湖南省长沙市望城区第二中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题
1．（2025高三上·望城月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为，
，
所以，
则.
故答案为：C．
【分析】利用偶次根式函数求定义域的方法，从而得出集合A，再利用二次函数求值域的方法得出集合B，再结合交集和补集的运算法则，从而得出集合.
2．（2025高三上·望城月考）已知为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据复数的除法运算法则，从而求出，再利用复数求模公式得出的值.
3．（2025高三上·望城月考）已知向量，满足，且与的夹角为，则（ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
【答案】B
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由，且与的夹角为，
所以
.
故答案为：B.
【分析】利用数量积的运算律展开所求的式子，再根据数量积的定义和已知条件，从而得出.
4．（2025高三上·望城月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：由题意结合诱导公式，
得，
由二倍角的余弦公式，
得.
故答案为：B.
【分析】利用诱导公式将目标式化为，再利用二倍角的余弦公式得出的值.
5．（2025高三上·望城月考）已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开图是圆心角为的扇环，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，圆台的上、下底面半径分别为1和2，
因为圆台的侧面展开图是圆心角为的扇环，
所以圆台的母线长度为，
设圆台的高为，
由勾股定理，得，
由圆台的体积公式，
则该圆台的体积为.
故答案为：A.
【分析】利用圆台的性质求出母线长度，再结合勾股定理求出圆台的高，再利用圆台的体积公式得出该圆台的体积.
6．（2025高三上·望城月考）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：由题意，易知函数定义域为，
因为，
所以函数为偶函数，
当时，，则，
令，结合对勾函数在单调递增，在单调递增，
由复合函数的单调性，可知：在上单调递增，
又因为在上单调递增，
所以在上单调递增，
易知在上单调递增，
结合函数为偶函数，
由，可得，
平方得：，
解得或，
所以，不等式的解集为.
故答案为：D.
【分析】由已知条件和函数的奇偶性、单调性，从而得出不等式的解集.
7．（2025高三上·望城月考）若函数至少存在一个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为函数至少存在一个零点，
所以有解，
则有解，
令，
则
所以，因为，由图象可知，
所以，
则在上单调递减，
令，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，且当时，，
所以的取值范围为函数的值域，
则的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】将已知条件转化为有解，再利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的最值，再根据函数值域得出实数m的取值范围.
8．（2025高三上·望城月考）已知函数，若，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：设 ，
定义域为 ，关于原点对称，且 ，
所以，函数 为奇函数，
则 ，
所以 ，
则 ，
因为为增函数，所以 ，则 ，
所以
则 ，
所以与同号，显然它们都是正数，
则
，
当且仅当时 ，即当时等号成立.
故答案为： D.
【分析】设，利用奇函数的定义和增函数的定义，则函数为奇函数且是增函数，再由可得，则，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
9．（2025高三上·望城月考）如图，已知正方体中，分别为棱、的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．四点共面 B．与异面
C． D．RS与所成角为
【答案】A,C
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系；异面直线的判定；共面向量定理；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：以D为坐标原点，
分别以所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，
则，
因为分别为棱、的中点，
所以.
对于A，因为，
所以，则，
所以四点共面，故A正确；
对于B，因为，
所以，则且，
所以四边形为平行四边形，则，故B错误；
对于C，因为，
所以，
则，所以，故C正确；
对于D，因为，
所以，，
则，
设RS与所成角为，，
则，所以，
所以与所成角为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长可得各点的坐标，则得出向量的坐标，再利用向量共线的坐标表示判断出四点共面，则判断出选项A；利用向量相等得出四边形一组对边平行且相等，则判断出四边形为平行四边形，则得出线线平行，从而判断出选项B；利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，则判断出选项C；利用数量积求向量夹角公式和异面直线所成的角的取值范围，则得出RS与所成角，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
10．（2025高三上·望城月考）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．，使得
B．函数的图象是一个中心对称图形
C．曲线有且只有一条斜率为的切线
D．存在实数，，使得函数的定义域，值域为
【答案】A,B,D
【知识点】函数的值域；导数的几何意义；图形的对称性
【解析】【解答】解：因为，
当，所以，
可得，且，
则，使得，故A正确；
因为，
所以函数的一个中心对称为，故B正确；
因为，又因为，
所以，
则函数没有斜率为的切线，故C错误；
令，又因为，
所以，
则两函数有两个交点，
所以存在实数，，使得函数的定义域，值域为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用函数的解析式求解指数方程计算，则判断出选项A；利用函数图象的对称性，则判断出选项B；利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的值域，则判断出选项C；利用两函数的交点，则得出存在实数，，使得函数的定义域，值域为，从而判断出选项D，进而找出结论正确的选项.
11．（2025高三上·望城月考）已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论错误的是（ ）
A．的最小值为2
B．抛物线C关于x轴对称
C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条
D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4
【答案】A,B
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设，则，，又因为抛物线的焦点为，
对于A，由题意可知，时，等号成立，
所以的最小值是1，故A错误；
对于B，因为抛物线的焦点在轴上，抛物线关于轴对称，故B错误；
对于C，由题意知点在抛物线的内部（含有焦点的部分），
因此过与对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点，其他直线与抛物线都有两个公共点，
故C正确；
对于D，记抛物线的准线为，准线方程为，
过作于，过作于，
则，，
则当三点共线时，即当与重合时，最小，最小值为，故D正确．
故答案为：AB．
【分析】根据焦半径公式结合已知条件，则判断出选项A；由抛物线的图形的对称性，则判断出选项B；由直线与抛物线的位置关系判断出选项C；结合抛物线的定义，把转化为点到准线的距离后，可得出题中距离和的最小值，则判断出选项D，从而找出结论错误的选项．
12．（2025高三上·望城月考）如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 .
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：因为直线的方程为：，直线的方程为：，
将两直线方程联立，解得：，
则在椭圆上，
所以，
解得：.
故答案为：.
【分析】将两直线方程联立得出交点坐标，再利用代入法和椭圆中a，b，c三者的关系式以及椭圆的离心率公式，从而得出该椭圆的离心率的值.
13．（2025高三上·望城月考）已知抛物线的准线为，点在上，直线，点到直线的距离与到直线的距离之和的最小值是 .
【答案】3
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意，则抛物线的焦点为，
由抛物线的定义，知点到直线的距离等于点到点的距离，
因此点到直线的距离与到直线的距离之和的最小值，即为点到直线的距离，
则点到直线的距离与到直线的距离之和的最小值.
故答案为：3.
【分析】根据抛物线的定义，把问题转化为点到直线的距离求解，从而得出点到直线的距离与到直线的距离之和的最小值.
14．（2025高三上·望城月考）函数在处取得极大值，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：因为f（x）的导数为f'（x）＝[ax2﹣（2a+1）x+2]ex＝（x﹣2）（ax﹣1）ex，
若a＝0，则当x＜2时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x＞2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
则当x＝2处f（x）取得极大值，满足题意；
若a，则f'（x）（x﹣2）2ex≥0，f（x）单调递增，无极值；
若a，则2，f（x）在（，2）单调递减；在（2，+∞），（﹣∞，）单调递增，
可得f（x）在x＝2处取得极小值，不满足题意；
当0＜a，则2，f（x）在（2，）单调递减；在（，+∞），（﹣∞，2）单调递增，
可得f（x）在x＝2处取得极大值，满足题意；
若a＜0，则当x＜2时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
则在x＝2处f（x）取得极大值，满足题意，
综上所述，a的取值范围是：（﹣∞，）．
故答案为：．
【分析】先得出函数f（x）的导数，注意分解因式，再讨论a＝0，a，a，0＜a，a＜0几种情况，由函数极大值的定义可得实数a的取值范围．
15．（2025高三上·望城月考）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．
（1）求角A；
（2）点M在线段上，且满足．若，求的面积．
【答案】（1）解：由正弦定理，可得：，
∵，∴，，
则，
∵，
∴，．
（2）解：令，，
则，
因为，四边形为菱形，为的角平分线，
所以，
则，即，
由余弦定理，可得：，
则，
解得：，
∴．
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合二倍角正弦公式计算，再结合角A的取值范围，从而得出角A的值.
（2）先利用数量积运算律和数量积的定义化简，再结合三角形面积公式和余弦定理计算，从而得出的面积.
（1）由正弦定理可得：，
∵，∴，，即，
∵，∴，．
（2）令，，则．
又，四边形为菱形，为的角平分线．
，，
，即，
由余弦定理可得：，
即：，解得：，
∴．
16．（2025高三上·望城月考）已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由．
【答案】（1）解：因为双曲线的离心率为，
可得，
则，
所以，
可得，
则，
所以，
则双曲线的方程为.
（2）证明：若直线与轴重合，
则点、为双曲线实轴的端点，不合乎题意，
设直线的方程为，再设点、，
联立，
可得，
则，
可得，
由韦达定理，可得，，
则直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程，
可得
，
解得，
因此，点在定直线上.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用双曲线的离心率公式可知，从而可得，利用三角形的面积公式求出的值，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式，从而得出、的值，进而得出双曲线的标准方程.
（2）利用已知条件分析可知直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，从而列出韦达定理式，再将直线方程和直线的方程联立，从而求出这两条直线交点的横坐标，进而证出点在定直线上.
（1）解：因为双曲线的离心率为，可得，则，
则，可得，则，，
因此，双曲线的方程为.
（2）证明：若直线与轴重合，则点、为双曲线实轴的端点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立可得，
则，可得，
由韦达定理可得，，
直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得
，解得.
因此，点在定直线上.
17．（2025高三上·望城月考）如图，在四棱锥中，侧棱长均为，四边形是矩形，.
（1）证明：平面平面.
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）证明：连接交于点，
记的中点分别为，连接，
在中，是的中点，
所以，
因为平面，
所以平面，
又因为平面，
所以，
在矩形中，，
因为平面，
所以平面，
又因为平面，
所以，
由，同理得，
又因为，
所以，则，
因为平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面.
（2）解：作，垂足为，
以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，
，
所以，，
则，
设是平面的法向量，
则，
所以，可取，
设是平面的法向量，
则，
所以，可取，
则，
所以，
则二面角的正弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接交于点，记的中点分别为，连接，根据已知条件和线面垂直的判定定理、性质定理，从而证出直线平面，再由面面垂直的判定定理，从而证出平面平面.
（2）构建合适的空间直角坐标系，从而得出相关点的坐标，则得出向量的坐标，求出相关平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式，从而得出二面角的余弦值，利用同角三角函数基本关系式，从而得出二面角的正弦值.
（1）连接交于点，记的中点分别为，连接，
在中，是的中点，
所以，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以，
在矩形中，，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以，
由，同理得，又，
所以，即，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）作，垂足为，
以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，
所以，，
所以，
设是平面的法向量，则，即，可取，
设是平面的法向量，则，即，可取，
，则，
故二面角的正弦值为.
18．（2025高三上·望城月考）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若函数的图象与轴相切于原点．
（ⅰ）求的解析式，并证明：对任意的，恒成立；
（ⅱ）若在上有唯一实根，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：因为，
所以，
若，则恒成立，此时在上单调递增；
若，令，则，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）解：（ⅰ）由题意，得，
解得，则，
所以，
由（1）知，在上单调递减，上单调递增，
所以，则恒成立．
（ⅱ）由，
则，
令，，
所以，
记，，
则，
所以．
①当时，当时，设，
则，
所以在上单调递增，
又因为，，
所以存在唯一实数，使得.
当时，，
则当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又因为，，
所以，，有，
且当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又因为，，
所以存在唯一实数，使得，满足题意．
②当时，
解法一：设，，
则，
所以函数在上单调递减，
又因为，可得在时恒成立，
则在上恒成立，
当时，
，
记，，则，
由（ⅰ）可知，，所以在上单调递增，
则，所以恒成立，
则在上不存在零点，不满足题意．
解法二：当时，，
取，
则，
设，，
则，
所以在上单调递增，则，
所以在上单调递增，则，
所以，
则函数在上不存在零点，不满足题意，
综上所述，实数的取值范围为．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）先求导，再分和两种情况讨论判断出函数的单调性.
（2）（i）由函数的图象与轴相切于原点，可得，从而得出的值，进而得到函数的解析式，再结合函数的单调性证出不等式成立.
（ii）由在上有唯一实根，设，，再求导可得，分和两种情况求解得出实数k的取值范围.
（1）因为，
所以，
若，则恒成立，此时在上单调递增；
若，则令，则，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）（ⅰ）由题意：，解得．
故，则，
由（1）知，在上单调递减，上单调递增，
所以，
即恒成立．
（ⅱ）由，即，
令，，
所以，
记，，
故，
所以．
①当时，当时，设，
则，
所以在上单调递增，
又，，
所以存在唯一实数，使得.
当时，，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又，，
所以，有，
且当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又，，
所以存在唯一实数，使得，满足题意．
②当时，
解法一：设，，
则，
所以函数在上单调递减，
又，可得在时恒成立，
即在上恒成立，
当时，，
记，，
则，由（ⅰ）可知，，
所以在上单调递增，
所以，即恒成立，
所以在上不存在零点，不满足题意．
解法二：当时，，
取，
则，
设，，
则，
所以在上单调递增，
所以，
所以在上单调递增，
所以，即有，
所以在上不存在零点，不满足题意．
综上所述，实数的取值范围为．
19．（2025高三上·望城月考）已知数列是公差不为零的等差数列，且，，成等差数列，，，成等比数列，.
（1）求m的值及的通项公式；
（2）令，，求证：.
【答案】（1）解：设的公差为，
，，成等差数列，
，
则，
考虑到，化简得，则
，
成等比数列，
，
则，
所以，
解得.
，，
解得，
，
，
解得，.
.
（2）证明：由（1）可知，，
则显然满足题意，
当时，，
所以
.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；等比中项；等差中项
【解析】【分析】（1）根据等差中项公式可得，再根据等比中项公式和等差数列的通项公式，从而得出实数m的值，利用已知条件可得的值，再根据等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）由数列的通项公式得出数列的通项公式，再利用放缩法和裂项求和法，从而证出不等式成立.
（1）设的公差为，
，，成等差数列，，
即，
考虑到，化简得，即
，成等比数列，
，即，
即，解得.
，，解得.
，，解得，.
.
（2）由（1）可知，
显然满足
当时，
所以
1 / 1湖南省长沙市望城区第二中学2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题
1．（2025高三上·望城月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高三上·望城月考）已知为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高三上·望城月考）已知向量，满足，且与的夹角为，则（ ）
A．6 B．8 C．10 D．14
4．（2025高三上·望城月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高三上·望城月考）已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，它的侧面展开图是圆心角为的扇环，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高三上·望城月考）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025高三上·望城月考）若函数至少存在一个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高三上·望城月考）已知函数，若，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2025高三上·望城月考）如图，已知正方体中，分别为棱、的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．四点共面 B．与异面
C． D．RS与所成角为
10．（2025高三上·望城月考）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．，使得
B．函数的图象是一个中心对称图形
C．曲线有且只有一条斜率为的切线
D．存在实数，，使得函数的定义域，值域为
11．（2025高三上·望城月考）已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论错误的是（ ）
A．的最小值为2
B．抛物线C关于x轴对称
C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条
D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4
12．（2025高三上·望城月考）如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为 .
13．（2025高三上·望城月考）已知抛物线的准线为，点在上，直线，点到直线的距离与到直线的距离之和的最小值是 .
14．（2025高三上·望城月考）函数在处取得极大值，则实数的取值范围为 ．
15．（2025高三上·望城月考）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．
（1）求角A；
（2）点M在线段上，且满足．若，求的面积．
16．（2025高三上·望城月考）已知双曲线实轴端点分别为、，右焦点为，离心率为，过点的直线与双曲线交于另一点，已知的面积为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若过点的直线与双曲线交于、两点，试探究直线与直线的交点是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由．
17．（2025高三上·望城月考）如图，在四棱锥中，侧棱长均为，四边形是矩形，.
（1）证明：平面平面.
（2）求二面角的正弦值.
18．（2025高三上·望城月考）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若函数的图象与轴相切于原点．
（ⅰ）求的解析式，并证明：对任意的，恒成立；
（ⅱ）若在上有唯一实根，求实数的取值范围．
19．（2025高三上·望城月考）已知数列是公差不为零的等差数列，且，，成等差数列，，，成等比数列，.
（1）求m的值及的通项公式；
（2）令，，求证：.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为，
，
所以，
则.
故答案为：C．
【分析】利用偶次根式函数求定义域的方法，从而得出集合A，再利用二次函数求值域的方法得出集合B，再结合交集和补集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：B.
【分析】根据复数的除法运算法则，从而求出，再利用复数求模公式得出的值.
3．【答案】B
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由，且与的夹角为，
所以
.
故答案为：B.
【分析】利用数量积的运算律展开所求的式子，再根据数量积的定义和已知条件，从而得出.
4．【答案】B
【知识点】二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：由题意结合诱导公式，
得，
由二倍角的余弦公式，
得.
故答案为：B.
【分析】利用诱导公式将目标式化为，再利用二倍角的余弦公式得出的值.
5．【答案】A
【知识点】台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，圆台的上、下底面半径分别为1和2，
因为圆台的侧面展开图是圆心角为的扇环，
所以圆台的母线长度为，
设圆台的高为，
由勾股定理，得，
由圆台的体积公式，
则该圆台的体积为.
故答案为：A.
【分析】利用圆台的性质求出母线长度，再结合勾股定理求出圆台的高，再利用圆台的体积公式得出该圆台的体积.
6．【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：由题意，易知函数定义域为，
因为，
所以函数为偶函数，
当时，，则，
令，结合对勾函数在单调递增，在单调递增，
由复合函数的单调性，可知：在上单调递增，
又因为在上单调递增，
所以在上单调递增，
易知在上单调递增，
结合函数为偶函数，
由，可得，
平方得：，
解得或，
所以，不等式的解集为.
故答案为：D.
【分析】由已知条件和函数的奇偶性、单调性，从而得出不等式的解集.
7．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为函数至少存在一个零点，
所以有解，
则有解，
令，
则
所以，因为，由图象可知，
所以，
则在上单调递减，
令，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，且当时，，
所以的取值范围为函数的值域，
则的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】将已知条件转化为有解，再利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的最值，再根据函数值域得出实数m的取值范围.
8．【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：设 ，
定义域为 ，关于原点对称，且 ，
所以，函数 为奇函数，
则 ，
所以 ，
则 ，
因为为增函数，所以 ，则 ，
所以
则 ，
所以与同号，显然它们都是正数，
则
，
当且仅当时 ，即当时等号成立.
故答案为： D.
【分析】设，利用奇函数的定义和增函数的定义，则函数为奇函数且是增函数，再由可得，则，再利用基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
9．【答案】A,C
【知识点】利用数量积判断平面向量的垂直关系；异面直线的判定；共面向量定理；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：以D为坐标原点，
分别以所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，
则，
因为分别为棱、的中点，
所以.
对于A，因为，
所以，则，
所以四点共面，故A正确；
对于B，因为，
所以，则且，
所以四边形为平行四边形，则，故B错误；
对于C，因为，
所以，
则，所以，故C正确；
对于D，因为，
所以，，
则，
设RS与所成角为，，
则，所以，
所以与所成角为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长可得各点的坐标，则得出向量的坐标，再利用向量共线的坐标表示判断出四点共面，则判断出选项A；利用向量相等得出四边形一组对边平行且相等，则判断出四边形为平行四边形，则得出线线平行，从而判断出选项B；利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，则判断出选项C；利用数量积求向量夹角公式和异面直线所成的角的取值范围，则得出RS与所成角，从而判断出选项D，进而找出说法正确的选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】函数的值域；导数的几何意义；图形的对称性
【解析】【解答】解：因为，
当，所以，
可得，且，
则，使得，故A正确；
因为，
所以函数的一个中心对称为，故B正确；
因为，又因为，
所以，
则函数没有斜率为的切线，故C错误；
令，又因为，
所以，
则两函数有两个交点，
所以存在实数，，使得函数的定义域，值域为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用函数的解析式求解指数方程计算，则判断出选项A；利用函数图象的对称性，则判断出选项B；利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的值域，则判断出选项C；利用两函数的交点，则得出存在实数，，使得函数的定义域，值域为，从而判断出选项D，进而找出结论正确的选项.
11．【答案】A,B
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设，则，，又因为抛物线的焦点为，
对于A，由题意可知，时，等号成立，
所以的最小值是1，故A错误；
对于B，因为抛物线的焦点在轴上，抛物线关于轴对称，故B错误；
对于C，由题意知点在抛物线的内部（含有焦点的部分），
因此过与对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点，其他直线与抛物线都有两个公共点，
故C正确；
对于D，记抛物线的准线为，准线方程为，
过作于，过作于，
则，，
则当三点共线时，即当与重合时，最小，最小值为，故D正确．
故答案为：AB．
【分析】根据焦半径公式结合已知条件，则判断出选项A；由抛物线的图形的对称性，则判断出选项B；由直线与抛物线的位置关系判断出选项C；结合抛物线的定义，把转化为点到准线的距离后，可得出题中距离和的最小值，则判断出选项D，从而找出结论错误的选项．
12．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：因为直线的方程为：，直线的方程为：，
将两直线方程联立，解得：，
则在椭圆上，
所以，
解得：.
故答案为：.
【分析】将两直线方程联立得出交点坐标，再利用代入法和椭圆中a，b，c三者的关系式以及椭圆的离心率公式，从而得出该椭圆的离心率的值.
13．【答案】3
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意，则抛物线的焦点为，
由抛物线的定义，知点到直线的距离等于点到点的距离，
因此点到直线的距离与到直线的距离之和的最小值，即为点到直线的距离，
则点到直线的距离与到直线的距离之和的最小值.
故答案为：3.
【分析】根据抛物线的定义，把问题转化为点到直线的距离求解，从而得出点到直线的距离与到直线的距离之和的最小值.
14．【答案】
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：因为f（x）的导数为f'（x）＝[ax2﹣（2a+1）x+2]ex＝（x﹣2）（ax﹣1）ex，
若a＝0，则当x＜2时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x＞2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
则当x＝2处f（x）取得极大值，满足题意；
若a，则f'（x）（x﹣2）2ex≥0，f（x）单调递增，无极值；
若a，则2，f（x）在（，2）单调递减；在（2，+∞），（﹣∞，）单调递增，
可得f（x）在x＝2处取得极小值，不满足题意；
当0＜a，则2，f（x）在（2，）单调递减；在（，+∞），（﹣∞，2）单调递增，
可得f（x）在x＝2处取得极大值，满足题意；
若a＜0，则当x＜2时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
则在x＝2处f（x）取得极大值，满足题意，
综上所述，a的取值范围是：（﹣∞，）．
故答案为：．
【分析】先得出函数f（x）的导数，注意分解因式，再讨论a＝0，a，a，0＜a，a＜0几种情况，由函数极大值的定义可得实数a的取值范围．
15．【答案】（1）解：由正弦定理，可得：，
∵，∴，，
则，
∵，
∴，．
（2）解：令，，
则，
因为，四边形为菱形，为的角平分线，
所以，
则，即，
由余弦定理，可得：，
则，
解得：，
∴．
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合二倍角正弦公式计算，再结合角A的取值范围，从而得出角A的值.
（2）先利用数量积运算律和数量积的定义化简，再结合三角形面积公式和余弦定理计算，从而得出的面积.
（1）由正弦定理可得：，
∵，∴，，即，
∵，∴，．
（2）令，，则．
又，四边形为菱形，为的角平分线．
，，
，即，
由余弦定理可得：，
即：，解得：，
∴．
16．【答案】（1）解：因为双曲线的离心率为，
可得，
则，
所以，
可得，
则，
所以，
则双曲线的方程为.
（2）证明：若直线与轴重合，
则点、为双曲线实轴的端点，不合乎题意，
设直线的方程为，再设点、，
联立，
可得，
则，
可得，
由韦达定理，可得，，
则直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程，
可得
，
解得，
因此，点在定直线上.
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用双曲线的离心率公式可知，从而可得，利用三角形的面积公式求出的值，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式，从而得出、的值，进而得出双曲线的标准方程.
（2）利用已知条件分析可知直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与双曲线的方程联立，从而列出韦达定理式，再将直线方程和直线的方程联立，从而求出这两条直线交点的横坐标，进而证出点在定直线上.
（1）解：因为双曲线的离心率为，可得，则，
则，可得，则，，
因此，双曲线的方程为.
（2）证明：若直线与轴重合，则点、为双曲线实轴的端点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立可得，
则，可得，
由韦达定理可得，，
直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得
，解得.
因此，点在定直线上.
17．【答案】（1）证明：连接交于点，
记的中点分别为，连接，
在中，是的中点，
所以，
因为平面，
所以平面，
又因为平面，
所以，
在矩形中，，
因为平面，
所以平面，
又因为平面，
所以，
由，同理得，
又因为，
所以，则，
因为平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面.
（2）解：作，垂足为，
以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，
，
所以，，
则，
设是平面的法向量，
则，
所以，可取，
设是平面的法向量，
则，
所以，可取，
则，
所以，
则二面角的正弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接交于点，记的中点分别为，连接，根据已知条件和线面垂直的判定定理、性质定理，从而证出直线平面，再由面面垂直的判定定理，从而证出平面平面.
（2）构建合适的空间直角坐标系，从而得出相关点的坐标，则得出向量的坐标，求出相关平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式，从而得出二面角的余弦值，利用同角三角函数基本关系式，从而得出二面角的正弦值.
（1）连接交于点，记的中点分别为，连接，
在中，是的中点，
所以，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以，
在矩形中，，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以，
由，同理得，又，
所以，即，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）作，垂足为，
以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，
所以，，
所以，
设是平面的法向量，则，即，可取，
设是平面的法向量，则，即，可取，
，则，
故二面角的正弦值为.
18．【答案】（1）解：因为，
所以，
若，则恒成立，此时在上单调递增；
若，令，则，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增，
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）解：（ⅰ）由题意，得，
解得，则，
所以，
由（1）知，在上单调递减，上单调递增，
所以，则恒成立．
（ⅱ）由，
则，
令，，
所以，
记，，
则，
所以．
①当时，当时，设，
则，
所以在上单调递增，
又因为，，
所以存在唯一实数，使得.
当时，，
则当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又因为，，
所以，，有，
且当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又因为，，
所以存在唯一实数，使得，满足题意．
②当时，
解法一：设，，
则，
所以函数在上单调递减，
又因为，可得在时恒成立，
则在上恒成立，
当时，
，
记，，则，
由（ⅰ）可知，，所以在上单调递增，
则，所以恒成立，
则在上不存在零点，不满足题意．
解法二：当时，，
取，
则，
设，，
则，
所以在上单调递增，则，
所以在上单调递增，则，
所以，
则函数在上不存在零点，不满足题意，
综上所述，实数的取值范围为．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）先求导，再分和两种情况讨论判断出函数的单调性.
（2）（i）由函数的图象与轴相切于原点，可得，从而得出的值，进而得到函数的解析式，再结合函数的单调性证出不等式成立.
（ii）由在上有唯一实根，设，，再求导可得，分和两种情况求解得出实数k的取值范围.
（1）因为，
所以，
若，则恒成立，此时在上单调递增；
若，则令，则，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）（ⅰ）由题意：，解得．
故，则，
由（1）知，在上单调递减，上单调递增，
所以，
即恒成立．
（ⅱ）由，即，
令，，
所以，
记，，
故，
所以．
①当时，当时，设，
则，
所以在上单调递增，
又，，
所以存在唯一实数，使得.
当时，，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又，，
所以，有，
且当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又，，
所以存在唯一实数，使得，满足题意．
②当时，
解法一：设，，
则，
所以函数在上单调递减，
又，可得在时恒成立，
即在上恒成立，
当时，，
记，，
则，由（ⅰ）可知，，
所以在上单调递增，
所以，即恒成立，
所以在上不存在零点，不满足题意．
解法二：当时，，
取，
则，
设，，
则，
所以在上单调递增，
所以，
所以在上单调递增，
所以，即有，
所以在上不存在零点，不满足题意．
综上所述，实数的取值范围为．
19．【答案】（1）解：设的公差为，
，，成等差数列，
，
则，
考虑到，化简得，则
，
成等比数列，
，
则，
所以，
解得.
，，
解得，
，
，
解得，.
.
（2）证明：由（1）可知，，
则显然满足题意，
当时，，
所以
.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；等比中项；等差中项
【解析】【分析】（1）根据等差中项公式可得，再根据等比中项公式和等差数列的通项公式，从而得出实数m的值，利用已知条件可得的值，再根据等差数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）由数列的通项公式得出数列的通项公式，再利用放缩法和裂项求和法，从而证出不等式成立.
（1）设的公差为，
，，成等差数列，，
即，
考虑到，化简得，即
，成等比数列，
，即，
即，解得.
，，解得.
，，解得，.
.
（2）由（1）可知，
显然满足
当时，
所以
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