第一章 空间向量与立体几何(单元测试.含解析）2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册
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| 名称 | 第一章 空间向量与立体几何(单元测试.含解析）2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 615.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-04 00:00:00 | ||
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文档简介
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第一章 空间向量与立体几何
一．选择题（共6小题）
1．已知平面α的法向量为，平面β的法向量为，若α∥β，则实数m的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣10 D．10
2．在空间直角坐标系中，A（2，3，5），B（3，1，4），则|AB|＝（ ）
A． B．6 C．29 D．
3．已知向量，，若，则x的值是（ ）
A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4
4．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，设，，若、、组成空间向量的一个基，则可以是（ ）
A． B． C． D．
5．给定四面体ABCD．平面α满足：①A、B、C、D四个点均不在平面α上，也不在α的同侧；②若平面α与四面体ABCD的棱有公共点，则该公共点一定是此棱的中点或两个三等分点之一．设A、B、C、D四个点到平面α的距离分别为di（i＝1，2，3，4），那么di的所有不同值的个数组成的集合为（ ）
A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{1，2} D．{1}
6．已知空间向量，，满足，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以A为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是60°，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．AC1⊥BD
C．向量与的夹角是120°
D．BD1与AC所成角的余弦值为
（多选）8．以下说法正确的是（ ）
A．设、是两个空间向量，则、不一定共面
B．设、是两个空间向量，则
C．设、、是三个空间向量，则、、一定不共面
D．设、、是三个空间向量，则
（多选）9．已知空间向量，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则m＝﹣4
B．若，则m＝﹣3
C．若在上的投影向量为，则m只有一个实数解
D．若与的夹角为钝角，则m＞﹣3
三．填空题（共4小题）
10．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A（0，2，﹣1），B（1，0，1），C（﹣1，4，﹣3），则 ．
11．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是 ．
12．已知平面α的一个法向量为（1，0，2），平面β的一个法向量为，则平面α和平面β的位置关系是 ．
13．已知向量（1，﹣2，2），（m，3，2），若（）⊥（），则m的值为 ．
四．解答题（共2小题）
14．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝2，AA1＝3，AC⊥BC，D是AC的中点，E，F分别是棱AA1，BB1上的点，A1E＝BF＝1．
（1）证明：BD∥平面CEF；
（2）求平面ABC和平面CEF所成的二面角的正弦值．
15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，AD∥BC，AD＝CD＝2BC＝2，F为棱PB的中点，E为棱PD上一点．
（1）求证：无论点E在棱PD的任何位置，都有CD⊥AE成立；
（2）若E为PD中点，求平面AEF与平面PAD夹角的余弦值；
（3）若E为PD中点，在棱PC上是否存在点G，使得DG∥平面AEF？若存在，求的值，若不存在，说明理由．
第一章 空间向量与立体几何
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．已知平面α的法向量为，平面β的法向量为，若α∥β，则实数m的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣10 D．10
【考点】平面的法向量；空间向量语言表述面面的垂直、平行关系．
【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】由空间向量平行的坐标表示得结论．
【解答】解：因为平面α的法向量为，平面β的法向量为，
因为α∥β，所以，则，
解得m＝4．
故选：B．
【点评】本题考查平面平行的性质的应用，属于基础题．
2．在空间直角坐标系中，A（2，3，5），B（3，1，4），则|AB|＝（ ）
A． B．6 C．29 D．
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】整体思想；综合法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】A
【分析】根据空间两点间的距离公式求解即可．
【解答】解：A（2，3，5），B（3，1，4），
．
故选：A．
【点评】本题主要考查了空间两点间距离公式的应用，属于基础题．
3．已知向量，，若，则x的值是（ ）
A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4
【考点】空间向量的数量积判断向量的共线与垂直．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】由得到，利用坐标公式计算求解．
【解答】解：∵，，，
∴，∴x＝4．
故选：D．
【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
4．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，设，，若、、组成空间向量的一个基，则可以是（ ）
A． B． C． D．
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据空间向量基本定理求解．
【解答】解：由空间向量基本定理可知，空间中不共面的三个向量可以组成空间向量的一个基，
对于A，若，则，
所以，，共面，故A错误；
对于B，若，
因为，，不共面，所以、、组成空间向量的一个基，故B正确；
对于C，若，
则，即，
所以，，共面，故C错误；
对于D，若，
则22，
即2，所以，，共面，故D错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了空间向量的基本定理，属于基础题．
5．给定四面体ABCD．平面α满足：①A、B、C、D四个点均不在平面α上，也不在α的同侧；②若平面α与四面体ABCD的棱有公共点，则该公共点一定是此棱的中点或两个三等分点之一．设A、B、C、D四个点到平面α的距离分别为di（i＝1，2，3，4），那么di的所有不同值的个数组成的集合为（ ）
A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{1，2} D．{1}
【考点】空间中点到平面的距离．
【专题】分类讨论；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维．
【答案】B
【分析】根据题意，分类讨论，确定平面αx的位置，结合点到平面的距离的定义，进行分析判断，即可求解．
【解答】解：当平面α与四面体ABCD的三条棱的中点相交时，
不妨设平面α过棱AB，AC，AD的中点E，M，N，此时点A，B到平面α的距离相等，
且平面α∥平面BCD，如图（1）所示，
此时B，C，D到平面α的距离可能与A，B到平面α的距离相同，此时di有1不同的值；
不妨设平面α过棱AB的中点E，且过AC，AD分别为的三等分点M，N时，
如图（2）所示，此时点A，B到平面α的距离相等，且C，D到平面α的距离相等，
且A，B到平面α的距离与C，D到平面α的距离不相等，此时di有2不同的值；
不妨设平面α过棱AB，AD的中点E，N，且过AC分别为的三等分点M时，
如图（3）所示，此时点A，B，D到平面α的距离相等，
其中A，B，D到平面α的距离与C到平面α的距离不相等，此时di有2不同的值；
不妨设平面α过棱AB的中点E，过AC的靠近C的三等分点M，过AD靠近A点的三等分点N，
此时A，B到平面α的距离不同，C，D到平面α的距离不同，
且A，B，C，D到平面α的距离两两之间都可能不同，此时di有3个不同的值；
又因为A，B，C，D四个点均不在平面α上，也不在平面α的同侧，
所以di不能有4个不同的值（若有4个不同的值，四个点必然在平面α的同侧），
所以di的所有不同值的个数组成的集合为{1，2，3}．
故选：B．
【点评】本题主要考查空间中点到平面的距离，考查分类讨论思想，属于中档题．
6．已知空间向量，，满足，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】空间向量的数量积运算．
【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】由已知得，两边平方利用向量的数量积运算律求解即可．
【解答】解：因为，
由得，
两边平方得，
所以，
所以．
故选：A．
【点评】本题主要考查了向量数量积的性质的应用，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以A为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是60°，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．AC1⊥BD
C．向量与的夹角是120°
D．BD1与AC所成角的余弦值为
【考点】空间向量的夹角与距离求解公式；异面直线及其所成的角．
【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】ABC
【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题进行分析判断，能求出结果．
【解答】解：平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以A为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是60°，
∴1，
，
对于A，∵，
∴||2＝（）21+1+16，
∴||，故A正确；
对于B，∵（） （）
0，
∴AC1⊥BD，故B正确；
对于C，，
∴||，
∴cos，
，
∴向量与的夹角是120°，故C正确；
对于D，∵，，
∴（） （）
1，
∵||，
||，
∴cos，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查空间向量的线性运算和数量积运算等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
（多选）8．以下说法正确的是（ ）
A．设、是两个空间向量，则、不一定共面
B．设、是两个空间向量，则
C．设、、是三个空间向量，则、、一定不共面
D．设、、是三个空间向量，则
【考点】空间向量的共线与共面．
【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；直观想象．
【答案】BD
【分析】利用共面向量的定义可判断AC选项的正误；利用空间向量数量积的定义可判断B选项的正误；利用空间向量数量积的运算性质可判断D选项的正误．
【解答】解：对于A选项，任意两个空间向量都共面，A错误；
对于B选项，由空间向量数量积的定义可知，，
由于，故，B正确；
对于C选项，在△ABC中，，，，则、、共面，C错误；
对于D选项，由空间向量数量积的运算性质可得，D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查了向量数量积的运算及性质的应用，属于基础题．
（多选）9．已知空间向量，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则m＝﹣4
B．若，则m＝﹣3
C．若在上的投影向量为，则m只有一个实数解
D．若与的夹角为钝角，则m＞﹣3
【考点】空间向量的投影向量与投影；数量积判断两个平面向量的垂直关系；空间向量及其线性运算．
【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】AB
【分析】利用空间向量的垂直、投影向量以及夹角问题的坐标运算，即可求解．
【解答】解：向量，，
对于A，因为，所以m＝﹣4，A正确．
对于B，因为，所以，得m＝﹣3，B正确．
对于C，因为在上的投影向量为，所以，
即，化简可得m2﹣6m+7＝0，
因为Δ＝36﹣28＞0，所以m有两个实数解，C错误．
对于D，因为与的夹角为钝角，且与不共线，
所以，解得m＜﹣3，
假设，则，此时m无解，
所以与的夹角为钝角，则m＜﹣3，D错误．
故选：AB．
【点评】本题主要考查了空间向量的线性运算及空间向量数量积的坐标表示，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
10．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A（0，2，﹣1），B（1，0，1），C（﹣1，4，﹣3），则 ﹣9 ．
【考点】空间向量的数量积运算．
【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】﹣9．
【分析】应用空间向量的坐标及数量积公式计算求解．
【解答】解：因为A（0，2，﹣1），B（1，0，1），C（﹣1，4，﹣3），
所以（﹣1，2，﹣2），（1，﹣2，2），
则．
故答案为：﹣9．
【点评】本题主要考查了空间向量数量积的运算，属于基础题．
11．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是 ．
【考点】空间向量的投影向量与投影．
【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】根据向量的坐标运算求，的值，进而求投影向量．
【解答】解：因为，
所以，，
所以向量在向量上的投影向量为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了投影向量的定义，属于基础题．
12．已知平面α的一个法向量为（1，0，2），平面β的一个法向量为，则平面α和平面β的位置关系是 平行 ．
【考点】平面的法向量．
【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】平行．
【分析】先判断的关系，即可求解．
【解答】解：因为（1，0，2），，
所以，
所以平面α和平面β平行．
故答案为：平行．
【点评】本题主要考查了利用向量判断两平面的位置关系，属于基础题．
13．已知向量（1，﹣2，2），（m，3，2），若（）⊥（），则m的值为 ﹣2 ．
【考点】空间向量的数量积判断向量的共线与垂直．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】﹣2
【分析】直接利用向量的坐标运算和向量的数量积运算求出结果．
【解答】解：向量（1，﹣2，2），（m，3，2），
故（m+1，1，﹣4），（1﹣m，﹣5，m），
由于（）⊥（），故（） （）＝0，
所以m2+4m+4＝0，解得m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量的数量积运算，向量垂直的充要条件，主要考查学生的运算能力，属于基础题，
四．解答题（共2小题）
14．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝2，AA1＝3，AC⊥BC，D是AC的中点，E，F分别是棱AA1，BB1上的点，A1E＝BF＝1．
（1）证明：BD∥平面CEF；
（2）求平面ABC和平面CEF所成的二面角的正弦值．
【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角；直线与平面平行．
【专题】转化思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】（1）证明：取CE中点G，连接DG，FG，
由D是AC中点得DG∥AE，，
三棱柱ABC﹣A1B1C1中，由BB1∥AA1，BB1＝AA1＝3，
由题意E，F分别是棱AA1，BB1上的点，A1E＝BF＝1，得AE＝2，
所以BF∥DG，BF＝DG＝1，
所以四边形BDGF是平行四边形，所以BD∥FG，
因为FG 平面CEF，BD 平面CEF，
所以BD∥平面CEF．
（2）．
【分析】（1）取CE中点G，连接DG，FG，根据平行的传递性得四边形BDGF是平行四边形，从而利用线面平行的判定定理证明即可．
（2）建立空间直角坐标系，求出平面ABC和平面CEF的法向量，然后利用向量法求得二面角的余弦值，利用同角三角函数关系求解即可．
【解答】（1）证明：取CE中点G，连接DG，FG，
由D是AC中点得DG∥AE，，
三棱柱ABC﹣A1B1C1中，由BB1∥AA1，BB1＝AA1＝3，
由题意E，F分别是棱AA1，BB1上的点，A1E＝BF＝1，得AE＝2，
所以BF∥DG，BF＝DG＝1，
所以四边形BDGF是平行四边形，所以BD∥FG，
因为FG 平面CEF，BD 平面CEF，
所以BD∥平面CEF．
（2）解：在直三棱柱中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，
所以CC1，AC，BC两两垂直，
以CB，CA，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系C﹣xyz，如图所示，
由AA1＝3，AC＝BC＝2，A1E＝BF＝1，
知C（0，0，0），E（0，2，2），F（2，0，1），，，
设平面CEF的一个法向量为，
则即取x＝1，
即；
易知平面ABC的一个法向量为，
可得 1×0+2×0+（﹣2）×3＝﹣6，||3，||＝3，
所以cos，，
设平面ABC和平面CEF所成二面角为θ，
可得|cosθ|＝|cos，|，
所以，
即平面ABC和平面CEF所成的二面角的正弦值为．
【点评】本题考查线面平行的判定定理的应用及面面所成的角的正弦值的求法，属于中档题．
15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，AD∥BC，AD＝CD＝2BC＝2，F为棱PB的中点，E为棱PD上一点．
（1）求证：无论点E在棱PD的任何位置，都有CD⊥AE成立；
（2）若E为PD中点，求平面AEF与平面PAD夹角的余弦值；
（3）若E为PD中点，在棱PC上是否存在点G，使得DG∥平面AEF？若存在，求的值，若不存在，说明理由．
【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角；直线与平面平行．
【专题】整体思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】（1）证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
CD⊥AD，AD 平面ABCD，
所以CD⊥平面PAD，
又AE 平面PAD，
所以CD⊥AE；
（2）；
（3）存在，．
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理证明CD⊥平面PAD，然后得到CD⊥AE；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求二面角即可；
（3）设，得到，然后利用空间向量和DG∥平面AEF列方程，解得λ即可．
【解答】（1）证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
CD⊥AD，AD 平面ABCD，
所以CD⊥平面PAD，
又AE 平面PAD，
所以CD⊥AE；
（2）解：取AD中点O，连接OP，OB，
因为CD⊥平面ABCD，AD 平面PAD，
所以CD⊥AD，
因为O为AD中点，△PAD为等边三角形，
所以PO⊥AD，AD＝2OD，
因为平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO 平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD，
且AD＝2OD＝2BC，AD∥BC，
所以四边形OBCD为平行四边形，AD⊥OB，
以O为原点，分别以OA，OB，OP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
A（1，0，0），，，，，
因为CD⊥平面PAD，所以可以作为平面PAD的一个法向量，
设平面AEF的法向量为，
则，
令x＝1，则，，，
可得 0，||＝1，||，
所以cos，，
所以平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值为；
（3）解：D（﹣1，0，0），C（﹣1，2，0），，，
设，则，
因为DG∥平面AEF，
所以，解得，
所以在棱PC上存在点G使DG∥平面AEF，
此时．
【点评】本题考查异面直线垂直的证法及两个平面夹角的余弦值的求法，线面性质垂直的性质的应用，属于中档题．
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第一章 空间向量与立体几何
一．选择题（共6小题）
1．已知平面α的法向量为，平面β的法向量为，若α∥β，则实数m的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣10 D．10
2．在空间直角坐标系中，A（2，3，5），B（3，1，4），则|AB|＝（ ）
A． B．6 C．29 D．
3．已知向量，，若，则x的值是（ ）
A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4
4．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，设，，若、、组成空间向量的一个基，则可以是（ ）
A． B． C． D．
5．给定四面体ABCD．平面α满足：①A、B、C、D四个点均不在平面α上，也不在α的同侧；②若平面α与四面体ABCD的棱有公共点，则该公共点一定是此棱的中点或两个三等分点之一．设A、B、C、D四个点到平面α的距离分别为di（i＝1，2，3，4），那么di的所有不同值的个数组成的集合为（ ）
A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{1，2} D．{1}
6．已知空间向量，，满足，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以A为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是60°，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．AC1⊥BD
C．向量与的夹角是120°
D．BD1与AC所成角的余弦值为
（多选）8．以下说法正确的是（ ）
A．设、是两个空间向量，则、不一定共面
B．设、是两个空间向量，则
C．设、、是三个空间向量，则、、一定不共面
D．设、、是三个空间向量，则
（多选）9．已知空间向量，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则m＝﹣4
B．若，则m＝﹣3
C．若在上的投影向量为，则m只有一个实数解
D．若与的夹角为钝角，则m＞﹣3
三．填空题（共4小题）
10．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A（0，2，﹣1），B（1，0，1），C（﹣1，4，﹣3），则 ．
11．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是 ．
12．已知平面α的一个法向量为（1，0，2），平面β的一个法向量为，则平面α和平面β的位置关系是 ．
13．已知向量（1，﹣2，2），（m，3，2），若（）⊥（），则m的值为 ．
四．解答题（共2小题）
14．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝2，AA1＝3，AC⊥BC，D是AC的中点，E，F分别是棱AA1，BB1上的点，A1E＝BF＝1．
（1）证明：BD∥平面CEF；
（2）求平面ABC和平面CEF所成的二面角的正弦值．
15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，AD∥BC，AD＝CD＝2BC＝2，F为棱PB的中点，E为棱PD上一点．
（1）求证：无论点E在棱PD的任何位置，都有CD⊥AE成立；
（2）若E为PD中点，求平面AEF与平面PAD夹角的余弦值；
（3）若E为PD中点，在棱PC上是否存在点G，使得DG∥平面AEF？若存在，求的值，若不存在，说明理由．
第一章 空间向量与立体几何
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．已知平面α的法向量为，平面β的法向量为，若α∥β，则实数m的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣10 D．10
【考点】平面的法向量；空间向量语言表述面面的垂直、平行关系．
【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】由空间向量平行的坐标表示得结论．
【解答】解：因为平面α的法向量为，平面β的法向量为，
因为α∥β，所以，则，
解得m＝4．
故选：B．
【点评】本题考查平面平行的性质的应用，属于基础题．
2．在空间直角坐标系中，A（2，3，5），B（3，1，4），则|AB|＝（ ）
A． B．6 C．29 D．
【考点】空间两点间的距离公式．
【专题】整体思想；综合法；空间位置关系与距离；运算求解．
【答案】A
【分析】根据空间两点间的距离公式求解即可．
【解答】解：A（2，3，5），B（3，1，4），
．
故选：A．
【点评】本题主要考查了空间两点间距离公式的应用，属于基础题．
3．已知向量，，若，则x的值是（ ）
A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4
【考点】空间向量的数量积判断向量的共线与垂直．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】由得到，利用坐标公式计算求解．
【解答】解：∵，，，
∴，∴x＝4．
故选：D．
【点评】本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
4．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，设，，若、、组成空间向量的一个基，则可以是（ ）
A． B． C． D．
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据空间向量基本定理求解．
【解答】解：由空间向量基本定理可知，空间中不共面的三个向量可以组成空间向量的一个基，
对于A，若，则，
所以，，共面，故A错误；
对于B，若，
因为，，不共面，所以、、组成空间向量的一个基，故B正确；
对于C，若，
则，即，
所以，，共面，故C错误；
对于D，若，
则22，
即2，所以，，共面，故D错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了空间向量的基本定理，属于基础题．
5．给定四面体ABCD．平面α满足：①A、B、C、D四个点均不在平面α上，也不在α的同侧；②若平面α与四面体ABCD的棱有公共点，则该公共点一定是此棱的中点或两个三等分点之一．设A、B、C、D四个点到平面α的距离分别为di（i＝1，2，3，4），那么di的所有不同值的个数组成的集合为（ ）
A．{1，2，3，4} B．{1，2，3} C．{1，2} D．{1}
【考点】空间中点到平面的距离．
【专题】分类讨论；综合法；空间位置关系与距离；逻辑思维．
【答案】B
【分析】根据题意，分类讨论，确定平面αx的位置，结合点到平面的距离的定义，进行分析判断，即可求解．
【解答】解：当平面α与四面体ABCD的三条棱的中点相交时，
不妨设平面α过棱AB，AC，AD的中点E，M，N，此时点A，B到平面α的距离相等，
且平面α∥平面BCD，如图（1）所示，
此时B，C，D到平面α的距离可能与A，B到平面α的距离相同，此时di有1不同的值；
不妨设平面α过棱AB的中点E，且过AC，AD分别为的三等分点M，N时，
如图（2）所示，此时点A，B到平面α的距离相等，且C，D到平面α的距离相等，
且A，B到平面α的距离与C，D到平面α的距离不相等，此时di有2不同的值；
不妨设平面α过棱AB，AD的中点E，N，且过AC分别为的三等分点M时，
如图（3）所示，此时点A，B，D到平面α的距离相等，
其中A，B，D到平面α的距离与C到平面α的距离不相等，此时di有2不同的值；
不妨设平面α过棱AB的中点E，过AC的靠近C的三等分点M，过AD靠近A点的三等分点N，
此时A，B到平面α的距离不同，C，D到平面α的距离不同，
且A，B，C，D到平面α的距离两两之间都可能不同，此时di有3个不同的值；
又因为A，B，C，D四个点均不在平面α上，也不在平面α的同侧，
所以di不能有4个不同的值（若有4个不同的值，四个点必然在平面α的同侧），
所以di的所有不同值的个数组成的集合为{1，2，3}．
故选：B．
【点评】本题主要考查空间中点到平面的距离，考查分类讨论思想，属于中档题．
6．已知空间向量，，满足，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】空间向量的数量积运算．
【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】由已知得，两边平方利用向量的数量积运算律求解即可．
【解答】解：因为，
由得，
两边平方得，
所以，
所以．
故选：A．
【点评】本题主要考查了向量数量积的性质的应用，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以A为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是60°，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．AC1⊥BD
C．向量与的夹角是120°
D．BD1与AC所成角的余弦值为
【考点】空间向量的夹角与距离求解公式；异面直线及其所成的角．
【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】ABC
【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题进行分析判断，能求出结果．
【解答】解：平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以A为顶点的三条棱长均为1，且两两之间的夹角都是60°，
∴1，
，
对于A，∵，
∴||2＝（）21+1+16，
∴||，故A正确；
对于B，∵（） （）
0，
∴AC1⊥BD，故B正确；
对于C，，
∴||，
∴cos，
，
∴向量与的夹角是120°，故C正确；
对于D，∵，，
∴（） （）
1，
∵||，
||，
∴cos，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查空间向量的线性运算和数量积运算等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
（多选）8．以下说法正确的是（ ）
A．设、是两个空间向量，则、不一定共面
B．设、是两个空间向量，则
C．设、、是三个空间向量，则、、一定不共面
D．设、、是三个空间向量，则
【考点】空间向量的共线与共面．
【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；直观想象．
【答案】BD
【分析】利用共面向量的定义可判断AC选项的正误；利用空间向量数量积的定义可判断B选项的正误；利用空间向量数量积的运算性质可判断D选项的正误．
【解答】解：对于A选项，任意两个空间向量都共面，A错误；
对于B选项，由空间向量数量积的定义可知，，
由于，故，B正确；
对于C选项，在△ABC中，，，，则、、共面，C错误；
对于D选项，由空间向量数量积的运算性质可得，D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查了向量数量积的运算及性质的应用，属于基础题．
（多选）9．已知空间向量，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则m＝﹣4
B．若，则m＝﹣3
C．若在上的投影向量为，则m只有一个实数解
D．若与的夹角为钝角，则m＞﹣3
【考点】空间向量的投影向量与投影；数量积判断两个平面向量的垂直关系；空间向量及其线性运算．
【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】AB
【分析】利用空间向量的垂直、投影向量以及夹角问题的坐标运算，即可求解．
【解答】解：向量，，
对于A，因为，所以m＝﹣4，A正确．
对于B，因为，所以，得m＝﹣3，B正确．
对于C，因为在上的投影向量为，所以，
即，化简可得m2﹣6m+7＝0，
因为Δ＝36﹣28＞0，所以m有两个实数解，C错误．
对于D，因为与的夹角为钝角，且与不共线，
所以，解得m＜﹣3，
假设，则，此时m无解，
所以与的夹角为钝角，则m＜﹣3，D错误．
故选：AB．
【点评】本题主要考查了空间向量的线性运算及空间向量数量积的坐标表示，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
10．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A（0，2，﹣1），B（1，0，1），C（﹣1，4，﹣3），则 ﹣9 ．
【考点】空间向量的数量积运算．
【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】﹣9．
【分析】应用空间向量的坐标及数量积公式计算求解．
【解答】解：因为A（0，2，﹣1），B（1，0，1），C（﹣1，4，﹣3），
所以（﹣1，2，﹣2），（1，﹣2，2），
则．
故答案为：﹣9．
【点评】本题主要考查了空间向量数量积的运算，属于基础题．
11．已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是 ．
【考点】空间向量的投影向量与投影．
【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】根据向量的坐标运算求，的值，进而求投影向量．
【解答】解：因为，
所以，，
所以向量在向量上的投影向量为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了投影向量的定义，属于基础题．
12．已知平面α的一个法向量为（1，0，2），平面β的一个法向量为，则平面α和平面β的位置关系是 平行 ．
【考点】平面的法向量．
【专题】整体思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】平行．
【分析】先判断的关系，即可求解．
【解答】解：因为（1，0，2），，
所以，
所以平面α和平面β平行．
故答案为：平行．
【点评】本题主要考查了利用向量判断两平面的位置关系，属于基础题．
13．已知向量（1，﹣2，2），（m，3，2），若（）⊥（），则m的值为 ﹣2 ．
【考点】空间向量的数量积判断向量的共线与垂直．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】﹣2
【分析】直接利用向量的坐标运算和向量的数量积运算求出结果．
【解答】解：向量（1，﹣2，2），（m，3，2），
故（m+1，1，﹣4），（1﹣m，﹣5，m），
由于（）⊥（），故（） （）＝0，
所以m2+4m+4＝0，解得m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量的数量积运算，向量垂直的充要条件，主要考查学生的运算能力，属于基础题，
四．解答题（共2小题）
14．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝2，AA1＝3，AC⊥BC，D是AC的中点，E，F分别是棱AA1，BB1上的点，A1E＝BF＝1．
（1）证明：BD∥平面CEF；
（2）求平面ABC和平面CEF所成的二面角的正弦值．
【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角；直线与平面平行．
【专题】转化思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】（1）证明：取CE中点G，连接DG，FG，
由D是AC中点得DG∥AE，，
三棱柱ABC﹣A1B1C1中，由BB1∥AA1，BB1＝AA1＝3，
由题意E，F分别是棱AA1，BB1上的点，A1E＝BF＝1，得AE＝2，
所以BF∥DG，BF＝DG＝1，
所以四边形BDGF是平行四边形，所以BD∥FG，
因为FG 平面CEF，BD 平面CEF，
所以BD∥平面CEF．
（2）．
【分析】（1）取CE中点G，连接DG，FG，根据平行的传递性得四边形BDGF是平行四边形，从而利用线面平行的判定定理证明即可．
（2）建立空间直角坐标系，求出平面ABC和平面CEF的法向量，然后利用向量法求得二面角的余弦值，利用同角三角函数关系求解即可．
【解答】（1）证明：取CE中点G，连接DG，FG，
由D是AC中点得DG∥AE，，
三棱柱ABC﹣A1B1C1中，由BB1∥AA1，BB1＝AA1＝3，
由题意E，F分别是棱AA1，BB1上的点，A1E＝BF＝1，得AE＝2，
所以BF∥DG，BF＝DG＝1，
所以四边形BDGF是平行四边形，所以BD∥FG，
因为FG 平面CEF，BD 平面CEF，
所以BD∥平面CEF．
（2）解：在直三棱柱中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，
所以CC1，AC，BC两两垂直，
以CB，CA，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系C﹣xyz，如图所示，
由AA1＝3，AC＝BC＝2，A1E＝BF＝1，
知C（0，0，0），E（0，2，2），F（2，0，1），，，
设平面CEF的一个法向量为，
则即取x＝1，
即；
易知平面ABC的一个法向量为，
可得 1×0+2×0+（﹣2）×3＝﹣6，||3，||＝3，
所以cos，，
设平面ABC和平面CEF所成二面角为θ，
可得|cosθ|＝|cos，|，
所以，
即平面ABC和平面CEF所成的二面角的正弦值为．
【点评】本题考查线面平行的判定定理的应用及面面所成的角的正弦值的求法，属于中档题．
15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，CD⊥AD，AD∥BC，AD＝CD＝2BC＝2，F为棱PB的中点，E为棱PD上一点．
（1）求证：无论点E在棱PD的任何位置，都有CD⊥AE成立；
（2）若E为PD中点，求平面AEF与平面PAD夹角的余弦值；
（3）若E为PD中点，在棱PC上是否存在点G，使得DG∥平面AEF？若存在，求的值，若不存在，说明理由．
【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角；直线与平面平行．
【专题】整体思想；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】（1）证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
CD⊥AD，AD 平面ABCD，
所以CD⊥平面PAD，
又AE 平面PAD，
所以CD⊥AE；
（2）；
（3）存在，．
【分析】（1）根据面面垂直的性质定理证明CD⊥平面PAD，然后得到CD⊥AE；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求二面角即可；
（3）设，得到，然后利用空间向量和DG∥平面AEF列方程，解得λ即可．
【解答】（1）证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
CD⊥AD，AD 平面ABCD，
所以CD⊥平面PAD，
又AE 平面PAD，
所以CD⊥AE；
（2）解：取AD中点O，连接OP，OB，
因为CD⊥平面ABCD，AD 平面PAD，
所以CD⊥AD，
因为O为AD中点，△PAD为等边三角形，
所以PO⊥AD，AD＝2OD，
因为平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO 平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD，
且AD＝2OD＝2BC，AD∥BC，
所以四边形OBCD为平行四边形，AD⊥OB，
以O为原点，分别以OA，OB，OP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
A（1，0，0），，，，，
因为CD⊥平面PAD，所以可以作为平面PAD的一个法向量，
设平面AEF的法向量为，
则，
令x＝1，则，，，
可得 0，||＝1，||，
所以cos，，
所以平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值为；
（3）解：D（﹣1，0，0），C（﹣1，2，0），，，
设，则，
因为DG∥平面AEF，
所以，解得，
所以在棱PC上存在点G使DG∥平面AEF，
此时．
【点评】本题考查异面直线垂直的证法及两个平面夹角的余弦值的求法，线面性质垂直的性质的应用，属于中档题．
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