5.2 导数的运算(同步练习.含解析）2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 5.2 导数的运算(同步练习.含解析）2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 114.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-04 21:00:19 | ||
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文档简介
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5.2 导数的运算
一．选择题（共6小题）
1．已知函数f（x）＝ex﹣ax+b（a，b∈R），g（x）＝x2+x，若这两个函数的图象在公共点A（1，2）处有相同的切线，则a+b＝（ ）
A．e﹣4 B．e+2 C．e D．e2
2．已知函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）＝2lnx﹣f′（1）x﹣2，则f（1）＝（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
3．设曲线y在点（3，2）处的切线的斜率为（ ）
A．2 B． C． D．﹣2
4．若函数f（x）满足f（x）＝x3f′（2）x2﹣3x，则f′（2）的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．3 D．4
5．已知曲线y＝ex﹣1在点（1，1）处的切线与曲线只有一个公共点，则a＝（ ）
A．e2 B．2e C． D．1
6．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．已知函数f（x）＝x3+ax2+ax+1，则下列说法正确的是（ ）
A．当a＝3时，f（x）有两个零点
B．当a＝﹣3时，曲线y＝f（x）关于点（1，﹣4）对称
C．当a＝0时，若过点（m，n）可以作曲线y＝f（x）﹣x﹣1的三条切线，则|m+n|＜|m3|
D．存在a使得方程f（x）＝2x2有三个不等的实根x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），且x1+x3＝x2
（多选）8．已知函数f（x）＝x2e2x，则（ ）
A．y＝xe﹣2xf（x）为奇函数
B．
C．当x＞0时，
D．曲线y＝f（﹣x）f（x）在点（﹣1，1）处的切线方程为y＝4x+5
（多选）9．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A． x0∈R，使得
B．函数f（x）的图象是一个中心对称图形
C．曲线y＝f（x）有且只有一条斜率为的切线
D．存在实数a，b，使得函数f（x）的定义域[a，b]，值域为
三．填空题（共4小题）
10．已知函数f（x）＝x3，请写出一条过点（1，0）且与y＝f（x）的图象相切的直线方程 ．
11．若直线l为曲线f（x）＝ex﹣1与g（x）＝lnx+1的公切线，则直线l的方程可以为 ．（写出符合条件的一个方程即可）
12．已知函数过原点O（0，0）作曲线y＝f（x）的切线，其切线方程为 ．
13．已知函数f（x）＝x（ex+a）+2在点（0，f（0））处的切线与直线x﹣3y＝0垂直，则a＝ ．
四．解答题（共2小题）
14．设．
（1）求函数y＝f（x）的定义域；
（2）当a＝1时，求函数y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
15．已知函数f（x）＝1+x﹣x2，g（x）＝ex．
（1）证明：直线y＝x+1与曲线y＝f（x），y＝g（x）均相切；
（2）从下面①②两个函数中任选一个，记为h（x），使得h（x）有最大值，并求h（x）的最大值．
①f（x）+g（x）；②f（x） g（x）．
5.2 导数的运算
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．已知函数f（x）＝ex﹣ax+b（a，b∈R），g（x）＝x2+x，若这两个函数的图象在公共点A（1，2）处有相同的切线，则a+b＝（ ）
A．e﹣4 B．e+2 C．e D．e2
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义，直线的点斜式方程，即可求解．
【解答】解：因为g（x）＝x2+x，所以g′（x）＝2x+1，
所以g′（1）＝3，所以g（x）在A（1，2）处的切线方程为y﹣2＝3（x﹣1），即为y＝3x﹣1，
又f（x）＝ex﹣ax+b，所以f′（x）＝ex﹣a，
又y＝3x﹣1也是f（x）在A（1，2）处的切线，
所以f′（1）＝e﹣a＝3，e﹣a+b＝2，
解得a＝e﹣3，b＝﹣1，
所以a+b＝e﹣4．
故选：A．
【点评】本题考查函数的公切线问题的求解，属基础题．
2．已知函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）＝2lnx﹣f′（1）x﹣2，则f（1）＝（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【考点】基本初等函数的导数．
【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．
【答案】A
【分析】把已知函数解析式求导，取x＝1求得f′（1），进一步求解得答案．
【解答】解：由f（x）＝2lnx﹣f′（1）x﹣2，
得f′（x）f′（1），
令x＝1，可得f′（1）＝2﹣f′（1），
则f′（1）＝1，则f（x）＝2lnx﹣x﹣2，
所以f（1）＝2ln1﹣1﹣2＝﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查基本初等函数的导函数，是基础题．
3．设曲线y在点（3，2）处的切线的斜率为（ ）
A．2 B． C． D．﹣2
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】计算题．
【答案】C
【分析】经过判断发现点（3，2）在曲线上，所以此点为切点，求出曲线方程的导函数，把切点的横坐标代入导函数中求出的函数值即为曲线方程的斜率．
【解答】解：显然（3，2）在曲线上，
由，求出y′，
把x＝3代入得：y′|x＝3，即曲线方程的斜率为．
故选：C．
【点评】此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道基础题．学生做题时注意判断已知点是否在曲线上，如果在的话此点即为切点．
4．若函数f（x）满足f（x）＝x3f′（2）x2﹣3x，则f′（2）的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．3 D．4
【考点】简单复合函数的导数．
【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】求解导函数，再赋值x＝2，解关于f′（2）的方程可得．
【解答】解：对f（x）求导可得，f′（x）＝3x2﹣f′（2）x﹣3，
则f′（2）＝12﹣2f′（2）﹣3，解得f′（2）＝3．
故选：C．
【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题．
5．已知曲线y＝ex﹣1在点（1，1）处的切线与曲线只有一个公共点，则a＝（ ）
A．e2 B．2e C． D．1
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据导数的几何意义，函数与方程思想，数形结合，即可求解．
【解答】解：因为y＝ex﹣1的导数为y′＝ex﹣1，
所以当x＝1时，y′＝1，
所以y＝ex﹣1在点（1，1）处的切线方程为y﹣1＝x﹣1，即为y＝x，
所以y＝x与曲线只有一个公共点，
所以仅有一根，
所以仅有一根，
所以y与y仅有一公共点，
设f（x），x＞0，则f′（x），令f′（x）＝0，可得x，
所以f′（x）的符号为：
所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，
且f（1）＝0，f（x）的极大值为f（），
所以作出f（x）的图象如下：
所以要使y与y仅有一公共点，又a＞0，
则，所以a＝2e．
故选：B．
【点评】本题考查函数的切线问题，导数的综合应用，属中档题．
6．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．
【专题】方程思想；数学模型法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝1处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案．
【解答】解：由，得y′，
∴，
则曲线在点处的切线方程为y，
即．
故选：C．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．已知函数f（x）＝x3+ax2+ax+1，则下列说法正确的是（ ）
A．当a＝3时，f（x）有两个零点
B．当a＝﹣3时，曲线y＝f（x）关于点（1，﹣4）对称
C．当a＝0时，若过点（m，n）可以作曲线y＝f（x）﹣x﹣1的三条切线，则|m+n|＜|m3|
D．存在a使得方程f（x）＝2x2有三个不等的实根x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），且x1+x3＝x2
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程；函数与方程的综合运用．
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】BCD
【分析】求出零点判断A；利用中心对称的定义判断B；利用导数及几何意义列出方程，构造函数并由函数有3个零点，结合导数推理判断C；取a＝0，求出方程并判断D．
【解答】解：对于A选项，因为f（x）＝x3+ax2+ax+1，
所以当a＝3时，f（x）＝x3+3x2+3x+1＝（x+1）3，
所以f（x）只有一个零点﹣1，所以A选项错误；
对于B选项，因为f（x）＝x3+ax2+ax+1，
所以当a＝﹣3时，f（x）＝x3﹣3x2﹣3x+1＝（x﹣1）3﹣6（x﹣1）﹣4，
所以f（1+x）+f（1﹣x）＝x3﹣6x﹣4+（﹣x）3﹣6（﹣x）﹣4＝﹣8，
所以y＝f（x）关于点（1，﹣4）对称，所以B选项正确；
对于C选项，因为f（x）＝x3+ax2+ax+1，
所以当a＝0时，f（x）＝x3+1，曲线为y＝x3﹣x，设切点为（t，t3﹣t），
求导得y′＝3x2﹣1，于是切线方程为y＝（3t2﹣1）（x﹣t）+t3﹣t，由切线过点（m，n），
得n＝（3t2﹣1）（m﹣t）+t3﹣t，
整理得2t3﹣3mt2+m+n＝0，根据题意可得该方程有3个不等实根，
令g（t）＝2t3﹣3mt2+m+n，则g（t）有3个零点，
又g′（t）＝6t2﹣6mt＝6t（t﹣m），
当m＝0时，g′（t）≥0，函数g（t）只有1个零点，不符合题意；
当m＞0时，由g′（t）＞0，得t＜0或t＞m，由g′（t）＜0，得0＜t＜m，
函数g（t）在（﹣∞，0），（m，+∞）上递增，在（0，m）上递减，由函数g（t）有3个零点，
得，则0＜m+n＜m3；
当m＜0时，由g′（t）＞0，得t＜m或t＞0，由g′（t）＜0，得m＜t＜0，
函数g（t）在（﹣∞，m），（0，+∞）上递增，在（m，0）上递减，
所以要使g（t）有3个零点，
则，
所以m3＜m+n＜0，所以|m+n|＜|m3|，所以C选项正确；
对于D选项，由方程f（x）＝2x2，得x3+（a﹣2）x2+ax+1＝0，取a＝0，则x3﹣2x2+1＝0，
整理得（x﹣1）（x2﹣x﹣1）＝0，于是x1+x3＝1＝x2，所以D选项正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查一元三次函数函数的性质，函数的切线问题，函数的零点问题，属中档题．
（多选）8．已知函数f（x）＝x2e2x，则（ ）
A．y＝xe﹣2xf（x）为奇函数
B．
C．当x＞0时，
D．曲线y＝f（﹣x）f（x）在点（﹣1，1）处的切线方程为y＝4x+5
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程；奇函数偶函数的判断；含Δx表达式的极限计算与导数的关系．
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】AC
【分析】化简函数，通过奇函数的定义求证判断A；求出f′（﹣2）判断B；化简，结合基本不等式判断C；化简函数，求导，利用点斜式求方程判断D．
【解答】解：对于A选项，设g（x）＝xe﹣2xf（x）＝xe﹣2x x2e2x＝x3，
所以y＝xe﹣2xf（x）为R上的奇函数，所以A选项正确；
对于B选项，因为f′（x）＝2xe2x+2x2e2x＝2x（x+1）e2x，
所以f′（﹣2）＝4e﹣4，
所以，所以B选项错误；
对于C选项，当x＞0时，，
当且仅当x＝1时，等号成立，所以C选项正确；
对于D选项，设h（x）＝f（﹣x）f（x）＝x2e﹣2x x2e2x＝x4，
则h′（x）＝4x3，则h′（﹣1）＝﹣4，
所以y＝f（﹣x）f（x）在点（﹣1，1）处的切线方程为y﹣1＝﹣4（x+1），即y＝﹣4x﹣3，所以D选项错误．
故选：AC．
【点评】本题考查函数的切线问题的求解，属中档题．
（多选）9．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A． x0∈R，使得
B．函数f（x）的图象是一个中心对称图形
C．曲线y＝f（x）有且只有一条斜率为的切线
D．存在实数a，b，使得函数f（x）的定义域[a，b]，值域为
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程；奇偶函数图象的对称性．
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】求解指数方程计算判断A，应用对称中心定义计算判断B，应用导数值域判断C，应用函数交点判断D．
【解答】解：因为，
当，所以，可得，且，
所以 x0∈R，使得，A选项正确；
因为，
所以函数f（x）的一个中心对称为，所以B选项正确；
因为，又，
所以f′（x），所以函数没有斜率为的切线，所以C选项错误；
令，可得，
而有两个交点，
所以存在实数a，b，满足题意，所以D选项正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查函数的性质的综合应用，属中档题．
三．填空题（共4小题）
10．已知函数f（x）＝x3，请写出一条过点（1，0）且与y＝f（x）的图象相切的直线方程y＝0或（写出其中一条即可） ．
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．
【专题】综合题；方程思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】y＝0或（写出其中一条即可）．
【分析】设切点，利用导数求出切线斜率，得出切线方程，代入所过点坐标即可得解．
【解答】解：设切点，因为f′（x）＝3x2，
所以切线方程为，
即，
将点（1，0）代入上式，得，
解得x0＝0或，
所以切线方程为y＝0或．
故答案为：y＝0或（写出其中一条即可）．
【点评】本题考查导数的几何意义与切线方程的求法，属于中档题．
11．若直线l为曲线f（x）＝ex﹣1与g（x）＝lnx+1的公切线，则直线l的方程可以为y＝x（或y＝ex﹣1） ．（写出符合条件的一个方程即可）
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．
【专题】方程思想；转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】y＝x（或y＝ex﹣1）．
【分析】设切线l与两曲线分别切于（m，em﹣1，），（n，lnn+1，），从而根据题意可得切线斜率k＝em，从而可求解．
【解答】解：因为f（x）＝ex﹣1，g（x）＝lnx+1，
所以f′（x）＝ex，g′（x），
设切线l与两曲线分别切于（m，em﹣1，），（n，lnn+1，），
则根据题意可得切线斜率k＝em，
解得或，
所以切线l与f（x）的切点为（0，0）或（1，e﹣1），
所以切线l的方程为y＝x或y﹣（e﹣1）＝e（x﹣1），
即为y＝x或y＝ex﹣1．
故答案为：y＝x（或y＝ex﹣1）．
【点评】本题考查函数的公切线方程的求解，属中档题．
12．已知函数过原点O（0，0）作曲线y＝f（x）的切线，其切线方程为 x﹣ey＝0 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】方程思想；分类法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】x﹣ey＝0．
【分析】设出切点的坐标，结合导数的几何意义，分类讨论，即可求解．
【解答】解：当x≤0时，函数f（x）＝ex，可得f′（x）＝ex，
设切点为P（x0，y0），则，
∴切线方程为，
∵切线过原点O（0，0），∴，解得x0＝1，不符合题意，舍去；
当x＞0时，函数f（x）＝lnx，可得，
设切点为P（x1，y1），则，
则切线方程为，
∵切点过原点O（0，0），∴lnx1＝1，解得x1＝e，
此时切线方程为，即x﹣ey＝0．
故答案为：x﹣ey＝0．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查分类讨论思想，考查运算求解能力，是中档题．
13．已知函数f（x）＝x（ex+a）+2在点（0，f（0））处的切线与直线x﹣3y＝0垂直，则a＝ ﹣4 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】方程思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】﹣4．
【分析】根据导数的几何意义，即可求解．
【解答】解：因为f（x）＝x（ex+a）+2，
所以f′（x）＝（ex+a）+xex，所以f′（0）＝a+1，
所以根据题意可得（a+1）1，解得a＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查导数的几何意义的应用，属基础题．
四．解答题（共2小题）
14．设．
（1）求函数y＝f（x）的定义域；
（2）当a＝1时，求函数y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程；简单函数的定义域．
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】（1）（0，+∞）；
（2）y+2＝0．
【分析】（1）根据对数函数的性质，即可求解；
（2）根据导数的几何意义，直线的点斜式方程，即可求解．
【解答】解：（1）根据题意可得f（x）的定义域为（0，+∞）；
（2）当a＝1时，f（x）＝lnx﹣x﹣1，
所以，
所以f（1）＝﹣2，f'（1）＝0，
所以f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2＝0．
【点评】本题考查导数的几何意义的应用，函数的切线方程的求解，属基础题．
15．已知函数f（x）＝1+x﹣x2，g（x）＝ex．
（1）证明：直线y＝x+1与曲线y＝f（x），y＝g（x）均相切；
（2）从下面①②两个函数中任选一个，记为h（x），使得h（x）有最大值，并求h（x）的最大值．
①f（x）+g（x）；②f（x） g（x）．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．
【答案】（1）证明：函数f（x）＝1+x﹣x2，g（x）＝ex，
f′（x）＝1﹣2x，由1﹣2x＝1得x＝0，且f（0）＝1，
所以f（x）在（0，1）处的切线方程为y＝x+1．
又g′（x）＝ex，由ex＝1得x＝0，且g（0）＝1，
所以g（x）在（0，1）处的切线方程为y＝x+1．
所以直线y＝x+1与曲线y＝f（x），y＝g（x）均相切；
（2）①无最大值；②最大值为e．
【分析】（1）根据导数的几何意义，证明直线y＝x+1与曲线y＝f（x），y＝g（x）均相切．
（2）求导，分析函数的单调性，求函数的最值．
【解答】解：（1）证明：由题意函数f（x）＝1+x﹣x2，g（x）＝ex，
f′（x）＝1﹣2x，由1﹣2x＝1得x＝0，且f（0）＝1，
所以f（x）在（0，1）处的切线方程为y＝x+1．
又g′（x）＝ex，由ex＝1得x＝0，且g（0）＝1，
所以g（x）在（0，1）处的切线方程为y＝x+1．
所以直线y＝x+1与曲线y＝f（x），y＝g（x）均相切；
（2）若选择条件①：
h（x）＝1+x﹣x2+ex，注意到x→+∞时，h（x）→+∞，所以h（x）无最大值，不符合题意；
若选择条件②：
h（x）＝（1+x﹣x2） ex，则h′（x）＝（2﹣x﹣x2） ex，
令h′（x）＜0，得x＜﹣2或x＞1，令h′（x）＞0，得﹣2＜x＜1；
所以h（x）在（﹣2，1）单调递增在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）单调递减．
所以h（x）的极大值为h（1）＝e．
又当x＜﹣2时，1+x﹣x2＜0，所以h（x）＜0，
所以h（1）＝e是h（x）的最大值．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值，是中档题．
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5.2 导数的运算
一．选择题（共6小题）
1．已知函数f（x）＝ex﹣ax+b（a，b∈R），g（x）＝x2+x，若这两个函数的图象在公共点A（1，2）处有相同的切线，则a+b＝（ ）
A．e﹣4 B．e+2 C．e D．e2
2．已知函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）＝2lnx﹣f′（1）x﹣2，则f（1）＝（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
3．设曲线y在点（3，2）处的切线的斜率为（ ）
A．2 B． C． D．﹣2
4．若函数f（x）满足f（x）＝x3f′（2）x2﹣3x，则f′（2）的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．3 D．4
5．已知曲线y＝ex﹣1在点（1，1）处的切线与曲线只有一个公共点，则a＝（ ）
A．e2 B．2e C． D．1
6．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．已知函数f（x）＝x3+ax2+ax+1，则下列说法正确的是（ ）
A．当a＝3时，f（x）有两个零点
B．当a＝﹣3时，曲线y＝f（x）关于点（1，﹣4）对称
C．当a＝0时，若过点（m，n）可以作曲线y＝f（x）﹣x﹣1的三条切线，则|m+n|＜|m3|
D．存在a使得方程f（x）＝2x2有三个不等的实根x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），且x1+x3＝x2
（多选）8．已知函数f（x）＝x2e2x，则（ ）
A．y＝xe﹣2xf（x）为奇函数
B．
C．当x＞0时，
D．曲线y＝f（﹣x）f（x）在点（﹣1，1）处的切线方程为y＝4x+5
（多选）9．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A． x0∈R，使得
B．函数f（x）的图象是一个中心对称图形
C．曲线y＝f（x）有且只有一条斜率为的切线
D．存在实数a，b，使得函数f（x）的定义域[a，b]，值域为
三．填空题（共4小题）
10．已知函数f（x）＝x3，请写出一条过点（1，0）且与y＝f（x）的图象相切的直线方程 ．
11．若直线l为曲线f（x）＝ex﹣1与g（x）＝lnx+1的公切线，则直线l的方程可以为 ．（写出符合条件的一个方程即可）
12．已知函数过原点O（0，0）作曲线y＝f（x）的切线，其切线方程为 ．
13．已知函数f（x）＝x（ex+a）+2在点（0，f（0））处的切线与直线x﹣3y＝0垂直，则a＝ ．
四．解答题（共2小题）
14．设．
（1）求函数y＝f（x）的定义域；
（2）当a＝1时，求函数y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
15．已知函数f（x）＝1+x﹣x2，g（x）＝ex．
（1）证明：直线y＝x+1与曲线y＝f（x），y＝g（x）均相切；
（2）从下面①②两个函数中任选一个，记为h（x），使得h（x）有最大值，并求h（x）的最大值．
①f（x）+g（x）；②f（x） g（x）．
5.2 导数的运算
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．已知函数f（x）＝ex﹣ax+b（a，b∈R），g（x）＝x2+x，若这两个函数的图象在公共点A（1，2）处有相同的切线，则a+b＝（ ）
A．e﹣4 B．e+2 C．e D．e2
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义，直线的点斜式方程，即可求解．
【解答】解：因为g（x）＝x2+x，所以g′（x）＝2x+1，
所以g′（1）＝3，所以g（x）在A（1，2）处的切线方程为y﹣2＝3（x﹣1），即为y＝3x﹣1，
又f（x）＝ex﹣ax+b，所以f′（x）＝ex﹣a，
又y＝3x﹣1也是f（x）在A（1，2）处的切线，
所以f′（1）＝e﹣a＝3，e﹣a+b＝2，
解得a＝e﹣3，b＝﹣1，
所以a+b＝e﹣4．
故选：A．
【点评】本题考查函数的公切线问题的求解，属基础题．
2．已知函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）＝2lnx﹣f′（1）x﹣2，则f（1）＝（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【考点】基本初等函数的导数．
【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．
【答案】A
【分析】把已知函数解析式求导，取x＝1求得f′（1），进一步求解得答案．
【解答】解：由f（x）＝2lnx﹣f′（1）x﹣2，
得f′（x）f′（1），
令x＝1，可得f′（1）＝2﹣f′（1），
则f′（1）＝1，则f（x）＝2lnx﹣x﹣2，
所以f（1）＝2ln1﹣1﹣2＝﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查基本初等函数的导函数，是基础题．
3．设曲线y在点（3，2）处的切线的斜率为（ ）
A．2 B． C． D．﹣2
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】计算题．
【答案】C
【分析】经过判断发现点（3，2）在曲线上，所以此点为切点，求出曲线方程的导函数，把切点的横坐标代入导函数中求出的函数值即为曲线方程的斜率．
【解答】解：显然（3，2）在曲线上，
由，求出y′，
把x＝3代入得：y′|x＝3，即曲线方程的斜率为．
故选：C．
【点评】此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道基础题．学生做题时注意判断已知点是否在曲线上，如果在的话此点即为切点．
4．若函数f（x）满足f（x）＝x3f′（2）x2﹣3x，则f′（2）的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．3 D．4
【考点】简单复合函数的导数．
【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】求解导函数，再赋值x＝2，解关于f′（2）的方程可得．
【解答】解：对f（x）求导可得，f′（x）＝3x2﹣f′（2）x﹣3，
则f′（2）＝12﹣2f′（2）﹣3，解得f′（2）＝3．
故选：C．
【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题．
5．已知曲线y＝ex﹣1在点（1，1）处的切线与曲线只有一个公共点，则a＝（ ）
A．e2 B．2e C． D．1
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据导数的几何意义，函数与方程思想，数形结合，即可求解．
【解答】解：因为y＝ex﹣1的导数为y′＝ex﹣1，
所以当x＝1时，y′＝1，
所以y＝ex﹣1在点（1，1）处的切线方程为y﹣1＝x﹣1，即为y＝x，
所以y＝x与曲线只有一个公共点，
所以仅有一根，
所以仅有一根，
所以y与y仅有一公共点，
设f（x），x＞0，则f′（x），令f′（x）＝0，可得x，
所以f′（x）的符号为：
所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，
且f（1）＝0，f（x）的极大值为f（），
所以作出f（x）的图象如下：
所以要使y与y仅有一公共点，又a＞0，
则，所以a＝2e．
故选：B．
【点评】本题考查函数的切线问题，导数的综合应用，属中档题．
6．曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．
【专题】方程思想；数学模型法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝1处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案．
【解答】解：由，得y′，
∴，
则曲线在点处的切线方程为y，
即．
故选：C．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．已知函数f（x）＝x3+ax2+ax+1，则下列说法正确的是（ ）
A．当a＝3时，f（x）有两个零点
B．当a＝﹣3时，曲线y＝f（x）关于点（1，﹣4）对称
C．当a＝0时，若过点（m，n）可以作曲线y＝f（x）﹣x﹣1的三条切线，则|m+n|＜|m3|
D．存在a使得方程f（x）＝2x2有三个不等的实根x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），且x1+x3＝x2
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程；函数与方程的综合运用．
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】BCD
【分析】求出零点判断A；利用中心对称的定义判断B；利用导数及几何意义列出方程，构造函数并由函数有3个零点，结合导数推理判断C；取a＝0，求出方程并判断D．
【解答】解：对于A选项，因为f（x）＝x3+ax2+ax+1，
所以当a＝3时，f（x）＝x3+3x2+3x+1＝（x+1）3，
所以f（x）只有一个零点﹣1，所以A选项错误；
对于B选项，因为f（x）＝x3+ax2+ax+1，
所以当a＝﹣3时，f（x）＝x3﹣3x2﹣3x+1＝（x﹣1）3﹣6（x﹣1）﹣4，
所以f（1+x）+f（1﹣x）＝x3﹣6x﹣4+（﹣x）3﹣6（﹣x）﹣4＝﹣8，
所以y＝f（x）关于点（1，﹣4）对称，所以B选项正确；
对于C选项，因为f（x）＝x3+ax2+ax+1，
所以当a＝0时，f（x）＝x3+1，曲线为y＝x3﹣x，设切点为（t，t3﹣t），
求导得y′＝3x2﹣1，于是切线方程为y＝（3t2﹣1）（x﹣t）+t3﹣t，由切线过点（m，n），
得n＝（3t2﹣1）（m﹣t）+t3﹣t，
整理得2t3﹣3mt2+m+n＝0，根据题意可得该方程有3个不等实根，
令g（t）＝2t3﹣3mt2+m+n，则g（t）有3个零点，
又g′（t）＝6t2﹣6mt＝6t（t﹣m），
当m＝0时，g′（t）≥0，函数g（t）只有1个零点，不符合题意；
当m＞0时，由g′（t）＞0，得t＜0或t＞m，由g′（t）＜0，得0＜t＜m，
函数g（t）在（﹣∞，0），（m，+∞）上递增，在（0，m）上递减，由函数g（t）有3个零点，
得，则0＜m+n＜m3；
当m＜0时，由g′（t）＞0，得t＜m或t＞0，由g′（t）＜0，得m＜t＜0，
函数g（t）在（﹣∞，m），（0，+∞）上递增，在（m，0）上递减，
所以要使g（t）有3个零点，
则，
所以m3＜m+n＜0，所以|m+n|＜|m3|，所以C选项正确；
对于D选项，由方程f（x）＝2x2，得x3+（a﹣2）x2+ax+1＝0，取a＝0，则x3﹣2x2+1＝0，
整理得（x﹣1）（x2﹣x﹣1）＝0，于是x1+x3＝1＝x2，所以D选项正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查一元三次函数函数的性质，函数的切线问题，函数的零点问题，属中档题．
（多选）8．已知函数f（x）＝x2e2x，则（ ）
A．y＝xe﹣2xf（x）为奇函数
B．
C．当x＞0时，
D．曲线y＝f（﹣x）f（x）在点（﹣1，1）处的切线方程为y＝4x+5
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程；奇函数偶函数的判断；含Δx表达式的极限计算与导数的关系．
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】AC
【分析】化简函数，通过奇函数的定义求证判断A；求出f′（﹣2）判断B；化简，结合基本不等式判断C；化简函数，求导，利用点斜式求方程判断D．
【解答】解：对于A选项，设g（x）＝xe﹣2xf（x）＝xe﹣2x x2e2x＝x3，
所以y＝xe﹣2xf（x）为R上的奇函数，所以A选项正确；
对于B选项，因为f′（x）＝2xe2x+2x2e2x＝2x（x+1）e2x，
所以f′（﹣2）＝4e﹣4，
所以，所以B选项错误；
对于C选项，当x＞0时，，
当且仅当x＝1时，等号成立，所以C选项正确；
对于D选项，设h（x）＝f（﹣x）f（x）＝x2e﹣2x x2e2x＝x4，
则h′（x）＝4x3，则h′（﹣1）＝﹣4，
所以y＝f（﹣x）f（x）在点（﹣1，1）处的切线方程为y﹣1＝﹣4（x+1），即y＝﹣4x﹣3，所以D选项错误．
故选：AC．
【点评】本题考查函数的切线问题的求解，属中档题．
（多选）9．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A． x0∈R，使得
B．函数f（x）的图象是一个中心对称图形
C．曲线y＝f（x）有且只有一条斜率为的切线
D．存在实数a，b，使得函数f（x）的定义域[a，b]，值域为
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程；奇偶函数图象的对称性．
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】求解指数方程计算判断A，应用对称中心定义计算判断B，应用导数值域判断C，应用函数交点判断D．
【解答】解：因为，
当，所以，可得，且，
所以 x0∈R，使得，A选项正确；
因为，
所以函数f（x）的一个中心对称为，所以B选项正确；
因为，又，
所以f′（x），所以函数没有斜率为的切线，所以C选项错误；
令，可得，
而有两个交点，
所以存在实数a，b，满足题意，所以D选项正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查函数的性质的综合应用，属中档题．
三．填空题（共4小题）
10．已知函数f（x）＝x3，请写出一条过点（1，0）且与y＝f（x）的图象相切的直线方程y＝0或（写出其中一条即可） ．
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．
【专题】综合题；方程思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】y＝0或（写出其中一条即可）．
【分析】设切点，利用导数求出切线斜率，得出切线方程，代入所过点坐标即可得解．
【解答】解：设切点，因为f′（x）＝3x2，
所以切线方程为，
即，
将点（1，0）代入上式，得，
解得x0＝0或，
所以切线方程为y＝0或．
故答案为：y＝0或（写出其中一条即可）．
【点评】本题考查导数的几何意义与切线方程的求法，属于中档题．
11．若直线l为曲线f（x）＝ex﹣1与g（x）＝lnx+1的公切线，则直线l的方程可以为y＝x（或y＝ex﹣1） ．（写出符合条件的一个方程即可）
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．
【专题】方程思想；转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】y＝x（或y＝ex﹣1）．
【分析】设切线l与两曲线分别切于（m，em﹣1，），（n，lnn+1，），从而根据题意可得切线斜率k＝em，从而可求解．
【解答】解：因为f（x）＝ex﹣1，g（x）＝lnx+1，
所以f′（x）＝ex，g′（x），
设切线l与两曲线分别切于（m，em﹣1，），（n，lnn+1，），
则根据题意可得切线斜率k＝em，
解得或，
所以切线l与f（x）的切点为（0，0）或（1，e﹣1），
所以切线l的方程为y＝x或y﹣（e﹣1）＝e（x﹣1），
即为y＝x或y＝ex﹣1．
故答案为：y＝x（或y＝ex﹣1）．
【点评】本题考查函数的公切线方程的求解，属中档题．
12．已知函数过原点O（0，0）作曲线y＝f（x）的切线，其切线方程为 x﹣ey＝0 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】方程思想；分类法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】x﹣ey＝0．
【分析】设出切点的坐标，结合导数的几何意义，分类讨论，即可求解．
【解答】解：当x≤0时，函数f（x）＝ex，可得f′（x）＝ex，
设切点为P（x0，y0），则，
∴切线方程为，
∵切线过原点O（0，0），∴，解得x0＝1，不符合题意，舍去；
当x＞0时，函数f（x）＝lnx，可得，
设切点为P（x1，y1），则，
则切线方程为，
∵切点过原点O（0，0），∴lnx1＝1，解得x1＝e，
此时切线方程为，即x﹣ey＝0．
故答案为：x﹣ey＝0．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查分类讨论思想，考查运算求解能力，是中档题．
13．已知函数f（x）＝x（ex+a）+2在点（0，f（0））处的切线与直线x﹣3y＝0垂直，则a＝ ﹣4 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】方程思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】﹣4．
【分析】根据导数的几何意义，即可求解．
【解答】解：因为f（x）＝x（ex+a）+2，
所以f′（x）＝（ex+a）+xex，所以f′（0）＝a+1，
所以根据题意可得（a+1）1，解得a＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查导数的几何意义的应用，属基础题．
四．解答题（共2小题）
14．设．
（1）求函数y＝f（x）的定义域；
（2）当a＝1时，求函数y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程；简单函数的定义域．
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】（1）（0，+∞）；
（2）y+2＝0．
【分析】（1）根据对数函数的性质，即可求解；
（2）根据导数的几何意义，直线的点斜式方程，即可求解．
【解答】解：（1）根据题意可得f（x）的定义域为（0，+∞）；
（2）当a＝1时，f（x）＝lnx﹣x﹣1，
所以，
所以f（1）＝﹣2，f'（1）＝0，
所以f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+2＝0．
【点评】本题考查导数的几何意义的应用，函数的切线方程的求解，属基础题．
15．已知函数f（x）＝1+x﹣x2，g（x）＝ex．
（1）证明：直线y＝x+1与曲线y＝f（x），y＝g（x）均相切；
（2）从下面①②两个函数中任选一个，记为h（x），使得h（x）有最大值，并求h（x）的最大值．
①f（x）+g（x）；②f（x） g（x）．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．
【答案】（1）证明：函数f（x）＝1+x﹣x2，g（x）＝ex，
f′（x）＝1﹣2x，由1﹣2x＝1得x＝0，且f（0）＝1，
所以f（x）在（0，1）处的切线方程为y＝x+1．
又g′（x）＝ex，由ex＝1得x＝0，且g（0）＝1，
所以g（x）在（0，1）处的切线方程为y＝x+1．
所以直线y＝x+1与曲线y＝f（x），y＝g（x）均相切；
（2）①无最大值；②最大值为e．
【分析】（1）根据导数的几何意义，证明直线y＝x+1与曲线y＝f（x），y＝g（x）均相切．
（2）求导，分析函数的单调性，求函数的最值．
【解答】解：（1）证明：由题意函数f（x）＝1+x﹣x2，g（x）＝ex，
f′（x）＝1﹣2x，由1﹣2x＝1得x＝0，且f（0）＝1，
所以f（x）在（0，1）处的切线方程为y＝x+1．
又g′（x）＝ex，由ex＝1得x＝0，且g（0）＝1，
所以g（x）在（0，1）处的切线方程为y＝x+1．
所以直线y＝x+1与曲线y＝f（x），y＝g（x）均相切；
（2）若选择条件①：
h（x）＝1+x﹣x2+ex，注意到x→+∞时，h（x）→+∞，所以h（x）无最大值，不符合题意；
若选择条件②：
h（x）＝（1+x﹣x2） ex，则h′（x）＝（2﹣x﹣x2） ex，
令h′（x）＜0，得x＜﹣2或x＞1，令h′（x）＞0，得﹣2＜x＜1；
所以h（x）在（﹣2，1）单调递增在（﹣∞，﹣2），（1，+∞）单调递减．
所以h（x）的极大值为h（1）＝e．
又当x＜﹣2时，1+x﹣x2＜0，所以h（x）＜0，
所以h（1）＝e是h（x）的最大值．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值，是中档题．
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