3.1 椭圆(同步练习.含解析）2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 3.1 椭圆(同步练习.含解析）2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 165.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-04 21:00:57 | ||
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文档简介
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3.1椭圆
一．选择题（共6小题）
1．已知平面上一点P到点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离满足||PF1|﹣|PF2||＝2|PF1| |PF2|，设点P的运动轨迹为曲线C．有以下两个命题：
命题①：曲线C关于原点对称；
命题②：当点P不在坐标轴上时，点P在椭圆内部．
则下列判断正确的是（ ）
A．①②均为真命题 B．①为真命题②为假命题
C．①为假命题②为真命题 D．①②均为假命题
2．已知P是椭圆上一点，F1，F2是其左、右焦点，若∠F1PF2＝90°，则△PF1F2的面积为（ ）
A． B． C．4 D．5
3．点（1，1）与椭圆的位置关系为（ ）
A．点在椭圆上 B．点在椭圆内
C．点在椭圆外 D．不确定
4．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）分别为椭圆的左、右焦点，从点A（﹣2c，0）射出的一条光线经直线反射后经过点F2，且反射后的光线与M在第四象限交于点P．若|PF1|﹣|PF2|＝a，则M的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆的左、右焦点分别为B、C、A为椭圆上的一点（不在x轴上），则△ABC面积的最大值是（ ）
A．15 B．12 C．6 D．3
6．椭圆的两个焦点为F1，F2，椭圆C上有一点P，则△PF1F2的周长为（ ）
A．12 B．18 C．16 D．20
二．多选题（共3小题）
（多选）7．造型∞在纺织中作为花纹得到广泛应用，这种造型被称为双纽线．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为4，若动点M满足|MF1||MF2|＝4，则动点M的轨迹Ω就是一个双纽线．下列说法正确的是（ ）
A．若点M位于椭圆C上，且，则C的离心率为
B．轨迹Ω仅经过一个整点（即横、纵坐标都是整数的点）
C．若直线y＝kx与曲线Ω有且仅有一个公共点，则﹣1＜k＜1
D．点M与原点O之间的距离不超过
（多选）8．已知F1、F2为椭圆C：的左右焦点，过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A，若AF1⊥AF2，，则（ ）
A．A点坐标为
B．右焦点坐标为（2，0）
C．a2＝2
D．椭圆C的方程为
（多选）9．已知左、右焦点分别为F1，F2的椭圆上有一动点P（异于长轴端点A1，A2），则下列说法正确的是（ ）
A．|PF2|的取值范围为（1，3）
B．射线PF2与椭圆交于点Q，则|PQ|的最小值为
C．椭圆上存在4个不同的点P，使得△PF1F2为直角三角形
D．直线PA1，PA2的斜率之积为
三．填空题（共4小题）
10．已知椭圆，若，则C的离心率为 ．
11．椭圆的焦点坐标为 ，离心率为 ．
12．已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上运动，当的值最小时，△PF1F2的内切圆的半径为 ．
13．已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为4，则椭圆的标准方程为 ．
四．解答题（共2小题）
14．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，动点M满足||MF1|﹣|MF2||＝4，设点M的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）过点（0，1）且斜率为k的直线l与曲线C有且只有一个公共点，求实数k的值．
15．已知椭圆的左、右焦点分别F1，F2，左、右顶点分别为B1，B2，若_____．请把以下两个条件中任选一个补充在横线上作答．（若都选择，则按照第一个解答给分）
①|B1F1|＝1，|B2F1|＝3．
②椭圆C长轴长为4，焦距为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点B2作两条互相垂直的弦与椭圆C相交于M，N两点．当点M变化时，直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
3.1椭圆
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．已知平面上一点P到点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离满足||PF1|﹣|PF2||＝2|PF1| |PF2|，设点P的运动轨迹为曲线C．有以下两个命题：
命题①：曲线C关于原点对称；
命题②：当点P不在坐标轴上时，点P在椭圆内部．
则下列判断正确的是（ ）
A．①②均为真命题 B．①为真命题②为假命题
C．①为假命题②为真命题 D．①②均为假命题
【考点】椭圆的定义；椭圆的范围．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】A
【分析】根据题意，设出点P的坐标，根据点的对称性、三角形的性质、椭圆的性质，对两个命题的真假逐个判断，即可得到本题的答案．
【解答】解：设点P（x，y），则点P关于原点的对称点为P′（﹣x，﹣y），
可得，
所以||P′F1|﹣|P′F2||＝||
＝||＝||PF1|﹣|PF2||，
因为|P′F1|，|P′F2|，
所以．
结合||PF1|﹣|PF2||＝2|PF1| |PF2|，可得||P′F1|﹣|P′F2||＝2|P′F1| |P′F2|，所以曲线C关于原点O对称，可知①正确；
当点P与点F1（﹣1，0），F2（1，0）不共线时，
根据三角形边之间的关系，可得||PF1|﹣|PF2||＜|F1F2|＝2，
结合||PF1|﹣|PF2||＝2|PF1| |PF2|，可得2|PF1| |PF2|＜2，即|PF1| |PF2|＜1，
所以|PF1|+|PF2|，
根据椭圆的性质，可知点P在椭圆的内部，故②正确．
综上所述，①②均为真命题．
故选：A．
【点评】本题主要考查两点间的距离公式、椭圆的定义及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
2．已知P是椭圆上一点，F1，F2是其左、右焦点，若∠F1PF2＝90°，则△PF1F2的面积为（ ）
A． B． C．4 D．5
【考点】椭圆的焦点三角形．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】根据椭圆的几何性质，勾股定理，三角形面积公式，即可求解．
【解答】解：因为椭圆方程为，
所以a，b＝c＝2，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则根据题意可得，
所以（m+n）2﹣2mn＝16，
所以32﹣2mn＝16，所以mn＝8，
所以△PF1F2的面积为4．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，椭圆焦点三角形问题，属基础题．
3．点（1，1）与椭圆的位置关系为（ ）
A．点在椭圆上 B．点在椭圆内
C．点在椭圆外 D．不确定
【考点】椭圆的范围．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】将点代入椭圆即可求解．
【解答】解：由于，可知（1，1）在内，
故选：B．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题．
4．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）分别为椭圆的左、右焦点，从点A（﹣2c，0）射出的一条光线经直线反射后经过点F2，且反射后的光线与M在第四象限交于点P．若|PF1|﹣|PF2|＝a，则M的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】求椭圆的离心率．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】首先求出反射点的坐标，再求反射光线的斜率，根据几何关系，结合余弦定理，构造关于a，c的齐次方程，即可求解离心率．
【解答】解：设从点A（﹣2c，0）射出的一条光线射到直线的点为Q，反射后经过点F2（c，0），
∴点，∴直线QF2的斜率为，
∴，
由，得，，
△F1F2P中，根据余弦定理可知，整理为，
即，，
解得：，
∴椭圆M的离心率为．
故选：B．
【点评】本题考查了椭圆的性质，属于基础题．
5．已知椭圆的左、右焦点分别为B、C、A为椭圆上的一点（不在x轴上），则△ABC面积的最大值是（ ）
A．15 B．12 C．6 D．3
【考点】椭圆的几何特征．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】由椭圆的方程可得a，b的值，进而可得c的值，可得焦距的值，可得当A点为短轴的顶点时三角形面积最大．
【解答】解：由椭圆的方程可得a2＝25，b2＝16，所以可得c2＝a2﹣b2＝25﹣16＝9，
可得c＝3，可得焦距|BC|＝6，
所以S△ABC|BC| |yA|6 4＝12，
故选：B．
【点评】本题考查椭圆的性质的应用和三角形的面积的最大值，属于基础题．
6．椭圆的两个焦点为F1，F2，椭圆C上有一点P，则△PF1F2的周长为（ ）
A．12 B．18 C．16 D．20
【考点】椭圆的定义．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】根据题意，结合椭圆的定义代入计算，即可得到结果．
【解答】解：由椭圆可得a＝5，b＝4，
所以，
故△PF1F2的周长为2a+2c＝16．
故选：C．
【点评】本题主要考查椭圆的定义，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．造型∞在纺织中作为花纹得到广泛应用，这种造型被称为双纽线．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为4，若动点M满足|MF1||MF2|＝4，则动点M的轨迹Ω就是一个双纽线．下列说法正确的是（ ）
A．若点M位于椭圆C上，且，则C的离心率为
B．轨迹Ω仅经过一个整点（即横、纵坐标都是整数的点）
C．若直线y＝kx与曲线Ω有且仅有一个公共点，则﹣1＜k＜1
D．点M与原点O之间的距离不超过
【考点】直线与椭圆的综合；曲线与方程．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】BD
【分析】由题意，结合已知条件及椭圆定义可求得，易得C的离心率，进而可判断选项A；设点M（x，y），求得点M（x，y）轨迹Ω方程及点M（x，y）的纵坐标的大致范围，一一检验即可选项B；结合选项B可知k＝0时，直线y＝0与曲线Ω有三个公共点，故选项C错误；结合选项B得到的方程可求出点M与原点O之间的距离的范围，进而可判断选项D．
【解答】解：对于选项A：设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2，
此时，
由椭圆定义知，
则椭圆C的离心率，故选项A错误；
对于选项B：设M（x，y），
此时，
因为，
当且仅当x﹣2＝0，x+2＝0时，等号成立，
但x+2＝0，x﹣2＝0不同时成立，
所以，
即4＞y2，
解得﹣2＜y＜2．
又，
整理得（x2+y2）2＝8（x2﹣y2），
则轨迹Ω的方程为（x2+y2）2＝8（x2﹣y2），
设Ω上整点的纵坐标为y，
此时y＝0，±1，
令y＝0，
解得x＝0或，
令y2＝1，
解得，
所以轨迹Ω仅经过一个整点（0，0），故选项B正确；
对于选项C：由选项B知轨迹Ω的方程为（x2+y2）2＝8（x2﹣y2），
令y＝0，
解得x＝0或，
所以当k＝0时，直线y＝0与曲线Ω有三个公共点，故选项C错误；
对于选项D：当M与O不重合时，，
当M与O重合时，|OM|＝0，
所以，故选项D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
（多选）8．已知F1、F2为椭圆C：的左右焦点，过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A，若AF1⊥AF2，，则（ ）
A．A点坐标为
B．右焦点坐标为（2，0）
C．a2＝2
D．椭圆C的方程为
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的焦点三角形；根据abc及其关系式求椭圆的标准方程．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】BD
【分析】设|AF1|＝m，|AF2|＝n，根据对称性，不妨设A点在第一象限，从而可得OF1＝OF2＝OA＝OB＝c，∠AOF2＝30°，∠AOF1＝150°，进而根据题意建立方程，即可求解．
【解答】解：设|AF1|＝m，|AF2|＝n，根据对称性，不妨设A点在第一象限，
则根据题意可得OF1＝OF2＝OA＝c，∠AOF2＝30°，∠AOF1＝150°，
所以三角形F1AF2的面积为2，解得c＝2，
所以A（ccos30°，csin30°），即为（，1），但根据对称性可知A也可能为（，﹣1），所以A选项错误；
因为c＝2，所以右焦点坐标为（2，0），所以B选项正确；
又根据余弦定理可得m，
n，
所以m+n2a，所以a，所以b，
所以椭圆的方程为，所以C选项错误，D选项正确．
故选：BD．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，属中档题．
（多选）9．已知左、右焦点分别为F1，F2的椭圆上有一动点P（异于长轴端点A1，A2），则下列说法正确的是（ ）
A．|PF2|的取值范围为（1，3）
B．射线PF2与椭圆交于点Q，则|PQ|的最小值为
C．椭圆上存在4个不同的点P，使得△PF1F2为直角三角形
D．直线PA1，PA2的斜率之积为
【考点】直线与椭圆的综合．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题；运算求解．
【答案】AC
【分析】利用椭圆的性质即可判断A；设PQ方程，然后利用设而不求法求出|PQ|即可判断B；利用余弦定理结合椭圆的性质可判断P点不可能为直角顶点，然后由椭圆的性质可判断以P1，P2为直角顶点的三角形个数即可判断C；由两点的斜率公式可得，然后结合即可判断D．
【解答】解：由题知F2（1，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），
对于A，则，
易知x1∈（﹣2，2），所以x1﹣4∈（﹣6，﹣2），
所以|PF2|∈（1，3），故A正确；
对于B，若PQ的斜率存在，不妨设其方程为：y＝kx﹣k，
联立，化简得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，
则，
所以；
若PQ的斜率不存在，则其方程为x＝1，
联立，解得y，此时|PQ|＝3，
综上，|PQ|≥3，故B错误；
对于C：点P在椭圆上，则|PF1|+|PF2|＝4，|F1F2|＝2，
所以
，
又，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时等号成立，
所以，又∠F1PF2∈（0，π），
所以∠F1PF2最大为，故不存在点P，使，
当PF2或PF1垂直于x轴时，
易知以P1或P2为直角顶点的直角三角形有四个，故C正确；
对于D，由题，不妨设A1（﹣2，0），A2（2，0），
则，
又，则，
所以，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查了椭圆的性质及直线与椭圆的位置关系，考查了解三角形，属于难题．
三．填空题（共4小题）
10．已知椭圆，若，则C的离心率为 ． ．
【考点】求椭圆的离心率．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】根据椭圆的性质即可求解．
【解答】解：根据题意可知，，则a2，
c2＝a2﹣b2，
因为c＞0，所以，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了椭圆的性质，属于基础题．
11．椭圆的焦点坐标为 （±4，0） ，离心率为 ．
【考点】椭圆的离心率；求椭圆的焦点和焦距．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（±4，0）；．
【分析】利用椭圆方程，求解焦点坐标，离心率即可．
【解答】解：椭圆，可得a＝5，b＝3，则c＝4，椭圆的焦点坐标为（±4，0），离心率为：e．
故答案为：（±4，0）；．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题．
12．已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上运动，当的值最小时，△PF1F2的内切圆的半径为 ．
【考点】椭圆的焦点三角形．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义，结合基本不等式“1”的妙用求出目标式取最小值的条件，再利用面积法求出三角形内切圆半径．
【解答】解：由椭圆方程可得：F1（﹣2，0），F2（2，0），且|PF1|+|PF2|＝2a＝6，
则，
因此，当且仅当时取等号，
而|F1F2|＝4，
则等腰△PF1F2的面积，
所以△PF1F2的内切圆半径．
故答案为：．
【点评】本题考查了椭圆的定义，重点考查了基本不等式的应用及三角形的面积公式，属中档题．
13．已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为4，则椭圆的标准方程为 1 ．
【考点】椭圆的几何特征；椭圆的标准方程．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】设椭圆的方程为 1（a＞b＞0），运用离心率公式和a，b，c的关系和两点的距离公式，解方程可得a，b，进而得到椭圆标准方程；
【解答】解：（1）设椭圆的方程为1（a＞b＞0），
由题意可得e，，a2＝b2+c2，
可得a＝4，c，b＝3，
则椭圆的标准方程为 1；
【点评】本题考查椭圆和双曲线的方程的求法，注意运用待定系数法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
四．解答题（共2小题）
14．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，动点M满足||MF1|﹣|MF2||＝4，设点M的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）过点（0，1）且斜率为k的直线l与曲线C有且只有一个公共点，求实数k的值．
【考点】直线与椭圆的位置关系及公共点个数；轨迹方程．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（1）；
（2）或±．
【分析】（1）根据双曲线的定义求解；
（2）设直线/l的方程为y＝kx+1，直线方程代入双曲线方程后分类讨论结合直线与双曲线有且只有一个公共点，计算k的值．
【解答】解：（1）已知点，，，
则|MF1|﹣|MF2||＝4＜|F1F2|，
由双曲线定义可知，点M的轨迹为焦点在x轴上的双曲线，实轴长为2a＝4，a＝2，焦距为，，
因为b2＝c2﹣a2＝5﹣4＝1，b＝1，
所以点M的轨迹方程为；
（2）过点（0，1）且斜率为k的直线l方程为y＝kx+1，
代入双曲线方程得，
当二次项系数为0时，即，方程为﹣2kx﹣2＝0，有唯一解，
此时直线平行于双曲线的渐近线，与双曲线相交于一点；
当二次项系数不为0时，即，
需判别式，
化简得2﹣4k2＝0，
解得，
此时直线与双曲线相切，有唯一公共点，
综上，实数k的值为或±．
【点评】本题考查双曲线方程的应用，以及直线与双曲线的位置关系，属于中档题．
15．已知椭圆的左、右焦点分别F1，F2，左、右顶点分别为B1，B2，若_____．请把以下两个条件中任选一个补充在横线上作答．（若都选择，则按照第一个解答给分）
①|B1F1|＝1，|B2F1|＝3．
②椭圆C长轴长为4，焦距为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点B2作两条互相垂直的弦与椭圆C相交于M，N两点．当点M变化时，直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
【考点】直线与椭圆的综合；根据椭圆的几何特征求标准方程．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；
（2）直线MN过定点．
【分析】（1）选①，由题可得，由此解得a，b，c得解；选②，可得2a＝4，2c＝2由此解得a，b，c得解；
（2）由题可知直线B2M和B2N与x，y轴都不平行，设直线B2M：x＝ty+2与椭圆方程联立，求得点M，N的坐标，进而表示直线MN的方程，令y＝0，求得x为定值．
【解答】解：（1）易知椭圆焦点在x轴上，
若选①，
此时，
解得，
则b2＝3，
故椭圆的标准方程为；
若选②，
此时2a＝4，2c＝2，
解得a＝2，c＝1，
则b2＝3，
故椭圆的标准方程为；
（2）易知直线B2M和B2N与x，y轴都不平行，
设直线B2M的方程为x＝ty+2，
联立，消去x并整理得（3t2+4）y2+12ty＝0，
设M（x1，y1），
此时，
设N（x2，y2），
同理得，
所以直线MN的方程为，
令y＝0，
解得．
则直线MN过定点．
【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
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3.1椭圆
一．选择题（共6小题）
1．已知平面上一点P到点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离满足||PF1|﹣|PF2||＝2|PF1| |PF2|，设点P的运动轨迹为曲线C．有以下两个命题：
命题①：曲线C关于原点对称；
命题②：当点P不在坐标轴上时，点P在椭圆内部．
则下列判断正确的是（ ）
A．①②均为真命题 B．①为真命题②为假命题
C．①为假命题②为真命题 D．①②均为假命题
2．已知P是椭圆上一点，F1，F2是其左、右焦点，若∠F1PF2＝90°，则△PF1F2的面积为（ ）
A． B． C．4 D．5
3．点（1，1）与椭圆的位置关系为（ ）
A．点在椭圆上 B．点在椭圆内
C．点在椭圆外 D．不确定
4．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）分别为椭圆的左、右焦点，从点A（﹣2c，0）射出的一条光线经直线反射后经过点F2，且反射后的光线与M在第四象限交于点P．若|PF1|﹣|PF2|＝a，则M的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆的左、右焦点分别为B、C、A为椭圆上的一点（不在x轴上），则△ABC面积的最大值是（ ）
A．15 B．12 C．6 D．3
6．椭圆的两个焦点为F1，F2，椭圆C上有一点P，则△PF1F2的周长为（ ）
A．12 B．18 C．16 D．20
二．多选题（共3小题）
（多选）7．造型∞在纺织中作为花纹得到广泛应用，这种造型被称为双纽线．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为4，若动点M满足|MF1||MF2|＝4，则动点M的轨迹Ω就是一个双纽线．下列说法正确的是（ ）
A．若点M位于椭圆C上，且，则C的离心率为
B．轨迹Ω仅经过一个整点（即横、纵坐标都是整数的点）
C．若直线y＝kx与曲线Ω有且仅有一个公共点，则﹣1＜k＜1
D．点M与原点O之间的距离不超过
（多选）8．已知F1、F2为椭圆C：的左右焦点，过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A，若AF1⊥AF2，，则（ ）
A．A点坐标为
B．右焦点坐标为（2，0）
C．a2＝2
D．椭圆C的方程为
（多选）9．已知左、右焦点分别为F1，F2的椭圆上有一动点P（异于长轴端点A1，A2），则下列说法正确的是（ ）
A．|PF2|的取值范围为（1，3）
B．射线PF2与椭圆交于点Q，则|PQ|的最小值为
C．椭圆上存在4个不同的点P，使得△PF1F2为直角三角形
D．直线PA1，PA2的斜率之积为
三．填空题（共4小题）
10．已知椭圆，若，则C的离心率为 ．
11．椭圆的焦点坐标为 ，离心率为 ．
12．已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上运动，当的值最小时，△PF1F2的内切圆的半径为 ．
13．已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为4，则椭圆的标准方程为 ．
四．解答题（共2小题）
14．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，动点M满足||MF1|﹣|MF2||＝4，设点M的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）过点（0，1）且斜率为k的直线l与曲线C有且只有一个公共点，求实数k的值．
15．已知椭圆的左、右焦点分别F1，F2，左、右顶点分别为B1，B2，若_____．请把以下两个条件中任选一个补充在横线上作答．（若都选择，则按照第一个解答给分）
①|B1F1|＝1，|B2F1|＝3．
②椭圆C长轴长为4，焦距为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点B2作两条互相垂直的弦与椭圆C相交于M，N两点．当点M变化时，直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
3.1椭圆
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．已知平面上一点P到点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离满足||PF1|﹣|PF2||＝2|PF1| |PF2|，设点P的运动轨迹为曲线C．有以下两个命题：
命题①：曲线C关于原点对称；
命题②：当点P不在坐标轴上时，点P在椭圆内部．
则下列判断正确的是（ ）
A．①②均为真命题 B．①为真命题②为假命题
C．①为假命题②为真命题 D．①②均为假命题
【考点】椭圆的定义；椭圆的范围．
【专题】转化思想；综合法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】A
【分析】根据题意，设出点P的坐标，根据点的对称性、三角形的性质、椭圆的性质，对两个命题的真假逐个判断，即可得到本题的答案．
【解答】解：设点P（x，y），则点P关于原点的对称点为P′（﹣x，﹣y），
可得，
所以||P′F1|﹣|P′F2||＝||
＝||＝||PF1|﹣|PF2||，
因为|P′F1|，|P′F2|，
所以．
结合||PF1|﹣|PF2||＝2|PF1| |PF2|，可得||P′F1|﹣|P′F2||＝2|P′F1| |P′F2|，所以曲线C关于原点O对称，可知①正确；
当点P与点F1（﹣1，0），F2（1，0）不共线时，
根据三角形边之间的关系，可得||PF1|﹣|PF2||＜|F1F2|＝2，
结合||PF1|﹣|PF2||＝2|PF1| |PF2|，可得2|PF1| |PF2|＜2，即|PF1| |PF2|＜1，
所以|PF1|+|PF2|，
根据椭圆的性质，可知点P在椭圆的内部，故②正确．
综上所述，①②均为真命题．
故选：A．
【点评】本题主要考查两点间的距离公式、椭圆的定义及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
2．已知P是椭圆上一点，F1，F2是其左、右焦点，若∠F1PF2＝90°，则△PF1F2的面积为（ ）
A． B． C．4 D．5
【考点】椭圆的焦点三角形．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】根据椭圆的几何性质，勾股定理，三角形面积公式，即可求解．
【解答】解：因为椭圆方程为，
所以a，b＝c＝2，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则根据题意可得，
所以（m+n）2﹣2mn＝16，
所以32﹣2mn＝16，所以mn＝8，
所以△PF1F2的面积为4．
故选：C．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，椭圆焦点三角形问题，属基础题．
3．点（1，1）与椭圆的位置关系为（ ）
A．点在椭圆上 B．点在椭圆内
C．点在椭圆外 D．不确定
【考点】椭圆的范围．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】将点代入椭圆即可求解．
【解答】解：由于，可知（1，1）在内，
故选：B．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题．
4．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）分别为椭圆的左、右焦点，从点A（﹣2c，0）射出的一条光线经直线反射后经过点F2，且反射后的光线与M在第四象限交于点P．若|PF1|﹣|PF2|＝a，则M的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】求椭圆的离心率．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】首先求出反射点的坐标，再求反射光线的斜率，根据几何关系，结合余弦定理，构造关于a，c的齐次方程，即可求解离心率．
【解答】解：设从点A（﹣2c，0）射出的一条光线射到直线的点为Q，反射后经过点F2（c，0），
∴点，∴直线QF2的斜率为，
∴，
由，得，，
△F1F2P中，根据余弦定理可知，整理为，
即，，
解得：，
∴椭圆M的离心率为．
故选：B．
【点评】本题考查了椭圆的性质，属于基础题．
5．已知椭圆的左、右焦点分别为B、C、A为椭圆上的一点（不在x轴上），则△ABC面积的最大值是（ ）
A．15 B．12 C．6 D．3
【考点】椭圆的几何特征．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】B
【分析】由椭圆的方程可得a，b的值，进而可得c的值，可得焦距的值，可得当A点为短轴的顶点时三角形面积最大．
【解答】解：由椭圆的方程可得a2＝25，b2＝16，所以可得c2＝a2﹣b2＝25﹣16＝9，
可得c＝3，可得焦距|BC|＝6，
所以S△ABC|BC| |yA|6 4＝12，
故选：B．
【点评】本题考查椭圆的性质的应用和三角形的面积的最大值，属于基础题．
6．椭圆的两个焦点为F1，F2，椭圆C上有一点P，则△PF1F2的周长为（ ）
A．12 B．18 C．16 D．20
【考点】椭圆的定义．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】根据题意，结合椭圆的定义代入计算，即可得到结果．
【解答】解：由椭圆可得a＝5，b＝4，
所以，
故△PF1F2的周长为2a+2c＝16．
故选：C．
【点评】本题主要考查椭圆的定义，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．造型∞在纺织中作为花纹得到广泛应用，这种造型被称为双纽线．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为4，若动点M满足|MF1||MF2|＝4，则动点M的轨迹Ω就是一个双纽线．下列说法正确的是（ ）
A．若点M位于椭圆C上，且，则C的离心率为
B．轨迹Ω仅经过一个整点（即横、纵坐标都是整数的点）
C．若直线y＝kx与曲线Ω有且仅有一个公共点，则﹣1＜k＜1
D．点M与原点O之间的距离不超过
【考点】直线与椭圆的综合；曲线与方程．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】BD
【分析】由题意，结合已知条件及椭圆定义可求得，易得C的离心率，进而可判断选项A；设点M（x，y），求得点M（x，y）轨迹Ω方程及点M（x，y）的纵坐标的大致范围，一一检验即可选项B；结合选项B可知k＝0时，直线y＝0与曲线Ω有三个公共点，故选项C错误；结合选项B得到的方程可求出点M与原点O之间的距离的范围，进而可判断选项D．
【解答】解：对于选项A：设|MF1|＝r1，|MF2|＝r2，
此时，
由椭圆定义知，
则椭圆C的离心率，故选项A错误；
对于选项B：设M（x，y），
此时，
因为，
当且仅当x﹣2＝0，x+2＝0时，等号成立，
但x+2＝0，x﹣2＝0不同时成立，
所以，
即4＞y2，
解得﹣2＜y＜2．
又，
整理得（x2+y2）2＝8（x2﹣y2），
则轨迹Ω的方程为（x2+y2）2＝8（x2﹣y2），
设Ω上整点的纵坐标为y，
此时y＝0，±1，
令y＝0，
解得x＝0或，
令y2＝1，
解得，
所以轨迹Ω仅经过一个整点（0，0），故选项B正确；
对于选项C：由选项B知轨迹Ω的方程为（x2+y2）2＝8（x2﹣y2），
令y＝0，
解得x＝0或，
所以当k＝0时，直线y＝0与曲线Ω有三个公共点，故选项C错误；
对于选项D：当M与O不重合时，，
当M与O重合时，|OM|＝0，
所以，故选项D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
（多选）8．已知F1、F2为椭圆C：的左右焦点，过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A，若AF1⊥AF2，，则（ ）
A．A点坐标为
B．右焦点坐标为（2，0）
C．a2＝2
D．椭圆C的方程为
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的焦点三角形；根据abc及其关系式求椭圆的标准方程．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】BD
【分析】设|AF1|＝m，|AF2|＝n，根据对称性，不妨设A点在第一象限，从而可得OF1＝OF2＝OA＝OB＝c，∠AOF2＝30°，∠AOF1＝150°，进而根据题意建立方程，即可求解．
【解答】解：设|AF1|＝m，|AF2|＝n，根据对称性，不妨设A点在第一象限，
则根据题意可得OF1＝OF2＝OA＝c，∠AOF2＝30°，∠AOF1＝150°，
所以三角形F1AF2的面积为2，解得c＝2，
所以A（ccos30°，csin30°），即为（，1），但根据对称性可知A也可能为（，﹣1），所以A选项错误；
因为c＝2，所以右焦点坐标为（2，0），所以B选项正确；
又根据余弦定理可得m，
n，
所以m+n2a，所以a，所以b，
所以椭圆的方程为，所以C选项错误，D选项正确．
故选：BD．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，属中档题．
（多选）9．已知左、右焦点分别为F1，F2的椭圆上有一动点P（异于长轴端点A1，A2），则下列说法正确的是（ ）
A．|PF2|的取值范围为（1，3）
B．射线PF2与椭圆交于点Q，则|PQ|的最小值为
C．椭圆上存在4个不同的点P，使得△PF1F2为直角三角形
D．直线PA1，PA2的斜率之积为
【考点】直线与椭圆的综合．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题；运算求解．
【答案】AC
【分析】利用椭圆的性质即可判断A；设PQ方程，然后利用设而不求法求出|PQ|即可判断B；利用余弦定理结合椭圆的性质可判断P点不可能为直角顶点，然后由椭圆的性质可判断以P1，P2为直角顶点的三角形个数即可判断C；由两点的斜率公式可得，然后结合即可判断D．
【解答】解：由题知F2（1，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），
对于A，则，
易知x1∈（﹣2，2），所以x1﹣4∈（﹣6，﹣2），
所以|PF2|∈（1，3），故A正确；
对于B，若PQ的斜率存在，不妨设其方程为：y＝kx﹣k，
联立，化简得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，
则，
所以；
若PQ的斜率不存在，则其方程为x＝1，
联立，解得y，此时|PQ|＝3，
综上，|PQ|≥3，故B错误；
对于C：点P在椭圆上，则|PF1|+|PF2|＝4，|F1F2|＝2，
所以
，
又，
当且仅当|PF1|＝|PF2|＝2时等号成立，
所以，又∠F1PF2∈（0，π），
所以∠F1PF2最大为，故不存在点P，使，
当PF2或PF1垂直于x轴时，
易知以P1或P2为直角顶点的直角三角形有四个，故C正确；
对于D，由题，不妨设A1（﹣2，0），A2（2，0），
则，
又，则，
所以，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查了椭圆的性质及直线与椭圆的位置关系，考查了解三角形，属于难题．
三．填空题（共4小题）
10．已知椭圆，若，则C的离心率为 ． ．
【考点】求椭圆的离心率．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】根据椭圆的性质即可求解．
【解答】解：根据题意可知，，则a2，
c2＝a2﹣b2，
因为c＞0，所以，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了椭圆的性质，属于基础题．
11．椭圆的焦点坐标为 （±4，0） ，离心率为 ．
【考点】椭圆的离心率；求椭圆的焦点和焦距．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（±4，0）；．
【分析】利用椭圆方程，求解焦点坐标，离心率即可．
【解答】解：椭圆，可得a＝5，b＝3，则c＝4，椭圆的焦点坐标为（±4，0），离心率为：e．
故答案为：（±4，0）；．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基础题．
12．已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上运动，当的值最小时，△PF1F2的内切圆的半径为 ．
【考点】椭圆的焦点三角形．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义，结合基本不等式“1”的妙用求出目标式取最小值的条件，再利用面积法求出三角形内切圆半径．
【解答】解：由椭圆方程可得：F1（﹣2，0），F2（2，0），且|PF1|+|PF2|＝2a＝6，
则，
因此，当且仅当时取等号，
而|F1F2|＝4，
则等腰△PF1F2的面积，
所以△PF1F2的内切圆半径．
故答案为：．
【点评】本题考查了椭圆的定义，重点考查了基本不等式的应用及三角形的面积公式，属中档题．
13．已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为4，则椭圆的标准方程为 1 ．
【考点】椭圆的几何特征；椭圆的标准方程．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】设椭圆的方程为 1（a＞b＞0），运用离心率公式和a，b，c的关系和两点的距离公式，解方程可得a，b，进而得到椭圆标准方程；
【解答】解：（1）设椭圆的方程为1（a＞b＞0），
由题意可得e，，a2＝b2+c2，
可得a＝4，c，b＝3，
则椭圆的标准方程为 1；
【点评】本题考查椭圆和双曲线的方程的求法，注意运用待定系数法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
四．解答题（共2小题）
14．在平面直角坐标系xOy中，已知点，，动点M满足||MF1|﹣|MF2||＝4，设点M的轨迹为C．
（1）求C的方程；
（2）过点（0，1）且斜率为k的直线l与曲线C有且只有一个公共点，求实数k的值．
【考点】直线与椭圆的位置关系及公共点个数；轨迹方程．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（1）；
（2）或±．
【分析】（1）根据双曲线的定义求解；
（2）设直线/l的方程为y＝kx+1，直线方程代入双曲线方程后分类讨论结合直线与双曲线有且只有一个公共点，计算k的值．
【解答】解：（1）已知点，，，
则|MF1|﹣|MF2||＝4＜|F1F2|，
由双曲线定义可知，点M的轨迹为焦点在x轴上的双曲线，实轴长为2a＝4，a＝2，焦距为，，
因为b2＝c2﹣a2＝5﹣4＝1，b＝1，
所以点M的轨迹方程为；
（2）过点（0，1）且斜率为k的直线l方程为y＝kx+1，
代入双曲线方程得，
当二次项系数为0时，即，方程为﹣2kx﹣2＝0，有唯一解，
此时直线平行于双曲线的渐近线，与双曲线相交于一点；
当二次项系数不为0时，即，
需判别式，
化简得2﹣4k2＝0，
解得，
此时直线与双曲线相切，有唯一公共点，
综上，实数k的值为或±．
【点评】本题考查双曲线方程的应用，以及直线与双曲线的位置关系，属于中档题．
15．已知椭圆的左、右焦点分别F1，F2，左、右顶点分别为B1，B2，若_____．请把以下两个条件中任选一个补充在横线上作答．（若都选择，则按照第一个解答给分）
①|B1F1|＝1，|B2F1|＝3．
②椭圆C长轴长为4，焦距为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点B2作两条互相垂直的弦与椭圆C相交于M，N两点．当点M变化时，直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．
【考点】直线与椭圆的综合；根据椭圆的几何特征求标准方程．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）；
（2）直线MN过定点．
【分析】（1）选①，由题可得，由此解得a，b，c得解；选②，可得2a＝4，2c＝2由此解得a，b，c得解；
（2）由题可知直线B2M和B2N与x，y轴都不平行，设直线B2M：x＝ty+2与椭圆方程联立，求得点M，N的坐标，进而表示直线MN的方程，令y＝0，求得x为定值．
【解答】解：（1）易知椭圆焦点在x轴上，
若选①，
此时，
解得，
则b2＝3，
故椭圆的标准方程为；
若选②，
此时2a＝4，2c＝2，
解得a＝2，c＝1，
则b2＝3，
故椭圆的标准方程为；
（2）易知直线B2M和B2N与x，y轴都不平行，
设直线B2M的方程为x＝ty+2，
联立，消去x并整理得（3t2+4）y2+12ty＝0，
设M（x1，y1），
此时，
设N（x2，y2），
同理得，
所以直线MN的方程为，
令y＝0，
解得．
则直线MN过定点．
【点评】本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
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