第二章 直线与圆的方程(单元测试.含解析）2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

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第二章 直线与圆的方程
一．选择题（共6小题）
1．已知直线l的方程为，则直线l在x轴上的截距为（　　）
A．﹣11 B．﹣5 C．5 D．11
2．直线的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
3．若直线x﹣2ay+1＝0与直线（a﹣1）x+ay﹣1＝0平行，则a＝（　　）
A．0 B．或0 C． D．1
4．直线l1：ax+y﹣1＝0，l2：（a﹣2）x﹣ay+1＝0，则a＝﹣2是l1∥l2的（　　）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知直线l1：x+ay﹣2＝0与直线l2：2ax+（a+1）y+2＝0平行，则a的值为（　　）
A．1 B． C．或1 D．
6．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝8，直线l：mx+y﹣m﹣3＝0，若直线l被圆C截得的弦长的最大值为a，最小值为b，则a+b＝（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．若两直线l1，l2的倾斜角分别为α，β，斜率分别为k1，k2，则下列四个结论错误的是（　　）
A．若α＜β，则k1＜k2 B．若α＝β，则k1＝k2
C．若k1＝k2，则α＝β D．若k1＜k2，则α＜β
（多选）8．已知点P（﹣2，﹣3）和圆Q：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝9，下列说法正确的是（　　）
A．圆心Q（1，2），半径为r＝9
B．点P在圆Q外
C．圆Q关于直线2x+y﹣4＝0对称
D．设点M是圆Q上任意一点，则|PM|的最小值为
（多选）9．下列说法正确的是（　　）
A．若直线l的倾斜角为α，且，则直线l的斜率的取值范围为[﹣1，1]
B．经过点（﹣1，2），且方向向量为的直线方程为x+y﹣1＝0
C．若直线l1：ax+2y﹣1＝0与l2：x+（a+1）y﹣1＝0平行，则a可以为1
D．过点（1，1）且在x轴和y轴上的截距相等的直线l的方程为x+y﹣2＝0或y＝x
三．填空题（共4小题）
10．已知圆C的圆心为（1，﹣4），且与直线l：x+y﹣1＝0相切，则圆C被直线3x﹣4y﹣9＝0截得的弦长为　 　 ．
11．过点P（2，﹣2）且与圆心为M（1，0），半径为1的圆相切的直线的方程为 　 　 ．
12．若直线l1：3x+4y＝0与l2：6x+ay+5＝0平行，则l1与l2的距离为 　 　 ．
13．若直线l的方程为Ax+By+C＝0（A，B不同时为0），则称直线m：Bx﹣Ay+C＝0是直线l的伴随直线．若直线l的方程是3x﹣y+4＝0，则其伴随直线m的方程是 　 　 ；已知直线m与圆x2+y2＝4交于点M，N，则|MN|＝ 　 　 ．
四．解答题（共2小题）
14．已知点A（﹣4，﹣3），B（3，﹣2），直线l经过点P（0，1）与Q（m，8），
（1）若l与直线AB垂直，求m；
（2）若l与线段AB有交点，求l的倾斜角的取值范围，
15．（1）求过两直线2x﹣y+3＝0与3x﹣y+2＝0的交点P，且斜率为的直线方程；
（2）若直线l2与直线l1：2x+y﹣3＝0垂直，且过点（1，1），求直线l2的方程；
（3）若直线l：ax﹣2y+2＝0与直线l1：2x+y﹣3＝0平行，求a的值及直线l与l1之间的距离．
第二章 直线与圆的方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．已知直线l的方程为，则直线l在x轴上的截距为（　　）
A．﹣11 B．﹣5 C．5 D．11
【考点】直线的截距式方程．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】C
【分析】根据直线的截距式方程特征直接求解即可．
【解答】解：因为直线l的方程为，
令y＝0，可得x＝5，
即直线l在x轴上的截距为5．
故选：C．
【点评】本题考查直线在x轴上的截距的求法，属于基础题．
2．直线的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
【考点】直线的倾斜角．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】D
【分析】求出直线的斜率，利用直线的斜率与倾斜角的关系可得结果．
【解答】解：由已知可得直线的斜率为，所以该直线的倾斜角为．
故选：D．
【点评】本题考查了直线的倾斜角的求解，属于基础题．
3．若直线x﹣2ay+1＝0与直线（a﹣1）x+ay﹣1＝0平行，则a＝（　　）
A．0 B．或0 C． D．1
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】C
【分析】根据两直线平行的条件列方程求得a的值，然后检验，排除两直线重合的情况．
【解答】解：直线x﹣2ay+1＝0与直线（a﹣1）x+ay﹣1＝0平行，
则1×a﹣（﹣2a）（a﹣1）＝0，即2a2﹣a＝0，解得a＝0或．
当a＝0时，两直线方程都为x+1＝0，两直线重合，不合题意，舍去；
当时，两直线方程分别为x﹣y+1＝0和x﹣y+2＝0，此时两直线平行，符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查两直线平行的性质，属于基础题．
4．直线l1：ax+y﹣1＝0，l2：（a﹣2）x﹣ay+1＝0，则a＝﹣2是l1∥l2的（　　）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系；充分条件必要条件的判断．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】C
【分析】根据直线平行的充要条件列方程可得a的值．
【解答】解：若l1∥l2，则a×（﹣a）＝1×（a﹣2），且（﹣1）×（﹣a）≠1×1，可得a＝﹣2，
即a＝﹣2是l1∥l2的充要条件．
故选：C．
【点评】本题考查两条直线平行的充要条件的应用，属于基础题．
5．已知直线l1：x+ay﹣2＝0与直线l2：2ax+（a+1）y+2＝0平行，则a的值为（　　）
A．1 B． C．或1 D．
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用两条直线平行的充要条件列式计算即得．
【解答】解：由题可得：，解得a＝1，
所以a的值为1．
故选：A．
【点评】本题主要考查直线平行的性质应用，考查计算能力，属于基础题．
6．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝8，直线l：mx+y﹣m﹣3＝0，若直线l被圆C截得的弦长的最大值为a，最小值为b，则a+b＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】A
【分析】先求出直线l过定点A（1，3），再根据点在圆内结合几何性质求出最短弦和最长弦即可得解．
【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝8，直线l：mx+y﹣m﹣3＝0，
因为直线l可化为m（x﹣1）+y﹣3＝0，则直线l过定点A（1，3），
点A（1，3）代入圆C中：（1﹣3）2+（3﹣4）2＜8，所以点A在圆C内，
当AC⊥l时，直线l被圆C截得的弦长最短，即，
当直线l过圆心C时，直线l被圆C截得的弦长最长，即，
所以．
故选：A．
【点评】本题主要考查直线和圆相交的性质，考查计算能力，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．若两直线l1，l2的倾斜角分别为α，β，斜率分别为k1，k2，则下列四个结论错误的是（　　）
A．若α＜β，则k1＜k2 B．若α＝β，则k1＝k2
C．若k1＝k2，则α＝β D．若k1＜k2，则α＜β
【考点】直线的倾斜角．
【专题】转化思想；转化法；直线与圆；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据倾斜角和斜率的函数关系，对选项一一分析即可得出答案．
【解答】解：取，
斜率分别为k1，k2，
则k1＝tanα＝1，k2＝tanβ＝﹣1，则k1＞k2，故A错误；
若，直线l1，l2的斜率不存在，故B错误；
若k1＝k2，则直线l1，l2的斜率存在且不为，
因为k1＝tanα，k2＝tanβ，又因为正切函数y＝tanx在，上单调递增，
所以α＝β，故C正确；
若k1＝﹣1＜k2＝1，
两直线l1，l2的倾斜角分别为α，β，
则，所以α＞β，故D错误．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
（多选）8．已知点P（﹣2，﹣3）和圆Q：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝9，下列说法正确的是（　　）
A．圆心Q（1，2），半径为r＝9
B．点P在圆Q外
C．圆Q关于直线2x+y﹣4＝0对称
D．设点M是圆Q上任意一点，则|PM|的最小值为
【考点】点与圆的位置关系；直线与圆的位置关系．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】BCD
【分析】由圆的方程写出圆心和半径，判断A选项；求|PQ|并与圆半径比较大小，即可知道点与圆的位置关系，判断B选项；验证圆心是否在直线上，即可判断C选项；由|PQ|与圆的半径，求出|PM|的范围，判断D选项．
【解答】解：圆Q：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝9，可得圆心Q（1，2），半径为r＝3，所以A选项错误；
因为，可得点P在圆Q外，所以B选项正确；
因为圆心Q（1，2）在直线2x+y﹣4＝0上，所以圆Q关于直线2x+y﹣4＝0对称，所以C选项正确；
因为，圆半径r＝3，所以，
即|PM|的最小值为3，所以D选项正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查直线与圆的综合应用，属于基础题．
（多选）9．下列说法正确的是（　　）
A．若直线l的倾斜角为α，且，则直线l的斜率的取值范围为[﹣1，1]
B．经过点（﹣1，2），且方向向量为的直线方程为x+y﹣1＝0
C．若直线l1：ax+2y﹣1＝0与l2：x+（a+1）y﹣1＝0平行，则a可以为1
D．过点（1，1）且在x轴和y轴上的截距相等的直线l的方程为x+y﹣2＝0或y＝x
【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系；直线的点斜式方程；直线的截距式方程．
【专题】方程思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】BD
【分析】对于A，根据直线斜率和倾斜角的关系即可求解；对于B，根据直线的方向向量以及直线的点斜式方程即可求解；对于C，根据两直线平行斜率相等即可求解；对于D，分截距为零和不为零两种情况讨论即可求解．
【解答】解：对于A，由正切函数的性质可知，当时，斜率k＝tanα≥1，
当时，斜率k＝tanα≤﹣1，
当时，斜率不存在，
综上，直线l的斜率的取值范围不为[﹣1，1]，故A错误；
对于B，由直线的方向向量为，
可知直线的斜率为﹣1，
由直线方程的点斜式方程得y﹣2＝﹣（x+1），即x+y﹣1＝0，
∴经过点（﹣1，2），且方向向量为的直线方程为x+y﹣1＝0，故B正确；
对于C，若l1∥l2，由题意知a≠﹣1，
则，解得a＝﹣2，故C错误；
对于D，当直线l在x轴和y轴上的截距为0时，
过点（1，1）的直线l的方程为y＝x，
当直线l在x轴和y轴上的截距不为0时，
设其在x轴和y轴上的截距分别为a，b，则方程为，
又a＝b，，解得a＝b＝2，
∴直线l的方程为，即x+y﹣2＝0，
综上，直线l的方程为x+y﹣2＝0或y＝x，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查直线斜率和倾斜角的关系、直线的方向向量以及直线的点斜式方程、两直线平行斜率相等、截距等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
三．填空题（共4小题）
10．已知圆C的圆心为（1，﹣4），且与直线l：x+y﹣1＝0相切，则圆C被直线3x﹣4y﹣9＝0截得的弦长为　4　 ．
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】整体思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据直线和圆的位置关系先求出圆C的半径及圆心（1，﹣4）到直线3x﹣4y﹣9＝0的距离，再结合求解弦长．
【解答】解：因为圆C与直线l：x+y﹣1＝0相切，
所以圆C的半径为，
而圆心（1，﹣4）到直线3x﹣4y﹣9＝0的距离为，
所以圆C被直线3x﹣4y﹣9＝0截得的弦长为24．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了直线与圆相交性质的应用，属于基础题．
11．过点P（2，﹣2）且与圆心为M（1，0），半径为1的圆相切的直线的方程为 　3x+4y+2＝0或x＝2　 ．
【考点】过圆上一点的圆的切线方程．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】3x+4y+2＝0或x＝2．
【分析】根据直线的斜率是否存在加以讨论，结合直线与圆相切的性质求解，即可得到本题的答案．
【解答】解：由题意得圆的标准方程为（x﹣1）2+y2＝1，
根据（2﹣1）2+（﹣2）2＞1，可知P（2，﹣2）在圆外，
①当切线的斜率存在时，设其方程为y+2＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k﹣2＝0，
由圆的切线的性质，可知圆心到直线的距离d＝r，即，解得，
此时切线的方程为，即3x+4y+2＝0；
②直线斜率不存在时，直线l为：x＝2，
由直线l到圆心的距离d＝2﹣1＝1＝r，可知此时直线l与圆（x﹣1）2+y2＝1相切．
综上所述，所求切线的方程为3x+4y+2＝0或x＝2．
故答案为：3x+4y+2＝0或x＝2．
【点评】本题主要考查圆的方程、点到直线的距离公式、直线与圆相切的性质等知识，属于基础题．
12．若直线l1：3x+4y＝0与l2：6x+ay+5＝0平行，则l1与l2的距离为 　　 ．
【考点】两条平行直线间的距离．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】．
【分析】根据两条直线平行，列式求出参数a的值，然后根据平行线间的距离公式求出答案．
【解答】解：根据直线l1：3x+4y＝0的常数项为0，l2：6x+ay+5＝0的常数项不等于0，
可知直线l1、l2不可能重合，
若直线l1：3x+4y＝0与l2：6x+ay+5＝0平行，则3a＝4×6，解得a＝8，
所以l2：6x+8y+5＝0，结合l1：6x+8y＝0，可得l1、l2的距离．
故答案为：．
【点评】本题主要考查两条直线平行的条件、平行直线之间的距离公式等知识，属于基础题．
13．若直线l的方程为Ax+By+C＝0（A，B不同时为0），则称直线m：Bx﹣Ay+C＝0是直线l的伴随直线．若直线l的方程是3x﹣y+4＝0，则其伴随直线m的方程是 x+3y﹣4＝0　 ；已知直线m与圆x2+y2＝4交于点M，N，则|MN|＝ 　　 ．
【考点】直线及坐标轴被圆截得的弦及弦长；点到直线的距离公式．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解；新定义类．
【答案】x+3y﹣4＝0；．
【分析】根据伴随直线的定义写出直线m的方程，化简即可；先求出圆心（0，0）到直线m的距离，然后利用圆的弦长公式进行求解，即可得到本题的答案．
【解答】解：根据伴随直线的定义，
可知直线l的伴随直线m方程为﹣x﹣3y+4＝0，即x+3y﹣4＝0；
圆x2+y2＝4的圆心为O（0，0），半径为r＝2，
根据原点到直线m的距离，可得．
故答案为：x+3y﹣4＝0；．
【点评】本题主要考查直线的方程、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．
四．解答题（共2小题）
14．已知点A（﹣4，﹣3），B（3，﹣2），直线l经过点P（0，1）与Q（m，8），
（1）若l与直线AB垂直，求m；
（2）若l与线段AB有交点，求l的倾斜角的取值范围，
【考点】直线的斜率；直线的倾斜角．
【专题】分类讨论；运动思想；直线与圆；运算求解．
【答案】（1）m＝﹣1；
（2）．
【分析】（1）结合直线的斜率公式与垂直性质计算即得；
（2）结合图形，由直线的斜率与倾斜角的关系计算即可得．
【解答】解：（1）由点A（﹣4，﹣3），B（3，﹣2），可得，
所以kl＝﹣7，
即，解得m＝﹣1；
（2）依题意，
由l与线段AB有交点，
若l斜率不存在时，倾斜角为；
当直线l斜率存在时，
则l的斜率的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），
因直线的倾斜角的范围是[0，π），
故l的倾斜角的取值范围是、
综上，l的倾斜角的取值范围为．
【点评】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，考查计算能力，属于中档题．
15．（1）求过两直线2x﹣y+3＝0与3x﹣y+2＝0的交点P，且斜率为的直线方程；
（2）若直线l2与直线l1：2x+y﹣3＝0垂直，且过点（1，1），求直线l2的方程；
（3）若直线l：ax﹣2y+2＝0与直线l1：2x+y﹣3＝0平行，求a的值及直线l与l1之间的距离．
【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；两条平行直线间的距离．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；运算求解．
【答案】（1）x+2y﹣11＝0；
（2）x﹣2y+1＝0；
（3）a＝﹣4，．
【分析】（1）联立两直线方程，求出交点坐标，再由点斜式计算可得；
（2）设直线l2：x﹣2y+c＝0，代入点的坐标求出c，即可得解；
（3）根据两直线平行求出参数的直线，即可求出l的方程，再由两平行线间的距离公式计算可得．
【解答】解：（1）由，解得，所以P（1，5），
所以所求直线方程为，即x+2y﹣11＝0．
（2）可设直线l2：x﹣2y+c＝0，
把点（1，1）的坐标代入，可得1﹣2×1+c＝0，解得c＝1，
所以l2：x﹣2y+1＝0．
（3）由题可得：a×1＝﹣2×2，解得a＝﹣4，
所以l：﹣4x﹣2y+2＝0，即2x+y﹣1＝0，
故直线l1与l的距离．
【点评】本题主要考查直线方程的求解，考查计算能力，属于基础题．
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