12.2 三角形全等的判定 教学设计 （共4课时，表格式）2025-2026学年数学华东师大版八年级上册
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| 名称 | 12.2 三角形全等的判定 教学设计 （共4课时，表格式）2025-2026学年数学华东师大版八年级上册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 418.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-04 21:22:45 | ||
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文档简介
12.2 三角形全等的判定
1.全等三角形的判定条件
2.边角边
课题 1.全等三角形的判定条件 2.边角边 授课人
教 学 目 标 1.掌握“边角边”判定两个三角形全等的方法. 2.经历探究三角形全等的判定方法的过程,学会解决简单的推理问题. 3.能利用“边角边”判定两个三角形全等的方法解决问题. 4.培养严谨的推理能力,以及自主合作的精神,体会逻辑推理的思维价值.
教学 重点 掌握“边角边”判定两个三角形全等的方法.
教学 难点 掌握图形特征,寻找适合条件的两个三角形.
授课 类型 新授课 课时
教具 三角尺、圆规(多媒体课件及几何画板)
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 在第9章中,我们知道,通过轴对称、平移和旋转这些图形变换,能够完全重合的两个三角形是全等三角形,相互重合的顶点是对应顶点,相互重合的边是对应边,相互重合的角是对应角.我们还知道全等三角形的性质:全等三角形的对应边、对应角分别相等. 对于全等三角形,从它的边、角来看,我们知道:若两个三角形的三条边与三个角都分别相等,那么这两个三角形一定可以互相重合,即全等. 回忆旧知识,为探究新知识做准备.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 图12-2-12 小红为了测出池塘两端A,B之间的距离,她在地面上选择了点O,D,C,使OA=OC,OB=OD,且点A,O,C和点B,O,D都在一条直线上,小红量出DC=18米.她就知道A,B之间的距离了,你想知道为什么吗 学了今天的内容你就能解答了.(引入新课) 将教材例题进行适当变形,把教学背景从孤立的人工背景过渡到现实背景.
活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 全等三角形的判定条件 能否减少一些条件,找到更为简便的判定三角形全等的方法 对两个三角形来说,六个元素(三条边、三个角)中至少要有几个元素分别相等,这两个三角形才全等呢 (1)当满足一个元素对应相等时,△ABC与△A'B'C'全等吗 ①任意一边对应相等,试作出不全等的两个三角形. 图12-2-13
活动 二: 探究 与 应用 ②任意一角对应相等,试作出不全等的两个三角形. 图12-2-14 (2)当满足两个元素分别相等时,△ABC与△A'B'C'全等吗 ①任意两边分别相等,试作出不全等的两个三角形. 图12-2-15 ②任意两角分别相等,试作出不全等的两个三角形. 图12-2-16 ③任意一边及一角分别相等,试作出不全等的两个三角形. 图12-2-17 [归纳总结] 两个三角形只有一组或两组分别相等的元素(边或角)时,这两个三角形不一定全等. (3)当满足三个元素分别相等时,分别有几种情况呢 [设计意图] 如何找到更为简便的判定三角形全等的方法 从两个三角形只有一组对应相等的元素开始分类讨论,分类的标准便是边或角对应相等,借助作图以及举反例来判断两个三角形只有一组或两组对应相等的元素时不一定全等.培养了学生思维的严谨性和动手作图的能力. 【探究2】 边角边 如果两个三角形有两条边和一个角分别相等,你认为有哪几种情况 应该有两种情况:一种是角夹在两条边的中间,形成两边夹一角;另一情况是角不夹在两边的中间,形成两边一对角. 作图实验: 如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角,比如三角形两条边长分别为3 cm和4 cm,它们的夹角为45°,你能作出这个三角形吗 你作的三角形与其他同学作的三角形一定全等吗 换两条线段和一个角试试,你发现了什么 [分析] 通过比较、对照、讨论,发现对于已知的两条线段和一个角,以该角为夹角,所作的三角形都是全等的. 如果“两边及一角”条件中的角是其中一边的对角,比如两条边长分别为4 cm和4.5 cm,长度为4 cm的边所对的角为60°,情况会怎样呢 请作出这个三角形,把你作的三角形与其他同学作的三角形进行比较,由此你发现了什么 1.进一步学习三角形的作法,从实践中体会判定三角形全等的条件. 2.培养学生由特殊到一般的类比、归纳能力. 3.使学生认识到“边边角”不能判定两个三角形全等.使学生明确只有两边和它们的夹角对应相等才能判定两个三角形全等. 4.培养学生的识图能力,并规范其证明过程的书写格式.
活动 二: 探究 与 应用 [分析] 两边及其中一边的对角分别相等,两个三角形不一定全等. 通过上面的作图和比较,你能用自己的语言总结出两个三角形全等的判定方法吗 这个结论可以简单地记作什么 结合图形,请你把结论转化成几何语言. [归纳] 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.简写成“边角边”或“SAS”. [特别注意] 角必须是两条相等的对应边的夹角,边必须是夹相等的对应角的两条边.
【应用举例】 例1 如图12-2-18,有一池塘,要测池塘两端A,B之间的距离,可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C,连结AC并延长到点D,使CD=CA.连结BC并延长到点E,使CE=CB.连结DE,那么DE的长就是A,B之间的距离.你知道其中的道理吗 图12-2-18 [教师活动] 操作投影仪,分析:如果能够证明△ABC≌△DEC,就可以得出AB=DE.在△ABC和△DEC中,CA=CD,CB=CE,如果能得出∠1=∠2,那么△ABC和△DEC就全等了. 想一想:∠1=∠2的依据是什么 (对顶角相等) AB=DE的依据是什么 (全等三角形的对应边相等) 变式 如图12-2-19,CA=CD,∠1=∠2,BC=EC.求证:AB=DE. 图12-2-19 [分析] (1)要证AB=DE,可以证明AB与DE所在的 和 全等; (2)在证明△ABC与△DEC全等时,题目中哪些条件可以直接使用,为什么 (3)在证明△ABC与△DEC全等时,题目中哪些条件不可以直接使用,为什么 但由这个条件可以推出 = .从而可以用什么方法判定△ABC与△DEC全等 (4)写出证明过程. 1.通过动态形象的演示,使学生发现问题,并加强学生对知识的理解和感受,借此也培养了学生仔细观察的能力. 2.知识的综合与拓展,提高学生的应考能力.
【拓展提升】 例2 如图12-2-20,已知点B,C,D在同一直线上,AB⊥BD,ED⊥CD,且AB=CD,BC=DE,AC与CE是否垂直 为什么 图12-2-20 1.学生参与到教师的讲例之中,领悟“边角边”证明三角形全等的方法,学会分析推理和规范书写.
活动 二: 探究 与 应用 [拓展引申] 若将△CDE沿CB方向平移得到如图12-2-21所示的图形,且其余条件不变,则结论AC1⊥C2E成立吗 请说明理由. 图12-2-21 2.教师讲例,学生接受式学习,但要积极参与.强化学生对“边角边”基本事实的理解.
活动 三: 课堂 总结 反思 【课堂小结】 1.叙述“边角边”基本事实. 2.证明两个三角形全等的思路:首先分析条件,观察已经具备了什么条件;然后以已具备的条件为基础根据全等三角形的判定方法,来确定还需要证明哪些边或角对应相等,再设法证明这些边和角相等. 系统归纳本节知识点,提高学生归纳问题的能力.
【达标检测】 1.如图12-2-22所示,小明设计了一种测零件内径的卡钳.在卡钳的设计中,要使DC=AB,AO,BO,CO,DO应满足 ( ) A.AO=CO B.BO=DO C.AC=BD D.AO=CO且BO=DO 图12-2-22 图12-2-23 2.如图12-2-23,点A,F,E,C在同一条直线上,AF=CE,BE∥DF,BE=DF.求证:△ABE≌△CDF. 随堂练习,巩固深化,强化学生对“边角边”基本事实的理解.巩固证明三角形全等的书写格式.
【知识网络】 提纲挈领,重点突出.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 通过让学生回忆基本作图,在作图过程中体会全等的条件,在直观的操作过程中发现问题,获得新知,使学生的知识承上启下,开拓思维,发展探究新知的能力. ②[讲授效果反思] 教师讲解例题时要使学生明确:证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题,常常通过证明这两个三角形全等来解决. ③[师生互动反思] 本节课的教学形式:学生操作感知,师生互动交流,形成共识. ④[习题反思] 好题题号 错题题号 反思,更进一步提升.
3.角边角
课题 3.角边角 授课人
教 学 目 标 1.理解“角边角”“角角边”条件的内容;能利用“角边角”“角角边”判定两个三角形全等;能利用两个三角形全等来证明两条线段相等和两个角相等. 2.使学生经历探究三角形全等的条件的过程;体验用操作、归纳得出数学结论的过程. 3.会用“角边角”“角角边”解决具体问题;能利用全等解决线段相等和角相等的问题. 4.培养严谨的推理能力,感悟三角形全等的应用价值.
教学 重点 应用“角边角”“角角边”判定三角形全等.
教学 难点 把握综合分析法的思想,寻找问题的切入点.
授课 类型 新授课 课时
教具 三角尺、圆规(多媒体课件及几何画板)
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.小明做了一个如图12-2-32所示的风筝,其中∠EDH=∠FDH,ED=FD,将上述条件标注在图中,小明不用测量就能知道EH=FH,为什么 与同伴交流. 图12-2-32 [答案:根据“SAS”可以得到△EDH≌△FDH,从而EH=FH] 1.通过情境思考,复习前面学过的知识,学会正确选择判定三角形全等的方法.
(续表)
回顾 2.如果两边及其中一边的对角分别相等,两个三角形一定会全等吗 试举例说明. [教师活动] 操作投影仪,提出问题,组织学生思考和提问. 2.用问题牵引,辨析、巩固已学知识,在师生互动交流过程中,激发学生的求知欲.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 有一块三角形玻璃打碎成如图12-2-33所示的碎片,现在要去玻璃店配一块和这块完全一样的三角形玻璃,是否需要把残片都带去 请同学们讨论一下.思考后请同学们回答. 师问:哪个方案正确呢 带哪块残片最合适呢 这正是我们这节课要研究的内容,通过这节课的学习,同学们就会很容易地解决上述提出的问题. 图12-2-33 1.创造性的问题设计使学生快速集中精力,调整听课状态. 2.知识的呈现过程与学生已有的生活密切联系起来,学有所用,激发学生的学习兴趣.
活动 二: 探究 与 应用 【探究】 “角边角”和“角角边” [动手动脑] (投影显示) 问题探究:先任意作一个△ABC,再作出一个△A'B'C',使A'B'=AB,∠A'=∠A,∠B'=∠B(即使两角和它们的夹边分别相等),把作出的△A'B'C'剪下,放到△ABC上,它们能重合吗 [学生活动] 动手操作,感知问题的规律,作图方法如下: 如图12-2-34. 1.作A'B'=AB; 2.在A'B'的同旁作∠DA'B'=∠A,∠EB'A'=∠B,A'D与B'E相交于点C'. 图12-2-34 探究规律:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.简写成“角边角”或“ASA”. [知识铺垫] 上图中∠A'=∠A,∠EB'A'=∠B,那么∠C=∠A'C'B'吗 为什么 [学生回答] 根据三角形的内角和定理,得∠A'C'B'=180°-∠A'-∠EB'A',∠C=180°-∠A-∠B. ∵∠A=∠A',∠B=∠EB'A',∴∠C=∠A'C'B'. [教师提问] 如图12-2-35,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF,△ABC与△DEF全等吗 图12-2-35 [学生活动] 运用三角形内角和定理,以及“ASA”很快证出△ABC≌△DEF,并且归纳如下:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”. [教师提问] 三个角分别相等的两个三角形全等吗 1.复习用尺规作一个角等于已知角的方法及加深对“角边角”定理的理解. 2.让学生在合作学习中共同解决问题,使学生主动探究三角形全等的条件,培养学生分析问题、探究问题的能力.培养学生的合作意识和竞争意识,体会合作交流的重要性.
活动 二: 探究 与 应用 [学生活动] 与同伴交流,得到三个角分别相等的两个三角形不一定全等,如图12-2-36,这块三角尺的内外边形成的△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',但是它们不全等.(形状相同,大小不等). 图12-2-36 注意事项:有了前几次探究三角形全等的经验,学生会比较顺利地画图验证,互相之间进行比较,得出结论,但是在表达判定方法时,部分学生会有困难,教师要着重锤炼学生准确、严谨、简练的数学语言.
【应用举例】 例1 如图12-2-37,已知∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC. 求证:△ABC≌△DCB,AB=DC. 图12-2-37 图12-2-38 例2 如图12-2-38,在△ABC中,D是边BC的中点,过点C作直线CE,使CE∥AB,交AD的延长线于点E.求证:AD=ED. 例3 证明:全等三角形对应边上的高相等. 已知:如图12-2-39,△ABC≌△A'B'C',AD,A'D'分别是△ABC的边BC和△A'B'C'的边B'C'上的高. 求证:AD=A'D'. 图12-2-39 由此例可得到全等三角形对应边上的高相等,依此类推,还可以证明全等三角形对应边上的中线、对应角的平分线相等,这些结论在今后的学习中可以直接作为全等三角形的性质来应用. 1.提升学生的逻辑推理能力、独立思考能力,会用“ASA”(或“AAS”)判定三角形全等,并能规范地书写证明过程. 2.提升学生的符号感,体会数学知识的严谨性.
【拓展提升】 例4 如图12-2-40,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E,AD=2.5 cm,DE=1.7 cm.求BE的长. 图12-2-40 [分析] (1)图中与∠ACE互余的角有哪些 为什么 这些角有什么关系 (2)图中△ACD与△CBE全等吗 为什么 (3)线段AD,DE,BE之间有什么数量关系 为什么 (4)根据AD=2.5 cm,DE=1.7 cm,求BE的长. 巩固本节课所学知识,提升学生综合应用所学知识解决问题的能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【课堂小结】 1.证明两个三角形全等有几种方法 如何正确选择和应用这些方法 填表: 已知条件两角相等两边相等一边、一角相等目标条件判定方法
归纳本节内容及目前证明三角形全等的方法.系统地把握本节知识,提高归纳总结的能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 2.全等三角形的性质可以用来证明哪些问题 举例说明. 3.你在本节课的探究过程中,有什么感想
【达标检测】 1.在△ABC和△DEF中,已知AB=DE,∠A=∠D,补充下列条件,能判定△ABC≌△DEF的是 ( ) ①AC=DF;②BC=EF;③∠B=∠E;④∠C=∠F. A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④ 2.如图12-2-41,∠1=∠2,∠3=∠4,请你根据图形和已知条件,在不添加任何辅助线的情况下,自己编一道题目,并给予证明. 图12-2-41 图12-2-42 3.如图12-2-42,要测量河两岸相对的两点A,B的距离,可以在AB的垂线BF上取两点C,D,使BC=CD,再定出BF的垂线DE,使A,C,E三点在一条直线上,这时测得DE的长就是AB的长,为什么 当堂检测,及时反馈学习效果.通过教师在屏幕上展示学生的编题及证题过程,培养学生分析问题、解决问题的能力.
【知识网络】 提纲挈领,重点突出.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 新课导入要注意培养学生合情合理的逻辑推理能力和语言表达能力以及规范书写证明过程的能力. ②[讲授效果反思] 教学中应使学生正确地理解全等三角形的判定方法,并能用它来解决实际问题.教师应注意及时了解学生的掌握情况. ③[师生互动反思] 本节课通过情境引入问题,让学生亲身体验、动手操作来探究三角形全等的条件.整个探究过程,不仅是教师引导学生的过程,同时也是教师从学生的角度考虑问题的过程,应顾及全面、充分准备好自己的心理提升. ④[习题反思] 好题题号 错题题号 反思,更进一步提升.
4.边边边
课题 4.边边边 授课人
教 学 目 标 1.经历探索三角形全等的条件的过程. 2.初步掌握运用SSS判定两个三角形全等. 3.使学生经历探索三角形全等的条件的过程,体验用操作、归纳得出数学结论的过程. 4.使学生了解通过观察和实验可以获得许多数学知识,并学会把这些数学知识应用于他们的日常生活中. 5.通过探究三角形全等的条件的活动,培养学生合作交流的意识和大胆猜想的良好思维品质,以及发现问题的能力.
教学 重点 通过观察和实验获得证明两个三角形全等的条件SSS,并会运用SSS证明两个三角形全等.
教学 难点 会运用SSS证明两个三角形全等.
授课 类型 新授课 课时
教具 直尺、圆规、三角尺、剪刀、硬纸片(多媒体课件)
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 通过前面的学习,我们知道完全重合的两个三角形全等. 已知△ABC≌△DEF,你能得到哪些性质 (全等三角形的对应边相等、对应角相等) 你学习过的全等三角形的判定方法有哪些 回忆旧知识,为探究新知识做准备.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 满足什么条件的两个三角形全等 问题1:判定两个三角形全等至少需要几个条件 AAA可以吗 SSS呢 问题2:下面我们来观察一下三角形的平移过程,在观察中请体会如果两个三角形的三边分别相等,这两个三角形是否全等. 我们看到平移前后三角形的三条边的长度没有改变,反过来,如果两个三角形的三边分别相等,我们将其叠合,会发现这两个三角形完全重合. 提出问题,明确探究方向,激发探究欲望.
活动 二: 探究 与 应用 【探究】 边边边 问题:如何验证你的结论呢 (请每两个同学合作,先任意作一个三角形,然后再作一个三角形,使其与前面三角形的三边分别相等,并将所作的三角形裁剪下来与前面三角形重叠,看看有什么结果) 提醒学生注意:已知三边作三角形是一种重要的作图,在几何中用途很多,所以这种作图方法一定要掌握. [学生活动] 作一个△A'B'C',使A'B'=AB,A'C'=AC,B'C'=BC.用直尺和圆规按上面的要求作图,并验证. 图12-2-48 如图12-2-48. 1.作线段B'C',使B'C'=BC. 2.分别以点B',C'为圆心,线段AB,AC的长为半径作弧,两弧相交于点A'. 3.连结线段A'B',A'C'. [教师活动] 教师巡视、指导,引入课题:“上述生活实例和尺规作图的结果反映了什么规律 ” [学生活动] 在思考、实践的基础上可以归纳出下面判定两个三角形全等的方法: 三边分别相等的两个三角形全等.简写成“边边边”或“SSS”. 1.通过观察和实验,培养学生合作交流的意识. 2.教师明确已知三边画三角形的方法,明确判定三角形全等需要三个条件.学生作图并比较得出结论:三边分别相等的两个三角形全等.
【应用举例】 例1 如图12-2-49所示,在四边形ABCD中,AD=CB,AB=CD. 求证:∠B=∠D. 图12-2-49 例2 如图12-2-50所示,△ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连结点A与BC中点D的支架.求证:△ABD≌△ACD. 图12-2-50 [师生活动] 教师引导学生分析:要证明△ABD≌△ACD,可看这两个三角形的三条边是否分别相等.书写时注意对应顶点要写在同一个位置上,哪个三角形先写,哪个三角形的边就先写. 变式 已知:在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线.求证:AD⊥BC. [解析] 要证AD⊥BC,只需证∠ADB=∠ADC.显然只要证明△ADB与△ADC全等即可. 1.范例点击,应用所学. 2.教师充分利用例1使学生明确:证明是由条件(已知)出发,经过一步步的推理,最后推出结论(求证)的过程.
【拓展提升】 例3 在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,你能把四边形ABCD分成一对全等的三角形吗 你有几种方法 你能证明你的方法吗 学生根据证明三角形全等的条件“边边边”独立解题,教师巡视,适时指导,之后集体订正,学生互相释疑. 知识的综合与拓展,提高学生的应考能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【课堂小结】 1.全等三角形的性质有哪些 2.正确地判断出全等三角形的对应边、对应角,是利用全等三角形处理问题的基础,你是怎样判断对应边、对应角的呢 3.“边边边”判定方法告诉了我们什么呢 (答:只要一个三角形三边的长度确定了,这个三角形的形状、大小就完全确定了,这就是三角形的稳定性) 培养学生良好的学习习惯,巩固所学的知识,形成一定的数学能力.
【达标检测】 1.如图12-2-51,AB=DE,AC=DF,BF=EC,△ABC和△DEF全等吗 请说明理由. 图12-2-51 图12-2-52 2.如图12-2-52,AB=AD,DC=BC,∠B与∠D相等吗 为什么 当堂检测,巩固深化,及时反馈学习效果.
【板书设计】 提纲挈领,重点突出.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 通过学生全过程的画图、观察、比较、交流等,逐步探索出判定三角形全等的条件——边边边,在这个过程中,学生不仅得到了判定两个三角形全等的条件,同时也增强了学生的数学体验. ②[讲授效果反思] 证明中的每一步推理都要有根据,不能“想当然”,这些根据,可以是已知条件,也可以是定义、基本事实、已学过的重要结论等. ③[师生互动反思] 教师在例题教学时要注意:让学生先独立思考,再合作交流,更要注意师生互动. ④[习题反思] 好题题号 错题题号 反思,更进一步提升.
5.斜边直角边
课题 5.斜边直角边 授课人
教 学 目 标 1.在操作、比较中理解判定直角三角形全等的过程,并能用于解决实际问题. 2.经历探索直角三角形全等的判定条件的过程,掌握数学方法,提高合情推理的能力. 3.利用“斜边直角边”判定直角三角形全等的方法来解决简单的问题. 4.培养几何推理意识,激发学生的求知欲,感悟几何思维的内涵.
教学 重点 理解利用“斜边直角边”来判定直角三角形全等的方法.
教学 难点 培养有条理的思考能力,正确使用“综合法”表达.
授课 类型 新授课 课时
教具 三角尺、直尺、圆规(多媒体课件及几何画板)
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 图12-2-68是两个直角三角形,除了直角相等的条件,还要满足几个条件,这两个直角三角形才能全等 图12-2-68 [教师活动] 操作投影仪,提出问题,组织学生讨论. [学生活动] 小组讨论,发表意见“由三角形全等的条件可知,对于两个直角三角形,满足一边一锐角分别相等,或两直角边分别相等,这两个直角三角形就全等了”. 回顾所学的判定一般三角形全等的方法,使学生系统地把握前面所学的知识,并为后续问题的探究做铺垫.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 如图12-2-69所示,舞台背景的形状是两个直角三角形,工作人员想知道这两个直角三角形是否全等,但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量. (1)你能帮他想个办法吗 (2)如果他只带了一个卷尺,能完成这个任务吗 图12-2-69 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边的长度,发现它们分别相等,于是他就肯定地说:“两个直角三角形是全等的.”你相信他的说法吗 从学生已有的知识出发,利用多媒体,激发学生强烈的好奇心和求知欲,使其体验把实际问题转化为数学问题的建模过程.
活动 二: 探究 与 应用 【探究】 斜边直角边 接上面的【课堂引入】,学生可以测量斜边和一个锐角,或一条直角边和一个锐角,但对于工作人员的方法正确与否学生难以回答.此时,教师可以引导学生对工作人员提出的办法及结论进行思考,并验证他的方法,从而展开对判定直角三角形全等的特殊条件的探索. [教师活动] 操作投影仪,提出问题,引导学生思考、验证. [学生活动] 思考问题,探究原理. 任意作一个Rt△ABC,使∠C=90°,再作一个Rt△A'B'C',使∠A'C'B'=90°,B'C'=BC,A'B'=AB,把作好的Rt△A'B'C'剪下,放到Rt△ABC上,它们能够重合吗 [学生活动] 作图分析. 图12-2-70 如图12-2-70. 1.作线段B'C',使B'C'=BC; 2.作∠B'C'M=90°; 3.以点B'为圆心,AB的长为半径作圆弧,交射线C'M于点A'; 4.连结A'B'. [总结规律] 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边直角边”或“HL”. 1.巩固用尺规作三角形的方法. 2.培养学生的归纳、概括能力.
【应用举例】 例1 如图12-2-71,已知AC=BD,∠C=∠D=90°.求证:BC=AD. 图12-2-71 [思路点拨] 欲证BC=AD,首先应寻找和这两条线段有关的三角形,这里有△ABD和△BAC,△ADO和△BCO(O为DB,AC的交点),经过分析,△ABD和△BAC具备全等的条件. [教师活动] 引导学生共同参与分析例题. [学生活动] 参与教师分析,提出自己的见解. [媒体使用] 投影显示例题. 变式 如图12-2-72,已知∠C=∠D=90°,要使△ABC≌△BAD,还需增加一个什么条件 把增加的条件填在横线上,并在后面相应括号内填上判定△ABC和△BAD全等的理由: 图12-2-72 ① ( ); ② ( ); ③ ( ); ④ ( ). 在证明两个直角三角形全等时,要防止学生使用“SSA”来证明.
(续表)
活动 二: 探究 与 应用 【拓展提升】 例2 探究问题: (1)两个直角三角形的两条直角边分别相等,这两个直角三角形全等,根据 ; (2)两个直角三角形的斜边和一个锐角分别相等,这两个直角三角形全等,根据 ; (3)两个直角三角形的一个锐角和一条直角边分别相等,这两个直角三角形全等,根据 ; (4)判定两个直角三角形全等的特殊条件是 和 分别相等. 问题:谈谈你对“两条边分别相等的两个直角三角形全等”这句话的理解. 使学生准确把握直角三角形全等的所有判定方法.
活动 三: 课堂 总结 反思 【课堂小结】 这节课你有什么收获呢 与你的同伴进行交流,通过今天的学习和对前面三角形全等条件的探究,可知判定三角形全等有五种方法.(教师让学生讨论归纳) 课堂总结,发展潜能,提高学生的归纳能力及语言表达能力.
【达标检测】 1.满足下列条件的三角形不一定全等的是 ( ) A.有两个角及其夹边分别相等的两个三角形 B.有两条边和一个角分别相等的两个三角形 C.斜边和一个锐角分别相等的两个直角三角形 D.三条边分别相等的两个三角形 2.已知:如图12-2-73,AB=CD,点E,F在AC上, ∠AFB=∠CED=90°,AE=CF. 图12-2-73 (1)△ABF与△CDE全等吗 为什么 (2)AB与CD除相等外还有什么关系吗 如果有,请说明理由. 3.如图12-2-74,点E,A,D,B在同一条直线上,CA⊥EB于点A,FD⊥EB于点D,CA=FD,CE=FB.求证:∠FEB=∠CBE. 图12-2-74 当堂检测,及时反馈学习效果.
【知识网络】 提纲挈领,重点突出.
活动 三: 课堂 总结 反思 【教学反思】 ①[授课流程反思] 本节课通过动手操作、合作交流共同发现问题,培养学生直观发现问题的能力,使学生在反思中发现新知识,体会解决问题的方法. ②[讲授效果反思] 例题讲解中教师应注意给学生讲清楚应用“斜边直角边”证明问题时的格式. ③[师生互动反思] 当涉及问题的推理比较复杂时,可以通过全班讨论,师生共同解决问题,但不需要每个学生独立说明理由,只要求学生能看懂其他同学的思考过程即可. ④[习题反思] 好题题号 错题题号 反思,更进一步提升.
1.全等三角形的判定条件
2.边角边
课题 1.全等三角形的判定条件 2.边角边 授课人
教 学 目 标 1.掌握“边角边”判定两个三角形全等的方法. 2.经历探究三角形全等的判定方法的过程,学会解决简单的推理问题. 3.能利用“边角边”判定两个三角形全等的方法解决问题. 4.培养严谨的推理能力,以及自主合作的精神,体会逻辑推理的思维价值.
教学 重点 掌握“边角边”判定两个三角形全等的方法.
教学 难点 掌握图形特征,寻找适合条件的两个三角形.
授课 类型 新授课 课时
教具 三角尺、圆规(多媒体课件及几何画板)
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 在第9章中,我们知道,通过轴对称、平移和旋转这些图形变换,能够完全重合的两个三角形是全等三角形,相互重合的顶点是对应顶点,相互重合的边是对应边,相互重合的角是对应角.我们还知道全等三角形的性质:全等三角形的对应边、对应角分别相等. 对于全等三角形,从它的边、角来看,我们知道:若两个三角形的三条边与三个角都分别相等,那么这两个三角形一定可以互相重合,即全等. 回忆旧知识,为探究新知识做准备.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 图12-2-12 小红为了测出池塘两端A,B之间的距离,她在地面上选择了点O,D,C,使OA=OC,OB=OD,且点A,O,C和点B,O,D都在一条直线上,小红量出DC=18米.她就知道A,B之间的距离了,你想知道为什么吗 学了今天的内容你就能解答了.(引入新课) 将教材例题进行适当变形,把教学背景从孤立的人工背景过渡到现实背景.
活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 全等三角形的判定条件 能否减少一些条件,找到更为简便的判定三角形全等的方法 对两个三角形来说,六个元素(三条边、三个角)中至少要有几个元素分别相等,这两个三角形才全等呢 (1)当满足一个元素对应相等时,△ABC与△A'B'C'全等吗 ①任意一边对应相等,试作出不全等的两个三角形. 图12-2-13
活动 二: 探究 与 应用 ②任意一角对应相等,试作出不全等的两个三角形. 图12-2-14 (2)当满足两个元素分别相等时,△ABC与△A'B'C'全等吗 ①任意两边分别相等,试作出不全等的两个三角形. 图12-2-15 ②任意两角分别相等,试作出不全等的两个三角形. 图12-2-16 ③任意一边及一角分别相等,试作出不全等的两个三角形. 图12-2-17 [归纳总结] 两个三角形只有一组或两组分别相等的元素(边或角)时,这两个三角形不一定全等. (3)当满足三个元素分别相等时,分别有几种情况呢 [设计意图] 如何找到更为简便的判定三角形全等的方法 从两个三角形只有一组对应相等的元素开始分类讨论,分类的标准便是边或角对应相等,借助作图以及举反例来判断两个三角形只有一组或两组对应相等的元素时不一定全等.培养了学生思维的严谨性和动手作图的能力. 【探究2】 边角边 如果两个三角形有两条边和一个角分别相等,你认为有哪几种情况 应该有两种情况:一种是角夹在两条边的中间,形成两边夹一角;另一情况是角不夹在两边的中间,形成两边一对角. 作图实验: 如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角,比如三角形两条边长分别为3 cm和4 cm,它们的夹角为45°,你能作出这个三角形吗 你作的三角形与其他同学作的三角形一定全等吗 换两条线段和一个角试试,你发现了什么 [分析] 通过比较、对照、讨论,发现对于已知的两条线段和一个角,以该角为夹角,所作的三角形都是全等的. 如果“两边及一角”条件中的角是其中一边的对角,比如两条边长分别为4 cm和4.5 cm,长度为4 cm的边所对的角为60°,情况会怎样呢 请作出这个三角形,把你作的三角形与其他同学作的三角形进行比较,由此你发现了什么 1.进一步学习三角形的作法,从实践中体会判定三角形全等的条件. 2.培养学生由特殊到一般的类比、归纳能力. 3.使学生认识到“边边角”不能判定两个三角形全等.使学生明确只有两边和它们的夹角对应相等才能判定两个三角形全等. 4.培养学生的识图能力,并规范其证明过程的书写格式.
活动 二: 探究 与 应用 [分析] 两边及其中一边的对角分别相等,两个三角形不一定全等. 通过上面的作图和比较,你能用自己的语言总结出两个三角形全等的判定方法吗 这个结论可以简单地记作什么 结合图形,请你把结论转化成几何语言. [归纳] 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.简写成“边角边”或“SAS”. [特别注意] 角必须是两条相等的对应边的夹角,边必须是夹相等的对应角的两条边.
【应用举例】 例1 如图12-2-18,有一池塘,要测池塘两端A,B之间的距离,可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C,连结AC并延长到点D,使CD=CA.连结BC并延长到点E,使CE=CB.连结DE,那么DE的长就是A,B之间的距离.你知道其中的道理吗 图12-2-18 [教师活动] 操作投影仪,分析:如果能够证明△ABC≌△DEC,就可以得出AB=DE.在△ABC和△DEC中,CA=CD,CB=CE,如果能得出∠1=∠2,那么△ABC和△DEC就全等了. 想一想:∠1=∠2的依据是什么 (对顶角相等) AB=DE的依据是什么 (全等三角形的对应边相等) 变式 如图12-2-19,CA=CD,∠1=∠2,BC=EC.求证:AB=DE. 图12-2-19 [分析] (1)要证AB=DE,可以证明AB与DE所在的 和 全等; (2)在证明△ABC与△DEC全等时,题目中哪些条件可以直接使用,为什么 (3)在证明△ABC与△DEC全等时,题目中哪些条件不可以直接使用,为什么 但由这个条件可以推出 = .从而可以用什么方法判定△ABC与△DEC全等 (4)写出证明过程. 1.通过动态形象的演示,使学生发现问题,并加强学生对知识的理解和感受,借此也培养了学生仔细观察的能力. 2.知识的综合与拓展,提高学生的应考能力.
【拓展提升】 例2 如图12-2-20,已知点B,C,D在同一直线上,AB⊥BD,ED⊥CD,且AB=CD,BC=DE,AC与CE是否垂直 为什么 图12-2-20 1.学生参与到教师的讲例之中,领悟“边角边”证明三角形全等的方法,学会分析推理和规范书写.
活动 二: 探究 与 应用 [拓展引申] 若将△CDE沿CB方向平移得到如图12-2-21所示的图形,且其余条件不变,则结论AC1⊥C2E成立吗 请说明理由. 图12-2-21 2.教师讲例,学生接受式学习,但要积极参与.强化学生对“边角边”基本事实的理解.
活动 三: 课堂 总结 反思 【课堂小结】 1.叙述“边角边”基本事实. 2.证明两个三角形全等的思路:首先分析条件,观察已经具备了什么条件;然后以已具备的条件为基础根据全等三角形的判定方法,来确定还需要证明哪些边或角对应相等,再设法证明这些边和角相等. 系统归纳本节知识点,提高学生归纳问题的能力.
【达标检测】 1.如图12-2-22所示,小明设计了一种测零件内径的卡钳.在卡钳的设计中,要使DC=AB,AO,BO,CO,DO应满足 ( ) A.AO=CO B.BO=DO C.AC=BD D.AO=CO且BO=DO 图12-2-22 图12-2-23 2.如图12-2-23,点A,F,E,C在同一条直线上,AF=CE,BE∥DF,BE=DF.求证:△ABE≌△CDF. 随堂练习,巩固深化,强化学生对“边角边”基本事实的理解.巩固证明三角形全等的书写格式.
【知识网络】 提纲挈领,重点突出.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 通过让学生回忆基本作图,在作图过程中体会全等的条件,在直观的操作过程中发现问题,获得新知,使学生的知识承上启下,开拓思维,发展探究新知的能力. ②[讲授效果反思] 教师讲解例题时要使学生明确:证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题,常常通过证明这两个三角形全等来解决. ③[师生互动反思] 本节课的教学形式:学生操作感知,师生互动交流,形成共识. ④[习题反思] 好题题号 错题题号 反思,更进一步提升.
3.角边角
课题 3.角边角 授课人
教 学 目 标 1.理解“角边角”“角角边”条件的内容;能利用“角边角”“角角边”判定两个三角形全等;能利用两个三角形全等来证明两条线段相等和两个角相等. 2.使学生经历探究三角形全等的条件的过程;体验用操作、归纳得出数学结论的过程. 3.会用“角边角”“角角边”解决具体问题;能利用全等解决线段相等和角相等的问题. 4.培养严谨的推理能力,感悟三角形全等的应用价值.
教学 重点 应用“角边角”“角角边”判定三角形全等.
教学 难点 把握综合分析法的思想,寻找问题的切入点.
授课 类型 新授课 课时
教具 三角尺、圆规(多媒体课件及几何画板)
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 1.小明做了一个如图12-2-32所示的风筝,其中∠EDH=∠FDH,ED=FD,将上述条件标注在图中,小明不用测量就能知道EH=FH,为什么 与同伴交流. 图12-2-32 [答案:根据“SAS”可以得到△EDH≌△FDH,从而EH=FH] 1.通过情境思考,复习前面学过的知识,学会正确选择判定三角形全等的方法.
(续表)
回顾 2.如果两边及其中一边的对角分别相等,两个三角形一定会全等吗 试举例说明. [教师活动] 操作投影仪,提出问题,组织学生思考和提问. 2.用问题牵引,辨析、巩固已学知识,在师生互动交流过程中,激发学生的求知欲.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 有一块三角形玻璃打碎成如图12-2-33所示的碎片,现在要去玻璃店配一块和这块完全一样的三角形玻璃,是否需要把残片都带去 请同学们讨论一下.思考后请同学们回答. 师问:哪个方案正确呢 带哪块残片最合适呢 这正是我们这节课要研究的内容,通过这节课的学习,同学们就会很容易地解决上述提出的问题. 图12-2-33 1.创造性的问题设计使学生快速集中精力,调整听课状态. 2.知识的呈现过程与学生已有的生活密切联系起来,学有所用,激发学生的学习兴趣.
活动 二: 探究 与 应用 【探究】 “角边角”和“角角边” [动手动脑] (投影显示) 问题探究:先任意作一个△ABC,再作出一个△A'B'C',使A'B'=AB,∠A'=∠A,∠B'=∠B(即使两角和它们的夹边分别相等),把作出的△A'B'C'剪下,放到△ABC上,它们能重合吗 [学生活动] 动手操作,感知问题的规律,作图方法如下: 如图12-2-34. 1.作A'B'=AB; 2.在A'B'的同旁作∠DA'B'=∠A,∠EB'A'=∠B,A'D与B'E相交于点C'. 图12-2-34 探究规律:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.简写成“角边角”或“ASA”. [知识铺垫] 上图中∠A'=∠A,∠EB'A'=∠B,那么∠C=∠A'C'B'吗 为什么 [学生回答] 根据三角形的内角和定理,得∠A'C'B'=180°-∠A'-∠EB'A',∠C=180°-∠A-∠B. ∵∠A=∠A',∠B=∠EB'A',∴∠C=∠A'C'B'. [教师提问] 如图12-2-35,在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF,△ABC与△DEF全等吗 图12-2-35 [学生活动] 运用三角形内角和定理,以及“ASA”很快证出△ABC≌△DEF,并且归纳如下:两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”. [教师提问] 三个角分别相等的两个三角形全等吗 1.复习用尺规作一个角等于已知角的方法及加深对“角边角”定理的理解. 2.让学生在合作学习中共同解决问题,使学生主动探究三角形全等的条件,培养学生分析问题、探究问题的能力.培养学生的合作意识和竞争意识,体会合作交流的重要性.
活动 二: 探究 与 应用 [学生活动] 与同伴交流,得到三个角分别相等的两个三角形不一定全等,如图12-2-36,这块三角尺的内外边形成的△ABC和△A'B'C'中,∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',但是它们不全等.(形状相同,大小不等). 图12-2-36 注意事项:有了前几次探究三角形全等的经验,学生会比较顺利地画图验证,互相之间进行比较,得出结论,但是在表达判定方法时,部分学生会有困难,教师要着重锤炼学生准确、严谨、简练的数学语言.
【应用举例】 例1 如图12-2-37,已知∠ABC=∠DCB,∠ACB=∠DBC. 求证:△ABC≌△DCB,AB=DC. 图12-2-37 图12-2-38 例2 如图12-2-38,在△ABC中,D是边BC的中点,过点C作直线CE,使CE∥AB,交AD的延长线于点E.求证:AD=ED. 例3 证明:全等三角形对应边上的高相等. 已知:如图12-2-39,△ABC≌△A'B'C',AD,A'D'分别是△ABC的边BC和△A'B'C'的边B'C'上的高. 求证:AD=A'D'. 图12-2-39 由此例可得到全等三角形对应边上的高相等,依此类推,还可以证明全等三角形对应边上的中线、对应角的平分线相等,这些结论在今后的学习中可以直接作为全等三角形的性质来应用. 1.提升学生的逻辑推理能力、独立思考能力,会用“ASA”(或“AAS”)判定三角形全等,并能规范地书写证明过程. 2.提升学生的符号感,体会数学知识的严谨性.
【拓展提升】 例4 如图12-2-40,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E,AD=2.5 cm,DE=1.7 cm.求BE的长. 图12-2-40 [分析] (1)图中与∠ACE互余的角有哪些 为什么 这些角有什么关系 (2)图中△ACD与△CBE全等吗 为什么 (3)线段AD,DE,BE之间有什么数量关系 为什么 (4)根据AD=2.5 cm,DE=1.7 cm,求BE的长. 巩固本节课所学知识,提升学生综合应用所学知识解决问题的能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【课堂小结】 1.证明两个三角形全等有几种方法 如何正确选择和应用这些方法 填表: 已知条件两角相等两边相等一边、一角相等目标条件判定方法
归纳本节内容及目前证明三角形全等的方法.系统地把握本节知识,提高归纳总结的能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 2.全等三角形的性质可以用来证明哪些问题 举例说明. 3.你在本节课的探究过程中,有什么感想
【达标检测】 1.在△ABC和△DEF中,已知AB=DE,∠A=∠D,补充下列条件,能判定△ABC≌△DEF的是 ( ) ①AC=DF;②BC=EF;③∠B=∠E;④∠C=∠F. A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④ 2.如图12-2-41,∠1=∠2,∠3=∠4,请你根据图形和已知条件,在不添加任何辅助线的情况下,自己编一道题目,并给予证明. 图12-2-41 图12-2-42 3.如图12-2-42,要测量河两岸相对的两点A,B的距离,可以在AB的垂线BF上取两点C,D,使BC=CD,再定出BF的垂线DE,使A,C,E三点在一条直线上,这时测得DE的长就是AB的长,为什么 当堂检测,及时反馈学习效果.通过教师在屏幕上展示学生的编题及证题过程,培养学生分析问题、解决问题的能力.
【知识网络】 提纲挈领,重点突出.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 新课导入要注意培养学生合情合理的逻辑推理能力和语言表达能力以及规范书写证明过程的能力. ②[讲授效果反思] 教学中应使学生正确地理解全等三角形的判定方法,并能用它来解决实际问题.教师应注意及时了解学生的掌握情况. ③[师生互动反思] 本节课通过情境引入问题,让学生亲身体验、动手操作来探究三角形全等的条件.整个探究过程,不仅是教师引导学生的过程,同时也是教师从学生的角度考虑问题的过程,应顾及全面、充分准备好自己的心理提升. ④[习题反思] 好题题号 错题题号 反思,更进一步提升.
4.边边边
课题 4.边边边 授课人
教 学 目 标 1.经历探索三角形全等的条件的过程. 2.初步掌握运用SSS判定两个三角形全等. 3.使学生经历探索三角形全等的条件的过程,体验用操作、归纳得出数学结论的过程. 4.使学生了解通过观察和实验可以获得许多数学知识,并学会把这些数学知识应用于他们的日常生活中. 5.通过探究三角形全等的条件的活动,培养学生合作交流的意识和大胆猜想的良好思维品质,以及发现问题的能力.
教学 重点 通过观察和实验获得证明两个三角形全等的条件SSS,并会运用SSS证明两个三角形全等.
教学 难点 会运用SSS证明两个三角形全等.
授课 类型 新授课 课时
教具 直尺、圆规、三角尺、剪刀、硬纸片(多媒体课件)
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 通过前面的学习,我们知道完全重合的两个三角形全等. 已知△ABC≌△DEF,你能得到哪些性质 (全等三角形的对应边相等、对应角相等) 你学习过的全等三角形的判定方法有哪些 回忆旧知识,为探究新知识做准备.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 满足什么条件的两个三角形全等 问题1:判定两个三角形全等至少需要几个条件 AAA可以吗 SSS呢 问题2:下面我们来观察一下三角形的平移过程,在观察中请体会如果两个三角形的三边分别相等,这两个三角形是否全等. 我们看到平移前后三角形的三条边的长度没有改变,反过来,如果两个三角形的三边分别相等,我们将其叠合,会发现这两个三角形完全重合. 提出问题,明确探究方向,激发探究欲望.
活动 二: 探究 与 应用 【探究】 边边边 问题:如何验证你的结论呢 (请每两个同学合作,先任意作一个三角形,然后再作一个三角形,使其与前面三角形的三边分别相等,并将所作的三角形裁剪下来与前面三角形重叠,看看有什么结果) 提醒学生注意:已知三边作三角形是一种重要的作图,在几何中用途很多,所以这种作图方法一定要掌握. [学生活动] 作一个△A'B'C',使A'B'=AB,A'C'=AC,B'C'=BC.用直尺和圆规按上面的要求作图,并验证. 图12-2-48 如图12-2-48. 1.作线段B'C',使B'C'=BC. 2.分别以点B',C'为圆心,线段AB,AC的长为半径作弧,两弧相交于点A'. 3.连结线段A'B',A'C'. [教师活动] 教师巡视、指导,引入课题:“上述生活实例和尺规作图的结果反映了什么规律 ” [学生活动] 在思考、实践的基础上可以归纳出下面判定两个三角形全等的方法: 三边分别相等的两个三角形全等.简写成“边边边”或“SSS”. 1.通过观察和实验,培养学生合作交流的意识. 2.教师明确已知三边画三角形的方法,明确判定三角形全等需要三个条件.学生作图并比较得出结论:三边分别相等的两个三角形全等.
【应用举例】 例1 如图12-2-49所示,在四边形ABCD中,AD=CB,AB=CD. 求证:∠B=∠D. 图12-2-49 例2 如图12-2-50所示,△ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连结点A与BC中点D的支架.求证:△ABD≌△ACD. 图12-2-50 [师生活动] 教师引导学生分析:要证明△ABD≌△ACD,可看这两个三角形的三条边是否分别相等.书写时注意对应顶点要写在同一个位置上,哪个三角形先写,哪个三角形的边就先写. 变式 已知:在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线.求证:AD⊥BC. [解析] 要证AD⊥BC,只需证∠ADB=∠ADC.显然只要证明△ADB与△ADC全等即可. 1.范例点击,应用所学. 2.教师充分利用例1使学生明确:证明是由条件(已知)出发,经过一步步的推理,最后推出结论(求证)的过程.
【拓展提升】 例3 在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC,你能把四边形ABCD分成一对全等的三角形吗 你有几种方法 你能证明你的方法吗 学生根据证明三角形全等的条件“边边边”独立解题,教师巡视,适时指导,之后集体订正,学生互相释疑. 知识的综合与拓展,提高学生的应考能力.
活动 三: 课堂 总结 反思 【课堂小结】 1.全等三角形的性质有哪些 2.正确地判断出全等三角形的对应边、对应角,是利用全等三角形处理问题的基础,你是怎样判断对应边、对应角的呢 3.“边边边”判定方法告诉了我们什么呢 (答:只要一个三角形三边的长度确定了,这个三角形的形状、大小就完全确定了,这就是三角形的稳定性) 培养学生良好的学习习惯,巩固所学的知识,形成一定的数学能力.
【达标检测】 1.如图12-2-51,AB=DE,AC=DF,BF=EC,△ABC和△DEF全等吗 请说明理由. 图12-2-51 图12-2-52 2.如图12-2-52,AB=AD,DC=BC,∠B与∠D相等吗 为什么 当堂检测,巩固深化,及时反馈学习效果.
【板书设计】 提纲挈领,重点突出.
【教学反思】 ①[授课流程反思] 通过学生全过程的画图、观察、比较、交流等,逐步探索出判定三角形全等的条件——边边边,在这个过程中,学生不仅得到了判定两个三角形全等的条件,同时也增强了学生的数学体验. ②[讲授效果反思] 证明中的每一步推理都要有根据,不能“想当然”,这些根据,可以是已知条件,也可以是定义、基本事实、已学过的重要结论等. ③[师生互动反思] 教师在例题教学时要注意:让学生先独立思考,再合作交流,更要注意师生互动. ④[习题反思] 好题题号 错题题号 反思,更进一步提升.
5.斜边直角边
课题 5.斜边直角边 授课人
教 学 目 标 1.在操作、比较中理解判定直角三角形全等的过程,并能用于解决实际问题. 2.经历探索直角三角形全等的判定条件的过程,掌握数学方法,提高合情推理的能力. 3.利用“斜边直角边”判定直角三角形全等的方法来解决简单的问题. 4.培养几何推理意识,激发学生的求知欲,感悟几何思维的内涵.
教学 重点 理解利用“斜边直角边”来判定直角三角形全等的方法.
教学 难点 培养有条理的思考能力,正确使用“综合法”表达.
授课 类型 新授课 课时
教具 三角尺、直尺、圆规(多媒体课件及几何画板)
教学活动
教学 步骤 师生活动 设计意图
回顾 图12-2-68是两个直角三角形,除了直角相等的条件,还要满足几个条件,这两个直角三角形才能全等 图12-2-68 [教师活动] 操作投影仪,提出问题,组织学生讨论. [学生活动] 小组讨论,发表意见“由三角形全等的条件可知,对于两个直角三角形,满足一边一锐角分别相等,或两直角边分别相等,这两个直角三角形就全等了”. 回顾所学的判定一般三角形全等的方法,使学生系统地把握前面所学的知识,并为后续问题的探究做铺垫.
活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 如图12-2-69所示,舞台背景的形状是两个直角三角形,工作人员想知道这两个直角三角形是否全等,但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量. (1)你能帮他想个办法吗 (2)如果他只带了一个卷尺,能完成这个任务吗 图12-2-69 工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边的长度,发现它们分别相等,于是他就肯定地说:“两个直角三角形是全等的.”你相信他的说法吗 从学生已有的知识出发,利用多媒体,激发学生强烈的好奇心和求知欲,使其体验把实际问题转化为数学问题的建模过程.
活动 二: 探究 与 应用 【探究】 斜边直角边 接上面的【课堂引入】,学生可以测量斜边和一个锐角,或一条直角边和一个锐角,但对于工作人员的方法正确与否学生难以回答.此时,教师可以引导学生对工作人员提出的办法及结论进行思考,并验证他的方法,从而展开对判定直角三角形全等的特殊条件的探索. [教师活动] 操作投影仪,提出问题,引导学生思考、验证. [学生活动] 思考问题,探究原理. 任意作一个Rt△ABC,使∠C=90°,再作一个Rt△A'B'C',使∠A'C'B'=90°,B'C'=BC,A'B'=AB,把作好的Rt△A'B'C'剪下,放到Rt△ABC上,它们能够重合吗 [学生活动] 作图分析. 图12-2-70 如图12-2-70. 1.作线段B'C',使B'C'=BC; 2.作∠B'C'M=90°; 3.以点B'为圆心,AB的长为半径作圆弧,交射线C'M于点A'; 4.连结A'B'. [总结规律] 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.简写成“斜边直角边”或“HL”. 1.巩固用尺规作三角形的方法. 2.培养学生的归纳、概括能力.
【应用举例】 例1 如图12-2-71,已知AC=BD,∠C=∠D=90°.求证:BC=AD. 图12-2-71 [思路点拨] 欲证BC=AD,首先应寻找和这两条线段有关的三角形,这里有△ABD和△BAC,△ADO和△BCO(O为DB,AC的交点),经过分析,△ABD和△BAC具备全等的条件. [教师活动] 引导学生共同参与分析例题. [学生活动] 参与教师分析,提出自己的见解. [媒体使用] 投影显示例题. 变式 如图12-2-72,已知∠C=∠D=90°,要使△ABC≌△BAD,还需增加一个什么条件 把增加的条件填在横线上,并在后面相应括号内填上判定△ABC和△BAD全等的理由: 图12-2-72 ① ( ); ② ( ); ③ ( ); ④ ( ). 在证明两个直角三角形全等时,要防止学生使用“SSA”来证明.
(续表)
活动 二: 探究 与 应用 【拓展提升】 例2 探究问题: (1)两个直角三角形的两条直角边分别相等,这两个直角三角形全等,根据 ; (2)两个直角三角形的斜边和一个锐角分别相等,这两个直角三角形全等,根据 ; (3)两个直角三角形的一个锐角和一条直角边分别相等,这两个直角三角形全等,根据 ; (4)判定两个直角三角形全等的特殊条件是 和 分别相等. 问题:谈谈你对“两条边分别相等的两个直角三角形全等”这句话的理解. 使学生准确把握直角三角形全等的所有判定方法.
活动 三: 课堂 总结 反思 【课堂小结】 这节课你有什么收获呢 与你的同伴进行交流,通过今天的学习和对前面三角形全等条件的探究,可知判定三角形全等有五种方法.(教师让学生讨论归纳) 课堂总结,发展潜能,提高学生的归纳能力及语言表达能力.
【达标检测】 1.满足下列条件的三角形不一定全等的是 ( ) A.有两个角及其夹边分别相等的两个三角形 B.有两条边和一个角分别相等的两个三角形 C.斜边和一个锐角分别相等的两个直角三角形 D.三条边分别相等的两个三角形 2.已知:如图12-2-73,AB=CD,点E,F在AC上, ∠AFB=∠CED=90°,AE=CF. 图12-2-73 (1)△ABF与△CDE全等吗 为什么 (2)AB与CD除相等外还有什么关系吗 如果有,请说明理由. 3.如图12-2-74,点E,A,D,B在同一条直线上,CA⊥EB于点A,FD⊥EB于点D,CA=FD,CE=FB.求证:∠FEB=∠CBE. 图12-2-74 当堂检测,及时反馈学习效果.
【知识网络】 提纲挈领,重点突出.
活动 三: 课堂 总结 反思 【教学反思】 ①[授课流程反思] 本节课通过动手操作、合作交流共同发现问题,培养学生直观发现问题的能力,使学生在反思中发现新知识,体会解决问题的方法. ②[讲授效果反思] 例题讲解中教师应注意给学生讲清楚应用“斜边直角边”证明问题时的格式. ③[师生互动反思] 当涉及问题的推理比较复杂时,可以通过全班讨论,师生共同解决问题,但不需要每个学生独立说明理由,只要求学生能看懂其他同学的思考过程即可. ④[习题反思] 好题题号 错题题号 反思,更进一步提升.