广东省光大联考2025-2026学年高三上学期数学12月月考试卷(含解析)

广东省2026届普通高中毕业班第二次调研考试
数 学
本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必在答题卡上写考生姓名、考生号、考场号、座位号等相关信息．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卡相应的位置上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；
如需改动的，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以
上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设，复平面内表示复数的点在直线上，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．某人从住地外出有两种方案，一种是骑自行车去，另一种是乘公共汽车去．显然公共汽车的速度比自
行车快，但乘公共汽车有一个等候时间（候车时间假设是固定不变的）．在任何情况下，他总是花时间
最少的最佳方案．下表列出他到达甲，乙，丙三地采用最佳方案所需的时间．则他离住地8千米的地
方，需要的时间为（ ）
目的地 目的地离住地的距离 最佳方案所需时间
甲地 2千米 12分钟
乙地 4千米 18分钟
丙地 6千米 22分钟
A．24分钟 B．26分钟 C．28分钟 D．30分钟
5．已知向量在向量上的投影向量为，，则（ ）
A． B．
C． D．
6. 已知是首项和公差均为的等差数列，是首项和公比均为的等比数列，。若的前5项和与的前4项和都等于，则（ ）
A.30 B.32 C.42 D.46
7. 已知是上的奇函数，，若在上单调递增，且，则在上的最小值是（ ）
A. B.
C. D.
8. 单位圆上有7个不同的点，则任意两点间距离平方和的最大值为（ ）
A.42 B.49 C.56 D.64
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 两组数据，，，和，，，，它们的平均数分别为，，方差分别为，，则（ ）
A. ，，，的平均数为
B. ，，，的方差为
C. 若，，，，则
D. 若，，，，则
10. 如图，在直三棱柱中，，，点，，，分别是，，，的中点，则（ ）
A. ，，，四点共面
B. 线段为直三棱柱外接球的直径
C. 三棱锥的体积为
D. 异面直线与所成角为
11. 双曲线的左、右焦点分别为，，过上一点作切线与轴交于点，直线与的两条渐近线分别交于点，，满足，则（ ）
A.
B. 满足条件的点有2个
C.
D. 点为外接圆圆心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 若的展开式中，的系数等于的系数的5倍，则______。
13. 已知圆与圆交于，两点，则公共弦长______。
14. 已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是______。
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知函数的部分图象如图所示．
（1）求的解析式；
（2）把的图象向右平移个单位长度，得到函数，求使成立的的取值集合．
16．（15分）
某地举行足球赛，共有16支球队参加？赛程先进行小组单循环赛（小组内每两支球队打一场比赛，前两名晋级下一轮）；然后进行淘汰赛（赢球晋级下一轮，输球被淘汰），对阵图如下．现16支球队分为A，B，C，D四组，每组4支球队．已知甲、乙、丙、丁4支球队分在A组，甲队胜乙队、丙队、丁队的概率分别为，，，假设每一轮每场比赛互不影响，甲队在每一轮每场比赛胜其他球队的概率不变．
（1）求甲队在小组单循环赛中至少胜两场的概率；
（2）已知通过第一轮角逐，甲队和乙队均进入淘汰赛，且甲队对B、C、D组每支球队的胜率均为，乙队对B、C、D组每支球队的胜率均为．求甲队夺冠的概率．
注：A1 - D2表示A小组第1名与D小组第2名对阵．
17.（15分）
如图，在三棱台中，，，，点在底面的投影是的重心。
（1）证明：平面平面；
（2）已知空间直角坐标系中的方程：，它表示球心为，半径为的球面。，是棱上两点，，是三棱台表面上一点，且。求满足条件的点轨迹的长度。
18.（17分）
已知函数，。
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若，证明：函数有3个零点；
（3）当时，对任意的，满足，证明：。
19.（17分）
已知椭圆，为坐标原点，点，分别在直线与上，是上一点，，，，四点构成平行四边形。
（1）证明是定值，并求该值；
（2）求平行四边形面积的最大值；
（3）一族直线与交于点，，证明每条弦被定直线平分，并求该直线的方程。
广东省2026届普通高中毕业班第二次调研考试
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 B D C B A A C B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
题号 9 10 11
选项 AC BC ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.7
13.
14.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.【解析】（1）
，………2分
由图知，过点，即，则，……3分
由图得，，解得。…………………………………………………5分
所以。……………………………………………………………6分
（2）由题得，
，…………………………………………………8分
由，得，则，……………………………9分
所以，，……………………………………………11分
解得-π6+kπ≤x≤π2+kπ，k∈Z， 12分
因此，使成立的的取值集合是．.........13分
16．【解析】（1）设在一轮比赛中，甲队胜乙队为事件，甲队胜丙队为事件，甲队胜丁队为事件，
由题得，P(A1)=12，P(A2)=34，P(A3)=23． 1分
设甲队在第一轮比赛中至少胜两场为事件，则
A=A1A2A3+A1A2A3 +A1A2 A3+A1 A2A3． 2分
由题可得，
=1724． 6分
因此，甲队在第一轮比赛中至少胜两场的概率为1724． 7分
（2）由题得，甲队进入决赛的概率为34×34=916； 8分
乙队进入决赛的概率为23×23=49， 10分
则乙队进入决赛甲队夺冠的概率为916×49×12=18； 12分
乙队没进入决赛甲队夺冠的概率为916×1-49×34=1564． 14分
因此，甲队夺冠的概率为18+1564=2364． 15分
17．【解析】（1）连接AG并延长交BC于点M，连接A1G，则M为BC中点，A1G⊥平面ABC． 1分
取B1C1的中点为N，连接A1N，MN，则A1N∥AM． 2分
由题得，A1N=22，GM=13AM=22，所以A1N=GM． 3分
所以四边形A1NMG是平行四边形，则MN∥A1G． 4分
所以MN⊥平面ABC． 5分
因为MN 平面B1BCC1，所以平面B1BCC1⊥平面ABC． 6分
（2）如图，建立空间直角坐标系，则，，设，...7分
由，得，整理得
(x-3)2+y2+z2=2， 8分
所以P点轨迹表示球心在B(3,0,0)，半径R=2的球面 9分
又P是棱台表面上的点，所以P点轨迹是球面与棱台表面的交线 10分
由题得，，则，所以
BB1=(2)2+(2)2=2 11分
又，，则，，.
所以球面只与棱台侧面B1BCC1，侧面B1BAA1，底面ABC相交 12分
而计算得∠B1BA=π3，∠B1BC=π4，∠ABC=π4 14分
因此所求交线长度为π3×2+π4×2+π4×2=526π 15分
18.【解析】（1）当时，，则
f'(x)=(x-2)ex-x+2， 1分
所以，.
因此曲线y=f(x)在(0,0)处的切线方程为y=0 3分
（2）的定义域是，，.........4分
若1当时，，单调递增；当时，，单调
递减；
当x∈(2,+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增； 6分
所以在处取得极大值，
在x=2处取得极小值f(2)=-e2+5a。 7分
因为，所以，又，
所以 x1∈(2,3)，使得f(x1)=0，即f(x)在(2,+∞)上有1个零点； 8分
因为，所以，则，所以
，
所以 x2∈(lna,2)，使得f(x2)=0，即f(x)在(lna,2)上有1个零点； 9分
又，
所以，使得，即在上有1个零点。
综上，当1（3）在处的切线方程为，设
g(x)=(a-1)(2x+3)， 11分
下面证明：当时，。
设，则，
设，则，显然，时，，所以递增，
则，即，所以递减，则，
从而g(x)-f(x)>0，即f(x)所以，，，，
得
。
即f(x1)+f(x2)+ +f(xn)<(3n-1)(a-1)。 17分
19.【解析】（1）由题，设，，，又，........1分
因为四边形MONP是平行四边形，则{m+n=x2m 2n=y， 2分
所以。
即|MN|是定值，且该定值为2． 5分
（2）设直线的倾斜角为，则，，或．......分
由（1）知，在中，由余弦定理得，，
所以，即，当时取等号．
所以当cos2θ=35时，(|OM|·|ON|)max=5． 9分
因此平行四边形面积的最大值为
Smax=2(S MON)max=2×12×5×45=4． 11分
（3）设，，联立，消元整理得
20x2-4tix+ti2-16=0， 12分
则，，从而的中点为
Mi110ti,45ti， 13分
任取不同于的弦，同理可得的中点
Mj110tj,45tj， 14分
则直线的斜率为，
所以直线MiMj的方程为y-45ti=8x-110ti，整理得y=8x． 16分
从而可知该直线与无关，即任意弦的中点均在直线上，
所以每条弦AiBi被定直线y=8x平分． 17分
【选填解析】
1、【解析】B：由题得，，解得，则，故选B．
2、【解析】D：由，得，则；由，得，则，所以，故选D．
3、【解析】C：因为是上的增函数，故选C．
4、【解析】B：由，，则，结合到甲地需要12分钟，得公共汽车每行驶1千米需要2分钟．所以，，即候车时间为10分钟．若到甲地乘公共汽车，则需要时间为分钟，大于12分钟，则到甲地为骑自行车，骑自行车每公里需要6分钟．所以到8千米的地方，最佳方案是乘公共汽车，需要时间为分钟．故选B．
5、【解析】A：．故选A．
6、【解析】A：由题得，，，所以，即，则或\begin{cases} 1 + m^2 = 3 \\ 1 + m = 5 \end{cases}，解得，所以，故选A．
7、【解析】C：由是奇函数，则；由，则的图象关于对称，即，所以．因为在单调递增，则在单调递增，在单调递减，从而在单调递减．所以，故选C．
8、【解析】B：设，则，所以，
因为，
所以，
当7个点均匀分布在单位圆上时，根据正、余弦函数的图象和性质有
，
则，因此所求的最大值为49．故选B．
9、【解析】AC；根据平均数与方差的性质，易知A、C正确，B、D错误，故选A
C．
10、【解析】BC；由于与是异面直线，则，，，四点不可能共面，A错误；
三棱柱为正方体一半，侧面为正方体对角面，其对角线为正方体外接球直径，则B正确；
，则C正确；异面直线与所成角即为
正方体体对角线与棱所成角，可求得，则．故选BC．
11、【解析】ACD；由双曲线光学性质知为的平分线，则，即
， A正确；设，，，则
，
所以， 得
，
即， 所以， 所以或，
又，所以或，所以满足条件的点在右支上，且只有4个，B错误；当时，
当时，， 所以
．设，则，联立，可得交点
，
， 则
，所以 ，C正确；， 中点坐标为
，所以 是线段 中点，又
，所以 为 外接圆圆心，D正确．故选ACD．
12、【解析】：由题得，，即 ，所以 ，解得 ．
13、【解析】：由题得，，，两方程相减得，
，则圆心 到此直线距离为 ，所以
．
14、【解析】：
，
设 ，则当 时， 不成立；当 时，由
2a - 6 \lt - 6 ，得 ，则 不成立；当 时，若 ，则
，即 成立；若 ，则 ，即
，得 ．综上， 的取值范围是 ．