湖南省长沙市岳麓实验中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题
1．（2025高三上·岳麓月考）已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】集合关系中的参数取值问题；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【解答】解：由，
可得，解得，
所以，
由，可得，
又因为，所以，
所以，实数 的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】解一元二次不等式得出集合，由已知条件结合并集和集合间关系的推导关系，从而可得，再利用集合间的包含关系，从而借助数轴和分类讨论的方法，进而得出实数 的取值范围.
2．（2025高三上·岳麓月考）已知，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由题意，得，
由复数的模长公式，
得.
故答案为：C.
【分析】利用复数的运算性质，从而得到，再利用复数的模长公式，从而求解得出复数z的模.
3．（2025高三上·岳麓月考）已知向量，且，则（ ）
A．1 B．5 C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：已知，则，
因为，
所以，
解得．
故答案为：B．
【分析】先利用向量的坐标运算可得，再利用根向量垂直的坐标表示解方程即可求解.
4．（2025高三上·岳麓月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：由题意结合诱导公式，
得，
由二倍角的余弦公式，
得.
故答案为：B.
【分析】利用诱导公式将目标式化为，再利用二倍角的余弦公式得出的值.
5．（2025高三上·岳麓月考）若将一个表面积为的铁球熔铸成一个高为9cm的实心圆锥（熔铸过程中损耗忽略不计），则该圆锥的底面半径为（ ）
A．2cm B． C．3cm D．
【答案】B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设该圆锥的底面半径为，铁球的半径为，
则，
解得，
所以，
解得.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和球的表面积公式，从而求出铁球的半径，再结合等体积法和圆锥的体积公式，从而得出该圆锥的底面的半径.
6．（2025高三上·岳麓月考）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：因为在上单调递增，
所以只需
解得．
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的单调性、幂函数的单调性，再结合分界点处两函数的单调性与整体保持一致，从而列不等式组求解得出实数a的取值范围.
7．（2025高三上·岳麓月考）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【解答】解：由，，
可得，
由题意，可得，
解得，
因为，所以，
则实数的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】根据题意代入结合正弦型函数的单调性，从而得出实数的取值范围.
8．（2025高三上·岳麓月考）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数单调性的应用；利用对数函数的单调性比较大小；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：易知，
，
，
所以.
故答案为：C.
【分析】通过已知条件和指数函数的单调性、对数函数的单调性、三角函数的单调性以及与中间值的大小比较，从而比较出a，b，c的大小.
9．（2025高三上·岳麓月考）下列命题正确的是（ ）
A．两个随机变量的线性相关性越强，则样本相关系数越接近于1
B．对具有线性相关关系的变量，，有一组观测数据，其经验回归方程是，且，则实数的值是
C．已知随机变量的方差为4，则的标准差是6
D．已知随机变量，若，则
【答案】B,C
【知识点】线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征；离散型随机变量的期望与方差；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：对于A，因为两个随机变量的线性相关性越强，
则样本相关系数的绝对值越接近于1，故A错误；
对于B，因为，，
所以，
所以，故B正确；
对于C，已知随机变量的方差为4，
则的方差是，
所以标准差为，故C正确；
对于D，由，
由对称性，可得，
所以，故D错误.
故答案为：BC．
【分析】由相关系数的绝对值与1和0的关系与两个随机变量的线性相关性强弱的关系，则判断出选项A；由样本中心点计算出相关系数的方法，则判断出选项B；由方差的性质判断出选项C；由正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性，从而得出的值，则判断出选项D，从而找出真命题的选项.
10．（2025高三上·岳麓月考）已知函数是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数在区间上单调递减
C．过点能作两条不同的直线与相切
D．函数有5个零点
【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于A，由函数，
可得，
因为是函数的一个极值点，
所以，
解得，经检验适合题意，所以A正确：
对于B，由，
令，解得或，
当时，；当时，；当时，，
则在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以B正确：
对于C，设过点且与函数相切的切点为，
则该切线方程为，
因为切点满足直线方程，
则，
整理得，解得，
所以只能作一条切线，所以C错误：
对于D，令，则的根有三个，如图所示，
则，
所以方程有3个不同根，
则方程和均有1个根，
所以有5个零点，所以D正确.
故答案为：ABD.
【分析】先根据函数的极值点得出参数的值，再利用导数正负判断函数的单调性，则判断出选项A和选项B，利用导数的几何意义和代入法得出曲线点的切线方程，再根据切点的个数判断切线的条数，则判断出选项C；先根据结合数形结合确定的取值范围，再结合函数图象确定的零点个数，则可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
11．（2025高三上·岳麓月考）已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，抛物线上一点到点的距离为，点，是抛物线上的两点，点是的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则点到轴的距离为
C．若延长线交轴于，且是的中点，则
D．当取最小值时，
【答案】A,C,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：过点分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，连接，
如图：
对于A，由题意知，，
所以，，故A正确；
对于B，因为点是的中点，
所以是梯形的中位线，
则，
所以，点到轴的距离为，故B错误；
对于C，因为，设，，
又因为是的中点，则，
所以，故C正确；
对于D，因为，
所以当最大时，即直线与抛物线相切时，取最小值，
易知直线的斜率不为0，，
设直线：，
则，
消去得，
则，
解得，
则，
所以，当直线为或时，取最小值，此时，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据抛物线的定义可求出的值，则可判断选项A；利用抛物线的定义转化为梯形中边之间的关系，则可判断选项B；根据点是的中点，从而求出点的横坐标，再结合抛物线的定义可判断选项C；利用抛物线的定义，将取最小值转化为最大，则直线与抛物线相切，再联立直线方程和抛物线方程，令，从而求解判断选项D，进而找出说法正确的选项.
12．（2025高三上·岳麓月考）已知抛物线的准线为，点在上，直线，点到直线的距离与到直线的距离之和的最小值是 .
【答案】3
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意，则抛物线的焦点为，
由抛物线的定义，知点到直线的距离等于点到点的距离，
因此点到直线的距离与到直线的距离之和的最小值，即为点到直线的距离，
则点到直线的距离与到直线的距离之和的最小值.
故答案为：3.
【分析】根据抛物线的定义，把问题转化为点到直线的距离求解，从而得出点到直线的距离与到直线的距离之和的最小值.
13．（2025高三上·岳麓月考）已知函数（为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由在上恒成立，
所以在上恒成立，
则，其中，
令，则，
令，解得；令，解得，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，
则.所以的取值范围是.
故答案为：.
【分析】根据题意结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出，令，再利用求导判断函数的单调性，从而得出函数的最值，进而得出实数m的取值范围.
14．（2025高三上·岳麓月考）已知样本相关系数，则成对样本数据，，，，的相关系数为 .
【答案】
【知识点】样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
则，
所以.
故答案为：.
【分析】根据相关系数的计算公式分别计算出各数据，从而得出成对样本数据，，，，的相关系数.
15．（2025高三上·岳麓月考）在中，内角，，的对边分别为，，，且，.
（1）求角和；
（2）已知，设、为线段上的两个动点（靠近点），且.
①若，求的周长；
②当为何值时，的面积最小，最小面积是多少？
【答案】（1）解：已知，由正弦定理可得，
又，所以，则，又，所以；
因为，由余弦定理可得，
即，由正弦定理可得，
所以，
则，
所以，
即，即，即，
又，所以，所以，则；
（2）解：①由（1）可知，因为，由正弦定理，所以，，
在中，由余弦定理可得
，则，
因为，所以，
∵，∴，
∴，∴的周长为.
②已知如图所示：
设，
在中，，
由正弦定理，得，
又在中，由正弦定理可得，得，
所以
，
所以当且仅当，即时，的面积取最小值为.
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）先利用正弦定理将边化角可得，即可求出，再利用余弦定理可得再利用正弦定理将边化角，即可求出；
（2）①利用余弦定理可求出的长，推导出，可求出、的长，即可得出的周长；
②设，由正弦定理得出，利用三角形的面积公式结合三角恒等变换、三角函数的基本性质可求出面积的最小值及其对应的值.
（1）因为，由正弦定理可得，
又，所以，则，又，所以；
因为，由余弦定理可得，
即，由正弦定理可得，
所以，
则，
所以，
即，即，即，
又，所以，所以，则；
（2）①由（1）可知，
因为，由正弦定理，所以，，
在中，由余弦定理可得
，则，
因为，所以，
∵，∴，
∴，∴的周长为.
②设，
在中，，
由正弦定理，得，
又在中，由正弦定理可得，得，
所以
，
所以当且仅当，即时，的面积取最小值为.
16．（2025高三上·岳麓月考）已知椭圆上任意一点到的两个焦点的距离之和为.
（1）求的方程；
（2）已知直线与相交于A，B两点，若，求的值.
【答案】（1）解：由题意，可得，
解得，
则椭圆的方程为.
（2）解：依题意，联立，
得，
则，
解得，
设，
则，
所以
，
解得，
则的值为.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意结合焦点的坐标、椭圆的定义和椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得到关于的方程组，解方程组得出a，b，c的值，进而得出椭圆C的标准方程.
（2）先联立直线方程和椭圆方程，再利用韦达定理得出根与系数的关系式，再结合已知条件和弦长公式，从而得出实数m的值.
（1）由题意可得，解得，
故的方程为.
（2）联立，得.
，解得.
设，则，
，
解得，即的值为.
17．（2025高三上·岳麓月考）如图，四棱锥的底面是矩形，平面，，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：因为，为的中点，
所以，
又因为四棱锥的底面是矩形，
所以，
所以与相似，
故，
因为，
所以，
故，
又因为底面，底面，
所以，
因为，平面，
所以平面.
（2）解：因为平面，平面，
所以，，
又因为四棱锥的底面是矩形，
所以，
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，.
因为平面，
所以平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则
所以
令，则，，此时，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用三角形相似证出，再结合线面垂直的判定定理证出平面
（2）建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积 为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而分别求出平面的法向量与平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式，从而得出平面与平面夹角的余弦值．
（1）因为，为的中点，所以，
因为四棱锥的底面是矩形，所以，
所以与相似，故，
因为，所以，故，
因为底面，底面，所以，
因为，平面，所以平面.
（2）因为平面，平面，所以，，
因为四棱锥的底面是矩形，所以.
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
所以，，.
因为平面，所以平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则即
令，则，，此时，
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
18．（2025高三上·岳麓月考）已知函数，．
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）求函数的单调增区间；
（3）若存在极大值点，求证：．
【答案】（1）解：若，则，
，，
曲线在处切线的斜率，
曲线在处的切线方程为.
（2）解：，定义域为，
，
当时，令，得或，
函数的单调增区间为和；
当时，，
函数的单调增区间为；
当时，令，得或，
函数的单调增区间为和，
综上所述，当时，函数的单调增区间为和；
当时，函数的单调增区间为；
当时，函数的单调增区间为和.
（3）证明：当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，
的极大值为；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，
的极大值为，
，，
，
；
当时，在单调递增，此时无极值，不合题意，
综上所述，若存在极大值点，则.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，再利用代入法得出切点坐标，再结合点斜式求出曲线在处的切线的方程.
（2）先求导，再结合导数的正负，从而分情况讨论出函数的单调递增区间.
（3）利用函数的单调性求出函数的极大值，再根据的取值范围证出不等式成立.
（1）若，则，，，
曲线在处切线的斜率，
曲线在处的切线方程为；
（2），定义域为，
，
当时，令，得或，
函数的单调增区间为和；
当时，，函数的单调增区间为；
当时，令，得或，
函数的单调增区间为和．
综上，当时，函数的单调增区间为和；
当时，函数的单调增区间为；
当时，函数的单调增区间为和；
（3）当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，
的极大值为；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，
的极大值为，
，，，；
当时，在单调递增，此时无极值，不合题意；
综上，若存在极大值点，则．
19．（2025高三上·岳麓月考）在数列中，，．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求的通项公式；
（3）若，求数列的前项和．
【答案】（1）证明：因为，
所以，
则，
因为，
所以，
则数列是首项是，公差为1的等差数列．
（2）解：由（1）可得，
则，
所以．
（3）解：由（2）可得，则
．
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据等差数列的定义和递推公式变形，从而证出数列是等差数列.
（2）根据（1）的结论，再结合等差数列的通项公式，从而得出数列的通项公式.
（3）利用分组求和法结合等差数列前n项和公式和等比数列的前项和，从而得出数列的前项和.
（1）因为，所以，
所以．
因为，所以，
所以数列是首项是，公差为1的等差数列．
（2）由（1）可得，
则，故．
（3）由（2）可得，
则
．
1 / 1湖南省长沙市岳麓实验中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题
1．（2025高三上·岳麓月考）已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高三上·岳麓月考）已知，则（ ）
A． B．1 C． D．2
3．（2025高三上·岳麓月考）已知向量，且，则（ ）
A．1 B．5 C． D．
4．（2025高三上·岳麓月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高三上·岳麓月考）若将一个表面积为的铁球熔铸成一个高为9cm的实心圆锥（熔铸过程中损耗忽略不计），则该圆锥的底面半径为（ ）
A．2cm B． C．3cm D．
6．（2025高三上·岳麓月考）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高三上·岳麓月考）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高三上·岳麓月考）若，，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高三上·岳麓月考）下列命题正确的是（ ）
A．两个随机变量的线性相关性越强，则样本相关系数越接近于1
B．对具有线性相关关系的变量，，有一组观测数据，其经验回归方程是，且，则实数的值是
C．已知随机变量的方差为4，则的标准差是6
D．已知随机变量，若，则
10．（2025高三上·岳麓月考）已知函数是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数在区间上单调递减
C．过点能作两条不同的直线与相切
D．函数有5个零点
11．（2025高三上·岳麓月考）已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，抛物线上一点到点的距离为，点，是抛物线上的两点，点是的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则点到轴的距离为
C．若延长线交轴于，且是的中点，则
D．当取最小值时，
12．（2025高三上·岳麓月考）已知抛物线的准线为，点在上，直线，点到直线的距离与到直线的距离之和的最小值是 .
13．（2025高三上·岳麓月考）已知函数（为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是 .
14．（2025高三上·岳麓月考）已知样本相关系数，则成对样本数据，，，，的相关系数为 .
15．（2025高三上·岳麓月考）在中，内角，，的对边分别为，，，且，.
（1）求角和；
（2）已知，设、为线段上的两个动点（靠近点），且.
①若，求的周长；
②当为何值时，的面积最小，最小面积是多少？
16．（2025高三上·岳麓月考）已知椭圆上任意一点到的两个焦点的距离之和为.
（1）求的方程；
（2）已知直线与相交于A，B两点，若，求的值.
17．（2025高三上·岳麓月考）如图，四棱锥的底面是矩形，平面，，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
18．（2025高三上·岳麓月考）已知函数，．
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）求函数的单调增区间；
（3）若存在极大值点，求证：．
19．（2025高三上·岳麓月考）在数列中，，．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求的通项公式；
（3）若，求数列的前项和．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】集合关系中的参数取值问题；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【解答】解：由，
可得，解得，
所以，
由，可得，
又因为，所以，
所以，实数 的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】解一元二次不等式得出集合，由已知条件结合并集和集合间关系的推导关系，从而可得，再利用集合间的包含关系，从而借助数轴和分类讨论的方法，进而得出实数 的取值范围.
2．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由题意，得，
由复数的模长公式，
得.
故答案为：C.
【分析】利用复数的运算性质，从而得到，再利用复数的模长公式，从而求解得出复数z的模.
3．【答案】B
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：已知，则，
因为，
所以，
解得．
故答案为：B．
【分析】先利用向量的坐标运算可得，再利用根向量垂直的坐标表示解方程即可求解.
4．【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：由题意结合诱导公式，
得，
由二倍角的余弦公式，
得.
故答案为：B.
【分析】利用诱导公式将目标式化为，再利用二倍角的余弦公式得出的值.
5．【答案】B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设该圆锥的底面半径为，铁球的半径为，
则，
解得，
所以，
解得.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和球的表面积公式，从而求出铁球的半径，再结合等体积法和圆锥的体积公式，从而得出该圆锥的底面的半径.
6．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：因为在上单调递增，
所以只需
解得．
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的单调性、幂函数的单调性，再结合分界点处两函数的单调性与整体保持一致，从而列不等式组求解得出实数a的取值范围.
7．【答案】A
【知识点】含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【解答】解：由，，
可得，
由题意，可得，
解得，
因为，所以，
则实数的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】根据题意代入结合正弦型函数的单调性，从而得出实数的取值范围.
8．【答案】C
【知识点】指数函数单调性的应用；利用对数函数的单调性比较大小；利用三角函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：易知，
，
，
所以.
故答案为：C.
【分析】通过已知条件和指数函数的单调性、对数函数的单调性、三角函数的单调性以及与中间值的大小比较，从而比较出a，b，c的大小.
9．【答案】B,C
【知识点】线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征；离散型随机变量的期望与方差；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：对于A，因为两个随机变量的线性相关性越强，
则样本相关系数的绝对值越接近于1，故A错误；
对于B，因为，，
所以，
所以，故B正确；
对于C，已知随机变量的方差为4，
则的方差是，
所以标准差为，故C正确；
对于D，由，
由对称性，可得，
所以，故D错误.
故答案为：BC．
【分析】由相关系数的绝对值与1和0的关系与两个随机变量的线性相关性强弱的关系，则判断出选项A；由样本中心点计算出相关系数的方法，则判断出选项B；由方差的性质判断出选项C；由正态分布对应的概率密度函数的图象的对称性，从而得出的值，则判断出选项D，从而找出真命题的选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于A，由函数，
可得，
因为是函数的一个极值点，
所以，
解得，经检验适合题意，所以A正确：
对于B，由，
令，解得或，
当时，；当时，；当时，，
则在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以B正确：
对于C，设过点且与函数相切的切点为，
则该切线方程为，
因为切点满足直线方程，
则，
整理得，解得，
所以只能作一条切线，所以C错误：
对于D，令，则的根有三个，如图所示，
则，
所以方程有3个不同根，
则方程和均有1个根，
所以有5个零点，所以D正确.
故答案为：ABD.
【分析】先根据函数的极值点得出参数的值，再利用导数正负判断函数的单调性，则判断出选项A和选项B，利用导数的几何意义和代入法得出曲线点的切线方程，再根据切点的个数判断切线的条数，则判断出选项C；先根据结合数形结合确定的取值范围，再结合函数图象确定的零点个数，则可判断选项D，从而找出说法正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：过点分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，连接，
如图：
对于A，由题意知，，
所以，，故A正确；
对于B，因为点是的中点，
所以是梯形的中位线，
则，
所以，点到轴的距离为，故B错误；
对于C，因为，设，，
又因为是的中点，则，
所以，故C正确；
对于D，因为，
所以当最大时，即直线与抛物线相切时，取最小值，
易知直线的斜率不为0，，
设直线：，
则，
消去得，
则，
解得，
则，
所以，当直线为或时，取最小值，此时，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据抛物线的定义可求出的值，则可判断选项A；利用抛物线的定义转化为梯形中边之间的关系，则可判断选项B；根据点是的中点，从而求出点的横坐标，再结合抛物线的定义可判断选项C；利用抛物线的定义，将取最小值转化为最大，则直线与抛物线相切，再联立直线方程和抛物线方程，令，从而求解判断选项D，进而找出说法正确的选项.
12．【答案】3
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意，则抛物线的焦点为，
由抛物线的定义，知点到直线的距离等于点到点的距离，
因此点到直线的距离与到直线的距离之和的最小值，即为点到直线的距离，
则点到直线的距离与到直线的距离之和的最小值.
故答案为：3.
【分析】根据抛物线的定义，把问题转化为点到直线的距离求解，从而得出点到直线的距离与到直线的距离之和的最小值.
13．【答案】.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：由在上恒成立，
所以在上恒成立，
则，其中，
令，则，
令，解得；令，解得，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，
则.所以的取值范围是.
故答案为：.
【分析】根据题意结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出，令，再利用求导判断函数的单调性，从而得出函数的最值，进而得出实数m的取值范围.
14．【答案】
【知识点】样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
则，
所以.
故答案为：.
【分析】根据相关系数的计算公式分别计算出各数据，从而得出成对样本数据，，，，的相关系数.
15．【答案】（1）解：已知，由正弦定理可得，
又，所以，则，又，所以；
因为，由余弦定理可得，
即，由正弦定理可得，
所以，
则，
所以，
即，即，即，
又，所以，所以，则；
（2）解：①由（1）可知，因为，由正弦定理，所以，，
在中，由余弦定理可得
，则，
因为，所以，
∵，∴，
∴，∴的周长为.
②已知如图所示：
设，
在中，，
由正弦定理，得，
又在中，由正弦定理可得，得，
所以
，
所以当且仅当，即时，的面积取最小值为.
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）先利用正弦定理将边化角可得，即可求出，再利用余弦定理可得再利用正弦定理将边化角，即可求出；
（2）①利用余弦定理可求出的长，推导出，可求出、的长，即可得出的周长；
②设，由正弦定理得出，利用三角形的面积公式结合三角恒等变换、三角函数的基本性质可求出面积的最小值及其对应的值.
（1）因为，由正弦定理可得，
又，所以，则，又，所以；
因为，由余弦定理可得，
即，由正弦定理可得，
所以，
则，
所以，
即，即，即，
又，所以，所以，则；
（2）①由（1）可知，
因为，由正弦定理，所以，，
在中，由余弦定理可得
，则，
因为，所以，
∵，∴，
∴，∴的周长为.
②设，
在中，，
由正弦定理，得，
又在中，由正弦定理可得，得，
所以
，
所以当且仅当，即时，的面积取最小值为.
16．【答案】（1）解：由题意，可得，
解得，
则椭圆的方程为.
（2）解：依题意，联立，
得，
则，
解得，
设，
则，
所以
，
解得，
则的值为.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意结合焦点的坐标、椭圆的定义和椭圆中a，b，c三者的关系式，从而得到关于的方程组，解方程组得出a，b，c的值，进而得出椭圆C的标准方程.
（2）先联立直线方程和椭圆方程，再利用韦达定理得出根与系数的关系式，再结合已知条件和弦长公式，从而得出实数m的值.
（1）由题意可得，解得，
故的方程为.
（2）联立，得.
，解得.
设，则，
，
解得，即的值为.
17．【答案】（1）证明：因为，为的中点，
所以，
又因为四棱锥的底面是矩形，
所以，
所以与相似，
故，
因为，
所以，
故，
又因为底面，底面，
所以，
因为，平面，
所以平面.
（2）解：因为平面，平面，
所以，，
又因为四棱锥的底面是矩形，
所以，
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，.
因为平面，
所以平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则
所以
令，则，，此时，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用三角形相似证出，再结合线面垂直的判定定理证出平面
（2）建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积 为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而分别求出平面的法向量与平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式，从而得出平面与平面夹角的余弦值．
（1）因为，为的中点，所以，
因为四棱锥的底面是矩形，所以，
所以与相似，故，
因为，所以，故，
因为底面，底面，所以，
因为，平面，所以平面.
（2）因为平面，平面，所以，，
因为四棱锥的底面是矩形，所以.
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
所以，，.
因为平面，所以平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则即
令，则，，此时，
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
18．【答案】（1）解：若，则，
，，
曲线在处切线的斜率，
曲线在处的切线方程为.
（2）解：，定义域为，
，
当时，令，得或，
函数的单调增区间为和；
当时，，
函数的单调增区间为；
当时，令，得或，
函数的单调增区间为和，
综上所述，当时，函数的单调增区间为和；
当时，函数的单调增区间为；
当时，函数的单调增区间为和.
（3）证明：当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，
的极大值为；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，
的极大值为，
，，
，
；
当时，在单调递增，此时无极值，不合题意，
综上所述，若存在极大值点，则.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，再利用代入法得出切点坐标，再结合点斜式求出曲线在处的切线的方程.
（2）先求导，再结合导数的正负，从而分情况讨论出函数的单调递增区间.
（3）利用函数的单调性求出函数的极大值，再根据的取值范围证出不等式成立.
（1）若，则，，，
曲线在处切线的斜率，
曲线在处的切线方程为；
（2），定义域为，
，
当时，令，得或，
函数的单调增区间为和；
当时，，函数的单调增区间为；
当时，令，得或，
函数的单调增区间为和．
综上，当时，函数的单调增区间为和；
当时，函数的单调增区间为；
当时，函数的单调增区间为和；
（3）当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，
的极大值为；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，
的极大值为，
，，，；
当时，在单调递增，此时无极值，不合题意；
综上，若存在极大值点，则．
19．【答案】（1）证明：因为，
所以，
则，
因为，
所以，
则数列是首项是，公差为1的等差数列．
（2）解：由（1）可得，
则，
所以．
（3）解：由（2）可得，则
．
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据等差数列的定义和递推公式变形，从而证出数列是等差数列.
（2）根据（1）的结论，再结合等差数列的通项公式，从而得出数列的通项公式.
（3）利用分组求和法结合等差数列前n项和公式和等比数列的前项和，从而得出数列的前项和.
（1）因为，所以，
所以．
因为，所以，
所以数列是首项是，公差为1的等差数列．
（2）由（1）可得，
则，故．
（3）由（2）可得，
则
．
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