3.2 双曲线(同步练习.含解析）2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 3.2 双曲线(同步练习.含解析）2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 555.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-04 00:00:00 | ||
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文档简介
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3.2双曲线
一．选择题（共5小题）
1．已知双曲线C的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且tan∠BAC，AB⊥BD，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知O为坐标原点，双曲线C的右焦点为F，左顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若，则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
4．已知直线l：2x+3y＝0与双曲线C无公共交点，则C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点为F1，F2，过F1的直线与C的左支交于P，Q两点，若|PF2|＝|F1F2|，且5，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
二．多选题（共4小题）
（多选）6．记双曲线的左、右焦点分别为F1，F2．若F2（2，0），以F1为圆心、4为半径的圆与E的右支交于P，Q两点，点M为E上一点，满足F1M⊥F2M，则（ ）
A．离心率e＝2 B．△MF1F2的面积为
C．|MP|﹣|MQ|＜4 D．
（多选）7．已知曲线C的方程为，则（ ）
A．若曲线C表示圆，则m＝1
B．若曲线C表示椭圆，则0＜m＜2
C．若曲线C表示双曲线，则m＞2
D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则m＜0
（多选）8．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且|PF1|＝4，|PF2|＝2，则（ ）
A．m＝1 B．C的离心率为
C．△F1PF2的面积为 D．∠F1PF2＝60°
（多选）9．已知双曲线C过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线C的方程为
B．双曲线C的离心率为
C．曲线y＝ex﹣2﹣1经过双曲线C的一个焦点
D．焦点到渐近线的距离为1
三．填空题（共4小题）
10．已知过双曲线上一点p（x0，y0）的切线方程，若M（x0，y0）为双曲线x2﹣y2＝4上的动点，x0＞0，y0≥0，直线l1：x0x﹣y0y＝4与双曲线的两条渐近线交于P，Q两点（点P在第一象限），R与Q在同一条渐近线上，则的最小值为 ．
11．已知双曲线的左右顶点分别为A、B，点P是圆O：x2+y2＝8上不同于A、B两点的一动点，直线PB与双曲线交于点Q，若直线PA斜率的取值范围是[4，5]，则QA的斜率的取值范围是 ．
12．已知F1为双曲线的左焦点，P是双曲线右支上一点，线段PF1与以该双曲线实轴为直径的圆相切于线段PF1的中点，则该双曲线的离心率为 ．
13．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过左焦点F1的直线与双曲线C的左支相交于P，Q两点，|PQ|＝|PF2|，且cos∠QPF2，则双曲线C的离心率为 ．
四．解答题（共2小题）
14．已知双曲线C，左、右焦点分别为F1、F2，两条渐近线为，且经过点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设过原点的直线l与C交于M、N两点且点M在第一象限，
（i）若直线MF2与直线NF2互相垂直，求点M的坐标．
（ii）连接NF2与双曲线C交于点E，若△EMN面积为，求直线NF2的方程．
15．在平面内，若直线l将多边形分为两部分，多边形在l两侧的顶点到直线l的距离之和相等，则称l为多边形的一条“等线”，已知O为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线E的离心率为2，点P为E右支上一动点，直线m与双曲线E相切于点P，且与E的渐近线交于A，B两点，当点P在第四象限且PF2⊥x轴时，直线y＝﹣1为△PF1F2的等线．
（1）求双曲线E的标准方程；
（2）若是四边形AF1BF2的等线，求四边形AF1BF2的面积；
（3）设，点G的轨迹为曲线Γ，证明：F在点G处的切线n为△AF1F2的等线．
3.2双曲线
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．已知双曲线C的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】求双曲线的离心率．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】A
【分析】由已知求得c与b的值，结合隐含条件求解a，再由离心率公式得答案．
【解答】解：由已知可得，2c，则c，
由双曲线的性质可知，焦点到渐近线的距离为b，
则，
所以，双曲线的离心率为e．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，是基础题．
2．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且tan∠BAC，AB⊥BD，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】求双曲线的离心率．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】B
【分析】连接AF1，BF1，由双曲线的光学性质可知C、A、F1三点共线且D、B、F1三点共线，设|BF1|＝4m，根据双曲线的定义以及tan∠F1AF2的值可表示出|AB|、|AF1|，解得m和a的关系，在Rt△F1BF2中，由勾股定理可得a，c关系，可解得离心率．
【解答】解：如图，
连接AF1，BF1，则C、A、F1三点共线且D、B、F1三点共线，
由已知，tan∠F1AF2＝﹣tan∠BAC，
因为AB⊥BD，所以设|BF1|＝4m，则|AB|＝3m，|AF1|＝5m，
由双曲线的定义|AF1|+|BF1|＝|AB|+4a，所以|AF1|＝4a﹣m，
所以5m＝4a﹣m，m，
则在Rt△F1BF2中，|BF1|，|BF2|，|F1F2|＝2c，
所以4c2，即c2，所以双曲线的离心率e．
故选：B．
【点评】本题主要考查双曲线的光学性质和求双曲线的离心率，属于中档题．
3．已知O为坐标原点，双曲线C的右焦点为F，左顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若，则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【考点】求双曲线的离心率．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】利用点到直线的距离公式可得|PF|＝b，结合a，b，c的关系得到|PO|＝a，在△PAO中利用余弦定理求得，进而得到，根据渐近线的斜率即可得到结果．
【解答】解：根据题意可知，A（﹣a，0），F（c，0），双曲线的渐近线方程为，
过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，
如图，设点P在直线上，
即点P在直线bx﹣ay＝0上，则，
在直角△POF中，|PF|＝b，|OF|＝c，
所以，故，
在△PAO中，cos∠POA，
所以，
所以，故椭圆C的离心率．
故选：C．
【点评】本题考查了椭圆的性质，属于基础题．
4．已知直线l：2x+3y＝0与双曲线C无公共交点，则C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的几何特征；直线与双曲线的综合．
【专题】对应思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】由题意，根据直线与双曲线无交点，结合直线与渐近线之间的关系以及离心率公式，列出等式进行求解即可．
【解答】解：因为双曲线C的一条渐近线方程为，
若直线2x+3y＝0与双曲线C无交点，
此时，
即，
所以e，
因为c＞1，
所以双曲线C的离心率的取值范围为．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查了逻辑推理和运算能力．
5．双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点为F1，F2，过F1的直线与C的左支交于P，Q两点，若|PF2|＝|F1F2|，且5，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【考点】求双曲线的离心率．
【专题】对应思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】A
【分析】根据题意，由双曲线的定义分别得到|PF1|，|QF1|，|QF2|，再由cos∠PF1F2＝﹣cos∠QF1F2，结合余弦定理代入计算，化为e的齐次式，即可得到结果．
【解答】解：双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点为F1，F2，
过F1的直线与C的左支交于P，Q两点，若|PF2|＝|F1F2|，
且5因为|PF2|＝|F1F2|＝2c，故|PF1|＝|PF2|﹣2a＝2c﹣2a＝2（c﹣a），
且5|PF1|＝3|QF1|，故，故，
根据余弦定理，
，且cos∠PF1F2＝﹣cos∠QF1F2，
代入计算可得，
化简可得3a2+2c2﹣5ac＝0，即2e2﹣5e+3＝0，解得或e＝1（舍去）．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．记双曲线的左、右焦点分别为F1，F2．若F2（2，0），以F1为圆心、4为半径的圆与E的右支交于P，Q两点，点M为E上一点，满足F1M⊥F2M，则（ ）
A．离心率e＝2 B．△MF1F2的面积为
C．|MP|﹣|MQ|＜4 D．
【考点】直线与双曲线的综合．
【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据条件，先求出E的方程为，对A，直接法求出离心率即可；对B，根据双曲线的定义，令|MF1|＝t，|MF2|＝t+2，结合条件可得t（t+2）＝6，再求出△MF1F2的面积，即可求解；对C，联立圆与双曲线的方程，直接求出P，Q的坐标，再利用三角形的性质，即可求解；对D，根据条件，利用余弦定理，即可求解．
【解答】解：由题意得，a2+3＝22，解得a＝1，因此E的方程为，
对于A选项，因为E的方程为，因此，所以双曲线E的离心率为，因此A选项正确；
对于B选项，由双曲线定义可知，不妨令|MF1|＝t，|MF2|＝t+2，而|F1F2|＝4，
因此，即t2+（t+2）2＝16，整理得到t（t+2）＝6，
所以△MF1F2的面积，因此B选项错误；
对于C选项，易知圆F1的方程为（x+2）2+y2＝16，联立，
消y得4x2+4x﹣15＝0，解得（舍去）或，
代入，可得，
不妨令P在第一象限，则，，显然．
由B选项可知M与P，Q不重合，而在△MPQ中，|MP|﹣|MQ|＜|PQ|＜4，因此C选项正确；
对于D选项，因为|PF1|＝|QF1|＝4，
在△PF1Q中，由余弦定理可得，因此D选项正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查直线与双曲线的综合，属于中档题．
（多选）7．已知曲线C的方程为，则（ ）
A．若曲线C表示圆，则m＝1
B．若曲线C表示椭圆，则0＜m＜2
C．若曲线C表示双曲线，则m＞2
D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则m＜0
【考点】双曲线的标准方程；椭圆的标准方程．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】AD
【分析】由椭圆、双曲线、圆的方程列式求解判断即得．
【解答】解：对于A，若曲线表示圆，则有m＝2﹣m＞0，解得m＝1，故A正确；
对于B，若曲线表示椭圆，则有，解得0＜m＜2且m≠1，故B错误；
对于C，若曲线表示双曲线，则有m（2﹣m）＜0，解得m＜0或m＞2，故C错误；
若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则，解得m＜0，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查椭圆、双曲线、圆的定义与标准方程，属于基础题．
（多选）8．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且|PF1|＝4，|PF2|＝2，则（ ）
A．m＝1 B．C的离心率为
C．△F1PF2的面积为 D．∠F1PF2＝60°
【考点】双曲线的焦点三角形；双曲线的几何特征．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】ACD
【分析】由双曲线的性质，结合双曲线的定义逐一判断即可得解．
【解答】解：已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，
又P是C上一点，且|PF1|＝4，|PF2|＝2，
则，
解得m＝1，
故A正确；
双曲线，
所以，
则C的离心率，
故B错误；
因为，
所以∠PF2F1＝90°，
则△F1PF2的面积为，
故C正确；
又，
所以∠F1PF2＝60°，
故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线的定义，属中档题．
（多选）9．已知双曲线C过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线C的方程为
B．双曲线C的离心率为
C．曲线y＝ex﹣2﹣1经过双曲线C的一个焦点
D．焦点到渐近线的距离为1
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】ACD
【分析】由双曲线的渐近线为，设出双曲线方程，代入已知点的坐标，求出双曲线方程判断A；再求出双曲线的焦点坐标判断B，C；求出焦点到渐近线的距离，判断D．
【解答】解：由双曲线的渐近线方程为，可设双曲线方程为，
把点代入，得2＝λ，即λ＝1．
∴双曲线C的方程为，故A正确；
由a2＝3，b2＝1，得c2，
∴双曲线C的离心率为，故B错误；
取x+2＝0，得x＝﹣2，y＝0，曲线y＝ex+2﹣1过定点（﹣2，0），故C正确；
双曲线的焦点坐标（±2，0），焦点到渐近线x0的距离为1，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查双曲线方程的求法，考查双曲线的简单性质，是中档题
三．填空题（共4小题）
10．已知过双曲线上一点p（x0，y0）的切线方程，若M（x0，y0）为双曲线x2﹣y2＝4上的动点，x0＞0，y0≥0，直线l1：x0x﹣y0y＝4与双曲线的两条渐近线交于P，Q两点（点P在第一象限），R与Q在同一条渐近线上，则的最小值为 ﹣2 ．
【考点】直线与双曲线的综合．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维．
【答案】﹣2．
【分析】由题意易得l1是双曲线x2﹣y2＝4的切线，切点为M（x0，y0），线段PQ的中点为M（x0，y0），再根据平面向量的数量积的运算律可得，结合双曲线的性质即可得解．
【解答】解：由于M（x0，y0）为x2﹣y2＝4上的动点，
因此，那么可得，其中x0≥2，
根据题意，l1是x2﹣y2＝4的切线，切点为M（x0，y0），
而双曲线x2﹣y2＝4的渐近线为y＝±x，那么OP⊥OQ，
联立，解得，
所以P（x0+y0，x0+y0），
联立，解得，
因此Q（x0﹣y0，﹣x0+y0），
因此PQ的中点为M（x0，y0），
那么
（当且仅当MR⊥OQ时取等号），
根据题意可得PQ的斜率不存在或大于零，
因此，当且仅当M为右顶点时取等号，
因此可得，
因此的最小值为﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查直线与双曲线的综合应用，属于中档题．
11．已知双曲线的左右顶点分别为A、B，点P是圆O：x2+y2＝8上不同于A、B两点的一动点，直线PB与双曲线交于点Q，若直线PA斜率的取值范围是[4，5]，则QA的斜率的取值范围是 ．
【考点】直线与双曲线的综合．
【专题】方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；运算求解．
【答案】．
【分析】设P点坐标为，表示出直线PA的斜率，进而表示出直线PB的斜率，写出直线PB的方程，并与双曲线的方程联立，表示出点Q的坐标，即可表示出直线QA的斜率，再结合直线PA的斜率范围即可求解．
【解答】解：因为双曲线的方程为，则左顶点为、右顶点为，
圆O的方程为x2+y2＝8，则其半径为，故AB为圆的直径，
因为点P在圆x2+y2＝8上（非A、B），所以∠APB＝90°，则设P点坐标为，
则PA的斜率为：（t∈[4，5]）．
因为直线PB过，斜率为，
所以直线PB的方程为，即．
联立，消去x得，
解得y＝0（对应B点）或，故Q点纵坐标为，
横坐标为，
所以，
因为t∈[4，5]，故．
故答案为：．
【点评】本题考查了直线、圆与双曲线的综合，考查了方程思想及转化思想，属于中档题．
12．已知F1为双曲线的左焦点，P是双曲线右支上一点，线段PF1与以该双曲线实轴为直径的圆相切于线段PF1的中点，则该双曲线的离心率为 ．
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】运用中位线定理，可得OM∥PF2，|OM||PF2|，再由双曲线的定义，以及直线和圆相切的性质，运用勾股定理和离心率公式，即可得到．
【解答】解：设F2为双曲线的右焦点，记切点为M，则OM⊥PF1，
可知M是PF1的中点，则OM∥PF2，
，则|PF1|＝2b，|PF2|＝2a，
故，
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查直线和圆相切的条件，以及中位线定理和勾股定理的运用，考查运算能力，属于中档题．
13．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过左焦点F1的直线与双曲线C的左支相交于P，Q两点，|PQ|＝|PF2|，且cos∠QPF2，则双曲线C的离心率为 ．
【考点】求双曲线的离心率．
【专题】数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维．
【答案】．
【分析】根据题意画出图象，再利用双曲线的定义和余弦定理对离心率进行求解．
【解答】解：根据题意作图如下：
设|PF1|＝m，则根据双曲线的定义，|PF2|＝m+2a，
因为|PQ|＝|PF2|，所以|F1Q|＝2a，则|F2Q|＝4a，
在三角形PF2Q中，由余弦定理，有|PQ|22|PQ||PF2|cos∠QPF2，
即16a2＝（m+2a）2+（m+2a）2﹣2（m+2a）（m+2a），解得m＝a，
所以|PF1|＝a，|PF2|＝3a，|F1F2|＝2c，由余弦定理，
有2|PF1||PF2|cos∠QPF2，
解得7a2＝2c2，所以离心率e．
故答案为：．
【点评】本题主要考查双曲线的定义和离心率，属于中档题．
四．解答题（共2小题）
14．已知双曲线C，左、右焦点分别为F1、F2，两条渐近线为，且经过点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设过原点的直线l与C交于M、N两点且点M在第一象限，
（i）若直线MF2与直线NF2互相垂直，求点M的坐标．
（ii）连接NF2与双曲线C交于点E，若△EMN面积为，求直线NF2的方程．
【考点】直线与双曲线的综合．
【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（1）；
（2）（i）；（iì）x﹣y﹣2＝0．
【分析】（1）由已知条件可得出关于a、b的方程组，解出这两个量的值，即可得出双曲线C的方程；
（2）（i）设点M（x0，y0），点M在以原点为圆心，以2为半径的圆上，可得出，再由点M在双曲线C上，结合点M在第一象限可求得点M的坐标；
（ii）设直线NE的方程为x＝my+2，设点E（x1，y1）、N（x2，y2），将该直线方程与双曲线C的方程联立，列出韦达定理，根据S△MEN＝S△NEF结合三角形面积公式、韦达定理可求得m的值，即可得出直线NF2的方程．
【解答】解：（1）由双曲线C的两条渐近线方程为，得，即，
又因为双曲线C经过点，得，解得a＝1，，
所以双曲线C的方程为；
（2）（i）由题意知，点M在以原点为圆心，以2为半径的圆上，
设点M（x0，y0），则，
又因为点M在双曲线C上，联立，可得，
又因为点M在第一象限，所以；
（ii）设直线NE的方程为x＝my+2，设点E（x1，y1）、N（x2，y2），
联立，可得（3m2﹣1）y2+12my+9＝0，
由题意可得，
由双曲线的对称性可知MF1∥NF2，
，解得m2＝1或（舍去），
因为，所以3m2﹣1＞0满足题意，
由图可知m＞0，所以，直线NF2的方程为x﹣y﹣2＝0．
【点评】本题考查直线与双曲线的综合，属于难题．
15．在平面内，若直线l将多边形分为两部分，多边形在l两侧的顶点到直线l的距离之和相等，则称l为多边形的一条“等线”，已知O为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线E的离心率为2，点P为E右支上一动点，直线m与双曲线E相切于点P，且与E的渐近线交于A，B两点，当点P在第四象限且PF2⊥x轴时，直线y＝﹣1为△PF1F2的等线．
（1）求双曲线E的标准方程；
（2）若是四边形AF1BF2的等线，求四边形AF1BF2的面积；
（3）设，点G的轨迹为曲线Γ，证明：F在点G处的切线n为△AF1F2的等线．
【考点】直线与双曲线的综合；根据双曲线的几何特征求标准方程．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑思维；运算求解；新定义类．
【答案】（1）；
（2）8；
（3）证明：设G（x，y），由，所以x0＝3x，y0＝3y，
又，所以，即9x2﹣3y2＝1（x＞0），
故曲线T的方程为9x2﹣3y2＝1（x＞0），
由（*）知切线n为，
即，即3x0x﹣y0y﹣1＝0，
易知A与F2在n的右侧，F1在n的左侧，分别记F1，F2，A到n的距离为d1，d2，d3，
由（2）知，
则，
由x0≥1得，
因为，
所以直线n为△AF1F2的等线．
【分析】（1）利用已知等量关系建立方程，求解各个元素，得到双曲线方程即可；
（2）利用给定定义，求解关键点的坐标，最后得到四边形面积即可；
（3）利用给定条件和新定义证明即可．
【解答】解：（1）由题意知，F1（﹣c，0），F2（c，0），
显然点P在直线y＝﹣1的下方，又直线y＝﹣1为△PF1F2的等线，
所以，又，c2＝a2+b2，
解得：，
所以E的方程为；
（2）设P（x0，y0），切线m：y﹣y0＝k（x﹣x0），代入，
得，
故，
该式可以看作关于k的一元二次方程，方程仅一个根，
所以，
即m的方程为，
当m的斜率不存在时，也成立，
渐近线方程为，不妨设A在B上方，
联立得，
故，
所以P是线段AB的中点，因为F1，F2到过O的直线距离相等，
则过O点的等线必定满足：A，B到该等线距离相等，且分居两侧，
所以该等线必过点P，即OP的方程为，
由，解得，故，
所以，
，
所以|yA﹣yB|＝4，
所以；
（3）证明：设G（x，y），由，所以x0＝3x，y0＝3y，
又，所以，即9x2﹣3y2＝1（x＞0），
故曲线T的方程为9x2﹣3y2＝1（x＞0），
由（*）知切线n为，
即，即3x0x﹣y0y﹣1＝0，
易知A与F2在n的右侧，F1在n的左侧，分别记F1，F2，A到n的距离为d1，d2，d3，
由（2）知，
则，
由x0≥1得，
因为，
所以直线n为△AF1F2的等线．
【点评】本题考查了新定义下双曲线的性质，直线与双曲线位置关系，属于难题．
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3.2双曲线
一．选择题（共5小题）
1．已知双曲线C的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且tan∠BAC，AB⊥BD，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知O为坐标原点，双曲线C的右焦点为F，左顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若，则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
4．已知直线l：2x+3y＝0与双曲线C无公共交点，则C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点为F1，F2，过F1的直线与C的左支交于P，Q两点，若|PF2|＝|F1F2|，且5，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
二．多选题（共4小题）
（多选）6．记双曲线的左、右焦点分别为F1，F2．若F2（2，0），以F1为圆心、4为半径的圆与E的右支交于P，Q两点，点M为E上一点，满足F1M⊥F2M，则（ ）
A．离心率e＝2 B．△MF1F2的面积为
C．|MP|﹣|MQ|＜4 D．
（多选）7．已知曲线C的方程为，则（ ）
A．若曲线C表示圆，则m＝1
B．若曲线C表示椭圆，则0＜m＜2
C．若曲线C表示双曲线，则m＞2
D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则m＜0
（多选）8．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且|PF1|＝4，|PF2|＝2，则（ ）
A．m＝1 B．C的离心率为
C．△F1PF2的面积为 D．∠F1PF2＝60°
（多选）9．已知双曲线C过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线C的方程为
B．双曲线C的离心率为
C．曲线y＝ex﹣2﹣1经过双曲线C的一个焦点
D．焦点到渐近线的距离为1
三．填空题（共4小题）
10．已知过双曲线上一点p（x0，y0）的切线方程，若M（x0，y0）为双曲线x2﹣y2＝4上的动点，x0＞0，y0≥0，直线l1：x0x﹣y0y＝4与双曲线的两条渐近线交于P，Q两点（点P在第一象限），R与Q在同一条渐近线上，则的最小值为 ．
11．已知双曲线的左右顶点分别为A、B，点P是圆O：x2+y2＝8上不同于A、B两点的一动点，直线PB与双曲线交于点Q，若直线PA斜率的取值范围是[4，5]，则QA的斜率的取值范围是 ．
12．已知F1为双曲线的左焦点，P是双曲线右支上一点，线段PF1与以该双曲线实轴为直径的圆相切于线段PF1的中点，则该双曲线的离心率为 ．
13．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过左焦点F1的直线与双曲线C的左支相交于P，Q两点，|PQ|＝|PF2|，且cos∠QPF2，则双曲线C的离心率为 ．
四．解答题（共2小题）
14．已知双曲线C，左、右焦点分别为F1、F2，两条渐近线为，且经过点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设过原点的直线l与C交于M、N两点且点M在第一象限，
（i）若直线MF2与直线NF2互相垂直，求点M的坐标．
（ii）连接NF2与双曲线C交于点E，若△EMN面积为，求直线NF2的方程．
15．在平面内，若直线l将多边形分为两部分，多边形在l两侧的顶点到直线l的距离之和相等，则称l为多边形的一条“等线”，已知O为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线E的离心率为2，点P为E右支上一动点，直线m与双曲线E相切于点P，且与E的渐近线交于A，B两点，当点P在第四象限且PF2⊥x轴时，直线y＝﹣1为△PF1F2的等线．
（1）求双曲线E的标准方程；
（2）若是四边形AF1BF2的等线，求四边形AF1BF2的面积；
（3）设，点G的轨迹为曲线Γ，证明：F在点G处的切线n为△AF1F2的等线．
3.2双曲线
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．已知双曲线C的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】求双曲线的离心率．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】A
【分析】由已知求得c与b的值，结合隐含条件求解a，再由离心率公式得答案．
【解答】解：由已知可得，2c，则c，
由双曲线的性质可知，焦点到渐近线的距离为b，
则，
所以，双曲线的离心率为e．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，是基础题．
2．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且tan∠BAC，AB⊥BD，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】求双曲线的离心率．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】B
【分析】连接AF1，BF1，由双曲线的光学性质可知C、A、F1三点共线且D、B、F1三点共线，设|BF1|＝4m，根据双曲线的定义以及tan∠F1AF2的值可表示出|AB|、|AF1|，解得m和a的关系，在Rt△F1BF2中，由勾股定理可得a，c关系，可解得离心率．
【解答】解：如图，
连接AF1，BF1，则C、A、F1三点共线且D、B、F1三点共线，
由已知，tan∠F1AF2＝﹣tan∠BAC，
因为AB⊥BD，所以设|BF1|＝4m，则|AB|＝3m，|AF1|＝5m，
由双曲线的定义|AF1|+|BF1|＝|AB|+4a，所以|AF1|＝4a﹣m，
所以5m＝4a﹣m，m，
则在Rt△F1BF2中，|BF1|，|BF2|，|F1F2|＝2c，
所以4c2，即c2，所以双曲线的离心率e．
故选：B．
【点评】本题主要考查双曲线的光学性质和求双曲线的离心率，属于中档题．
3．已知O为坐标原点，双曲线C的右焦点为F，左顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若，则C的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【考点】求双曲线的离心率．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】利用点到直线的距离公式可得|PF|＝b，结合a，b，c的关系得到|PO|＝a，在△PAO中利用余弦定理求得，进而得到，根据渐近线的斜率即可得到结果．
【解答】解：根据题意可知，A（﹣a，0），F（c，0），双曲线的渐近线方程为，
过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，
如图，设点P在直线上，
即点P在直线bx﹣ay＝0上，则，
在直角△POF中，|PF|＝b，|OF|＝c，
所以，故，
在△PAO中，cos∠POA，
所以，
所以，故椭圆C的离心率．
故选：C．
【点评】本题考查了椭圆的性质，属于基础题．
4．已知直线l：2x+3y＝0与双曲线C无公共交点，则C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的几何特征；直线与双曲线的综合．
【专题】对应思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】由题意，根据直线与双曲线无交点，结合直线与渐近线之间的关系以及离心率公式，列出等式进行求解即可．
【解答】解：因为双曲线C的一条渐近线方程为，
若直线2x+3y＝0与双曲线C无交点，
此时，
即，
所以e，
因为c＞1，
所以双曲线C的离心率的取值范围为．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查了逻辑推理和运算能力．
5．双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点为F1，F2，过F1的直线与C的左支交于P，Q两点，若|PF2|＝|F1F2|，且5，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【考点】求双曲线的离心率．
【专题】对应思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】A
【分析】根据题意，由双曲线的定义分别得到|PF1|，|QF1|，|QF2|，再由cos∠PF1F2＝﹣cos∠QF1F2，结合余弦定理代入计算，化为e的齐次式，即可得到结果．
【解答】解：双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点为F1，F2，
过F1的直线与C的左支交于P，Q两点，若|PF2|＝|F1F2|，
且5因为|PF2|＝|F1F2|＝2c，故|PF1|＝|PF2|﹣2a＝2c﹣2a＝2（c﹣a），
且5|PF1|＝3|QF1|，故，故，
根据余弦定理，
，且cos∠PF1F2＝﹣cos∠QF1F2，
代入计算可得，
化简可得3a2+2c2﹣5ac＝0，即2e2﹣5e+3＝0，解得或e＝1（舍去）．
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）6．记双曲线的左、右焦点分别为F1，F2．若F2（2，0），以F1为圆心、4为半径的圆与E的右支交于P，Q两点，点M为E上一点，满足F1M⊥F2M，则（ ）
A．离心率e＝2 B．△MF1F2的面积为
C．|MP|﹣|MQ|＜4 D．
【考点】直线与双曲线的综合．
【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】ACD
【分析】根据条件，先求出E的方程为，对A，直接法求出离心率即可；对B，根据双曲线的定义，令|MF1|＝t，|MF2|＝t+2，结合条件可得t（t+2）＝6，再求出△MF1F2的面积，即可求解；对C，联立圆与双曲线的方程，直接求出P，Q的坐标，再利用三角形的性质，即可求解；对D，根据条件，利用余弦定理，即可求解．
【解答】解：由题意得，a2+3＝22，解得a＝1，因此E的方程为，
对于A选项，因为E的方程为，因此，所以双曲线E的离心率为，因此A选项正确；
对于B选项，由双曲线定义可知，不妨令|MF1|＝t，|MF2|＝t+2，而|F1F2|＝4，
因此，即t2+（t+2）2＝16，整理得到t（t+2）＝6，
所以△MF1F2的面积，因此B选项错误；
对于C选项，易知圆F1的方程为（x+2）2+y2＝16，联立，
消y得4x2+4x﹣15＝0，解得（舍去）或，
代入，可得，
不妨令P在第一象限，则，，显然．
由B选项可知M与P，Q不重合，而在△MPQ中，|MP|﹣|MQ|＜|PQ|＜4，因此C选项正确；
对于D选项，因为|PF1|＝|QF1|＝4，
在△PF1Q中，由余弦定理可得，因此D选项正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查直线与双曲线的综合，属于中档题．
（多选）7．已知曲线C的方程为，则（ ）
A．若曲线C表示圆，则m＝1
B．若曲线C表示椭圆，则0＜m＜2
C．若曲线C表示双曲线，则m＞2
D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则m＜0
【考点】双曲线的标准方程；椭圆的标准方程．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】AD
【分析】由椭圆、双曲线、圆的方程列式求解判断即得．
【解答】解：对于A，若曲线表示圆，则有m＝2﹣m＞0，解得m＝1，故A正确；
对于B，若曲线表示椭圆，则有，解得0＜m＜2且m≠1，故B错误；
对于C，若曲线表示双曲线，则有m（2﹣m）＜0，解得m＜0或m＞2，故C错误；
若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则，解得m＜0，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查椭圆、双曲线、圆的定义与标准方程，属于基础题．
（多选）8．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且|PF1|＝4，|PF2|＝2，则（ ）
A．m＝1 B．C的离心率为
C．△F1PF2的面积为 D．∠F1PF2＝60°
【考点】双曲线的焦点三角形；双曲线的几何特征．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】ACD
【分析】由双曲线的性质，结合双曲线的定义逐一判断即可得解．
【解答】解：已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，
又P是C上一点，且|PF1|＝4，|PF2|＝2，
则，
解得m＝1，
故A正确；
双曲线，
所以，
则C的离心率，
故B错误；
因为，
所以∠PF2F1＝90°，
则△F1PF2的面积为，
故C正确；
又，
所以∠F1PF2＝60°，
故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了双曲线的性质，重点考查了双曲线的定义，属中档题．
（多选）9．已知双曲线C过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线C的方程为
B．双曲线C的离心率为
C．曲线y＝ex﹣2﹣1经过双曲线C的一个焦点
D．焦点到渐近线的距离为1
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】ACD
【分析】由双曲线的渐近线为，设出双曲线方程，代入已知点的坐标，求出双曲线方程判断A；再求出双曲线的焦点坐标判断B，C；求出焦点到渐近线的距离，判断D．
【解答】解：由双曲线的渐近线方程为，可设双曲线方程为，
把点代入，得2＝λ，即λ＝1．
∴双曲线C的方程为，故A正确；
由a2＝3，b2＝1，得c2，
∴双曲线C的离心率为，故B错误；
取x+2＝0，得x＝﹣2，y＝0，曲线y＝ex+2﹣1过定点（﹣2，0），故C正确；
双曲线的焦点坐标（±2，0），焦点到渐近线x0的距离为1，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查双曲线方程的求法，考查双曲线的简单性质，是中档题
三．填空题（共4小题）
10．已知过双曲线上一点p（x0，y0）的切线方程，若M（x0，y0）为双曲线x2﹣y2＝4上的动点，x0＞0，y0≥0，直线l1：x0x﹣y0y＝4与双曲线的两条渐近线交于P，Q两点（点P在第一象限），R与Q在同一条渐近线上，则的最小值为 ﹣2 ．
【考点】直线与双曲线的综合．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维．
【答案】﹣2．
【分析】由题意易得l1是双曲线x2﹣y2＝4的切线，切点为M（x0，y0），线段PQ的中点为M（x0，y0），再根据平面向量的数量积的运算律可得，结合双曲线的性质即可得解．
【解答】解：由于M（x0，y0）为x2﹣y2＝4上的动点，
因此，那么可得，其中x0≥2，
根据题意，l1是x2﹣y2＝4的切线，切点为M（x0，y0），
而双曲线x2﹣y2＝4的渐近线为y＝±x，那么OP⊥OQ，
联立，解得，
所以P（x0+y0，x0+y0），
联立，解得，
因此Q（x0﹣y0，﹣x0+y0），
因此PQ的中点为M（x0，y0），
那么
（当且仅当MR⊥OQ时取等号），
根据题意可得PQ的斜率不存在或大于零，
因此，当且仅当M为右顶点时取等号，
因此可得，
因此的最小值为﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查直线与双曲线的综合应用，属于中档题．
11．已知双曲线的左右顶点分别为A、B，点P是圆O：x2+y2＝8上不同于A、B两点的一动点，直线PB与双曲线交于点Q，若直线PA斜率的取值范围是[4，5]，则QA的斜率的取值范围是 ．
【考点】直线与双曲线的综合．
【专题】方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；运算求解．
【答案】．
【分析】设P点坐标为，表示出直线PA的斜率，进而表示出直线PB的斜率，写出直线PB的方程，并与双曲线的方程联立，表示出点Q的坐标，即可表示出直线QA的斜率，再结合直线PA的斜率范围即可求解．
【解答】解：因为双曲线的方程为，则左顶点为、右顶点为，
圆O的方程为x2+y2＝8，则其半径为，故AB为圆的直径，
因为点P在圆x2+y2＝8上（非A、B），所以∠APB＝90°，则设P点坐标为，
则PA的斜率为：（t∈[4，5]）．
因为直线PB过，斜率为，
所以直线PB的方程为，即．
联立，消去x得，
解得y＝0（对应B点）或，故Q点纵坐标为，
横坐标为，
所以，
因为t∈[4，5]，故．
故答案为：．
【点评】本题考查了直线、圆与双曲线的综合，考查了方程思想及转化思想，属于中档题．
12．已知F1为双曲线的左焦点，P是双曲线右支上一点，线段PF1与以该双曲线实轴为直径的圆相切于线段PF1的中点，则该双曲线的离心率为 ．
【考点】双曲线的几何特征．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】．
【分析】运用中位线定理，可得OM∥PF2，|OM||PF2|，再由双曲线的定义，以及直线和圆相切的性质，运用勾股定理和离心率公式，即可得到．
【解答】解：设F2为双曲线的右焦点，记切点为M，则OM⊥PF1，
可知M是PF1的中点，则OM∥PF2，
，则|PF1|＝2b，|PF2|＝2a，
故，
故答案为：．
【点评】本题考查双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查直线和圆相切的条件，以及中位线定理和勾股定理的运用，考查运算能力，属于中档题．
13．已知双曲线C：1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过左焦点F1的直线与双曲线C的左支相交于P，Q两点，|PQ|＝|PF2|，且cos∠QPF2，则双曲线C的离心率为 ．
【考点】求双曲线的离心率．
【专题】数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维．
【答案】．
【分析】根据题意画出图象，再利用双曲线的定义和余弦定理对离心率进行求解．
【解答】解：根据题意作图如下：
设|PF1|＝m，则根据双曲线的定义，|PF2|＝m+2a，
因为|PQ|＝|PF2|，所以|F1Q|＝2a，则|F2Q|＝4a，
在三角形PF2Q中，由余弦定理，有|PQ|22|PQ||PF2|cos∠QPF2，
即16a2＝（m+2a）2+（m+2a）2﹣2（m+2a）（m+2a），解得m＝a，
所以|PF1|＝a，|PF2|＝3a，|F1F2|＝2c，由余弦定理，
有2|PF1||PF2|cos∠QPF2，
解得7a2＝2c2，所以离心率e．
故答案为：．
【点评】本题主要考查双曲线的定义和离心率，属于中档题．
四．解答题（共2小题）
14．已知双曲线C，左、右焦点分别为F1、F2，两条渐近线为，且经过点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设过原点的直线l与C交于M、N两点且点M在第一象限，
（i）若直线MF2与直线NF2互相垂直，求点M的坐标．
（ii）连接NF2与双曲线C交于点E，若△EMN面积为，求直线NF2的方程．
【考点】直线与双曲线的综合．
【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（1）；
（2）（i）；（iì）x﹣y﹣2＝0．
【分析】（1）由已知条件可得出关于a、b的方程组，解出这两个量的值，即可得出双曲线C的方程；
（2）（i）设点M（x0，y0），点M在以原点为圆心，以2为半径的圆上，可得出，再由点M在双曲线C上，结合点M在第一象限可求得点M的坐标；
（ii）设直线NE的方程为x＝my+2，设点E（x1，y1）、N（x2，y2），将该直线方程与双曲线C的方程联立，列出韦达定理，根据S△MEN＝S△NEF结合三角形面积公式、韦达定理可求得m的值，即可得出直线NF2的方程．
【解答】解：（1）由双曲线C的两条渐近线方程为，得，即，
又因为双曲线C经过点，得，解得a＝1，，
所以双曲线C的方程为；
（2）（i）由题意知，点M在以原点为圆心，以2为半径的圆上，
设点M（x0，y0），则，
又因为点M在双曲线C上，联立，可得，
又因为点M在第一象限，所以；
（ii）设直线NE的方程为x＝my+2，设点E（x1，y1）、N（x2，y2），
联立，可得（3m2﹣1）y2+12my+9＝0，
由题意可得，
由双曲线的对称性可知MF1∥NF2，
，解得m2＝1或（舍去），
因为，所以3m2﹣1＞0满足题意，
由图可知m＞0，所以，直线NF2的方程为x﹣y﹣2＝0．
【点评】本题考查直线与双曲线的综合，属于难题．
15．在平面内，若直线l将多边形分为两部分，多边形在l两侧的顶点到直线l的距离之和相等，则称l为多边形的一条“等线”，已知O为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线E的离心率为2，点P为E右支上一动点，直线m与双曲线E相切于点P，且与E的渐近线交于A，B两点，当点P在第四象限且PF2⊥x轴时，直线y＝﹣1为△PF1F2的等线．
（1）求双曲线E的标准方程；
（2）若是四边形AF1BF2的等线，求四边形AF1BF2的面积；
（3）设，点G的轨迹为曲线Γ，证明：F在点G处的切线n为△AF1F2的等线．
【考点】直线与双曲线的综合；根据双曲线的几何特征求标准方程．
【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑思维；运算求解；新定义类．
【答案】（1）；
（2）8；
（3）证明：设G（x，y），由，所以x0＝3x，y0＝3y，
又，所以，即9x2﹣3y2＝1（x＞0），
故曲线T的方程为9x2﹣3y2＝1（x＞0），
由（*）知切线n为，
即，即3x0x﹣y0y﹣1＝0，
易知A与F2在n的右侧，F1在n的左侧，分别记F1，F2，A到n的距离为d1，d2，d3，
由（2）知，
则，
由x0≥1得，
因为，
所以直线n为△AF1F2的等线．
【分析】（1）利用已知等量关系建立方程，求解各个元素，得到双曲线方程即可；
（2）利用给定定义，求解关键点的坐标，最后得到四边形面积即可；
（3）利用给定条件和新定义证明即可．
【解答】解：（1）由题意知，F1（﹣c，0），F2（c，0），
显然点P在直线y＝﹣1的下方，又直线y＝﹣1为△PF1F2的等线，
所以，又，c2＝a2+b2，
解得：，
所以E的方程为；
（2）设P（x0，y0），切线m：y﹣y0＝k（x﹣x0），代入，
得，
故，
该式可以看作关于k的一元二次方程，方程仅一个根，
所以，
即m的方程为，
当m的斜率不存在时，也成立，
渐近线方程为，不妨设A在B上方，
联立得，
故，
所以P是线段AB的中点，因为F1，F2到过O的直线距离相等，
则过O点的等线必定满足：A，B到该等线距离相等，且分居两侧，
所以该等线必过点P，即OP的方程为，
由，解得，故，
所以，
，
所以|yA﹣yB|＝4，
所以；
（3）证明：设G（x，y），由，所以x0＝3x，y0＝3y，
又，所以，即9x2﹣3y2＝1（x＞0），
故曲线T的方程为9x2﹣3y2＝1（x＞0），
由（*）知切线n为，
即，即3x0x﹣y0y﹣1＝0，
易知A与F2在n的右侧，F1在n的左侧，分别记F1，F2，A到n的距离为d1，d2，d3，
由（2）知，
则，
由x0≥1得，
因为，
所以直线n为△AF1F2的等线．
【点评】本题考查了新定义下双曲线的性质，直线与双曲线位置关系，属于难题．
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