北京市第五十七中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题
1．（2025高三上·北京月考）设为虚数单位，则在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：，
，
所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．
故答案为：A.
【分析】根据复数代数形式的除法运算求出复数，从而得到其共轭复数，再根据复数的几何意义得出复数的共轭复数对应的点所在的象限.
2．（2025高三上·北京月考）已知，，则（ ）
A．空集 B．或
C．或且 D．以上都不对
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，
或，
所以.
故答案为：A.
【分析】先利用对数型函数的定义域和对数函数的单调性，从而求出集合A，再利用绝对值不等式求解方法，从而得出集合B。再利用交集的运算法则，从而得出集合.
3．（2025高三上·北京月考）已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】单位向量；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为向量为单位向量，且，
所以，
则，
化简，得，
因为向量的夹角，
所以.
故答案为：B.
【分析】将两边平方化简得出，再根据向量夹角的取值范围和余弦函数的图象，从而得出角的取值范围.
4．（2025高三上·北京月考）数列是等差数列 ，是各项均为正数的等比数列，公比，且，则
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；等差中项
【解析】【解答】解：因为数列是等差数列 ，是各项均为正数的等比数列，公比，
所以，
又因为，
所以，
因为公比，
所以.
故答案为：C.
【分析】分别运用等差中项公式、基本不等式求最值的方法，从而找出正确的选项．
5．（2025高三上·北京月考）设 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】对数的概念与表示；指数式与对数式的互化；换底公式及其推论
【解析】【解答】解： 所以ab＜0
又 则a+b＜0
故答案为：B
【分析】由对数定义，对数运算法则，判断出ab，a+b的正负
6．（2025高三上·北京月考）已知函数，现给出下列四个命题，
①函数的最小正周期为
②函数的最大值为
③函数在上单调递增
④将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②④ C．①④ D．③④
【答案】B
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：因为
对于①，由函数的最小正周期为，则①不正确；
对于②，当时，
则，函数取得最大值，所以②正确；
对于③，由，可得，
令，可得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在不是单调递增函数，所以③不正确；
对于④，将函数的图象向左平移个单位长度，
得到，所以④正确.
故答案为：B.
【分析】根据题意化简得到，再结合三角型函数的最小正周期的公式和三角函数的图象与性质、三角型函数的图象变换，从而逐项判断找出正确结论的序号.
7．（2025高三上·北京月考）小明在某印刷服务公司看到如下广告：“本公司承接图纸复印业务，规格可达A1，B1大小……”.他不禁好奇：A1，B1复印纸有多大呢？据查：所有的复印纸均为矩形，其长与宽的比值不变，且两张A4纸可以拼接成一张A3纸，两张A3纸可以拼接成一张A2纸…….已知A4纸的宽为210mm，那么A1纸的长和宽约为（ ）
A．840mm，594mm B．840mm，588mm C．594mm，420mm D．588mm，420mm
【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：因为A4纸的宽为，设其长为，
若两张A4纸的宽拼在一起，
则A3纸的宽为，长为，且，故舍去；
若两张A4纸的长拼在一起，
则A3纸的宽为，长为；
A2纸的宽为，长为；
A1纸的宽为，长为，
由所有的复印纸均为矩形，其长与宽的比值不变，
可得，
解得，
则，
所以A1纸的长和宽约为840mm，594mm.
故答案为：A.
【分析】由复印纸的拼接关系和长与宽比值不变的特点，则代入计算得出A1纸的长和宽.
8．（2025高三上·北京月考）已知是非零平面向量，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解：由，
得，故必要性成立；
由，
得，
则，
所以，不一定成立，故充分性不成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】根据数量积的定义和数量积的运算律，再结合充分条件和必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
9．（2025高三上·北京月考）设等比数列的前项和为，前项的乘积为．若，则（ ）
A．无最小值，无最大值 B．有最小值，无最大值
C．无最小值，有最大值 D．有最小值，有最大值
【答案】D
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：由是等比数列，，
则，
可得，
若，则，
所以，当时，，
结合，可得，
则为的最小值，
同理可得，当，，
当，，可知的最小值为，
综上可得，有最小值，
由，可得，
根据等比数列的性质和，必有满足对于所有，，
因为一定是正负交替出现，可得一定存在最大值，
综上所述，对于满足已知条件的等比数列，满足有最小值，有最大值.
故答案为：D.
【分析】利用基本量法求出公比满足，再根据数列前项和与数列前项积的定义进行讨论计算，从而可得有最小值，有最大值，进而找出正确的选项.
10．（2025高三上·北京月考）在数列中，，则（ ）
A．当时，对于任意的正整数
B．当时，存在正整数，当时，
C．当时，对于任意的正整数
D．当时，存在正整数，当时，
【答案】C
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式
【解析】【解答】解：对于A，当时，有，
递推可得，不满足，故A错误；
对于B，当时，，，，
则，不满足存在正整数，
当时，，故B错误；
对于C，当时，则，，所以，
因为，
若，则，
若，则，
若，则，
综上所述，当时，对于任意的正整数，，故正确；
对于D，当时，则，
若，则，
所以单调递增，故D错误.
故答案为：C.
【分析】当时，可得，则判断出选项A；由结合递推关系可得，则判断出选项B；当时，通过递推关系分，，讨论求解，则判断出选项C；当时，通过递推关系可得数列单调递增，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．（2025高三上·北京月考）设函数，则使得成立的的取值范围是 .
【答案】
【知识点】指数函数单调性的应用；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：当时，由，得，所以，
又因为，所以；
当时，由，得，所以，
又因为，所以.
则满足成立的的取值范围为.
故答案为：.
【分析】分和两种情况讨论，再利用指数函数的单调性、幂函数的单调性，从而得出使得成立的的取值范围.
12．（2025高三上·北京月考）在中，内角所对的边分别是，已知，，则 ，的值为 ．
【答案】；
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：因为中，，
由正弦定理，可得，则，
又因为，所以，
由余弦定理，可得.
故答案为：；.
【分析】利用正弦定理边角互化，从而得出的值，再利用余弦定理得出的值.
13．（2025高三上·北京月考）在数列中，，，且任意连续三项的和均为7，则 ；记数列的前项和为，则使得成立的最大整数 .
【答案】4；44
【知识点】数列的函数特性；数列的求和
【解析】【解答】解：由题意，得，则，
所以是周期为3的周期数列，
则，其中，
当时，，
令，解得，此时的最大整数为40，
当时，，
令，解得，此时的最大整数为42，
当时，，
令，解得，此时的最大整数为44，
综上所述，使得成立的最大整数.
故答案为：4，44.
【分析】利用周期函数的定义判断出数列是周期为3的周期数列，则得出的值；从而得到，和时的，进而得出成立的最大整数.
14．（2025高三上·北京月考）在中，，，点为所在平面内一点且，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；平面向量数量积的坐标表示；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：在中，
由余弦定理，得，则角为钝角，
又因为，所以点在底边的高线上，
则以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系，如下图所示：
又因为，所以，
则，，
所以，
设，，
则，当且仅当时取得等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
【分析】以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系，设出点的坐标，从而写出各点坐标，再利用数量积的坐标运算和二次函数求最值的方法，从而得出的最小值.
15．（2025高三上·北京月考）已知非空数集满足：
（i），有；
（ii），有；
（iii）且，有，
则称是的“理想子集”．给出下列四个结论：
①若，则是的“理想子集”；
②若是的“理想子集”，且存在非零实数，则；
③若是的“理想子集”，则也是的“理想子集”；
④若是的“理想子集”，则也是的“理想子集”．
其中正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【知识点】元素与集合的关系；子集与真子集
【解析】【解答】解：①集合表示所有偶数构成的集合，
所有的偶数都是整数，任意两个偶数的和仍是偶数，任意偶数和整数的积仍是偶数，
满足（i）（ii）（iii），故是的“理想子集”，故说法①正确；
②若是的“理想子集”，且存在非零实数，
由“理想子集”的概念，可知对任意的有，
所以，故说法②正确；
③若是的“理想子集”，则，有，，有，
但对于，，不一定有，
例如，，，此时，，，故说法③错误；
④若是的“理想子集”，对于显然，有，满足（i），
令，，则，
又因为是的“理想子集”，
所以，，
同理，由是的“理想子集”，
可得，
所以，满足（ii）（iii），
若是的“理想子集”，
则也是的“理想子集”，故说法④正确.
故答案为：①②④.
【分析】根据“理想子集”的定义结合元素与集合的、交集的运算法则、并集的运算法则，从而逐项判断找出正确结论的序号.
16．（2025高三上·北京月考）数列的前项和为，且，，，，，.
（1）求，，的值；
（2）求的通项公式；
（3）设，求的表达式.
【答案】（1）解：由，，
得，
则，
因为，
所以；
又因为，
所以.
（2）解：由，得，
，
得，
由（1）得，，不适合上式，
数列从第二项起构成以为公比的等比数列，
则的通项公式.
（3）解：因为数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和；数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）由已知条件结合数列递推式，从而求出，，的值.
（2）由数列递推式和等比数列的定义，可得数列从第二项起构成以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式得出数列的通项公式.
（3）利用数列是以为首项，以为公比的等比数列，再由等比数列的求和公式得出.
（1）由，，得，即；
，则；
，则；
（2）由，得，
，得，
由（1）得，，不适合上式，
数列从第二项起构成以为公比的等比数列，
则的通项公式；
（3）数列是以为首项，以为公比的等比数列，
则.
17．（2025高三上·北京月考）已知函数．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定．
（1）求的解析式；
（2）设，求函数在上的单调递增区间．
条件①：；
条件②：为偶函数；
条件③：的最大值为1；
条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）解：因为，
所以，显然当时为奇函数，故②不能选，
若选择①③，则最大值为，
所以，
解得，
则，
又因为，
所以，
则，，
解得，，
故不能唯一确定，故舍去；
若选择①④，
则图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以，
解得，
所以，又，
则，
解得，
所以；
若选择③④，则图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以，解得，
则，
又因为的最大值为，
所以，解得，
则.
（2）解：由（1）可得
，
令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为，，
又因为，
所以在上的单调递增区间有和.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）先利用二倍角的正弦公式化简函数，从而得到②与题设的冲突，再分别选择①③，①④，③④三种情况讨论，再分别根据正弦型函数的性质求出的值，从而求出函数的解析式.
（2）由（1）可得，再利用二倍角公式和辅助角公式化简，再根据正弦型函数的性质求解得出函数在上的单调递增区间.
（1）因为，
所以，
显然当时为奇函数，故②不能选，
若选择①③，即最大值为，所以，解得，
所以，又，
所以，即，，
解得，，故不能唯一确定，故舍去；
若选择①④，即图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，
解得，
所以，又，所以，解得，
所以；
若选择③④，即图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，解得，
所以，
又的最大值为，所以，解得，
所以；
（2）由（1）可得，
，
令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为，，
又，所以在上的单调递增区间有和.
18．（2025高三上·北京月考）若△同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组这样的三个条件并解决下列问题：
（1）求边的值；
（2）求△的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：；
条件④：.
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）解：因为，
由正弦定理，得
又因为，所以，
则，
因为，所以，
又因为，所以，
当时，，
当时，的取值最多两个，
当时，或，此时，或
当时，因为，
所以，则不可能为钝角，
由条件④知，，为钝角，
所以，条件①和条件④不能同时满足，
因此有两种情况的解答：
选择条件①②③
因为不可能为钝角，又因为，
所以.
因为，且，
所以
所以，则，
又因为，
所以，.
在△中，由正弦定理
所以，又因为，
所以，
所以.
选择条件②③④，
由条件④知，，为钝角，
又因为，所以，
则.
又因为，
所以.
由余弦定理得，
则，
整理得，
解得或（舍）.
（2）解：选择条件①②③，
由（1）知，
又因为，
所以，.
则，
所以△的面积为.
选择条件②③④，
结合第（1）问中，此时，
所以，
则△的面积为.
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）先分析出①和④两个条件不能同时满足，再分选择条件①②③和条件②③④讨论即可，当选择①②③时，利用三角恒等变换得出，再利用正弦定理得到的值；当选择②③④时，利用余弦定理得出a的值.
（2）在（1）的选择情况下结合已知条件和三角形面积公式，从而得出△的面积.
（1）因为，由正弦定理得，
又因为，所以，所以.
由于，所以，又因为，所以.
当时，，
而时，的取值最多两个.
当时，或，
此时，或.
当时，因为，所以，即不可能为钝角.
由条件④知，，为钝角，
所以条件①和条件④不能同时满足.
因此有两种情况的解答：
选择条件①②③
因为不可能为钝角，
又因为，所以.
因为，且，
所以
所以，即，
又因为，所以，.
在△中，由正弦定理，
所以，
又因为，所以.所以，
选择条件②③④
由条件④知，，为钝角，
又因为，所以，所以.
又因为，所以.
由余弦定理得，得，
整理得，解得或（舍）.
（2）选择条件①②③，
由（1）知，
又因为，所以，.
，
所以△的面积为.
选择条件②③④
结合第（1）问，此时，
所以，
所以△的面积为.
19．（2025高三上·北京月考）已知函数，其中．
（1）当时，
①若，求函数的最大值；
②若直线是曲线的切线，且经过点，证明：；
（2）当时，若是函数的极小值点，求的取值范围．
【答案】（1）①解：当时，函数，
求导得，
当时，；当时，，
则函数在上单调递减，且，在上单调递增，
又因为，
所以，当时，函数的最大值为.
②证明：设切点为，
因为，，
则曲线在点处的切线方程为：，
由直线经过点，得，
整理得，
由，得，
所以.
（2）解：因为函数的定义域为R，
求导得，
由是函数的极小值点，
得，则，
所以，
令，求导得，
令，则，，得，
当时，；当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以.
①当时，即当时，得，此时，
当时，；当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以是函数的极小值点，符合题意；
②当时，即当时，则，
因为，
则存在，使，当时，，
因此不是函数的极小值点，不符合题意，
所以的取值范围为.
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）把代入得出函数解析式.
①利用导数正负判断函数的单调性，从而求出函数的最大值.
②设出切点坐标，利用导数的几何意义得出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程，再由切线过的点结合一元二次方程有解，从而证出不等式成立.
（2）先求出导数，再由给定的极小值点可得且，构造函数，按最小值不小于0和小于0分类讨论求解得出实数b的取值范围.
（1）（i）当时，函数，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，且，在上单调递增，又
所以当时，函数的最大值为.
（ii）设切点为，而，，
曲线在点处的切线方程为
由经过点，得，整理得，
由，得，所以.
（2）函数的定义域为R，求导得，
由是函数的极小值点，得，即，
则，令，
求导得，令，即，，得，
当时，；当时，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
①当时，即时，得，此时，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以是函数的极小值点，符合题意；
②当时，即时，则，而，
则存在，使，当时，，
因此不是函数的极小值点，不符合题意，
所以的取值范围为.
20．（2025高三上·北京月考）已知函数，其中．
（1）若曲线在点处的切线经过点，求的值；
（2）证明：函数存在极小值；
（3）记函数的最小值为，求的最大值．
【答案】（1）解：求导，得，
所以，，
所以，曲线在点处的切线方程为，
将点代入切线方程，得．
（2）证明：因为函数的定义域为．
设函数，
则，
由，得，
所以函数在上单调递增，
因为，
所以存在唯一的，使得，则．
当变化时，与的变化情况如下：
- 0 +
极小值
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，函数存在极小值．
（3）解：由（2）知，函数有最小值，
由，得，
所以，
设函数，
则，
令，得（舍）或，
当变化时，与的变化情况如下：
1
+ 0 -
极大值
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，，
即当时，，
结合，知当时，，
由函数的导数，
知其在区间上单调递减，
故当且仅当时，，
所以，当时，取得最大值0．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）由导数的几何意义得出切线的斜率，再利用代入法得出切点坐标，再根据点斜式得出曲线在点处的切线方程，则由代入法得出实数a的值.
（2）通过二次求导，从而判断函数的单调性，进而证出函数存在极小值.
（3）由（2）得到，构造函数，再求导判断函数的单调性，从而得出函数的最小值，设函数，再利用求导的方法判断函数h(x)的单调性，从而得出函数h(x)的最大值，再结合知当时，，
再由函数的导数，知其在区间上单调递减，从而得出的最大值．
（1）求导，得，
所以，，
故曲线在点处的切线方程为，
将点代入切线方程，得．
（2）函数的定义域为．
设函数，则，
由，得，
所以函数在上单调递增，
因为，
所以存在唯一的，使得，即．
当变化时，与的变化情况如下：
- 0 +
极小值
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
故函数存在极小值．
（3）由（2）知，函数有最小值．
由，得．
所以．
设函数，则．
今，得（舍）或．
当变化时，与的变化情况如下：
1
+ 0 -
极大值
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
所以当时，，即当时，．
结合，知当时，．
由函数的导数，知其在区间上单调递减，
故当且仅当时．
所以当时，取得最大值0．
21．（2025高三上·北京月考）已知有穷正整数数列满足：，且当时，总有．定义数列，其中，．当时，称数列具有性质．
（1）判断下列数列是否具有性质；
①4，3，2，1；②1，2，3，5，4．
（2）已知数列具有性质，求的最小值；
（3）是否存在数列具有性质，且？若存在，请找到使最小的一个数列；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：①由题意得，，，，
因为，所以数列不具有性质.
②由题意得，，，，，
所以数列具有性质.
（2）解：由，设，其中，
可得，
又因为，
所以
则
因为，
所以，
则与的奇偶性相同，
又因为，
所以为偶数，
因为，所以，
又因为数列，此时，，
综上所述，的最小值为.
（3）解：由，且，
则，
因为数列具有性质，
则，
所以，
记，
所以
因为，
所以，
当时，，
所以，
当时，数列，
此时
则，，
所以，数列满足题意.
【知识点】数列的函数特性；数列的求和
【解析】【分析】（1）①利用已知条件求出，再利用数列具有性质，从而判断出数列不具有性质②利用已知条件求出，再利用数列具有性质，从而判断出数列数列具有性质.
（2）先证明，再证明与的奇偶性相同，从而证出为偶数，再根据求出的取值范围，从而求出的最小值.
（3）先证明，再根据数列具有性质求出，记，先求出，再证明当时，，从而求出满足题意的数列.
（1）①由题意得，，，，
因为，所以数列不具有性质；
②由题意得，，，，，
所以数列具有性质；
（2）由已知，设，其中，
可得，
又，所以，
即，
因为，所以，
所以与的奇偶性相同，
因为，
所以为偶数，
又，所以，
又数列，
此时，，
综上，的最小值为；
（3）由已知，，且，
则，
因为数列具有性质，即，
所以，
记，所以，
因为，
所以，
当时，，
所以，
当时，数列，
此时，
，，
所以数列满足题意.
1 / 1北京市第五十七中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题
1．（2025高三上·北京月考）设为虚数单位，则在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2025高三上·北京月考）已知，，则（ ）
A．空集 B．或
C．或且 D．以上都不对
3．（2025高三上·北京月考）已知单位向量的夹角为，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高三上·北京月考）数列是等差数列 ，是各项均为正数的等比数列，公比，且，则
A． B． C． D．
5．（2025高三上·北京月考）设 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高三上·北京月考）已知函数，现给出下列四个命题，
①函数的最小正周期为
②函数的最大值为
③函数在上单调递增
④将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②④ C．①④ D．③④
7．（2025高三上·北京月考）小明在某印刷服务公司看到如下广告：“本公司承接图纸复印业务，规格可达A1，B1大小……”.他不禁好奇：A1，B1复印纸有多大呢？据查：所有的复印纸均为矩形，其长与宽的比值不变，且两张A4纸可以拼接成一张A3纸，两张A3纸可以拼接成一张A2纸…….已知A4纸的宽为210mm，那么A1纸的长和宽约为（ ）
A．840mm，594mm B．840mm，588mm C．594mm，420mm D．588mm，420mm
8．（2025高三上·北京月考）已知是非零平面向量，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2025高三上·北京月考）设等比数列的前项和为，前项的乘积为．若，则（ ）
A．无最小值，无最大值 B．有最小值，无最大值
C．无最小值，有最大值 D．有最小值，有最大值
10．（2025高三上·北京月考）在数列中，，则（ ）
A．当时，对于任意的正整数
B．当时，存在正整数，当时，
C．当时，对于任意的正整数
D．当时，存在正整数，当时，
11．（2025高三上·北京月考）设函数，则使得成立的的取值范围是 .
12．（2025高三上·北京月考）在中，内角所对的边分别是，已知，，则 ，的值为 ．
13．（2025高三上·北京月考）在数列中，，，且任意连续三项的和均为7，则 ；记数列的前项和为，则使得成立的最大整数 .
14．（2025高三上·北京月考）在中，，，点为所在平面内一点且，则的最小值为 .
15．（2025高三上·北京月考）已知非空数集满足：
（i），有；
（ii），有；
（iii）且，有，
则称是的“理想子集”．给出下列四个结论：
①若，则是的“理想子集”；
②若是的“理想子集”，且存在非零实数，则；
③若是的“理想子集”，则也是的“理想子集”；
④若是的“理想子集”，则也是的“理想子集”．
其中正确结论的序号是 ．
16．（2025高三上·北京月考）数列的前项和为，且，，，，，.
（1）求，，的值；
（2）求的通项公式；
（3）设，求的表达式.
17．（2025高三上·北京月考）已知函数．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定．
（1）求的解析式；
（2）设，求函数在上的单调递增区间．
条件①：；
条件②：为偶函数；
条件③：的最大值为1；
条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（2025高三上·北京月考）若△同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组这样的三个条件并解决下列问题：
（1）求边的值；
（2）求△的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：；
条件④：.
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.
19．（2025高三上·北京月考）已知函数，其中．
（1）当时，
①若，求函数的最大值；
②若直线是曲线的切线，且经过点，证明：；
（2）当时，若是函数的极小值点，求的取值范围．
20．（2025高三上·北京月考）已知函数，其中．
（1）若曲线在点处的切线经过点，求的值；
（2）证明：函数存在极小值；
（3）记函数的最小值为，求的最大值．
21．（2025高三上·北京月考）已知有穷正整数数列满足：，且当时，总有．定义数列，其中，．当时，称数列具有性质．
（1）判断下列数列是否具有性质；
①4，3，2，1；②1，2，3，5，4．
（2）已知数列具有性质，求的最小值；
（3）是否存在数列具有性质，且？若存在，请找到使最小的一个数列；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：，
，
所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．
故答案为：A.
【分析】根据复数代数形式的除法运算求出复数，从而得到其共轭复数，再根据复数的几何意义得出复数的共轭复数对应的点所在的象限.
2．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，
或，
所以.
故答案为：A.
【分析】先利用对数型函数的定义域和对数函数的单调性，从而求出集合A，再利用绝对值不等式求解方法，从而得出集合B。再利用交集的运算法则，从而得出集合.
3．【答案】B
【知识点】单位向量；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：因为向量为单位向量，且，
所以，
则，
化简，得，
因为向量的夹角，
所以.
故答案为：B.
【分析】将两边平方化简得出，再根据向量夹角的取值范围和余弦函数的图象，从而得出角的取值范围.
4．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；等差中项
【解析】【解答】解：因为数列是等差数列 ，是各项均为正数的等比数列，公比，
所以，
又因为，
所以，
因为公比，
所以.
故答案为：C.
【分析】分别运用等差中项公式、基本不等式求最值的方法，从而找出正确的选项．
5．【答案】B
【知识点】对数的概念与表示；指数式与对数式的互化；换底公式及其推论
【解析】【解答】解： 所以ab＜0
又 则a+b＜0
故答案为：B
【分析】由对数定义，对数运算法则，判断出ab，a+b的正负
6．【答案】B
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：因为
对于①，由函数的最小正周期为，则①不正确；
对于②，当时，
则，函数取得最大值，所以②正确；
对于③，由，可得，
令，可得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在不是单调递增函数，所以③不正确；
对于④，将函数的图象向左平移个单位长度，
得到，所以④正确.
故答案为：B.
【分析】根据题意化简得到，再结合三角型函数的最小正周期的公式和三角函数的图象与性质、三角型函数的图象变换，从而逐项判断找出正确结论的序号.
7．【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例定理；相似三角形的性质
【解析】【解答】解：因为A4纸的宽为，设其长为，
若两张A4纸的宽拼在一起，
则A3纸的宽为，长为，且，故舍去；
若两张A4纸的长拼在一起，
则A3纸的宽为，长为；
A2纸的宽为，长为；
A1纸的宽为，长为，
由所有的复印纸均为矩形，其长与宽的比值不变，
可得，
解得，
则，
所以A1纸的长和宽约为840mm，594mm.
故答案为：A.
【分析】由复印纸的拼接关系和长与宽比值不变的特点，则代入计算得出A1纸的长和宽.
8．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量数量积定义与物理意义
【解析】【解答】解：由，
得，故必要性成立；
由，
得，
则，
所以，不一定成立，故充分性不成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】根据数量积的定义和数量积的运算律，再结合充分条件和必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
9．【答案】D
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：由是等比数列，，
则，
可得，
若，则，
所以，当时，，
结合，可得，
则为的最小值，
同理可得，当，，
当，，可知的最小值为，
综上可得，有最小值，
由，可得，
根据等比数列的性质和，必有满足对于所有，，
因为一定是正负交替出现，可得一定存在最大值，
综上所述，对于满足已知条件的等比数列，满足有最小值，有最大值.
故答案为：D.
【分析】利用基本量法求出公比满足，再根据数列前项和与数列前项积的定义进行讨论计算，从而可得有最小值，有最大值，进而找出正确的选项.
10．【答案】C
【知识点】数列的函数特性；数列的递推公式
【解析】【解答】解：对于A，当时，有，
递推可得，不满足，故A错误；
对于B，当时，，，，
则，不满足存在正整数，
当时，，故B错误；
对于C，当时，则，，所以，
因为，
若，则，
若，则，
若，则，
综上所述，当时，对于任意的正整数，，故正确；
对于D，当时，则，
若，则，
所以单调递增，故D错误.
故答案为：C.
【分析】当时，可得，则判断出选项A；由结合递推关系可得，则判断出选项B；当时，通过递推关系分，，讨论求解，则判断出选项C；当时，通过递推关系可得数列单调递增，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】
【知识点】指数函数单调性的应用；利用幂函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：当时，由，得，所以，
又因为，所以；
当时，由，得，所以，
又因为，所以.
则满足成立的的取值范围为.
故答案为：.
【分析】分和两种情况讨论，再利用指数函数的单调性、幂函数的单调性，从而得出使得成立的的取值范围.
12．【答案】；
【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：因为中，，
由正弦定理，可得，则，
又因为，所以，
由余弦定理，可得.
故答案为：；.
【分析】利用正弦定理边角互化，从而得出的值，再利用余弦定理得出的值.
13．【答案】4；44
【知识点】数列的函数特性；数列的求和
【解析】【解答】解：由题意，得，则，
所以是周期为3的周期数列，
则，其中，
当时，，
令，解得，此时的最大整数为40，
当时，，
令，解得，此时的最大整数为42，
当时，，
令，解得，此时的最大整数为44，
综上所述，使得成立的最大整数.
故答案为：4，44.
【分析】利用周期函数的定义判断出数列是周期为3的周期数列，则得出的值；从而得到，和时的，进而得出成立的最大整数.
14．【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；平面向量数量积的坐标表示；余弦定理的应用
【解析】【解答】解：在中，
由余弦定理，得，则角为钝角，
又因为，所以点在底边的高线上，
则以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系，如下图所示：
又因为，所以，
则，，
所以，
设，，
则，当且仅当时取得等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
【分析】以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系，设出点的坐标，从而写出各点坐标，再利用数量积的坐标运算和二次函数求最值的方法，从而得出的最小值.
15．【答案】①②④
【知识点】元素与集合的关系；子集与真子集
【解析】【解答】解：①集合表示所有偶数构成的集合，
所有的偶数都是整数，任意两个偶数的和仍是偶数，任意偶数和整数的积仍是偶数，
满足（i）（ii）（iii），故是的“理想子集”，故说法①正确；
②若是的“理想子集”，且存在非零实数，
由“理想子集”的概念，可知对任意的有，
所以，故说法②正确；
③若是的“理想子集”，则，有，，有，
但对于，，不一定有，
例如，，，此时，，，故说法③错误；
④若是的“理想子集”，对于显然，有，满足（i），
令，，则，
又因为是的“理想子集”，
所以，，
同理，由是的“理想子集”，
可得，
所以，满足（ii）（iii），
若是的“理想子集”，
则也是的“理想子集”，故说法④正确.
故答案为：①②④.
【分析】根据“理想子集”的定义结合元素与集合的、交集的运算法则、并集的运算法则，从而逐项判断找出正确结论的序号.
16．【答案】（1）解：由，，
得，
则，
因为，
所以；
又因为，
所以.
（2）解：由，得，
，
得，
由（1）得，，不适合上式，
数列从第二项起构成以为公比的等比数列，
则的通项公式.
（3）解：因为数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以.
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的前n项和；数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）由已知条件结合数列递推式，从而求出，，的值.
（2）由数列递推式和等比数列的定义，可得数列从第二项起构成以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式得出数列的通项公式.
（3）利用数列是以为首项，以为公比的等比数列，再由等比数列的求和公式得出.
（1）由，，得，即；
，则；
，则；
（2）由，得，
，得，
由（1）得，，不适合上式，
数列从第二项起构成以为公比的等比数列，
则的通项公式；
（3）数列是以为首项，以为公比的等比数列，
则.
17．【答案】（1）解：因为，
所以，显然当时为奇函数，故②不能选，
若选择①③，则最大值为，
所以，
解得，
则，
又因为，
所以，
则，，
解得，，
故不能唯一确定，故舍去；
若选择①④，
则图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以，
解得，
所以，又，
则，
解得，
所以；
若选择③④，则图象的相邻两条对称轴之间的距离为，
所以，解得，
则，
又因为的最大值为，
所以，解得，
则.
（2）解：由（1）可得
，
令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为，，
又因为，
所以在上的单调递增区间有和.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）先利用二倍角的正弦公式化简函数，从而得到②与题设的冲突，再分别选择①③，①④，③④三种情况讨论，再分别根据正弦型函数的性质求出的值，从而求出函数的解析式.
（2）由（1）可得，再利用二倍角公式和辅助角公式化简，再根据正弦型函数的性质求解得出函数在上的单调递增区间.
（1）因为，
所以，
显然当时为奇函数，故②不能选，
若选择①③，即最大值为，所以，解得，
所以，又，
所以，即，，
解得，，故不能唯一确定，故舍去；
若选择①④，即图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，
解得，
所以，又，所以，解得，
所以；
若选择③④，即图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，解得，
所以，
又的最大值为，所以，解得，
所以；
（2）由（1）可得，
，
令，，
解得，，
所以函数的单调递增区间为，，
又，所以在上的单调递增区间有和.
18．【答案】（1）解：因为，
由正弦定理，得
又因为，所以，
则，
因为，所以，
又因为，所以，
当时，，
当时，的取值最多两个，
当时，或，此时，或
当时，因为，
所以，则不可能为钝角，
由条件④知，，为钝角，
所以，条件①和条件④不能同时满足，
因此有两种情况的解答：
选择条件①②③
因为不可能为钝角，又因为，
所以.
因为，且，
所以
所以，则，
又因为，
所以，.
在△中，由正弦定理
所以，又因为，
所以，
所以.
选择条件②③④，
由条件④知，，为钝角，
又因为，所以，
则.
又因为，
所以.
由余弦定理得，
则，
整理得，
解得或（舍）.
（2）解：选择条件①②③，
由（1）知，
又因为，
所以，.
则，
所以△的面积为.
选择条件②③④，
结合第（1）问中，此时，
所以，
则△的面积为.
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）先分析出①和④两个条件不能同时满足，再分选择条件①②③和条件②③④讨论即可，当选择①②③时，利用三角恒等变换得出，再利用正弦定理得到的值；当选择②③④时，利用余弦定理得出a的值.
（2）在（1）的选择情况下结合已知条件和三角形面积公式，从而得出△的面积.
（1）因为，由正弦定理得，
又因为，所以，所以.
由于，所以，又因为，所以.
当时，，
而时，的取值最多两个.
当时，或，
此时，或.
当时，因为，所以，即不可能为钝角.
由条件④知，，为钝角，
所以条件①和条件④不能同时满足.
因此有两种情况的解答：
选择条件①②③
因为不可能为钝角，
又因为，所以.
因为，且，
所以
所以，即，
又因为，所以，.
在△中，由正弦定理，
所以，
又因为，所以.所以，
选择条件②③④
由条件④知，，为钝角，
又因为，所以，所以.
又因为，所以.
由余弦定理得，得，
整理得，解得或（舍）.
（2）选择条件①②③，
由（1）知，
又因为，所以，.
，
所以△的面积为.
选择条件②③④
结合第（1）问，此时，
所以，
所以△的面积为.
19．【答案】（1）①解：当时，函数，
求导得，
当时，；当时，，
则函数在上单调递减，且，在上单调递增，
又因为，
所以，当时，函数的最大值为.
②证明：设切点为，
因为，，
则曲线在点处的切线方程为：，
由直线经过点，得，
整理得，
由，得，
所以.
（2）解：因为函数的定义域为R，
求导得，
由是函数的极小值点，
得，则，
所以，
令，求导得，
令，则，，得，
当时，；当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以.
①当时，即当时，得，此时，
当时，；当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以是函数的极小值点，符合题意；
②当时，即当时，则，
因为，
则存在，使，当时，，
因此不是函数的极小值点，不符合题意，
所以的取值范围为.
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）把代入得出函数解析式.
①利用导数正负判断函数的单调性，从而求出函数的最大值.
②设出切点坐标，利用导数的几何意义得出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程，再由切线过的点结合一元二次方程有解，从而证出不等式成立.
（2）先求出导数，再由给定的极小值点可得且，构造函数，按最小值不小于0和小于0分类讨论求解得出实数b的取值范围.
（1）（i）当时，函数，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，且，在上单调递增，又
所以当时，函数的最大值为.
（ii）设切点为，而，，
曲线在点处的切线方程为
由经过点，得，整理得，
由，得，所以.
（2）函数的定义域为R，求导得，
由是函数的极小值点，得，即，
则，令，
求导得，令，即，，得，
当时，；当时，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
①当时，即时，得，此时，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以是函数的极小值点，符合题意；
②当时，即时，则，而，
则存在，使，当时，，
因此不是函数的极小值点，不符合题意，
所以的取值范围为.
20．【答案】（1）解：求导，得，
所以，，
所以，曲线在点处的切线方程为，
将点代入切线方程，得．
（2）证明：因为函数的定义域为．
设函数，
则，
由，得，
所以函数在上单调递增，
因为，
所以存在唯一的，使得，则．
当变化时，与的变化情况如下：
- 0 +
极小值
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，函数存在极小值．
（3）解：由（2）知，函数有最小值，
由，得，
所以，
设函数，
则，
令，得（舍）或，
当变化时，与的变化情况如下：
1
+ 0 -
极大值
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，，
即当时，，
结合，知当时，，
由函数的导数，
知其在区间上单调递减，
故当且仅当时，，
所以，当时，取得最大值0．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）由导数的几何意义得出切线的斜率，再利用代入法得出切点坐标，再根据点斜式得出曲线在点处的切线方程，则由代入法得出实数a的值.
（2）通过二次求导，从而判断函数的单调性，进而证出函数存在极小值.
（3）由（2）得到，构造函数，再求导判断函数的单调性，从而得出函数的最小值，设函数，再利用求导的方法判断函数h(x)的单调性，从而得出函数h(x)的最大值，再结合知当时，，
再由函数的导数，知其在区间上单调递减，从而得出的最大值．
（1）求导，得，
所以，，
故曲线在点处的切线方程为，
将点代入切线方程，得．
（2）函数的定义域为．
设函数，则，
由，得，
所以函数在上单调递增，
因为，
所以存在唯一的，使得，即．
当变化时，与的变化情况如下：
- 0 +
极小值
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
故函数存在极小值．
（3）由（2）知，函数有最小值．
由，得．
所以．
设函数，则．
今，得（舍）或．
当变化时，与的变化情况如下：
1
+ 0 -
极大值
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
所以当时，，即当时，．
结合，知当时，．
由函数的导数，知其在区间上单调递减，
故当且仅当时．
所以当时，取得最大值0．
21．【答案】（1）解：①由题意得，，，，
因为，所以数列不具有性质.
②由题意得，，，，，
所以数列具有性质.
（2）解：由，设，其中，
可得，
又因为，
所以
则
因为，
所以，
则与的奇偶性相同，
又因为，
所以为偶数，
因为，所以，
又因为数列，此时，，
综上所述，的最小值为.
（3）解：由，且，
则，
因为数列具有性质，
则，
所以，
记，
所以
因为，
所以，
当时，，
所以，
当时，数列，
此时
则，，
所以，数列满足题意.
【知识点】数列的函数特性；数列的求和
【解析】【分析】（1）①利用已知条件求出，再利用数列具有性质，从而判断出数列不具有性质②利用已知条件求出，再利用数列具有性质，从而判断出数列数列具有性质.
（2）先证明，再证明与的奇偶性相同，从而证出为偶数，再根据求出的取值范围，从而求出的最小值.
（3）先证明，再根据数列具有性质求出，记，先求出，再证明当时，，从而求出满足题意的数列.
（1）①由题意得，，，，
因为，所以数列不具有性质；
②由题意得，，，，，
所以数列具有性质；
（2）由已知，设，其中，
可得，
又，所以，
即，
因为，所以，
所以与的奇偶性相同，
因为，
所以为偶数，
又，所以，
又数列，
此时，，
综上，的最小值为；
（3）由已知，，且，
则，
因为数列具有性质，即，
所以，
记，所以，
因为，
所以，
当时，，
所以，
当时，数列，
此时，
，，
所以数列满足题意.
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