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等可能条件下的概率 单元复习培优测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．到了劳动课时，刚好是小明和小聪两位同学值日，教室里有两样劳动工具：扫把和拖把，小明与小聪用“剪刀，石头，布”的游戏方法决定谁胜了就让谁使用扫把，则小明出“剪刀”后，能胜出的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．从 ，0，π， ，6这五个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值（ ）
A．一定是
B．随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性
C．一定不是
D．随着m的增大，越来越接近
4．从0，1，2，3，4，5，6这七个数中，随机抽取一个数，记为a，若a使关于x的不等式组 的解集为x＞1，且使关于x的分式方程 =2的解为非负数，那么取到满足条件的a值的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．下列事件是必然事件的是（ ）
A．半径为2的圆的周长是2 B．三角形的外角和等于360°
C．男生的身高一定比女生高 D．同旁内角互补
6．如图所示，转盘被等分成4个扇形，并在上面一次写上数字1，2，3，5，若自1转动转盘当它停止转动时，指针指向奇数区的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．某展览大厅有2个入口和2个出口，其示意图如图所示，参观者可从任意一个入口进入，参观结束后可从任意一个出口离开，则一位参观者从入口1进入并从出口A离开的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．有两辆车按1，2编号，宸宸和琮琮两人可以任意选坐一辆车．则两人坐同一辆车的概率为（ ）
A．1 B． C． D．
9．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，则P1，P2，P3，P4四个点中，任选一个符合条件的点P的概率是（ ）
A． B． C． D．1
10．某校九年级学生中有5人在省数学竞赛中获奖，其中3人获一等奖，2人获二等奖．老师从5人中选2人向全校学生介绍学好数学的经验，则选出的2人中恰好一人是一等奖获得者，一人是二等奖获得者的概率是（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．2025年我国人工智能领域取得重大突破，国产大模型DeepSeek（深度求索）凭借开源模式和成本优势火爆全球．在单词DeepSeek中任意选择一个字母，选到字母“e”的概率是 ．
12．假定鸟卵孵化后，孵化出的雏鸟是雌鸟与雄鸟的概率相同，如果3枚鸟卵全部成功孵化，那么3只雏鸟中有不少于2只雄鸟的概率是 .
13．我校举办以“使命·成全·梦想”为主题的庆祝建校二十周年书画展活动，如图是该书画展览馆出入口示意图．小颖和小芳从同一入口进入分别参观，参观结束后，她们恰好从同一出口走出的概是 ．
14．“双减”政策后，各校积极探索“课内提质增效，课后丰富多彩”的有效策略，某校的课后服务活动设置了四大板块课程：．体育活动；劳动技能；经典阅读；科普活动．若小明和小亮两人随机选择一个板块课程，则两人所选的板块课程恰好相同的概率是 ．
15．如图，由6个小正方形组成的2×3网格中，任意选取5个小正方形并涂黑，则黑色部分的图形是轴对称图形的概率是 ．
16．初一(5)班有学生37人，其中4个或4个以上学生在同一个月出生的可能性用百分数表示为 %.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．2024年10月，红岭中学举行了第十三届创意运动会，其中田赛共设置跳高、跳远、铅球三个项目.赛后随机抽取了部分参赛选手对本次赛事组织进行满意度评分调查整理后得到下列不完整的图表：
等级 A B C D
分数段 90-100 80-89 70-79 60-69
频数 440 280 m 40
请根据表中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次调查共抽取了 名选手，m= ，n=
（2）扇形统计图中，B等级所对应的扇形圆心角度数是度：
（3）赛后若在三个项目的冠军中随机抽取两人访谈，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到跳高和跳远冠军的概率，
18． 甲、乙、丙三张卡片的正面分别写有a+b，2a+b，a-b，除正面的代数式不同外，其余均相同.
（1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当a=1，b=-2时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率.
（2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张.请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率.
2a
2a
19．为了推进“优秀传统文化进校园”活动．宁蒗县某校准备在七年级成立四个课外活动小组，分别是：A．民族舞蹈组；B．经典诵读组；C．民族乐器组；D．民族歌曲组．为了解学生最喜欢哪一个活动小组，学校从九年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，每人必须选择且只能选择一个小组，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题．
（1）本次调查的学生共有 人，C中占扇形统计图中圆心角度数为 度．
（2）在重阳节来临之际，学校计划组织学生到敬老院为老人表演节目，准备从这4个小组中随机抽取2个小组汇报演出，请你用列表法或画树状图法，求选中的2个小组恰好是C，D小组的概率．
20．有三张背面完全相同的卡片，它们的正面分别写上，把它们的背面朝上洗匀后，小丽先从中抽取一张，然后小明从余下的卡片中再抽取一张。
（1）直接写出小丽取出的卡片恰好是的概率；
（2）小刚为他们设计了一个游戏规则：若两人抽取卡片上的数字之积是有理数，则小丽获胜：否则小明获胜，你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请说明理由.
21．如图， 现有一个均匀的转盘被平均分成六等份， 分别标有 这六个数字， 转动转盘， 当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时不计次数，然后重转）。
（1）转动转盘，转出的数字小于 4 的概率是 .
（2） 随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，并与数字 2 和 4 分别作为三条线段的长度， 求这三条线段能构成三角形的概率.
22．小强和小兵两位同学设计了一个游戏：将三张正面分别写有数-2，-1，1的卡片背面朝上，洗匀．从中任意抽取一张，以其正面的数作为x的值．放回卡片．洗匀，再从中任意抽取一张 ，以其正面的数为y值两次结果记为(x，y)．
（1）(x，y)所有可能出现的结果有 种．
（2）游戏规定：若点(x，y)使分式有意义，则小强获胜；若(x，y)使分式无意义，则小兵获胜．你认为这个游戏规则是否公平？为什么？
23．国庆前期，某校拟举办庆祝“建国76周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加.规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌(除牌面数字外，其余都相同)背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张.若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程.
（1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平.
24．为落实“双减”政策要求，丰富学生课余生活，某校七年级根据学生需求，组建了四个社团供学生选择：A（合唱社团）、B（硬笔书法社团）、C（街舞社团）、D（面点社团）．学生从中任意选择两个社团参加活动．
（1）小明对这四个社团都很感兴趣，如果他随机选择两个社团，请列举出所有的可能结果．
（2）小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团C（街舞社团），第二个社团他俩决定随机选择，请用列表法或画树状图求他俩选到相同社团的概率．
25．已知甲同学手中藏有三张分别标有数字，，1的卡片，乙同学手中藏有三张分别标有数字1，3，2的卡片，卡片外形相同.现从甲、乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为.
（1）请你用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果.
（2）现制订这样一个游戏规则：若所选出的能使得有两个不相等的实数根，则称甲获胜；否则称乙获胜.请问：这样的游戏规则公平吗 请你用概率的知识解释.
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等可能条件下的概率 单元复习培优测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．到了劳动课时，刚好是小明和小聪两位同学值日，教室里有两样劳动工具：扫把和拖把，小明与小聪用“剪刀，石头，布”的游戏方法决定谁胜了就让谁使用扫把，则小明出“剪刀”后，能胜出的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】如图：
共有3种等可能的结果，满足条件的只有一种：石头.故小明出“剪刀”后，能胜出的概率是 .
故答案为：B.
【分析】根据题意列出树状图即可发现共有3种等可能的结果，进而得到答案.
2．从 ，0，π， ，6这五个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解： 在 ，0，π， ，6这5个数中0 ，6为有理数，
抽到有理数的概率是 .
故答案为：C.
【分析】根据有理数的定义可找出 ，0，π， ，6这5个数中0 ，6为有理数，再根据概率公式即可求出抽到有理数的概率.
3．掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值（ ）
A．一定是
B．随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性
C．一定不是
D．随着m的增大，越来越接近
【答案】B
【解析】【解答】
掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性 ，
故选：B.
【分析】
根据频率估计概率求解即可.
4．从0，1，2，3，4，5，6这七个数中，随机抽取一个数，记为a，若a使关于x的不等式组 的解集为x＞1，且使关于x的分式方程 =2的解为非负数，那么取到满足条件的a值的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：解不等式x+5＜5x+1，得：x＞1，
解不等式x﹣a＞﹣4，得：x＞a﹣4，
∵该不等式组的解集为x＞1，
∴a﹣4≤1，
解得：a≤5，
解方程 =2，得：x= ，
∵分式方程 =2的解为非负数，
∴ ≥0且 ≠2，
解得：a＞2且a≠3，
在0，1，2，3，4，5，6这七个数中满足2＜a≤5且a≠3有4、5，
∴取到满足条件的a值的概率为 ，
故选：B．
【分析】根据题意先求出满足不等式组的a的范围，再求出满足分式方程的a的范围，最后从7个数中找到满足条件的数，根据概率公式即可得．
5．下列事件是必然事件的是（ ）
A．半径为2的圆的周长是2 B．三角形的外角和等于360°
C．男生的身高一定比女生高 D．同旁内角互补
【答案】B
【解析】【解答】解：A、半径为2的圆的周长是4 ，不是必然事件；
B、三角形的外角和等于360°，是必然事件；
C、男生的身高一定比女生高，不是必然事件；
D、同旁内角互补，不是必然事件；
故答案为：B.
【分析】根据必然事件的概念（必然事件指在一定条件下一定发生的事件），可判断出正确答案．
6．如图所示，转盘被等分成4个扇形，并在上面一次写上数字1，2，3，5，若自1转动转盘当它停止转动时，指针指向奇数区的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意可得：转盘被等分成四个扇形，并在上面依次写上数字1、2、3、5，有3个扇形上是奇数，
故自由转动转盘，当它停止转动时，指针指向奇数区的概率是．
故选C．
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率的大小．
7．某展览大厅有2个入口和2个出口，其示意图如图所示，参观者可从任意一个入口进入，参观结束后可从任意一个出口离开，则一位参观者从入口1进入并从出口A离开的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】根据题意可得树状图：
∴共有4种等可能的情况数，其中符合条件的情况数有1种，
∴P（一位参观者从入口1进入并从出口A离开）=，
故答案为：C.
【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
8．有两辆车按1，2编号，宸宸和琮琮两人可以任意选坐一辆车．则两人坐同一辆车的概率为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解： 有两辆车按1，2编号，宸宸和琮琮两人可以任意选坐一辆车的结果有：，共有4种结果，则两人坐同一辆车的结果有2种结果，故 有两辆车按1，2编号，宸宸和琮琮两人可以任意选坐一辆车．则两人坐同一辆车的概率为
故答案为：B.
【分析】本题主要列举法或者树状图求概率，列出所有结果，然后找出满足要求的结果，带入概率公式即可求解.
9．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，则P1，P2，P3，P4四个点中，任选一个符合条件的点P的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】【解答】解：符合条件的点有P1，P2，从4个点中任选一个，符合条件的点有两个，那么选中一个符合条件的概率为
故答案为：B
【分析】此题先观察符合条件的点有几个，全等的依据是“sss”判定定理，然后再计算概率.
10．某校九年级学生中有5人在省数学竞赛中获奖，其中3人获一等奖，2人获二等奖．老师从5人中选2人向全校学生介绍学好数学的经验，则选出的2人中恰好一人是一等奖获得者，一人是二等奖获得者的概率是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】根据题意列树状图如下：
根据树状图可知，总共有20中情况，其中一人是一等奖获得者，一人是二等奖获得者的情况有12种，则一人是一等奖获得者，一人是二等奖获得者的概率是.
故答案为：C
【分析】利用树状图列出所有可能，即可求解。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．2025年我国人工智能领域取得重大突破，国产大模型DeepSeek（深度求索）凭借开源模式和成本优势火爆全球．在单词DeepSeek中任意选择一个字母，选到字母“e”的概率是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：“深度求索”的英语单词“”中，共有8个字母，其中字母“e”出现4次，
∴字母“e”出现的频率是，
故答案为：．
【分析】由题意，找出单词中字母的总个数和字母e的个数，然后根据概率公式计算即可求解．
12．假定鸟卵孵化后，孵化出的雏鸟是雌鸟与雄鸟的概率相同，如果3枚鸟卵全部成功孵化，那么3只雏鸟中有不少于2只雄鸟的概率是 .
【答案】
【解析】【解答】解：画树状图如下：
共有8种等可能的结果，其中3只雏鸟中有不少于2只雄鸟的结果有：（雌，雄，雄），（雄，雌，雄），（雄，雄，雌），（雄，雄，雄），共4种，
∴3只雏鸟中有不少于2只雄鸟的概率是.
故答案为：．
【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及3只雏鸟中有不少于2只雄鸟的结果数，再利用概率公式可得出答案．
13．我校举办以“使命·成全·梦想”为主题的庆祝建校二十周年书画展活动，如图是该书画展览馆出入口示意图．小颖和小芳从同一入口进入分别参观，参观结束后，她们恰好从同一出口走出的概是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：画树状图如下：
∵共有9种等可能的结果，其中恰好从同一出口走出的情况有3种
∴她们恰好从同一出口走出的概是
故答案为：
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出恰好从同一出口走出的结果，根据简单事件的概率公式即可求出答案.
14．“双减”政策后，各校积极探索“课内提质增效，课后丰富多彩”的有效策略，某校的课后服务活动设置了四大板块课程：．体育活动；劳动技能；经典阅读；科普活动．若小明和小亮两人随机选择一个板块课程，则两人所选的板块课程恰好相同的概率是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中两人所选的板块课程恰好相同的有4种结果，
所以两人所选的板块课程恰好相同的概率为，
故答案为：．
【分析】此题是抽取放回类型，利用树状图列举出共有16种等可能的结果，其中两人所选的板块课程恰好相同的有4种结果，再利用概率公式计算即可.
15．如图，由6个小正方形组成的2×3网格中，任意选取5个小正方形并涂黑，则黑色部分的图形是轴对称图形的概率是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意，共有6种等可能的情况，其中能构成一个轴对称图形的有2种情况，
∴使黑色部分的图形构成一个轴对称图形的概率＝，
故答案为：．
【分析】先求出所有等可能的情况数，再求出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解即可.
16．初一(5)班有学生37人，其中4个或4个以上学生在同一个月出生的可能性用百分数表示为 %.
【答案】100
【解析】【解答】解：∵一年中有12个月，把37人平均分到12个月中，
，
∴剩下的那名学生无论是哪个月份出生，都会使那个月份里的人数为4个或4个以上.
∴可能性为100%.
故答案为：100.
【分析】此题考查可能性的大小，运用抽屉原理，至少有4个学生在同一月出生. 求出37人中4个学生在同一月出生的可能性（即概率）是解答此题的关键.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．2024年10月，红岭中学举行了第十三届创意运动会，其中田赛共设置跳高、跳远、铅球三个项目.赛后随机抽取了部分参赛选手对本次赛事组织进行满意度评分调查整理后得到下列不完整的图表：
等级 A B C D
分数段 90-100 80-89 70-79 60-69
频数 440 280 m 40
请根据表中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次调查共抽取了 名选手，m= ，n=
（2）扇形统计图中，B等级所对应的扇形圆心角度数是度：
（3）赛后若在三个项目的冠军中随机抽取两人访谈，请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到跳高和跳远冠军的概率，
【答案】（1）800；40；5
（2）126
（3）解：用A、B、C分别表示马拉松，半程马拉松和欢乐跑三个项目，
画树状图为：
共有 6 种等可能的结果， 其中马拉松和欢乐跑冠军的结果数为 2 种，所以恰好抽到马拉松和欢乐跑冠军的概率 .
【解析】【解答】解：（1）此次调查共抽取的选手总人数为440÷55%＝800（名），
所以m＝800×5%＝40，
所以n%＝，
即n＝5；
故答案为：800，40，5.
（2）扇形统计图中，B等级所对应的扇形圆心角度数＝360°×＝126°，
故答案为：126.
【分析】（1）利用A的频数除以对应的百分比可得总人数，再求出m、n的值即可；
（2）先求出B的百分比，再乘以360°可得答案；
（3）先利用树状图求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
18． 甲、乙、丙三张卡片的正面分别写有a+b，2a+b，a-b，除正面的代数式不同外，其余均相同.
（1）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，当a=1，b=-2时，求取出的卡片上代数式的值为负数的概率.
（2）将三张卡片背面向上并洗匀，从中随机抽取一张，放回后重新洗匀，再随机抽取一张.请在表格中补全两次取出的卡片上代数式之和的所有可能结果（化为最简），并求出和为单项式的概率.
2a
2a
【答案】（1）解：当a=1，b=-2时，a+b=-1，2a+b=0，a-b=3.从三张卡片中随机抽取一张，共有3种等可能的结果，其中取出的卡片上代数式的值为负数的结果有1种，∴取出的卡片上代数式的值为负数的概率为
（2）解：补全表格如下：
2a+b a-b
a+b 2a
2a+b 3a
a-b 2a 3a 2a--2b
共有9种等可能的结果，其中和为单项式的结果有：2a，3a，2a，3a，共4种，∴和为单项式的概率为
【解析】【分析】(1)将a=1，b=-2，分别代入卡片上的代数式求解，再根据概率公式即可求解；
(2)先将表格补全，再根据概率公式即可求解.
19．为了推进“优秀传统文化进校园”活动．宁蒗县某校准备在七年级成立四个课外活动小组，分别是：A．民族舞蹈组；B．经典诵读组；C．民族乐器组；D．民族歌曲组．为了解学生最喜欢哪一个活动小组，学校从九年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，每人必须选择且只能选择一个小组，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题．
（1）本次调查的学生共有 人，C中占扇形统计图中圆心角度数为 度．
（2）在重阳节来临之际，学校计划组织学生到敬老院为老人表演节目，准备从这4个小组中随机抽取2个小组汇报演出，请你用列表法或画树状图法，求选中的2个小组恰好是C，D小组的概率．
【答案】（1）；126
（2）解：依题意用列表法表示所有可能出现的结果如下：
第一次第二次 A B C D
A
B
C
D
由以上，可得共有12种等可能的结果，其中选中C，D小组的结果有，2种，
∴．
【解析】【解答】解：（1）由题意得本次调查的学生共有，
∴C中占扇形统计图中圆心角度数为，
故答案为：100，126
【分析】（1）先根据条形统计图和扇形统计图的信息求出总人数，进而根据圆心角的计算公式即可求解；
（2）根据题意列表，进而即可得到共有12种等可能的结果，其中选中C，D小组的结果有，2种，再根据等可能事件的概率结合题意即可求解。
20．有三张背面完全相同的卡片，它们的正面分别写上，把它们的背面朝上洗匀后，小丽先从中抽取一张，然后小明从余下的卡片中再抽取一张。
（1）直接写出小丽取出的卡片恰好是的概率；
（2）小刚为他们设计了一个游戏规则：若两人抽取卡片上的数字之积是有理数，则小丽获胜：否则小明获胜，你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请说明理由.
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
\
\ 6
\
6 \
据表知：总共有6种等可能结果，其中乘积为有理数的结果有2种，
故P（小丽获胜）=，P（小明获胜）=，
∵
∴游戏不公平，对小明更有利.
【解析】【解答】解：（1）∵ 小丽取出的卡片 可以是，共3中可能结果，
∴ 小丽取出的卡片恰好是的概率 为P=.
【分析】⑴从 三张背面完全相同的卡片 中选一张，概率为.
⑵根据表格计算小丽、小明获胜的概率并比较.
21．如图， 现有一个均匀的转盘被平均分成六等份， 分别标有 这六个数字， 转动转盘， 当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字（当指针恰好指在分界线上时不计次数，然后重转）。
（1）转动转盘，转出的数字小于 4 的概率是 .
（2） 随机转动转盘，转盘停止后记下转出的数字，并与数字 2 和 4 分别作为三条线段的长度， 求这三条线段能构成三角形的概率.
【答案】（1）
（2）解： 能与 2，4 组成三角形的数字有 ，
这三条线段能构成三角形的概率为
【解析】【解答】解：（1）P（小于4）=。
答： 转出的数字小于 4 的概率是。
【分析】（1）根据概率计算公式，可直接得出答案；
（2）首先找出能与2，4组成三角形的数字，然后再根据概率计算公式进行计算即可。
22．小强和小兵两位同学设计了一个游戏：将三张正面分别写有数-2，-1，1的卡片背面朝上，洗匀．从中任意抽取一张，以其正面的数作为x的值．放回卡片．洗匀，再从中任意抽取一张 ，以其正面的数为y值两次结果记为(x，y)．
（1）(x，y)所有可能出现的结果有 种．
（2）游戏规定：若点(x，y)使分式有意义，则小强获胜；若(x，y)使分式无意义，则小兵获胜．你认为这个游戏规则是否公平？为什么？
【答案】（1）9
（2）解：不公平，理由如下：
∵，
∴当x+y=0或x-y=0时，分式没有意义，其他情况分式有意义；
∴使分式有意义的情况数有：(-2，-1)，(-2，1)，(-1，-2)，(1，-2)四种，
∴P（小强获胜）=；
∵使分式无意义的情况数有：(-2，-2)，(-1，-1)，(1，1)，(1，-1)，（-1，1）五种，
∴P（小兵获胜）=；
∵
∴这个游戏规则不公平.
【解析】【解答】解：（1）根据题意画出树状图如下：
由图可知： (x，y)所有可能出现的结果有9种；
故答案为：9；
【分析】（1）根据题意画出树状图如，由图可知 (x，y)所有可能出现的结果有9种；
（2）首先将分式的分子分母分别分解因式，然后根据分式的分母等于零的时候分式没有意义，其他情况分式有意义，找出使分式有意义与无意义的情况数，从而根据概率公式求出小强与小兵各自获胜的概率，再比大小可得答案.
23．国庆前期，某校拟举办庆祝“建国76周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加.规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌(除牌面数字外，其余都相同)背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张.若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程.
（1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是 ；
（2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平.
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下所示：
由树状图可知，一共有 9 种等可能的结果，其中两次摸到的数字之和大于4 的结果数有 3 种，两次摸到的数字之和小于 4 有 3种，
∴小明获胜的概率为 小红获胜的概率为
∴小明和小红获胜的概率相同，
∴该游戏对双方公平.
【解析】【解答】(1)解：小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到1，2，3三张纸牌的可能性相同，
∴摸到“1”的概率是
故答案为：；
【分析】(1)根据概率公式计算即可；
(2)列表求出所有可能的情况，再用概率公式求出两人获胜的概率，比较即可得到答案.
24．为落实“双减”政策要求，丰富学生课余生活，某校七年级根据学生需求，组建了四个社团供学生选择：A（合唱社团）、B（硬笔书法社团）、C（街舞社团）、D（面点社团）．学生从中任意选择两个社团参加活动．
（1）小明对这四个社团都很感兴趣，如果他随机选择两个社团，请列举出所有的可能结果．
（2）小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团C（街舞社团），第二个社团他俩决定随机选择，请用列表法或画树状图求他俩选到相同社团的概率．
【答案】（1）解：所有的可能结果共有 6 种， 分别为 ， ．
（2）解：两树状图如下：
共有 9 种等可能的结果， 其中小宇和小江选到相同社团的结果有 3 种，
所以他俩选到相同社团的概率为 ．
【解析】【分析】（1）将所有可能的结果列举出来即可；
（2）本题考察通过画树状图求概率，画出树状图，共有 9 种等可能的结果， 其中小宇和小江选到相同社团的结果有 3 种，再根据概率计算公式算出概率即可.
25．已知甲同学手中藏有三张分别标有数字，，1的卡片，乙同学手中藏有三张分别标有数字1，3，2的卡片，卡片外形相同.现从甲、乙两人手中各任取一张卡片，并将它们的数字分别记为.
（1）请你用画树状图或列表的方法列出所有可能的结果.
（2）现制订这样一个游戏规则：若所选出的能使得有两个不相等的实数根，则称甲获胜；否则称乙获胜.请问：这样的游戏规则公平吗 请你用概率的知识解释.
【答案】（1）解：画树状图如下，
由树状图可知：（a，b）所有可能的结果数为：，，，，，，（1，1），（1，3），（1，2）共9种；
（2）解：不公平，理由如下：
∵所选出的a、b能使ax2+bx+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2-4ac＞0，即b2-4a＞0，
而当a=，b=1时，b2-4a=-1＜0，
当a=，b=3时，b2-4a=7＞0，
当a=，b=2时，b2-4a=2＞0，
当a=，b=1时，b2-4a=0，
当a=，b=3时，b2-4a=8＞0，
当a=，b=2时，b2-4a=3＞0，
当a=1，b=1时，b2-4a=-3＜0，
当a=1，b=3时，b2-4a=5＞0，
当a=1，b=2时，b2-4a=0，
∴(甲获胜)，P(乙获胜)，
而，所以这样的游戏规则对甲有利，不公平.
【解析】【分析】（1）根据题意画出树状图，由树状图可知所有等可能结果；
（2）利用一元二次方程根的判别式，即可判定各种情况下根的情况，然后利用概率公式即可求出甲、乙获胜的概率，再比较概率大小，即可确定这样的游戏规则是否公平.
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