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二次函数 单元综合巩固提分卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．将抛物线向左平移3个单位得到的抛物线的表达式是（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线y＝﹣3（x＋1）2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（1，2） B．（1，﹣2）
C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
3．已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，抛物线y=－ x2+2x－1关于点（－1，2）对称的图象解析式为（ ）
A．y= x2－2x+1 B．y= x2+4x+11
C．y=－ x2－2x-1 D．y= x2+4x+19
5．下列函数中，函数值y随自变量x增大而减小的是（ ）
A．y＝2x B．
C． D．y＝﹣x2+2x﹣1（x>1）
6．把抛物线 向上平移2个单位，得到抛物线 则a、c的值分别是（ ）
A．1，2 B．1，-2 C．-1，2 D．-1，-2
7．下列关于二次函数 （ ）的图象与x轴交点的判断，正确的是（ ）
A．只有一个交点，且它位于y轴的右侧
B．只有一个交点，且它位于y轴的左侧
C．有两个交点，且它们位于y轴的两侧
D．有两个交点，且它们位于y轴的右侧
8．关于二次函数 ，下列说法错误的是（ ）
A．顶点坐标为 B．对称轴为
C．抛物线与 轴有两个交点 D． 与 时函数值一样大
9．已知二次函数y＝（x k＋2）（x＋k）＋m-1，其中k，m为常数．下列说法正确的是（ ）
A．若k＞1，m＞1，则二次函数y的最小值小于0
B．若k＞1，m＜1，则二次函数y的最小值大于0
C．若k＜1，m＞1，则二次函数y的最小值大于0
D．若k＜1，m＜1，则二次函数y的最小值小于0
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，有下列5个结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤b2＞4ac其中正确的结论的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，直线y＝x-1与抛物线y＝x2-3x+2都经过点A（1，0）和B（3，2），则不等式x-1≥x2-3x+2的解集是 ．
12．已知二次函数y＝3（x-3）（x+2），则该函数对称轴为直线 ．
13．函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，过点（﹣1，0），对称轴为x＝2，下列结论正确的是 ．
①4a+b＝0；
②24a+2b+3c＜0；
③若A（﹣3，y1），B（﹣0.5，y2），C（3.5，y3）三点都在抛物线上，y1＜y2＜y3；
④当x＞﹣1时，y随x增大而增大．
14．已知：二次函数的图象过A（1，0），B（k，0），C（0，k）（k≠1）．若D是抛物线的顶点，且△ABD是直角三角形，则k= ．
15．已知和时，多项式的值相等，则当时，多项式的值为 .
16．如图，抛物线 （m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．
①抛物线 与直线y=m+2有且只有一个交点；
②若点 点 、点 在该函数图象上，则 ；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为 ；
④点A关于直线x=1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m=1时，四边形BCDE周长的最小值为 ，其中正确判断的序号是
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．随着互联网应用的日趋成熟和完善，电子商务在近几年得到了迅猛的发展．某电商以每件40元的价格购进某款T恤，以每件60元的价格出售．经统计，“元旦”的前一周的销量为500件，该电商在“元旦”期间进行降价销售，经调查，发现该T恤在“元旦”前一周销售量的基础上，每降价1元，销售量就会增加50件．设该T恤的定价为x元，获得的利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）若要求销售单价不低于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于，如何定价才能使得利润最大？并求出最大利润是多少元？（利润率）
18．年月日，世界泳联跳水世界杯首站比赛在西安圆满落幕，中国队共收获金银，位列奖牌榜第一赛场上运动员优美的翻腾、漂亮的入水令人赞叹不已在米跳台跳水训练时，运动员起跳后在空中的运动路线可以看作是抛物线的一部分建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度单位：与水平距离单位：近似满足函数关系．
某跳水运动员进行了两次训练．
（1）第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
水平距离
竖直高度
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；
运动员必须在距水面前完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势，否则就会出现失误在这次训练中，测得运动员在空中调整好入水姿势时，水平距离为，判断此次跳水会不会出现失误，并说明理由；
（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度与水平距离近似满足函数关系如图，记该运动员第一次训练的入水点为，若运动员在区域内含，入水能达到压水花的要求，则第二次训练 达到要求填“能”或“不能”．
19．如图，某单位拟在一块空地上修建矩形植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过米，另外三边由米长的栅栏围成，设矩形中，垂直于墙的边米，面积为y平方米．
（1）若矩形的面积为平方米，求x的值；
（2）当矩形的面积最大时，利用的墙长是多少米？并求此时的最大面积．
20．已知抛物线y＝ax2＋bx＋1经过点(1，－2)，(－2，13)．
（1）求a，b的值；
（2）若(5，y1)，(m，y2)是抛物线上不同的两点，且y2＝12－y1，求m的值．
21．某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
每件售价x/万元 … 24 26 28 30 32 …
月销售量y/件 … 52 48 44 40 36 …
该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元．
（1）求：三月份每件产品的成本是多少万元？
（2）四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润w（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元．
22．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，如图所示．
（1）求演员弹跳离地面的最大高度；
（2）已知人梯高米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2－2ax+3a，顶点坐标为（m，n）．
（1）若函数图象关于直线x＝1对称，求函数的表达式；
（2）求n的最大值；
（3）是否存在实数a(a>1)，使得当1≤x≤4时，二次函数的最大值为最小值的2倍，若存在，求出a；若不存在，请说明理由．
24．在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线过点A、B、C，点A的坐标是，点C的坐标是，联结，抛物线的顶点为点D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求的面积；
（3）如果点P是抛物线上的一点，当时，求点P的横坐标．
25．在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2＋2x﹣1（a≠0）和直线l：y＝kx＋b，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）均在直线l上．
（1）求出直线l的解析式；
（2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2＋2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m＋2时，函数y的最大值为﹣4，求m的值；
（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，求a的取值范围．
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二次函数 单元综合巩固提分卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．将抛物线向左平移3个单位得到的抛物线的表达式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：将抛物线向左平移3个单位所得抛物线解析式为：；
故答案为：C.
【分析】将抛物线y=ax2向左平移m个单位所得抛物线的解析式为y=a(x+m)2，据此解答.
2．抛物线y＝﹣3（x＋1）2﹣2的顶点坐标是（ ）
A．（1，2） B．（1，﹣2）
C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
【答案】D
【解析】【解答】解：∵y＝﹣3（x＋1）2﹣2，
∴抛物线顶点坐标为（ 1， 2），
故答案为：D．
【分析】由抛物线解析式可直接求得结论．
3．已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：二次函数，
∴对称轴为：
∵
∴，
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的性质与系数的关系得到：二次函数开口向上，且离对称轴越远其函数值越大，据此即可求解.
4．在平面直角坐标系中，抛物线y=－ x2+2x－1关于点（－1，2）对称的图象解析式为（ ）
A．y= x2－2x+1 B．y= x2+4x+11
C．y=－ x2－2x-1 D．y= x2+4x+19
【答案】B
【解析】【解答】设点A（x，y）在新函数图象上，则点A关于点（－1，2）对称的点B（－2－x，4－y）在抛物线y=－ x2+2x－1上，
∴4－y =－ （－2－x）2+2（－2－x）－1，∴y= x2+4x+11．
故答案为：B．
【分析】设点A的坐标为（x，y）在新的函数图象上，就可得出点A关于点（－1，2）对称的点B（－2－x，4－y）再原抛物线上，将点B代入原函数解析式，整理就可得出新的函数解析式。
5．下列函数中，函数值y随自变量x增大而减小的是（ ）
A．y＝2x B．
C． D．y＝﹣x2+2x﹣1（x>1）
【答案】D
【解析】【解答】解：A： 为一次函数，且 k= ，故其函数值y总是随自变量x增大而增大，此选项错误；
B： 为一次函数，且k= ，故其函数值y总是随自变量x增大而增大，此选项错误；
C： 为反比例函数，且k= ，故当 或者 时，函数值y随自变量x增大而减小，而题中没有确定自变量取值范围，故无法判断增减性，此选项错误；
D： 为二次函数，其对称轴为 ，开口向下，故当x>1时，函数值y随自变量x增大而减小，此选项正确.
故答案为：D.
【分析】一次函数 中，当 时，y随自变量x增大而增大，据此对A、B选项加以判断即可；反比例函数 中，当 时，函数位于一、三象限，每一象限内y随自变量x增大而减小，据此对C选项加以判断即可；D选项中的二次函数根据其对称轴及开口方向判断增减性即可.
6．把抛物线 向上平移2个单位，得到抛物线 则a、c的值分别是（ ）
A．1，2 B．1，-2 C．-1，2 D．-1，-2
【答案】A
【解析】【解答】抛物线 的顶点是(0，0)，则把点(0，0)向上平移2个单位得到的点的坐标为(0，2)
∴平移后的抛物线的解析式是
∴a=1，c=2
故答案为：A.
【分析】抛物线 的顶点是(0，0)，则把点(0，0)向上平移2个单位得到的点的坐标为(0，2)，再根据顶点式写出平移后的抛物线解析式，即可得到a与c的值.
7．下列关于二次函数 （ ）的图象与x轴交点的判断，正确的是（ ）
A．只有一个交点，且它位于y轴的右侧
B．只有一个交点，且它位于y轴的左侧
C．有两个交点，且它们位于y轴的两侧
D．有两个交点，且它们位于y轴的右侧
【答案】D
【解析】【解答】解：∵二次函数 ，
∴该函数图象开口向上，对称轴为直线 ，
当 时， ，即该函数与x轴有两个交点，
当 时， ，
∴该函数与x轴两个交点，且它们位于y轴的右侧，D符合题意，选项A、B、C不符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题。
8．关于二次函数 ，下列说法错误的是（ ）
A．顶点坐标为 B．对称轴为
C．抛物线与 轴有两个交点 D． 与 时函数值一样大
【答案】D
【解析】【解答】解：∵
∴抛物线的对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，-4），故A、B不符合题意，
当 时，y有最小值-4，当x＜1时，y随x的增大而减少，当x＞1时，y随x的增大而增大．
∴抛物线与x轴有两个交点，故C不符合题意．
当 时 ， 时， ，函数值不一样大，故D符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据对每个选项一一判断求解即可。
9．已知二次函数y＝（x k＋2）（x＋k）＋m-1，其中k，m为常数．下列说法正确的是（ ）
A．若k＞1，m＞1，则二次函数y的最小值小于0
B．若k＞1，m＜1，则二次函数y的最小值大于0
C．若k＜1，m＞1，则二次函数y的最小值大于0
D．若k＜1，m＜1，则二次函数y的最小值小于0
【答案】D
【解析】【解答】解：∵ y＝（x k＋2）（x＋k）＋m-1
=（x+1）2-（k-1）2+m-1
∴抛物线的开口向上，
当x=-1时，y最小值=-（k-1）2+m-1，
∴ 当k＜1，m＜1，
-（k-1）2＜0且m-1＜0即y＜0，
∴二次函数y的最小值小于0.
故答案为：D.
【分析】先将二次函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质，可知抛物线的开口向上，当x=-1时，y最小值=-（k-1）2+m-1，从而可以得到当k＜1，m＜1时二次函数y的最小值的取值范围。
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，有下列5个结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤b2＞4ac其中正确的结论的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】【解答】解：①由开口向下，可得a＜0，又由抛物线与y轴交于正半轴，可得c＞0，然后由对称轴在y轴右侧，得到b与a异号，则可得b>0，abc<0，故①正确；
②当x=-2时，y＜0，即4a-2b+c＜0 （1），
当x=1时，y＜0，即a+b+c＜0 （2），
（1）+（2）×2得：6a+3c＜0，
即2a+c＜0，
又∵a＜0，
∴a+（2a+c）=3a+c＜0，
故②错误；
③根据抛物线的对称轴以及抛物线与x轴位于对称轴左侧的交点可知抛物线与x轴位于对称轴右侧的交点的横坐标介于2与3之间，所以4a+2b+c>0，故③正确；
④根据对称轴为x=1，可得，所以2a+b=0，故④正确；
⑤由抛物线与x轴有两个交点，可得b2-4ac＞0，即b2＞4ac，故⑤正确；
综上可知，正确的有4个，
故答案为：D
【分析】根据二次函数图象，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，直线y＝x-1与抛物线y＝x2-3x+2都经过点A（1，0）和B（3，2），则不等式x-1≥x2-3x+2的解集是 ．
【答案】1≤x≤3
【解析】【解答】解：由图象得： x-1≥x2-3x+2的解集是 1≤x≤3.
故答案为：1≤x≤3.
【分析】根据图象，直接找出 y＝x -1 不在 y＝x 2-3x+2上方时，x的取值范围即可.
12．已知二次函数y＝3（x-3）（x+2），则该函数对称轴为直线 ．
【答案】x＝
【解析】【解答】解：y＝3（x-3）（x+2）=3（x2-x-6）=3（x-）2-，
∴抛物线的对称轴为直线x=.
故答案为：x=
【分析】利用配方法将二次函数解析式转化为顶点式，可得到抛物线的对称轴.
13．函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，过点（﹣1，0），对称轴为x＝2，下列结论正确的是 ．
①4a+b＝0；
②24a+2b+3c＜0；
③若A（﹣3，y1），B（﹣0.5，y2），C（3.5，y3）三点都在抛物线上，y1＜y2＜y3；
④当x＞﹣1时，y随x增大而增大．
【答案】①②③
【解析】【解答】解：（1）①∵对称轴为x=-=2，
∴4a+b=0，故①正确；
②∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵4a+b=0，
∴b=-4a，
把（-1，0）代入y=ax2+bx+c得：a-b+c=0，
∴a+4a+c=0，
∴c=-5a，
∴24a+2b+3c=24a-8a-15a=a＜0，故②正确；
③由对称性得：点C（3.5，y3）与（0.5，y3）对称，
∵当x<2时，y随x的增大而增大，且-3<-0.5＜0.5，
∴y1④∵当x<2时，y随x的增大而增大，故④错误，
∴正确的结论有①②③.
【分析】①根据对称轴公式得出-=2，得出4a+b=0，即可判①正确；
②根据抛物线开口向下，得出a＜0，由①得出b=-4a，再把（-1，0）代入y=ax2+bx+c得：a-b+c=0，从而得出c=-5a，代入24a+2b+3c=24a-8a-15a=a＜0，即可判②正确；
③根据抛物线的性质得出点C（3.5，y3）与（0.5，y3）对称，当x<2时，y随x的增大而增大，从而得出y114．已知：二次函数的图象过A（1，0），B（k，0），C（0，k）（k≠1）．若D是抛物线的顶点，且△ABD是直角三角形，则k= ．
【答案】﹣1或3
【解析】【解答】解：根据题意设二次函数的解析式为y=ax2+bx+k，二次函数的图象过A（1，0），B（k，0），
则 ，
解得a=1，b=﹣k﹣1；
二次函数的解析式为y=x2﹣（k+1）x+k，
当k＞1时，函数的图象如图1，
对称轴DE为x=，顶点坐标为
若△ABD是直角三角形，AD=DB，
则AE=DE，，
解得k=3，
当k＜0，函数的图象如图2，
同理求出k=﹣1；
所以D是抛物线的顶点，且△ABD是直角三角形，则k=﹣1或3；
故答案为﹣1或3．
【分析】设二次函数的解析式为y=ax2+bx+k，二次函数的图象过A（1，0），B（k，0），列出二元一次方程组，用k表示出a和b，再根据△ABD是直角三角形，求出k的值；
15．已知和时，多项式的值相等，则当时，多项式的值为 .
【答案】2
【解析】【解答】解：设，
当和时，多项式的值相等，
，
，
，
当时，.
故答案为：2.
【分析】设，利用二次函数的轴对称性可得，进而解得，故可求得当时多项式的值为2.
16．如图，抛物线 （m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．
①抛物线 与直线y=m+2有且只有一个交点；
②若点 点 、点 在该函数图象上，则 ；
③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为 ；
④点A关于直线x=1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m=1时，四边形BCDE周长的最小值为 ，其中正确判断的序号是
【答案】①③④
【解析】【解答】解：①把y=m+2代入y=-x2+2x+m+1中，得x2-2x+1=0，
∵△=4-4=0，
∴此方程两个相等的实数根，
则抛物线y=-x2+2x+m+1与直线y=m+2有且只有一个交点，故①结论正确；
②∵抛物线的对称轴为x=1，
∴点P（2，y3）关于x=1的对称点为P′（0，y3），
∵a=-1<0，
∴当x<1时，y随x增大而增大，
又∵-2<0<，
点M（-2，y1）、 、点P′（0，y3）在该函数图象上，
∴y1③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：y=-（x+2）2+2（x+2）+m+1-2，即y=-（x+1）2+m，故③正确；
④当m=1时，抛物线的解析式为：y=-x2+2x+2，∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），作点B关于y轴的对称点B′（-1，3），作C点关于x轴的对称点C′（2，-2），连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，如图，
则BE+ED+CD+BC=B′E+ED+C′D+BC=B′C′+BC，根据两点之间线段最短，知B′C′最短，而BC的长度一定，∴此时，四边形BCDE周长=B′C′+BC最小，为：，∴④正确.
故答案为： ①③④
【分析】①把y＝m＋2代入y＝ x2＋2x＋m＋1中，判断所得一元二次方程的根的情况便可得出结论；
②求出点P关于对称轴x=1的对称点的坐标，由于抛物线的二次项系数小于0，即图象的开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，所以；
③根据平移的规律求出平移后的解析式便可；
④将m=1代入抛物线 求出抛物线的解析式，根据抛物线与纵坐标的交点坐标特点，求出A，B，C三点的坐标，因BC边一定，只要其他三边和最小便可，作点B关于y轴的对称点B′，作C点关于x轴的对称点C′，连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，求出B′C′便是其他三边和的最小值，从而即可求出答案.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．随着互联网应用的日趋成熟和完善，电子商务在近几年得到了迅猛的发展．某电商以每件40元的价格购进某款T恤，以每件60元的价格出售．经统计，“元旦”的前一周的销量为500件，该电商在“元旦”期间进行降价销售，经调查，发现该T恤在“元旦”前一周销售量的基础上，每降价1元，销售量就会增加50件．设该T恤的定价为x元，获得的利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）若要求销售单价不低于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于，如何定价才能使得利润最大？并求出最大利润是多少元？（利润率）
【答案】（1）解：根据题意可得：
∴w与x之间的函数关系式为：；
（2）解：由题意可得：，
解得：，
∵在函数中，，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴当时，w随x的增大而增大，
∴当时，w由最大值，为：（元），
答：当定价为每件52元时，才能使利润最大，最大利润为10800元．
【解析】【分析】
（1）根据“总利润单件T恤的利润销售量”列出二次函数关系式即可；
（2）先根据不等关系“销售单价不低于成本，且按照物价部门规定销售利润率不高于”列出不等式且并求出x的取值范围，再利用二次函数的增减性进行计算即可．
（1）根据题意可得：
∴w与x之间的函数关系式为：；
（2）由题意可得：
，
解得：，
∵在函数中，，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴当时，w随x的增大而增大，
∴当时，w由最大值，为：（元），
答：当定价为每件52元时，才能使利润最大，最大利润为10800元．
18．年月日，世界泳联跳水世界杯首站比赛在西安圆满落幕，中国队共收获金银，位列奖牌榜第一赛场上运动员优美的翻腾、漂亮的入水令人赞叹不已在米跳台跳水训练时，运动员起跳后在空中的运动路线可以看作是抛物线的一部分建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度单位：与水平距离单位：近似满足函数关系．
某跳水运动员进行了两次训练．
（1）第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下：
水平距离
竖直高度
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；
运动员必须在距水面前完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势，否则就会出现失误在这次训练中，测得运动员在空中调整好入水姿势时，水平距离为，判断此次跳水会不会出现失误，并说明理由；
（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度与水平距离近似满足函数关系如图，记该运动员第一次训练的入水点为，若运动员在区域内含，入水能达到压水花的要求，则第二次训练 达到要求填“能”或“不能”．
【答案】（1）解：由表格中的数据可知当时，，当时，，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线的顶点坐标为，
抛物线的解析式为，
把，代入得，，
解得，
抛物线的解析式为，
抛物线的开口向下，
该运动员的竖直高度的最大值为米；
此次跳水不会出现失误，
理由：点时，，
，
此次跳水不会出现失误；
（2）不能
【解析】【解答】解：（2） ，
当y=0时，即=0，
解得：x1≈2.08，x2≈-1.28（不合题意，舍），
∴A（2.08，0），
当y=0时，=0，
解得：x1≈1.98，x2≈-1.22（不合题意，舍），
∴第二次入水位置的水平距离为1.98米，
∵1.98＜2.08，
∴ 第二次训练不能达到要求；
故答案为：不能.
【分析】（1）①根据抛物线的对称性求出对称轴，继而求出顶点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，再得出该运动员竖直高度的最大值 ；
② 此次跳水不会出现失误，理由：把时代入解析式中求出y值，再与5米比较即可；
（2）分别求出两次入水点的位置，再比较即可.
19．如图，某单位拟在一块空地上修建矩形植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过米，另外三边由米长的栅栏围成，设矩形中，垂直于墙的边米，面积为y平方米．
（1）若矩形的面积为平方米，求x的值；
（2）当矩形的面积最大时，利用的墙长是多少米？并求此时的最大面积．
【答案】（1）解：由题意知，且，
∴，
依题意得，，
令，则，整理得，，
解得，（舍去）或，
∴x的值为；
（2）解：由题意知，，
∵，对称轴为直线，
∴当时，矩形的面积最大，可利用的墙长是（米），此时的最大面积为（平方米），
∴当矩形的面积最大时，利用的墙长是米，求此时的最大面积为平方米．
【解析】【分析】（1） 设矩形中，垂直于墙的边米，面积为y平方米．根据长方形面积公式即可得出，然后再，则，进一步解方程并取符合题意的x的值即可；
（2）根据（1）中的函数关系式，，根据函数的增减性，可求出当时，矩形的面积最大。并求出最大值即可。
（1）解：由题意知，且，
∴，
依题意得，，
令，则，整理得，，
解得，（舍去）或，
∴x的值为；
（2）解：由题意知，，
∵，对称轴为直线，
∴当时，矩形的面积最大，可利用的墙长是（米），此时的最大面积为（平方米），
∴当矩形的面积最大时，利用的墙长是米，求此时的最大面积为平方米．
20．已知抛物线y＝ax2＋bx＋1经过点(1，－2)，(－2，13)．
（1）求a，b的值；
（2）若(5，y1)，(m，y2)是抛物线上不同的两点，且y2＝12－y1，求m的值．
【答案】（1）解：把(1，－2)，(－2，13)代入y＝ax2＋bx＋1，
，
解得：
∴.
（2）解：由(1)得函数表达式为y＝x2－4x＋1，
把x＝5代入y＝x2－4x＋1，得y1＝6，
∴y2＝12－y1＝6，
∵y1＝y2，对称轴为直线x＝2，
∴＝2，解得m＝－1.
【解析】【分析】（1）把(1，－2)，(－2，13)代入抛物线解析式，即可求出a和b的值；
（2）把x＝5代入y＝x2－4x＋1求出y1的值，进而根据"y2＝12－y1"即可求出y2的值，根据y1＝y2，得到抛物线的对称轴为，进而可求出m的值.
21．某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
每件售价x/万元 … 24 26 28 30 32 …
月销售量y/件 … 52 48 44 40 36 …
该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元．
（1）求：三月份每件产品的成本是多少万元？
（2）四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润w（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元．
【答案】（1）解：设y与x的函数解析式为y=kx+b，根据题意得
解之：
∴y=-2x+100，
当x=35时y=-2×35+100=30，
设三月份每件产品的成本是a元，根据题意得
30（35-a）=450
解之：a=20.
答：三月份每件产品的成本是20万元
（2）解：根据题意得
w=[x-（20-14）]y=（x-6）（-2x+100）-450=-2（x-28）2+518
∵四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，
∴25≤x≤30，
∵a=-2，抛物线的开口向下，
∴当25≤x＜28时，y随x的增大而增大，28＜x≤30时，y随x的增大而减小，
∴当x=25时，w有最小值=-2（25-28）2+518=500
∴ 最少利润是500万元
【解析】【分析】（1）利用表中数据，可求出y与x的函数解析式，同时求出当x=35时y的值；设三月份每件产品的成本是a元，根据今年三月份的利润为450万元，可得到关于a的方程，解方程求出a的值.
（2）利用利润=每一件的利润×销售量-450，可得到w关于x的函数解析式，再根据四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，可得到x的取值范围，再利用二次函数的增减性，可求出w的最小值，即可求解.
22．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，如图所示．
（1）求演员弹跳离地面的最大高度；
（2）已知人梯高米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．
【答案】（1）解：
∵，
∴函数的最大值是．
答：演员弹跳的最大高度是米．
（2）解：这次表演失败，理由如下：
当时，，即这次表演失败．
【解析】【分析】（1）根据题意，只需求出抛物线的顶点的纵坐标即可；
（2）根据题意，只需求得当x=4时的函数y的值，进而即可得出结论。
（1）解：
∵，
∴函数的最大值是．
答：演员弹跳的最大高度是米．
（2）解：这次表演失败，理由如下：
当时，，即这次表演失败．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2－2ax+3a，顶点坐标为（m，n）．
（1）若函数图象关于直线x＝1对称，求函数的表达式；
（2）求n的最大值；
（3）是否存在实数a(a>1)，使得当1≤x≤4时，二次函数的最大值为最小值的2倍，若存在，求出a；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：
（2）解：
∴n的最大值为.
（3）解：当
当
当
时
时
时
无解.
综上，.
【解析】【分析】（1）根据该函数的对称轴是直线x==1，由此即可求出a的值，将a的值代入二次函数即可求出该函数的表达式.
（2）根据该函数的顶点坐标为（m，n），根据顶点坐标公式n=可得整理可得， 由此即可求出n的最大值..
( 3 )根据x的取值范围是：1≤x≤4得出当x=1时y=1+a，当x=4时得出y=16-5a，当x=a时再根据点，然后分三种情况讨论：时，时，时，根据以上三种情况综合分析得出答案即可.
24．在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线过点A、B、C，点A的坐标是，点C的坐标是，联结，抛物线的顶点为点D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求的面积；
（3）如果点P是抛物线上的一点，当时，求点P的横坐标．
【答案】（1）解：把点，点代入得，
，
解得，，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：，
∴，
过点D作于点E，
∴
∴
又，点
∴，
∴
（3）解：设，
当P点在上方时，过点P作轴交于E，
∵，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴P点横坐标为；
当P点在下方时，过点P作轴交于K，
∵，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴P点横坐标为；
综上所述：P点的横坐标为或．
【解析】【分析】（1）把点A，C坐标代入，求出b，c的值即可；
（2）求出抛物线顶点坐标，根据三角形面积公式进行计算即可；
（3）设，分两种情况讨论：当P点在AC上方时和AC下方时，画图结合直角三角形的性质，讨论求解。
25．在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2＋2x﹣1（a≠0）和直线l：y＝kx＋b，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）均在直线l上．
（1）求出直线l的解析式；
（2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2＋2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m＋2时，函数y的最大值为﹣4，求m的值；
（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，求a的取值范围．
【答案】解：（1）点A（-3，-3），B（1，-1）代入y=kx+b可得：
解得：
∴l的解析式为：；
（2）根据题意可得，y=-x2+2x-1，
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，
∵m≤x≤m+2时，y有最大值-4，
∴当y=-4时，有-x2+2x-1=-4，
∴x=-1或x=3，
①在对称轴直线x=1左侧，y随x的增大而增大，
∴x=m+2=-1时，y有最大值-4，
∴m=-3；
②在对称轴直线x=1右侧，y随x增大而减小，
∴x=m=3时，y有最大值-4；
综上所述：m=-3或m=3；
（3）①a＜0时，x=1时，y≤-1，
即a≤-2；
②a＞0时，x=-3时，y≥-3，
即a≥，
直线AB的解析式为y=x-，
抛物线与直线联立：ax2+2x-1=x-，
∴ax2+x+=0，
△=-2a＞0，
∴a＜，
∴a的取值范围为≤a＜或a≤-2
【解析】【分析】（1）用待定系数法直接将点A和B代入直线l中然后得到关于k和b的二元一次方程没然后解方程即可得到k和b的值，然后得到l的解析式；
（2）根据题意可得，y=-x2+2x-1，当y=-4时，有-x2+2x-1=-4，x=-1或x=3；
①在x=1左侧，y随x的增大而增大，x=m+2=-1时，y有最大值-4，m=-3；
②在对称轴x=1右侧，y随x增大而减小，x=m=3时，y有最大值-4；
（3）①a＜0时，x=1时，y≤-1，即a≤-2；
②a＞0时，x=-3时，y≥-3，即a≥，直线AB的解析式为y=x-，抛物线与直线联立：ax2+2x-1=x-，△=-2a＞0，则a＜，即可求a的范围.
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