乒乓球落在桌面上时，与端点A的水平距离为多少米？
【研究表明】
（2）当乒乓球落在桌面上弹起后，y与x满足
①求k与a的关系式；
②球网高度为米，球桌长为米，若球弹起后恰好有唯一的击球点，可将球沿着直线擦网经过点扣杀到点A，请直接写出a的值．
14．如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙对面有一个宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长．围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙．设养鸡场的宽为x米，面积为S平方米．
(1)求S与x的函数关系式；
(2)求当x为多少米时养鸡场的面积最大，最大面积是多少？
15．某超市以每千克36元的价格购进莲雾，计划以每千克56元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种莲雾的销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若超市想获利为w元，超市要想获得最大的利润则莲雾每千克应降价多少元？
《3.6 二次函数的应用 应用 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级上册》参考答案
1．B
【分析】此题考查了二次函数的最值，首先判断出二次项系数为负，故抛物线开口向下，存在最大值，最大值在顶点处取得，进而求解即可．
【详解】解：∵中，
∴抛物线开口向下，
∵函数的顶点横坐标为，
∴代入，得．
∴最大利润为 45 元．
故选：B．
2．B
【分析】本题考查的是二次函数的应用，正确求解方程是解题的关键．解方程，求出结果即可．
【详解】解：令，则，
解得：（舍去），，
则该运动员这次抛出的水平距离为．
故选：B．
3．D
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确进行计算是解题关键．
求出当时的值即可求解．
【详解】解：由题意可得：
令，由，
解得，（舍去），
小童此次实心球训练的成绩为9米．
故选：D．
4．C
【分析】本题考查抛物线解应用题，建立恰当坐标系得出抛物线解析式是解决问题的关键．
建立平面直角坐标系，如图所示，得到、，由待定系数法确定解析式为，将点的横坐标为代入解析式即可得到答案．
【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示：
、，
设抛物线解析式为，
将代入解析式得，
解得，
，
点的横坐标为，
当时，，
点到的距离为，
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了菱形的性质，动点问题与函数图象，三角形面积计算，表示出的面积表达式是解决本题的关键．
先根据点M和点N的运动速度和路径，分情况讨论的面积表达式，再结合函数图象即可求解a的值．
【详解】解：四边形是菱形，，
，．
如图1，当点N在上运动时，，．
过点M作于点E．
在中，，
．
．
当点N在点C时，，即．解得（负值已舍）．
．
如图2，当点N在上运动时，，．
过点N作于点H．
在中，，
．
．
当时，．
解得，（不符合题意，舍去）．
．
故选：C．
6．B
【分析】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
根据题意可得：把代入，进行计算，即可求解．
【详解】解：水面宽为，
的横坐标为，
把代入，
得：，
，
此时拱顶到水面的距离为，
故选：B．
7．A
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出x的值，即可得的长．
【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，
，
设抛物线的解析式为，
将代入，
得，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
，
故选：A．
8．
【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握相关知识是解决问题的关键．解题思路是明确求雕塑的高即求抛物线与y轴交点的纵坐标，将代入抛物线解析式计算即可．
【详解】解： 将代入抛物线解析式，
．
故答案为：．
9．
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，建立合适的平面直角坐标系．根据题意建立合适的平面直角坐标系，设出抛物线的解析式，从而可以求得水面上升了多少．
【详解】解：以拱桥的最高点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系：
设抛物线的解析式为，
由题意，点在抛物线上，代入解析式，得，解得，
∴；
当水面宽度减少1米时，此时水面宽度变为米；
∴当时，，
∴水面上升了米；
故答案为：．
10．0.2或1.8
【分析】本题考查二次函数的应用；把代入所给关系式求t的值即可．
【详解】解：由题意得：．
整理得，
解得．
∴0.2或1.8秒后，物体处在离抛出点高的地方．
故答案为：0.2或1.8．
11．25
【分析】本题考查二次函数的应用，关键是根据等量关系列出函数解析式．
设矩形的长为米，则宽为米，面积，构建二次函数，通过求顶点坐标得到最大值．
【详解】解：设矩形的长为米，则宽为米，
面积，
，
抛物线开口向下，
当时，取得最大值25．
故答案为：25．
12．(1)
(2)当销售价定为70元时会获最大利润
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意；
（1）由题意易得月销售量为，然后可列出函数关系式；
（2）根据（1）可得，然后根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：由题意得：
月销售量为，
∴；
（2）解：由题意，结合（1）
，
又∵，
∴当时，y最大，最大值为9000．
答：当销售价定为70元时会获最大利润．
13．（1）乒乓球与端点A的水平距离是；（2）①；②a的值为
【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，由实际问题建立起二次函数的模型并将二次函数的问题转化为一元二次方程求解是解题的关键．
（1）首先求出函数解析式，进而求出乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离；
（2）①将A点坐标代入即可得解；②由题可知扣杀路线在直线经过和点，所以扣杀路线在直线上，因为存在唯一扣杀点，则直线与抛物线只有一个交点，据此求解即可．
【详解】解：（1）由表格中数据，可得y是x的二次函数，可设，
将代入，可得：，
则，
当时，，
解得：舍去，
即乒乓球与端点A的水平距离是；
①由（1）可知，
将A点坐标代入得：，
整理得，
即k与a的关系式为；
②端点，
扣杀路线在直线经过和点，
由题意可得，扣杀路线在直线上，
，
，
令，
整理得，，
球弹起后恰好有唯一的击球点，
，
整理得，
解得或（舍去），
的值为
14．(1)；
(2)当米时，S有最大值，最大面积是162平方米．
【分析】本题考查了二次函数的应用．
（1）设养鸡场的宽为x米，长为米，利用长方形面积公式列式计算即可；
（2）利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设养鸡场的宽为x米，面积为S平方米，长为米，
∴；
（2）解：，
∵，
∴当米时，S有最大值，最大面积是162平方米．
15．(1)
(2)元
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）根据利润等于每千克的利润乘以数量列出函数关系，再根据函数的性质求解即可．
【详解】（1）设一次函数为
由图可知直线过，，
，
解得：，
∴；
（2）依题意得：，
，
∵，，
∴当时，函数w有最大值．
一、单选题
1．某商店销售一种商品，其利润（元）与销售单价（元）的函数关系式为，则该商品的最大利润为（ ）．
A．20元 B．45元 C．50元 D．70元
2．如图，一名运动员在水平地面上训练抛实心球，若以实心球出手时的正下方地面上一点O 为原点建立平面直角坐标系，该运动员某次抛出去的实心球行进过程中的高度与水平距离之间的关系为，则该运动员这次抛出的水平距离为（ ）
A． B． C． D．
3．在中考体育训练期间，小童对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度与水平距离之间的关系式为，由此可知小童此次实心球训练的成绩为（ ）
A． B． C． D．
4．广信六中为迎接新生入学，设计一个如图1所示的抛物线型气拱门入口，图2是它的平面示意图，其中与地面平行，，抛物线最高点（点）到的距离为，，，则点到的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．如图1，在菱形中，，连接，点从点出发沿方向以的速度运动至点，点同时从点出发沿方向以的速度运动至点．设运动的时间为，的面积为．已知与之间的函数图象如图2所示，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶到水面的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为了一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2．已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，水柱所在抛物线第一象限部分的函数解析式为 雕塑的高为 ．
9．如图是抛物线拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽度4米，水面宽度减少1米时，水位上升 米．
10．跳丸是一种传统游戏，已知竖直上抛的丸铃，在不考虑空气阻力的情况下，有如下的关系式：，其中是物体上升的高度，是抛出时的速度，是重力加速度（），是抛出后的时间．如果杂技师以的初速度竖直向上抛出丸铃，经过 秒钟后它在离抛出点高的地方．
11．用一根长20米的绳子围成一个矩形，则能围成的矩形最大面积是 米．
三、解答题
12．某商店销售一种成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨1元，月销售量就减少10千克．
(1)写出月销售利润y（单位：元）与销售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式．
(2)当销售价定为多少元时会获得最大利润？
13．综合与探究
【问题情境】
乒乓球是学生十分喜爱的一项体育运动．某校乒乓球馆借助发球机进行辅助训练，发球位置在桌面中线端点A的正上方，且每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，均落在桌面中线上．
【数学建模】
在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为x米，与桌面的高度为y米，以点A为原点，桌面中线为x轴，桌面中线的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．经多次测试后，得到如下部分数据．
0 1 2 …
…
【问题解决】
（1）当乒乓球落在桌面上时，与端点A的水平距离为多少米？
【研究表明】
（2）当乒乓球落在桌面上弹起后，y与x满足
①求k与a的关系式；
②球网高度为米，球桌长为米，若球弹起后恰好有唯一的击球点，可将球沿着直线擦网经过点扣杀到点A，请直接写出a的值．
14．如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，墙对面有一个宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长．围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙．设养鸡场的宽为x米，面积为S平方米．
(1)求S与x的函数关系式；
(2)求当x为多少米时养鸡场的面积最大，最大面积是多少？
15．某超市以每千克36元的价格购进莲雾，计划以每千克56元的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这种莲雾的销售量y（千克）与每千克降价x（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若超市想获利为w元，超市要想获得最大的利润则莲雾每千克应降价多少元？
《3.6 二次函数的应用 应用 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级上册》参考答案
1．B
【分析】此题考查了二次函数的最值，首先判断出二次项系数为负，故抛物线开口向下，存在最大值，最大值在顶点处取得，进而求解即可．
【详解】解：∵中，
∴抛物线开口向下，
∵函数的顶点横坐标为，
∴代入，得．
∴最大利润为 45 元．
故选：B．
2．B
【分析】本题考查的是二次函数的应用，正确求解方程是解题的关键．解方程，求出结果即可．
【详解】解：令，则，
解得：（舍去），，
则该运动员这次抛出的水平距离为．
故选：B．
3．D
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确进行计算是解题关键．
求出当时的值即可求解．
【详解】解：由题意可得：
令，由，
解得，（舍去），
小童此次实心球训练的成绩为9米．
故选：D．
4．C
【分析】本题考查抛物线解应用题，建立恰当坐标系得出抛物线解析式是解决问题的关键．
建立平面直角坐标系，如图所示，得到、，由待定系数法确定解析式为，将点的横坐标为代入解析式即可得到答案．
【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示：
、，
设抛物线解析式为，
将代入解析式得，
解得，
，
点的横坐标为，
当时，，
点到的距离为，
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了菱形的性质，动点问题与函数图象，三角形面积计算，表示出的面积表达式是解决本题的关键．
先根据点M和点N的运动速度和路径，分情况讨论的面积表达式，再结合函数图象即可求解a的值．
【详解】解：四边形是菱形，，
，．
如图1，当点N在上运动时，，．
过点M作于点E．
在中，，
．
．
当点N在点C时，，即．解得（负值已舍）．
．
如图2，当点N在上运动时，，．
过点N作于点H．
在中，，
．
．
当时，．
解得，（不符合题意，舍去）．
．
故选：C．
6．B
【分析】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
根据题意可得：把代入，进行计算，即可求解．
【详解】解：水面宽为，
的横坐标为，
把代入，
得：，
，
此时拱顶到水面的距离为，
故选：B．
7．A
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出x的值，即可得的长．
【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，
，
设抛物线的解析式为，
将代入，
得，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
，
故选：A．
8．
【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握相关知识是解决问题的关键．解题思路是明确求雕塑的高即求抛物线与y轴交点的纵坐标，将代入抛物线解析式计算即可．
【详解】解： 将代入抛物线解析式，
．
故答案为：．
9．
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，建立合适的平面直角坐标系．根据题意建立合适的平面直角坐标系，设出抛物线的解析式，从而可以求得水面上升了多少．
【详解】解：以拱桥的最高点为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系：
设抛物线的解析式为，
由题意，点在抛物线上，代入解析式，得，解得，
∴；
当水面宽度减少1米时，此时水面宽度变为米；
∴当时，，
∴水面上升了米；
故答案为：．
10．0.2或1.8
【分析】本题考查二次函数的应用；把代入所给关系式求t的值即可．
【详解】解：由题意得：．
整理得，
解得．
∴0.2或1.8秒后，物体处在离抛出点高的地方．
故答案为：0.2或1.8．
11．25
【分析】本题考查二次函数的应用，关键是根据等量关系列出函数解析式．
设矩形的长为米，则宽为米，面积，构建二次函数，通过求顶点坐标得到最大值．
【详解】解：设矩形的长为米，则宽为米，
面积，
，
抛物线开口向下，
当时，取得最大值25．
故答案为：25．
12．(1)
(2)当销售价定为70元时会获最大利润
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意；
（1）由题意易得月销售量为，然后可列出函数关系式；
（2）根据（1）可得，然后根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：由题意得：
月销售量为，
∴；
（2）解：由题意，结合（1）
，
又∵，
∴当时，y最大，最大值为9000．
答：当销售价定为70元时会获最大利润．
13．（1）乒乓球与端点A的水平距离是；（2）①；②a的值为
【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，由实际问题建立起二次函数的模型并将二次函数的问题转化为一元二次方程求解是解题的关键．
（1）首先求出函数解析式，进而求出乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离；
（2）①将A点坐标代入即可得解；②由题可知扣杀路线在直线经过和点，所以扣杀路线在直线上，因为存在唯一扣杀点，则直线与抛物线只有一个交点，据此求解即可．
【详解】解：（1）由表格中数据，可得y是x的二次函数，可设，
将代入，可得：，
则，
当时，，
解得：舍去，
即乒乓球与端点A的水平距离是；
①由（1）可知，
将A点坐标代入得：，
整理得，
即k与a的关系式为；
②端点，
扣杀路线在直线经过和点，
由题意可得，扣杀路线在直线上，
，
，
令，
整理得，，
球弹起后恰好有唯一的击球点，
，
整理得，
解得或（舍去），
的值为
14．(1)；
(2)当米时，S有最大值，最大面积是162平方米．
【分析】本题考查了二次函数的应用．
（1）设养鸡场的宽为x米，长为米，利用长方形面积公式列式计算即可；
（2）利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设养鸡场的宽为x米，面积为S平方米，长为米，
∴；
（2）解：，
∵，
∴当米时，S有最大值，最大面积是162平方米．
15．(1)
(2)元
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的应用，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）根据利润等于每千克的利润乘以数量列出函数关系，再根据函数的性质求解即可．
【详解】（1）设一次函数为
由图可知直线过，，
，
解得：，
∴；
（2）依题意得：，
，
∵，，
∴当时，函数w有最大值．