中考数学专题复习通用版——反比例函数 讲义（含答案）

中考数学专题复习之反比例函数
反比例函数是初中阶段所学习的一类比较简单但又很重要的函数，具有广泛的应用.同学们已有了研究函数的一定经验和方法基础，也储备了反比例函数有关知识的基础，为更系统、有效地复习反比例函数有关内容、深化所学知识的关键环节，结合新课程标准对反比例函数的有关要求，梳理反比例函数的重难点十分有必要.
反比例函数专题复习旨在巩固、消化数学基础知识，进一步提高分析、解决问题的能力，同时又能查缺补漏，总结解题方法，吃透中考考点及常见题型，以达到一举多得的效果.接下来我们通过复习反比例函数的概念、图象与性质，整合运用反比例函数相关知识解决某些简单的实际问题.
一、梳理知识，夯实基础
1.反比例函数的概念：一般地，如果两个变量，之间的对应关系可以表示成（为常数，）的形式，那么称是的反比例函数.
2.反比例函数的表达式有三种表示方法：
①；②；③
注意：；，.
3.反比例函数的图象与性质：
（1）反比例函数的概念：一般地，如果两个变量，之间的对应关系可以表示成（为常数，）的形式，那么称是的反比例函数.
（2）反比例函数（为常数，）的图象是双曲线，当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，在每个象限内，随的增大而减小；当时，两支曲线分别位于第二、四象限内，在每个象限内，随的增大而增大.
因为，，所以反比例函数图象无限靠近坐标轴，但不与两条坐标轴相交.
（3）反比例函数图象是中心对称图形，其对称中心是坐标原点；
（4）反比例函数图象也是轴对称图形，对称轴为直线和直线.
4.反比例函数比例系数的几何意义.
反比例函数的图象上任取一点，过点分别作轴、轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积总等于。
.
二、对标考点，归纳方法
考点1：利用反比例函数的概念解决问题
例1.若是反比例函数，则。
分析解答：将转化为的形式，根据反比例函数的概念知，且，故可得到。
方法归纳：反比例函数的概念中关注下面两个重要条件：
（1）符合反比例函数三种表达形式中一种即可：、、。
（2）注意。
考点2：利用反比例函数的图象与性质解决问题
例2.反比例函数的图象，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
分析解答：由反比例函数，当时，随的增大而减小，可得到，即。
方法归纳：反比例函数图象在一、三象限，，反比例函数图象在二、四象限，，从而可以确定的取值范围。
例3.若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
分析解答：解法一，根据反比例函数的性质，因为，函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，可得到。
解法二，根据反比例函数图象上点的坐标特征，把点、、的坐标分别代入表达式计算出、、的值，然后比较大小即得答案选A。
解法三，结合反比例函数的图象分析得到答案选A。
方法归纳：已知反比例函数图象上几个点的横坐标，想要比较纵坐标的大小关系，可以直接将横坐标代入函数表达式判断函数值大小，也可以利用反比例函数的性质作出判断，还可以结合反比例函数的图象分析得到结果，通常用数形结合的方法更为简便，这也是常用来解决函数问题的一种重要思想方法.
考点3：反比例函数比例系数k的几何意义
例4.如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为B，点C为y轴上的一点，连接AC，BC，若的面积为3，则k的值是______.
分析解答：根据的面积为2，可以得到的面积也是2，再根据反比例函数k的几何意义得，再由函数图象位于第二象限，确定.
方法归纳：反比例函数的系数k的几何意义和图象所在的象限是解决问题的关键，将点的坐标与图形的边长和高相联系、过反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线段，构造矩形或直角三角形都是常用的方法.
考点4：反比例函数与一次函数的综合应用
例5.如图，已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于，B两点，则B点坐标是（ ）
A. B.
C. D.
分析解答：将分别代入和，即可求出，，得到B点坐标为，故选B.
方法归纳：解反比例函数有关问题时，应充分考虑其对称性.如此题反比例函数与正比例函数相交，想要求点B的坐标，根据反比例函数图象与正比例函数图象都关于原点中心对称，它们的交点也关于原点中心对称，求出点A坐标就可以求出点B坐标.
例6.如图，反比例函数的图象与一次函数图象相交于，B两点.
（1）求出反比例函数与一次函数的表达式；
（2）请直接写出B点的坐标，并指出反比例函数值大于一次函数值时x的取值范围.
分析解答：（1）将代入，得，
∴反比例函数的表达式为.
将代入，得，
，
一次函数的表达式为。
（2）；
当 x < -1 或时，反比例函数值大于一次函数值。
方法归纳：通常用待定系数法来确定函数表达式；利用图象比较
函数值的大小时，应先找出两个函数图象的交点，再根据交点左右两侧
两个图象的上下位置关系来确定函数值的大小。
考点5：反比例函数的实际应用
例7.为了预防“新型冠状病毒”感染，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒。已知药物燃
烧时，室内每立方米空气中的含药量与时间成正比例，药物燃烧后，与成反比例
（如图所示），现测得药物燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为，请你根据题中
所提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时与的函数关系式为 ，药物燃烧后与的函数关系式为 。
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于且持续时间不低于时，才能有
效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
解：（1）；
（2） 将代入，得：；将代入，得：
，因为，所以这次消毒是有效的。
方法归纳：反比例函数的应用需注意以下几点：
（1）在解决一些实际问题时，经常会利用反比例函数建立模型，把
实际问题转化成数学问题；
（2）列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围。
（3）当根据图象所给信息我们不能得到交点横坐标时，我们可以从“数”的角度通过运算来解决问题。
三、巩固练习，内化知识
1. 已知反比例函数的表达式为 ，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
2. 若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的
大小关系是（ ）
A. y1< y2 B.
C. y1< y3 < y2
D.
3. 已知反比例函数，且在各自象限内， 随 的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知点 ， 都在反比例函数的图象上，且 ，则 ， 的关系一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图1， 是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点 在反比例函数的图象上，则经过点 的函数图象表达式为____。
6. 如图2是同一直角坐标系中函数和的图象，观察图象可得不等式的解集为（ ）
A.
B. 或
C. 或
D. 或
7. 如图3，已知 ， 是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点。
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求 的面积；
（3）根据图象直接写出不等式时 的解集。
8. 已知电灯电路两端的电压 为220V，通过灯泡的电流强度 （A）的最大限度不得超过0.11A。设选用灯泡的电阻为 ，下列说法正确的是（ ）
A. 至少2000
B. 至多2000
C.R至少24.2Ω D.R至多24.2Ω
通过反比例函数的专题复习我们进一步理解了反比例函数的概念、图象及性质，能根据题目所给信息确定反比例函数表达式，能画出反比例函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题，体会到函数的应用价值，逐步学会用数学的眼光考察实际问题，用数学的语言去表达现实世界，学会从函数观点出发，分析实际情境建立函数模型，灵活运用有关知识解决实际问题.
【参考答案】
1.C;2.B;3.B;4.A;5. ;6.D;
7. 解：（1） ∵ 在函数 的图象上， ∴ ， ∴ 反比例函数的表达式为： . ∵ 点 在函数 的图象上， ∴ ， ∴ . ∵ 经过 ， ，
∴ ， 解得 k = -1 , b = -2 ， ∴ 一次函数的表达式为： ；
（2） ∵ 是直线 与 轴的交点， ∴ 当 时， ，
∴ 点 ， ∴ ， ∴ ；
（3） 不等式 时 的解集为 或 .
8. 解： ∵ 电压 一定时， 电流强度 与灯泡的电阻为 成反比例，
∴ . ∵ 通过灯泡的电流强度 的最大限度不得超过 ，
∴ ， ∴ . 故选：A.