广西壮族自治区来宾市2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题
1．（2025高一上·来宾期中）命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“，”的否定是：，.
故答案为：C.
【分析】根据命题否定的定义直接判断即可.
2．（2025高一上·来宾期中）若集合，且，则（ ）
A．10或13 B．13 C．4或7 D．7
【答案】B
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：由题意可得：或，
当，解得，此时，不满足元素的互异性；
当，解得，集合.
故答案为：B.
【分析】利用元素与集合的关系计算即可.
3．（2025高一上·来宾期中）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得且，
故函数的定义域为.
故答案为：B.
【分析】根据偶次根式、零指数幂有意义列不等式组求解即可.
4．（2025高一上·来宾期中）是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当时，，即充分性成立；
当时，或，即必要性不成立，
则是的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据充分、必要条件的定义判断即可.
5．（2025高一上·来宾期中）下列四组函数中表示同一个函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故A不符合；
B、函数的定义域均为，但两个函数的对应关系不一致，不是同一个函数，故B 不符合；
C、函数的定义域均为，与解析式相同，表示同一个函数，故C符合；
D、函数定义域为，函数定义域为，两个函数的定义域不一致，不是同一个函数，故D不符合.
故答案为：C.
【分析】根据同一函数的定义逐项判断即可.
6．（2025高一上·来宾期中）已知函数，则（ ）
A． B．6 C． D．4
【答案】B
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：函数，，
则．
故答案为：B.
【分析】根据分段函数解析式直接代值计算即可.
7．（2025高一上·来宾期中）已知函数满足．若，则（ ）
A．2 B．1 C．3 D．0
【答案】C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值
【解析】【解答】解： 令，
因为，且，
所以，可得，
故答案为：C.
【分析】通过换元法求出函数的解析式，再结合建立方程求解的值.
8．（2025高一上·来宾期中）若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：正实数，满足，
，
当且仅当且，即，时等号成立，即的最小值为4，
由题意可得：，则，解得或，
则实数m的取值范围.
故答案为：C.
【分析】利用基本不等式求出的最小值，由题意可得： ，即，解不等式求解即可得实数m的取值范围.
9．（2025高一上·来宾期中）下列说法正确的有（ ）
A．已知，则
B．函数的图象与直线的交点最多有1个
C．函数，则
D．与是同一函数
【答案】A,B,D
【知识点】同一函数的判定；函数解析式的求解及常用方法；函数的表示方法；函数的值
【解析】【解答】解：A、，则，故A正确；
B、根据函数定义可知：函数的图象与直线的交点最多有1个，故B正确；
C、函数，，则，故C错误；
D、函数与的定义域均为R，对应法则相同，是同一函数，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】直接代入化简即可判断A；根据函数定义及表示法即可判断B；根据分段函数解析式求值即可判断C；根据同一函数的定义即可判断D.
10．（2025高一上·来宾期中）下列命题中是真命题的有（ ）
A．
B．
C．“”是“”的充分不必要条件
D．“四边形为菱形”是“四边形为正方形”的充分不必要条件
【答案】A,B,C
【知识点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：A、，则命题为真命题，故A正确；
B、当时，，则命题“”为真命题，故B正确；
C、解不等式，可得或，则“”是“”的充分不必要条件，命题为真命题，故C正确；
D、由“四边形为菱形”不能推出“四边形为正方形”，即充分性不成立，
由“四边形为正方形”可以推出“四边形为菱形”，即必要性成立，则命题为假命题，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】配方即可判断A；当，可得命题为真即可判断B；解一元二次不等式即可判断C；根据菱形和正方形关系即可判断D.
11．（2025高一上·来宾期中）（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为或
【答案】B,D
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：A、关于的不等式的解集为或，则，故A错误；
B、易知和3是关于的方程的两根，则，
解得，，不等式，即，解得，故B正确；
C、由韦达定理可得：，，则，故C错误；
D、不等式，即，即，解得或，
则不等式的解集为或，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据不等式的解集可得，即可判断A；由题意可得和3是关于的方程的两根，利用韦达定理可得，，解不等式即可判断B；将，，代入求解即可判断C；不等式转化为，求解即可判断D.
12．（2025高一上·来宾期中）用列举法表示集合= ．
【答案】
【知识点】集合的表示方法
【解析】【解答】解：因为，，所以2是的倍数，
当时，，符合题意；
当时，分母为0，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，
综上：.
故答案为：.
【分析】由题意可得：2是的倍数，利用列举法检验求解即可.
13．（2025高一上·来宾期中）已知，，且，则xy的最大值为 .
【答案】1
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，，且，
则，即，当且仅当取等号，故xy的最大值为1.
故答案为：1.
【分析】直接利用基本不等式求解即可.
14．（2025高一上·来宾期中）已知函数的定义域是，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：由题意可知：在上恒成立，
当时，，符合题意；
当时，则，解得，
综上，的取值范围是.
故答案为：.
【分析】由题意可知：在上恒成立，分为与两种情况讨论求解即可.
15．（2025高一上·来宾期中）已知集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数m的取值范围.
【答案】（1）解：当时，集合，
因为集合，所以；
（2）解：因为，所以，且，
则，解得，
故实数m的取值范围为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算
【解析】【分析】（1）将代入，求得集合B，再根据集合的并集运算求解即可；
（2）由题意可得，且，根据集合的包含关系列不等式组求解即可.
（1）当时，，
所以；
（2）因为，
所以，
而，所以，
于是有，
所以实数m的取值范围为.
16．（2025高一上·来宾期中）已知函数满足.
（1）求的解析式；
（2）当时，求的最大值和最小值.
【答案】（1）解： ，
所以。
（2）解： 由（1）可知的图象开口向上，对称轴为，在上递减，在上递增，
时，，，
即的最大值为，最小值为。
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用配凑法即可求出解析式；
（2）判断出在上的单调性即可求出最值。
（1），
故
（2）由（1）可得，对称轴为，
故当时，，.
即的最大值为，最小值为.
17．（2025高一上·来宾期中）销售甲、乙两种商品所得利润分别是万元，它们与投入资金万元的关系分别为，（其中都为常数），函数对应的曲线如图所示．
（1）求函数与的解析式；
（2）若该商场一共投资10万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值．
【答案】解：（1）由题意，解得，则，又由题意，解得，则，（2）设销售甲商品投入资金万元，利润为万元，则乙投入万元，由（1）得，令，则且，故，，当即时，取最大值，则该商场所获利润的最大值为万元．
（1）解：由题意，解得，则，
又由题意，解得，则.
（2）解：设销售甲商品投入资金万元，利润为万元，则乙投入万元，
由（1）得，
令，则且，
故，，
当即时，取最大值，
则该商场所获利润的最大值为万元.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值；幂函数模型
【解析】【分析】（1）由题意可得，曲线过求参数的值，从而确定函数与的解析式；
（2）设销售甲商品投入资金万元，求得利润关于的函数，利用换元法，结合二次函数的性质求利润的最大值即可.
18．（2025高一上·来宾期中）已知函数，.
（1）求和的值；
（2）求的值域；
（3）求不等式的解集.
【答案】（1）解：函数，，
，，
则，；
（2）解：当时，；
当时，，则，
故函数的值域为；
（3）解：当时，，则；
当时，，，
则，
不等式化为或，解得或，
故原不等式的解集为或.
【知识点】函数的值域；函数的值；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）根据函数的解析式直接代值求值即可；
（2）根据函数的解析式，分别求出和的函数值的取值范围即可求的值域；
（3）根据复合函数的关系式，按和分类讨论求出的表达式，再分段解不等式即可得不等式的解集．
（1）由函数，，得，，
所以，.
（2）当时，；当时，，则，
所以的值域为.
（3）当时，，则；
当时，，，
因此，
不等式化为或，解得或，
所以原不等式的解集为或.
19．（2025高一上·来宾期中）设函数.
（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；
（2）若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围；
（3）解关于的不等式：.
【答案】（1）解：由题意可得：是方程的两个根，
由韦达定理可得，解得；
（2）解：由题意可得：对于实数时恒成立，
则，即，即，解得，即，
则的取值范围为；
（3）解：依题意，等价于，
当时，不等式可化为，解集为；
当时，不等式可化为，此时，不等式的解集为；
当时，不等式化为，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为或；
③当时，，不等式的解集为或；
综上，当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为.
【知识点】函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1） 由题意可得：是方程的两个根， 利用韦达定理列式求实数的值即可；
（2）由题意可得：对于实数时恒成立，整理不等式，将不等式左边看成关于的一次函数，代入两端点不等式成立即可解出的解集；
（3）不等式，即，分情况讨论参数的取值，得到相应不等式的解集即可.
（1）由题意知，是方程的两个根，
则，则.
（2），
则对于实数时恒成立，
则，即，
解得，∴
则的取值范围为.
（3）依题意，等价丁，
当时，不等式可化为，解集为.
当时，不等式可化为，此时，
所以不等式的解集为.
当时，不等式化为，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为或；
③当时，，不等式的解集为或；
综上，当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为.
1 / 1广西壮族自治区来宾市2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题
1．（2025高一上·来宾期中）命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（2025高一上·来宾期中）若集合，且，则（ ）
A．10或13 B．13 C．4或7 D．7
3．（2025高一上·来宾期中）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025高一上·来宾期中）是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2025高一上·来宾期中）下列四组函数中表示同一个函数的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025高一上·来宾期中）已知函数，则（ ）
A． B．6 C． D．4
7．（2025高一上·来宾期中）已知函数满足．若，则（ ）
A．2 B．1 C．3 D．0
8．（2025高一上·来宾期中）若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025高一上·来宾期中）下列说法正确的有（ ）
A．已知，则
B．函数的图象与直线的交点最多有1个
C．函数，则
D．与是同一函数
10．（2025高一上·来宾期中）下列命题中是真命题的有（ ）
A．
B．
C．“”是“”的充分不必要条件
D．“四边形为菱形”是“四边形为正方形”的充分不必要条件
11．（2025高一上·来宾期中）（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为或
12．（2025高一上·来宾期中）用列举法表示集合= ．
13．（2025高一上·来宾期中）已知，，且，则xy的最大值为 .
14．（2025高一上·来宾期中）已知函数的定义域是，则的取值范围是 .
15．（2025高一上·来宾期中）已知集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数m的取值范围.
16．（2025高一上·来宾期中）已知函数满足.
（1）求的解析式；
（2）当时，求的最大值和最小值.
17．（2025高一上·来宾期中）销售甲、乙两种商品所得利润分别是万元，它们与投入资金万元的关系分别为，（其中都为常数），函数对应的曲线如图所示．
（1）求函数与的解析式；
（2）若该商场一共投资10万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最大值．
18．（2025高一上·来宾期中）已知函数，.
（1）求和的值；
（2）求的值域；
（3）求不等式的解集.
19．（2025高一上·来宾期中）设函数.
（1）若关于的不等式的解集为，求实数的值；
（2）若不等式对于实数时恒成立，求的取值范围；
（3）解关于的不等式：.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“，”的否定是：，.
故答案为：C.
【分析】根据命题否定的定义直接判断即可.
2．【答案】B
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：由题意可得：或，
当，解得，此时，不满足元素的互异性；
当，解得，集合.
故答案为：B.
【分析】利用元素与集合的关系计算即可.
3．【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得且，
故函数的定义域为.
故答案为：B.
【分析】根据偶次根式、零指数幂有意义列不等式组求解即可.
4．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当时，，即充分性成立；
当时，或，即必要性不成立，
则是的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据充分、必要条件的定义判断即可.
5．【答案】C
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故A不符合；
B、函数的定义域均为，但两个函数的对应关系不一致，不是同一个函数，故B 不符合；
C、函数的定义域均为，与解析式相同，表示同一个函数，故C符合；
D、函数定义域为，函数定义域为，两个函数的定义域不一致，不是同一个函数，故D不符合.
故答案为：C.
【分析】根据同一函数的定义逐项判断即可.
6．【答案】B
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：函数，，
则．
故答案为：B.
【分析】根据分段函数解析式直接代值计算即可.
7．【答案】C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值
【解析】【解答】解： 令，
因为，且，
所以，可得，
故答案为：C.
【分析】通过换元法求出函数的解析式，再结合建立方程求解的值.
8．【答案】C
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：正实数，满足，
，
当且仅当且，即，时等号成立，即的最小值为4，
由题意可得：，则，解得或，
则实数m的取值范围.
故答案为：C.
【分析】利用基本不等式求出的最小值，由题意可得： ，即，解不等式求解即可得实数m的取值范围.
9．【答案】A,B,D
【知识点】同一函数的判定；函数解析式的求解及常用方法；函数的表示方法；函数的值
【解析】【解答】解：A、，则，故A正确；
B、根据函数定义可知：函数的图象与直线的交点最多有1个，故B正确；
C、函数，，则，故C错误；
D、函数与的定义域均为R，对应法则相同，是同一函数，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】直接代入化简即可判断A；根据函数定义及表示法即可判断B；根据分段函数解析式求值即可判断C；根据同一函数的定义即可判断D.
10．【答案】A,B,C
【知识点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：A、，则命题为真命题，故A正确；
B、当时，，则命题“”为真命题，故B正确；
C、解不等式，可得或，则“”是“”的充分不必要条件，命题为真命题，故C正确；
D、由“四边形为菱形”不能推出“四边形为正方形”，即充分性不成立，
由“四边形为正方形”可以推出“四边形为菱形”，即必要性成立，则命题为假命题，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】配方即可判断A；当，可得命题为真即可判断B；解一元二次不等式即可判断C；根据菱形和正方形关系即可判断D.
11．【答案】B,D
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：A、关于的不等式的解集为或，则，故A错误；
B、易知和3是关于的方程的两根，则，
解得，，不等式，即，解得，故B正确；
C、由韦达定理可得：，，则，故C错误；
D、不等式，即，即，解得或，
则不等式的解集为或，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据不等式的解集可得，即可判断A；由题意可得和3是关于的方程的两根，利用韦达定理可得，，解不等式即可判断B；将，，代入求解即可判断C；不等式转化为，求解即可判断D.
12．【答案】
【知识点】集合的表示方法
【解析】【解答】解：因为，，所以2是的倍数，
当时，，符合题意；
当时，分母为0，不符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，
综上：.
故答案为：.
【分析】由题意可得：2是的倍数，利用列举法检验求解即可.
13．【答案】1
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，，且，
则，即，当且仅当取等号，故xy的最大值为1.
故答案为：1.
【分析】直接利用基本不等式求解即可.
14．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：由题意可知：在上恒成立，
当时，，符合题意；
当时，则，解得，
综上，的取值范围是.
故答案为：.
【分析】由题意可知：在上恒成立，分为与两种情况讨论求解即可.
15．【答案】（1）解：当时，集合，
因为集合，所以；
（2）解：因为，所以，且，
则，解得，
故实数m的取值范围为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算
【解析】【分析】（1）将代入，求得集合B，再根据集合的并集运算求解即可；
（2）由题意可得，且，根据集合的包含关系列不等式组求解即可.
（1）当时，，
所以；
（2）因为，
所以，
而，所以，
于是有，
所以实数m的取值范围为.
16．【答案】（1）解： ，
所以。
（2）解： 由（1）可知的图象开口向上，对称轴为，在上递减，在上递增，
时，，，
即的最大值为，最小值为。
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用配凑法即可求出解析式；
（2）判断出在上的单调性即可求出最值。
（1），
故
（2）由（1）可得，对称轴为，
故当时，，.
即的最大值为，最小值为.
17．【答案】解：（1）由题意，解得，则，又由题意，解得，则，（2）设销售甲商品投入资金万元，利润为万元，则乙投入万元，由（1）得，令，则且，故，，当即时，取最大值，则该商场所获利润的最大值为万元．
（1）解：由题意，解得，则，
又由题意，解得，则.
（2）解：设销售甲商品投入资金万元，利润为万元，则乙投入万元，
由（1）得，
令，则且，
故，，
当即时，取最大值，
则该商场所获利润的最大值为万元.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的最大（小）值；幂函数模型
【解析】【分析】（1）由题意可得，曲线过求参数的值，从而确定函数与的解析式；
（2）设销售甲商品投入资金万元，求得利润关于的函数，利用换元法，结合二次函数的性质求利润的最大值即可.
18．【答案】（1）解：函数，，
，，
则，；
（2）解：当时，；
当时，，则，
故函数的值域为；
（3）解：当时，，则；
当时，，，
则，
不等式化为或，解得或，
故原不等式的解集为或.
【知识点】函数的值域；函数的值；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）根据函数的解析式直接代值求值即可；
（2）根据函数的解析式，分别求出和的函数值的取值范围即可求的值域；
（3）根据复合函数的关系式，按和分类讨论求出的表达式，再分段解不等式即可得不等式的解集．
（1）由函数，，得，，
所以，.
（2）当时，；当时，，则，
所以的值域为.
（3）当时，，则；
当时，，，
因此，
不等式化为或，解得或，
所以原不等式的解集为或.
19．【答案】（1）解：由题意可得：是方程的两个根，
由韦达定理可得，解得；
（2）解：由题意可得：对于实数时恒成立，
则，即，即，解得，即，
则的取值范围为；
（3）解：依题意，等价于，
当时，不等式可化为，解集为；
当时，不等式可化为，此时，不等式的解集为；
当时，不等式化为，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为或；
③当时，，不等式的解集为或；
综上，当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为.
【知识点】函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1） 由题意可得：是方程的两个根， 利用韦达定理列式求实数的值即可；
（2）由题意可得：对于实数时恒成立，整理不等式，将不等式左边看成关于的一次函数，代入两端点不等式成立即可解出的解集；
（3）不等式，即，分情况讨论参数的取值，得到相应不等式的解集即可.
（1）由题意知，是方程的两个根，
则，则.
（2），
则对于实数时恒成立，
则，即，
解得，∴
则的取值范围为.
（3）依题意，等价丁，
当时，不等式可化为，解集为.
当时，不等式可化为，此时，
所以不等式的解集为.
当时，不等式化为，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为或；
③当时，，不等式的解集为或；
综上，当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为.
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