12.1 命题、定义、定理与证明 教学设计（表格式，2课时）2025-2026学年数学华东师大版八年级上册
文档属性
| 名称 | 12.1 命题、定义、定理与证明 教学设计（表格式，2课时）2025-2026学年数学华东师大版八年级上册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 52.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-04 21:02:14 | ||
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文档简介
12.1 命题、定义、定理与证明
1.命题
课题 1.命题 授课人
教 学 目 标 1.了解命题的概念,能说出命题的条件和结论,会判断命题的真假. 2.在探索命题的概念中,体会研究问题的方法,感受抽象数学概念的过程. 3.探索并了解命题的概念,分清命题的条件和结论,辨别命题的真假. 4.以问题的解决为中心,树立学生在探索中形成正确表达自己的观点的信心.
教学 重点 对命题结构的认识.
教学 难点 举反例说明一个命题是假命题.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体课件
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 思考:请判断下列语句的真假,你能否看出这些语句的表达形式有什么特点 (1)若直线a∥b,则直线a和直线b无公共点; (2)2+4=7; (3)若x2=1,则x=1. 回顾旧知,为讲解新知识做铺垫.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 看下列图形,说一说由这些图形你想到了什么. 图12-1-2 [学生活动] 每个学生根据图形,把所发现的图形的特点都写出来,每个图至少都要写一条,越多越好. 创设情境,激发学生兴趣,引出本节要讨论的内容.
活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 命题的概念及构成 1.[师生共同活动] 结合学生写的图形的特点及教材中的命题,归纳出命题的概念. [概念(板书)] 判断某一件事情的语句,叫做命题. 2.观察前面的命题思考:命题的结构有什么特征 引导学生归纳总结: (1)在数学中,许多命题是由条件、结论两部分组成的.条件是已知事项;结论是由已知事项推出的事项. (2)命题通常可写成“如果……,那么……”的形式. 用“如果”开始的部分就是条件,用“那么”开始的部分就是结论. 例如:命题“如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行”的条件是两条直线都与第三条直线平行,结论是这两条直线也互相平行. (3)有的命题的条件与结论不十分明显,若将它写成“如果……,那么……”的形式,则容易分清它的条件和结论. 例如:命题“对顶角相等”可写成“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等.” 【探究2】 真、假命题 判断下列语句是不是命题,是命题的指出命题的条件和结论,并判断此命题是否正确. (1)如果两条直线相交,那么它们只有一个交点; (2)两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行; (3)相等的角是对顶角; (4)任意两个直角都相等. 学生在思考、合作交流后得出:四个语句都是命题. 命题(1)的条件是两条直线相交,结论是它们只有一个交点; 命题(2)的条件是两条直线被第三条直线所截形成的同旁内角互补,结论是这两条直线平行; 命题(3)的条件是两个角相等,结论是它们是对顶角; 命题(4)的条件是两个角是直角,结论是它们相等. 要判断一个命题是真命题,可以用演绎推理加以论证;而要判断一个命题是假命题,只要举出一个例子,说明该命题不成立,即只要举出一个符合该命题条件而不符合该命题结论的例子就可以了.在数学中,这种方法称为“举反例”. 【探究3】 把命题改写成“如果……,那么……”的形式 把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式: (1)对顶角相等; (2)同角的余角相等; (3)三角形的内角和等于180°. [分析] 找出命题的条件和结论是本节课的难点,命题在叙述时要求通顺和简练,把命题中的有些词或句子省略了,在改写时注意要把省略的词或句子添加上去. (1)可作如下启发:对顶角是指两个角的关系,相等是指两个角相等.把“两个角”添补上去,写成“是对顶角的两个角相等”,这样学生不难得出这个命题的条件是“两个角是对顶角”,结论是“这两个角相等”.这个命题可以改写成“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等”. 从实例出发,了解命题的概念.判断命题的真假是数学学习的重要环节,务必让学生学会分析.
活动 二: 探究 与 应用 (2)条件是“两个角是同一个角的余角”,结论是“这两个角相等”.这个命题可以改写成“如果两个角是同一个角的余角,那么这两个角相等”. (3)条件是“三个角是一个三角形的三个内角”,结论是“这三个角的和等于180°”.这个命题可以改写成“如果三个角是一个三角形的三个内角,那么这三个角的和等于180°”.
【应用举例】 例1 下列语句是命题吗 如果是,请将它们改写成“如果……,那么……”的形式. (1)两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补; (2)等式两边都加同一个数,结果仍是等式; (3)互为相反数的两个数相加得0; (4)同旁内角互补. 例2 说出下列命题的条件和结论,再判断该命题的真假,是假命题的举出反例. (1)正方形的四条边都相等; (2)如果a>b,b>c,那么a=c; (3)互补的角是邻补角; (4)全等三角形的面积相等. 1.要求学生注意命题的两个部分:条件和结论. 2.学会举反例说明一个命题是假命题.
【拓展提升】 例3 A,B,C,D,E五位同学猜测自己的数学成绩. A说:“如果我得优,那么B也得优.” B说:“如果我得优,那么C也得优.” C说:“如果我得优,那么D也得优.” D说:“如果我得优,那么E也得优.” 大家都说自己没说错,如果A得优,那么他们之中有几个人得优 发展学生的合情推理能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标检测】 1.有下列语句:①明天可能下雨;②如果x2=y2,那么x=y;③三角形的三条中线交于三角形内一点;④对顶角相等吗 其中是真命题的有 ( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.下列命题中,是真命题的是 ( ) A.任一多边形的外角中最多有三个钝角 B.三角形的一个外角等于两个内角的和 C.两直线被第三条直线所截,同位角相等 D.连结平面上三点构成的图形是三角形 3.下列命题中,是假命题的是 ( ) A.对顶角相等 B.同位角相等 C.直角三角形的两个锐角互余 D.三角形的外角和等于360° 4.下面的句子中是命题的是 .(填序号) (1)我是扬州人;(2)你吃饭了吗 (3)对顶角相等;(4)内错角相等; (5)延长线段AB;(6)明天可能下雨;(7)若a2>b2,则a>b. 当堂检测,及时反馈学习效果,巩固命题的概念及构成.
活动 三: 课堂 总结 反思 5.把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式. (1)垂直于同一直线的两直线互相平行. ; (2)末位数是偶数的整数能被2整除. . 6.举出一个反例说明下列命题是假命题. (1)相等的角是同位角; (2)大于90°的角为钝角.
【板书设计】 命题 提纲挈领,重点突出.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 命题的构成中,要注意引导学生去发现,在把命题改写成“如果……,那么……”的形式的时候,要注意示范,指出学生表达不合理的地方. ②[讲授效果反思] 教师要帮助学生总结:本节课看似是新课,实际是对前阶段几何内容的一次重要的梳理,也是对以前所学内容的回顾,教师可抓住这个机会,在学习新内容的基础上巩固以前的重要知识,让学生在不知不觉的状态下循序渐进. ③[师生互动反思] 学生回顾本节知识时,教师要注意组织学生谈个人收获,师生要共同交流. ④[习题反思] 好题题号 错题题号 反思,更进一步提升.
2.定义、定理与证明
课题 2.定义、定理与证明 授课人
教 学 目 标 1.了解定义、定理与证明的概念,了解证明一个命题是真命题的方法. 2.在探索命题真假的过程中,体会研究问题的方法,感受证明的一般过程,体会数学证明的必要性. 3.探索并了解命题的概念,能分清命题的条件和结论. 4.以问题的解决为中心,树立学生在探索中形成正确表达自己的观点的信心.
教学 重点 对数学基本事实、定理的理解.
教学 难点 证明一个命题是真命题的一般方法.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体课件
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 请同学们判断下列命题哪些是真命题 哪些是假命题 (1)在同一平面内,如果一条直线垂直于两条平行线中的一条,那么也垂直于另一条; (2)如果两个角互补,那么它们是邻补角; (3)如果|a|=|b|,那么a=b; (4)经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行; (5)两点确定一条直线. 回顾旧知识,为讲解新知识做铺垫.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 判断命题“如果n是自然数,那么n2+n+17是质数”是真命题还是假命题. 和同学一起得出下面验证的过程: 当n=0时,n2+n+17=17,是质数; 当n=1时,n2+n+17=19,是质数; 当n=2时,n2+n+17=23,是质数; 当n=3时,n2+n+17=29,是质数; 当n=4时,n2+n+17=37,是质数; …… 做到这里,同学们似乎可以得到结论了吧 这个命题是真命题.但当n=17时,n2+n+17=323,是合数. 结合教材P62~P63的思考,得出证明的必要性. 教师提出问题:证明的依据是什么 师生共同得到定义、定理、基本事实的概念. 创设情境,激发学生的兴趣,引出本节要讨论的内容.
活动 二: 探究 与 应用 【探究】 定义、定理与证明 我们已经学过线段、角、平行线等许多名词.我们需要用不同的语句来说明这些名词各自所包含的确切意义.例如,我们用“同一平面内不相交的两条直线”来说明“平行线”所包含的意义,这样的语句叫做这些名词的定义. 想想看,你还学过哪些定义 通过七年级的学习,我们已经知道如下各命题都是正确的,即都是公认的真命题: 两点确定一条直线; 两点之间线段最短; 同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行; 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行. 数学中,有些命题可以从基本事实或其他真命题出发,用逻辑推理的方法判断它们是正确的,并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理. 定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性,而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据. 根据条件、定义及基本事实、定理等,经过演绎推理,来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明.
活动 二: 探究 与 应用 例 如图12-1-5,有下列三个条件: ①DE∥BC;②∠1=∠2;③∠B=∠C. (1)若从这三个条件中任选两个作为条件,另一个作为结论,组成一个命题,一共能组成几个命题,请你都写出来; (2)请你就其中的一个真命题给出推理过程. 图12-1-5 解:(1)一共能组成3个命题,第1个命题的条件是①②,结论是③;第2个命题的条件是①③,结论是②;第3个命题的条件是②③,结论是①. (2)选第1个命题.证明:∵DE∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠C. 又∵∠1=∠2,∴∠B=∠C. 选第2个命题.证明:∵DE∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠C. 又∵∠B=∠C,∴∠1=∠2. [归纳总结] 证明的一般步骤: (1)根据题意画出图形; (2)根据命题的条件和结论,结合图形,写出已知、求证; (3)通过分析,找出证明的方法,写出证明过程. 在证明几何命题时,需注意以下几点: (1)明确题目的条件和结论; (2)证明过程中每一步结果所用的根据必须是取得这一结果的充分理由; (3)要防止利用未学过的定理来证明学过的命题,避免循环论证. 文字叙述题的证明过程需要学生有所了解.
【应用举例】 例1 把下列定理改写成“如果……,那么……”的形式,并说出条件和结论. (1)全等三角形的对应边相等; (2)等角的余角相等. [说明] 这里主要是巩固定理也是命题,要求学生既要能把它改写成“如果……,那么……”的形式,也要能分清定理的条件和结论. 例2 求证:在同一平面内,两直线同时垂直于第三条直线,那么这两条直线平行. [说明] 老师和学生一起,写出已知、求证,然后画出图形,再用已经学过的定理进行证明. 1.要求学生注意定理也是命题,注意它的两个组成部分:条件和结论. 2.能证明一个较简单的命题是真命题.
【拓展提升】 例3 A,B,C,D四支足球队分在同一小组进行单循环足球比赛,争夺出线权.比赛规则规定:胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分,小组中积分最高的两个队(有且只有两个队)出线.小组赛结束后,如果A队没有全胜,那么A队的积分至少要几分才能保证一定出线 请说明理由. (注:单循环比赛就是小组内的每一个队都要和其他队赛一场) 结合生活中的例子,发展学生的合情推理能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标检测】 1.把下列定理改写成“如果……,那么……”的形式,并说出条件和结论. (1)有两个角等于60°的三角形是等边三角形; (2)有两个角的和是90°的三角形是直角三角形. 2.求证:邻补角的角平分线互相垂直. 当堂检测,及时反馈学习效果,巩固命题的概念及构成.
(续表)
活动 三: 课堂 总结 反思 3.在学习中,小明发现:当n=1,2,3时,n2-6n的值都是负数,于是小明猜想:当n为任意正整数时,n2-6n的值都是负数.小明的猜想正确吗 4.如图12-1-6所示,若∠1=∠2,则AB∥CD.这个命题是真命题吗 若不是,请你添加一个条件,使它成为真命题,并说明理由. 图12-1-6
【板书设计】 命题→真命题→定理(基本事实)→证明一个命题是真命题的依据 探索问题的方法 1.验证等; 2.说明验证的合理性(证明). 提纲挈领,重点突出.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 定理、定义、基本事实均是命题,都是证明一个命题是真命题的依据,可以从命题的概念得到这三个概念,并从实例出发说明证明的必要性.证明一个命题是真命题的一般步骤可以让学生有所了解,不必要求学生掌握,在书写证明过程时要言必有据. ②[讲授效果反思] 举反例说明一个命题是假命题是一个难点,教学时要帮助学困生,关注他们在这方面的不足.证明过程的书写是一个较为长期的训练过程,不期望在一节课的教学中学生就能很好地掌握. ③[师生互动反思] 学生根据定理的内容画出相应的图形会有较大的困难,师生共同完成. ④[习题反思] 好题题号 错题题号 反思,更进一步提升.
1.命题
课题 1.命题 授课人
教 学 目 标 1.了解命题的概念,能说出命题的条件和结论,会判断命题的真假. 2.在探索命题的概念中,体会研究问题的方法,感受抽象数学概念的过程. 3.探索并了解命题的概念,分清命题的条件和结论,辨别命题的真假. 4.以问题的解决为中心,树立学生在探索中形成正确表达自己的观点的信心.
教学 重点 对命题结构的认识.
教学 难点 举反例说明一个命题是假命题.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体课件
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 思考:请判断下列语句的真假,你能否看出这些语句的表达形式有什么特点 (1)若直线a∥b,则直线a和直线b无公共点; (2)2+4=7; (3)若x2=1,则x=1. 回顾旧知,为讲解新知识做铺垫.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 看下列图形,说一说由这些图形你想到了什么. 图12-1-2 [学生活动] 每个学生根据图形,把所发现的图形的特点都写出来,每个图至少都要写一条,越多越好. 创设情境,激发学生兴趣,引出本节要讨论的内容.
活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 命题的概念及构成 1.[师生共同活动] 结合学生写的图形的特点及教材中的命题,归纳出命题的概念. [概念(板书)] 判断某一件事情的语句,叫做命题. 2.观察前面的命题思考:命题的结构有什么特征 引导学生归纳总结: (1)在数学中,许多命题是由条件、结论两部分组成的.条件是已知事项;结论是由已知事项推出的事项. (2)命题通常可写成“如果……,那么……”的形式. 用“如果”开始的部分就是条件,用“那么”开始的部分就是结论. 例如:命题“如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行”的条件是两条直线都与第三条直线平行,结论是这两条直线也互相平行. (3)有的命题的条件与结论不十分明显,若将它写成“如果……,那么……”的形式,则容易分清它的条件和结论. 例如:命题“对顶角相等”可写成“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等.” 【探究2】 真、假命题 判断下列语句是不是命题,是命题的指出命题的条件和结论,并判断此命题是否正确. (1)如果两条直线相交,那么它们只有一个交点; (2)两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行; (3)相等的角是对顶角; (4)任意两个直角都相等. 学生在思考、合作交流后得出:四个语句都是命题. 命题(1)的条件是两条直线相交,结论是它们只有一个交点; 命题(2)的条件是两条直线被第三条直线所截形成的同旁内角互补,结论是这两条直线平行; 命题(3)的条件是两个角相等,结论是它们是对顶角; 命题(4)的条件是两个角是直角,结论是它们相等. 要判断一个命题是真命题,可以用演绎推理加以论证;而要判断一个命题是假命题,只要举出一个例子,说明该命题不成立,即只要举出一个符合该命题条件而不符合该命题结论的例子就可以了.在数学中,这种方法称为“举反例”. 【探究3】 把命题改写成“如果……,那么……”的形式 把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式: (1)对顶角相等; (2)同角的余角相等; (3)三角形的内角和等于180°. [分析] 找出命题的条件和结论是本节课的难点,命题在叙述时要求通顺和简练,把命题中的有些词或句子省略了,在改写时注意要把省略的词或句子添加上去. (1)可作如下启发:对顶角是指两个角的关系,相等是指两个角相等.把“两个角”添补上去,写成“是对顶角的两个角相等”,这样学生不难得出这个命题的条件是“两个角是对顶角”,结论是“这两个角相等”.这个命题可以改写成“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等”. 从实例出发,了解命题的概念.判断命题的真假是数学学习的重要环节,务必让学生学会分析.
活动 二: 探究 与 应用 (2)条件是“两个角是同一个角的余角”,结论是“这两个角相等”.这个命题可以改写成“如果两个角是同一个角的余角,那么这两个角相等”. (3)条件是“三个角是一个三角形的三个内角”,结论是“这三个角的和等于180°”.这个命题可以改写成“如果三个角是一个三角形的三个内角,那么这三个角的和等于180°”.
【应用举例】 例1 下列语句是命题吗 如果是,请将它们改写成“如果……,那么……”的形式. (1)两条直线被第三条直线所截,同旁内角互补; (2)等式两边都加同一个数,结果仍是等式; (3)互为相反数的两个数相加得0; (4)同旁内角互补. 例2 说出下列命题的条件和结论,再判断该命题的真假,是假命题的举出反例. (1)正方形的四条边都相等; (2)如果a>b,b>c,那么a=c; (3)互补的角是邻补角; (4)全等三角形的面积相等. 1.要求学生注意命题的两个部分:条件和结论. 2.学会举反例说明一个命题是假命题.
【拓展提升】 例3 A,B,C,D,E五位同学猜测自己的数学成绩. A说:“如果我得优,那么B也得优.” B说:“如果我得优,那么C也得优.” C说:“如果我得优,那么D也得优.” D说:“如果我得优,那么E也得优.” 大家都说自己没说错,如果A得优,那么他们之中有几个人得优 发展学生的合情推理能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标检测】 1.有下列语句:①明天可能下雨;②如果x2=y2,那么x=y;③三角形的三条中线交于三角形内一点;④对顶角相等吗 其中是真命题的有 ( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 2.下列命题中,是真命题的是 ( ) A.任一多边形的外角中最多有三个钝角 B.三角形的一个外角等于两个内角的和 C.两直线被第三条直线所截,同位角相等 D.连结平面上三点构成的图形是三角形 3.下列命题中,是假命题的是 ( ) A.对顶角相等 B.同位角相等 C.直角三角形的两个锐角互余 D.三角形的外角和等于360° 4.下面的句子中是命题的是 .(填序号) (1)我是扬州人;(2)你吃饭了吗 (3)对顶角相等;(4)内错角相等; (5)延长线段AB;(6)明天可能下雨;(7)若a2>b2,则a>b. 当堂检测,及时反馈学习效果,巩固命题的概念及构成.
活动 三: 课堂 总结 反思 5.把下列命题改写成“如果……,那么……”的形式. (1)垂直于同一直线的两直线互相平行. ; (2)末位数是偶数的整数能被2整除. . 6.举出一个反例说明下列命题是假命题. (1)相等的角是同位角; (2)大于90°的角为钝角.
【板书设计】 命题 提纲挈领,重点突出.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 命题的构成中,要注意引导学生去发现,在把命题改写成“如果……,那么……”的形式的时候,要注意示范,指出学生表达不合理的地方. ②[讲授效果反思] 教师要帮助学生总结:本节课看似是新课,实际是对前阶段几何内容的一次重要的梳理,也是对以前所学内容的回顾,教师可抓住这个机会,在学习新内容的基础上巩固以前的重要知识,让学生在不知不觉的状态下循序渐进. ③[师生互动反思] 学生回顾本节知识时,教师要注意组织学生谈个人收获,师生要共同交流. ④[习题反思] 好题题号 错题题号 反思,更进一步提升.
2.定义、定理与证明
课题 2.定义、定理与证明 授课人
教 学 目 标 1.了解定义、定理与证明的概念,了解证明一个命题是真命题的方法. 2.在探索命题真假的过程中,体会研究问题的方法,感受证明的一般过程,体会数学证明的必要性. 3.探索并了解命题的概念,能分清命题的条件和结论. 4.以问题的解决为中心,树立学生在探索中形成正确表达自己的观点的信心.
教学 重点 对数学基本事实、定理的理解.
教学 难点 证明一个命题是真命题的一般方法.
授课 类型 新授课 课时
教具 多媒体课件
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 请同学们判断下列命题哪些是真命题 哪些是假命题 (1)在同一平面内,如果一条直线垂直于两条平行线中的一条,那么也垂直于另一条; (2)如果两个角互补,那么它们是邻补角; (3)如果|a|=|b|,那么a=b; (4)经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行; (5)两点确定一条直线. 回顾旧知识,为讲解新知识做铺垫.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 判断命题“如果n是自然数,那么n2+n+17是质数”是真命题还是假命题. 和同学一起得出下面验证的过程: 当n=0时,n2+n+17=17,是质数; 当n=1时,n2+n+17=19,是质数; 当n=2时,n2+n+17=23,是质数; 当n=3时,n2+n+17=29,是质数; 当n=4时,n2+n+17=37,是质数; …… 做到这里,同学们似乎可以得到结论了吧 这个命题是真命题.但当n=17时,n2+n+17=323,是合数. 结合教材P62~P63的思考,得出证明的必要性. 教师提出问题:证明的依据是什么 师生共同得到定义、定理、基本事实的概念. 创设情境,激发学生的兴趣,引出本节要讨论的内容.
活动 二: 探究 与 应用 【探究】 定义、定理与证明 我们已经学过线段、角、平行线等许多名词.我们需要用不同的语句来说明这些名词各自所包含的确切意义.例如,我们用“同一平面内不相交的两条直线”来说明“平行线”所包含的意义,这样的语句叫做这些名词的定义. 想想看,你还学过哪些定义 通过七年级的学习,我们已经知道如下各命题都是正确的,即都是公认的真命题: 两点确定一条直线; 两点之间线段最短; 同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直; 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行; 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行. 数学中,有些命题可以从基本事实或其他真命题出发,用逻辑推理的方法判断它们是正确的,并且可以作为进一步判断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理. 定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性,而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据. 根据条件、定义及基本事实、定理等,经过演绎推理,来判断一个命题是否正确,这样的推理过程叫做证明.
活动 二: 探究 与 应用 例 如图12-1-5,有下列三个条件: ①DE∥BC;②∠1=∠2;③∠B=∠C. (1)若从这三个条件中任选两个作为条件,另一个作为结论,组成一个命题,一共能组成几个命题,请你都写出来; (2)请你就其中的一个真命题给出推理过程. 图12-1-5 解:(1)一共能组成3个命题,第1个命题的条件是①②,结论是③;第2个命题的条件是①③,结论是②;第3个命题的条件是②③,结论是①. (2)选第1个命题.证明:∵DE∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠C. 又∵∠1=∠2,∴∠B=∠C. 选第2个命题.证明:∵DE∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠C. 又∵∠B=∠C,∴∠1=∠2. [归纳总结] 证明的一般步骤: (1)根据题意画出图形; (2)根据命题的条件和结论,结合图形,写出已知、求证; (3)通过分析,找出证明的方法,写出证明过程. 在证明几何命题时,需注意以下几点: (1)明确题目的条件和结论; (2)证明过程中每一步结果所用的根据必须是取得这一结果的充分理由; (3)要防止利用未学过的定理来证明学过的命题,避免循环论证. 文字叙述题的证明过程需要学生有所了解.
【应用举例】 例1 把下列定理改写成“如果……,那么……”的形式,并说出条件和结论. (1)全等三角形的对应边相等; (2)等角的余角相等. [说明] 这里主要是巩固定理也是命题,要求学生既要能把它改写成“如果……,那么……”的形式,也要能分清定理的条件和结论. 例2 求证:在同一平面内,两直线同时垂直于第三条直线,那么这两条直线平行. [说明] 老师和学生一起,写出已知、求证,然后画出图形,再用已经学过的定理进行证明. 1.要求学生注意定理也是命题,注意它的两个组成部分:条件和结论. 2.能证明一个较简单的命题是真命题.
【拓展提升】 例3 A,B,C,D四支足球队分在同一小组进行单循环足球比赛,争夺出线权.比赛规则规定:胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分,小组中积分最高的两个队(有且只有两个队)出线.小组赛结束后,如果A队没有全胜,那么A队的积分至少要几分才能保证一定出线 请说明理由. (注:单循环比赛就是小组内的每一个队都要和其他队赛一场) 结合生活中的例子,发展学生的合情推理能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【达标检测】 1.把下列定理改写成“如果……,那么……”的形式,并说出条件和结论. (1)有两个角等于60°的三角形是等边三角形; (2)有两个角的和是90°的三角形是直角三角形. 2.求证:邻补角的角平分线互相垂直. 当堂检测,及时反馈学习效果,巩固命题的概念及构成.
(续表)
活动 三: 课堂 总结 反思 3.在学习中,小明发现:当n=1,2,3时,n2-6n的值都是负数,于是小明猜想:当n为任意正整数时,n2-6n的值都是负数.小明的猜想正确吗 4.如图12-1-6所示,若∠1=∠2,则AB∥CD.这个命题是真命题吗 若不是,请你添加一个条件,使它成为真命题,并说明理由. 图12-1-6
【板书设计】 命题→真命题→定理(基本事实)→证明一个命题是真命题的依据 探索问题的方法 1.验证等; 2.说明验证的合理性(证明). 提纲挈领,重点突出.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 定理、定义、基本事实均是命题,都是证明一个命题是真命题的依据,可以从命题的概念得到这三个概念,并从实例出发说明证明的必要性.证明一个命题是真命题的一般步骤可以让学生有所了解,不必要求学生掌握,在书写证明过程时要言必有据. ②[讲授效果反思] 举反例说明一个命题是假命题是一个难点,教学时要帮助学困生,关注他们在这方面的不足.证明过程的书写是一个较为长期的训练过程,不期望在一节课的教学中学生就能很好地掌握. ③[师生互动反思] 学生根据定理的内容画出相应的图形会有较大的困难,师生共同完成. ④[习题反思] 好题题号 错题题号 反思,更进一步提升.