3.3 抛物线(同步练习.含解析）2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 3.3 抛物线(同步练习.含解析）2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 536.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-04 00:00:00 | ||
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文档简介
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3.3抛物线
一．选择题（共6小题）
1．抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．如下示意图中，手电筒内，在小灯泡的后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面．该镜面圆形镜口的直径AB＝4，镜深OH＝3．为使小灯泡发出的光经镜面反射后，射出为一束平行光线，则该小灯泡距离镜面顶点O的距离应为（ ）
A．2 B．3 C． D．
2．曲线与直线的公共点的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过C上一点M（2，m）作l的垂线，垂足为N，若∠NMF的平分线经过l与x轴的交点，则p＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．焦点为（0，2）的抛物线标准方程是（ ）
A．x2＝8y B．x2＝4y C．y2＝4x D．y2＝8x
5．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，点M（x0，2）在C上，且|MF|＝2|OF|，则p＝（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
6．画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔 蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆是x2+y2＝a2+b2，若圆（x+3）2+（y﹣4）2＝4与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则m的值为（ ）
A．或 B．7或47 C． D．47
二．多选题（共3小题）
（多选）7．到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．设F1（﹣c，0）和F2（c，0）且c＞0，动点M满足，动点M的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线C，则下列描述正确的是（ ）
A．曲线C的方程是
B．曲线C关于坐标轴对称
C．曲线C与x轴没有交点
D．△MF1F2的面积不大于
（多选）8．已知抛物线y2＝4x上两点A（x1，y1），B（x2，y2），F为抛物线的焦点，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为x＝﹣1
B．若直线AB过F，且AB⊥x轴，则|AB|＝4
C．若直线AB过F，则y1y2＝﹣1
D．若|AB|＝6，则AB的中点到y轴距离的最小值为2
（多选）9．已知曲线C：x2+y2＝|x|+|y|，则（ ）
A．曲线C关于y轴对称
B．曲线C上任意一点到原点的距离都不超过
C．曲线C所围成的图形的面积为
D．当点（x0，y0）在曲线C上时，x0+y0≤2
三．填空题（共4小题）
10．如图所示的“四角花瓣”图形可以看作由抛物线C：x2＝2py（p＞0）绕坐标原点旋转，π，后所得三条曲线与C共同围成的区域（阴影部分），A、B分别为C与另外两条曲线在第一象限、第二象限的交点，若|AB|＝8，阴影部分的面积为S，给出以下结论：①p＝1；②△AOB的面积为16；③S＜32；④直线y＝x+b被第二象限“花瓣”截得的线段的长可能为1.5．其中正确结论的序号为 ．
11．已知点M（1，4）不在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，抛物线C的焦点为F．若对于抛物线上的一点P，|PM|+|PF|的最小值为4，则p的值等于 ．
12．已知圆C：x2+（y﹣2）2＝9的圆心C与抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点重合，两曲线在第一象限的交点为A，则原点到直线AC的距离为 ．
13．已知抛物线x2＝6y的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上，PQ⊥l于点Q．若△PQF是锐角三角形，则|PF|的取值范围是 ．
四．解答题（共2小题）
14．已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线Γ：y2＝2px的焦点为F（1，0），A、B是抛物线Γ上两个不同的点．
（1）求抛物线Γ的方程；
（2）若直线AB斜率为1，且过点F，求线段AB的长度；
（3）直线l与抛物线Γ交于不同于O的A、B两点，若以AB为直径的圆经过点O，且OG⊥AB于G，证明：存在定点H，使|GH|为定值．
15．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F到直线y＝x﹣1的距离为，不过原点的直线l与C交于A，B两点．
（1）求C的标准方程；
（2）若直线l的方程为y＝2x﹣1，求|AB|；
（3）若OA垂直于OB，求证：直线l过定点．
3.3抛物线
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．如下示意图中，手电筒内，在小灯泡的后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面．该镜面圆形镜口的直径AB＝4，镜深OH＝3．为使小灯泡发出的光经镜面反射后，射出为一束平行光线，则该小灯泡距离镜面顶点O的距离应为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【考点】直线与抛物线的位置关系及公共点的个数．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维．
【答案】D
【分析】根据抛物线的方程以及性质即可求解．
【解答】解：以O为坐标原点，以OH所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，
那么A（3，2），设xOy平面截该镜面所得的抛物线方程为y2＝2px（p＞0），
代入A（3，2），那么可得，
那么小灯泡应置于焦点处，因此其距离镜面顶点O的距离应为．
故选：D．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，属于简单题．
2．曲线与直线的公共点的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【考点】曲线与方程．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维．
【答案】B
【分析】根据y≥0以及y＜0分别得曲线为椭圆以及双曲线的一部分，根据直线与其关系即可求解．
【解答】解：当y≥0时，曲线的方程为，
表示椭圆的上半部分（含与x轴的交点），此时曲线与的交点为（0，3），（4，0），
当y＜0时，曲线的方程为，表示双曲线在x轴下方的部分，
其一条渐近线方程为：，
故直线与无交点，
所以曲线与直线的公共点的个数为2．
故选：B．
【点评】本题考查曲线与方程，属于中档题．
3．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过C上一点M（2，m）作l的垂线，垂足为N，若∠NMF的平分线经过l与x轴的交点，则p＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】直线与抛物线的位置关系及公共点的个数．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维．
【答案】D
【分析】设准线l与x轴交于点K，根据抛物线的定义得到四边形NMFK为正方形，即可求出P．
【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为，
设准线l与x轴交于点K，依题意|MN|＝|MF|，又MN∥KF，
所以∠NMK＝∠MKF，又∠NMK＝∠KMF，所以∠KMF＝∠MKF，
所以|KF|＝|MF|，所以|MN|＝|KF|，则四边形NMFK为正方形，又M（2，m），所以，解得p＝4．
故选：D．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系以及共同点的个数，属于中档题．
4．焦点为（0，2）的抛物线标准方程是（ ）
A．x2＝8y B．x2＝4y C．y2＝4x D．y2＝8x
【考点】由抛物线的焦点或焦准距求解抛物线方程或参数．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】A
【分析】通过抛物线的焦点坐标求解标准方程即可．
【解答】解：焦点为（0，2）的抛物线标准方程是：x2＝8y．
故选：A．
【点评】本题考查抛物线的标准方程的求法，抛物线的简单性质的应用，是基础题．
5．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，点M（x0，2）在C上，且|MF|＝2|OF|，则p＝（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
【考点】抛物线的焦点弦及焦半径．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】由抛物线定义得到|MF|，利用|MF|＝2|OF|解得p，进而求得抛物线方程．
【解答】解：F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，
则，
则|MF|＝2|OF|＝p，
由抛物线的定义，可知，
所以，
得，
由点在C上，
得，
又p＞0，
解得p＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了抛物线的定义，属基础题．
6．画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔 蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆是x2+y2＝a2+b2，若圆（x+3）2+（y﹣4）2＝4与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则m的值为（ ）
A．或 B．7或47 C． D．47
【考点】由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数．
【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解；新定义类．
【答案】B
【分析】根据题意，得到蒙日圆方程为x2+y2＝m+2，根据蒙日圆与圆（x+3）2+（y﹣4）2＝4只有一个公共点，结合圆与圆的位置关系，得到或，求得m的值，即可得到答案．
【解答】解：由椭圆的方程，
可得m＞0且m≠2，且蒙日圆方程为x2+y2＝m+2，
可得蒙日圆的圆心为原点O，半径为，
又由圆（x+3）2+（y﹣4）2＝4的圆心为A（﹣3，4），半径为2，
因为两圆只有一个公共点，则两圆外切或内切，
可得或，
又因为，
所以或，
解得m＝7或m＝47．
故选：B．
【点评】本题考查圆的方程的应用，属于中档题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．设F1（﹣c，0）和F2（c，0）且c＞0，动点M满足，动点M的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线C，则下列描述正确的是（ ）
A．曲线C的方程是
B．曲线C关于坐标轴对称
C．曲线C与x轴没有交点
D．△MF1F2的面积不大于
【考点】曲线与方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据两点之间的距离公式和题目所给定义，判断A的正误，根据坐标轴对称的性质，判断B的正误，根据设纵坐标为0，列出方程，判断C的正误；根据三角形正弦定理面积公式，以及三角函数范围，判断D的正误．
【解答】解：设M（x，y），则，
则，故A正确；
令﹣x代x，则，
可知曲线关于x轴对称，
令﹣y代y，则，
可知曲线关于y轴对称，故B正确；
令y＝0，则，化简得（x2﹣c2）2＝a4，解得x2＝c2±a2，
可知当c＜a时，，当c＝a时，或x＝0，当c＞a时，或，
可知与x轴至少有2个交点，故C错误；
由三角形面积公式可知，因为在三角形中0＜sin∠F1MF2≤1，
所以，
且仅当sin∠F1MF2＝1，即时取等号，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查曲线与方程，考查运算求解能力，属于中档题．
（多选）8．已知抛物线y2＝4x上两点A（x1，y1），B（x2，y2），F为抛物线的焦点，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为x＝﹣1
B．若直线AB过F，且AB⊥x轴，则|AB|＝4
C．若直线AB过F，则y1y2＝﹣1
D．若|AB|＝6，则AB的中点到y轴距离的最小值为2
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维．
【答案】ABD
【分析】根据抛物线方程求出p＝2，确定焦点位置，即可判断A项；
通过计算点的坐标易判断B项；
设AB的方程x＝my+1，与抛物线方程联立，利用韦达定理即可判断C项；
对于D项，结合图形可推出当且仅当AB经过点F时，|AB|≤|AF|+|BF|，设直线AB的方程x＝my+t，与抛物线方程联立，利用韦达定理得到2m2+t≥2，计算AB的中点M（x0，y0）的横坐标，即得AB的中点到y轴距离的最小值为2．
【解答】解：根据抛物线y2＝4x可知抛物线的焦点在x轴正半轴上，且p＝2．
对于选项A，抛物线的准线方程为，因此选项A正确；
对于选项B，由于AB过F，且AB⊥x轴，把代入y2＝4x，解得y＝±2，
因此|AB|＝|2﹣（﹣2）|＝4，因此选项B正确；
对于选项C，根据上分析知F（1，0），由于AB的斜率不能为0，故可设其为x＝my+1，
代入y2＝4x，那么可得y2﹣4my﹣4＝0，根据韦达定理，可得y1y2＝﹣4，故C错误；
对于选项D，根据图知，|AB|≤|AF|+|BF|，当且仅当AB经过点F时，等号成立．
设直线AB为x＝my+t，t≥0，代入y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4t＝0，
那么根的判别式Δ＝16m2+16t＞0，那么根据韦达定理可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t，
则，
因|AB|＝6，故可得4m2+2t+2≥6，即得2m2+t≥2，
设AB的中点为M（x0，y0），而x0即点M到y轴的距离，
因，
故当时，AB的中点到y轴的距离的最小值为2，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
（多选）9．已知曲线C：x2+y2＝|x|+|y|，则（ ）
A．曲线C关于y轴对称
B．曲线C上任意一点到原点的距离都不超过
C．曲线C所围成的图形的面积为
D．当点（x0，y0）在曲线C上时，x0+y0≤2
【考点】曲线与方程．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维．
【答案】ABD
【分析】根据给定的曲线方程，利用关于y对称特征判断A；利用基本不等式求解判断BD；作出曲线求出图形面积判断C．
【解答】解：对于选项A，曲线C上任意点（x，y），那么（﹣x）2+y2＝|﹣x|+|y|成立，
即点（﹣x，y）在曲线C上，因此曲线C关于y轴对称，因此选项A正确；
对于选项B，令（a，b）是曲线C上任意一点，那么a2+b2＝|a|+|b|，
根据，
当且仅当|a|＝|b|时取等号，解得a2+b2≤2，即，
所以曲线C上任意一点到原点的距离都不超过，因此选项B正确；
对于选项C，当x＞0，y＞0时，x2+y2＝x+y，其对应的图形以为半径，为圆心的圆在第一象限的半圆部分，
该半圆面积为，而曲线C关于坐标轴对称，
曲线C：x2+y2＝|x|+|y|对应的图形如下：
曲线C围成的图形的面积由边长为的正方形和4个半径为的半圆组成，
所以曲线C围成的图形的面积为，因此选项C错误；
对于选项D，根据选项B得，那么|x0|+|y0|≤2，又因为x0≤|x0|，y0≤|y0|，
因此x0+y0≤|x0|+|y0|≤2，当且仅当x0＝y0＝1时取等号，因此选项D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查曲线与方程，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
10．如图所示的“四角花瓣”图形可以看作由抛物线C：x2＝2py（p＞0）绕坐标原点旋转，π，后所得三条曲线与C共同围成的区域（阴影部分），A、B分别为C与另外两条曲线在第一象限、第二象限的交点，若|AB|＝8，阴影部分的面积为S，给出以下结论：①p＝1；②△AOB的面积为16；③S＜32；④直线y＝x+b被第二象限“花瓣”截得的线段的长可能为1.5．其中正确结论的序号为 ②③ ．
【考点】曲线与方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；运算求解．
【答案】②③．
【分析】根据题意，设抛物线C绕坐标原点顺时针旋转，π，后所得三条曲线分别为C1，C2，C3，根据对称性，可得三条曲线的方程，分别联立曲线C与C1、曲线C与C3，可求得A、B的坐标，根据|AB|＝8，可求得p的值；进而可求得S△AOB的面积；根据对称性，可得S＜8S△AOM，先求S△AOM，即可判断；根据图形的对称性，可求得弦长，结合函数关系进行求解即可．
【解答】解：由题意“四角花瓣”图形是由抛物线C：x2＝2py（p＞0）绕坐标原点旋转，π，后所得三条曲线与C共同围成的区域（阴影部分），
A、B分别为C与另外两条曲线在第一象限、第二象限的交点，|AB|＝8，阴影部分的面积为S，
可设抛物线C绕坐标原点顺时针旋转，π，后所得三条曲线分别为C1，C2，C3，
抛物线C的焦点为，因此C2的焦点为，C1的焦点为，C3的焦点为，
因此，，，（p＞0），
对于选项①，A为曲线C与C1的交点，联立两抛物线方程，解得，即A（2p，2p），
B为曲线C与C3的交点，联立两抛物线方程，解得，即B（﹣2p，2p），
又|AB|＝8，所以|2p﹣（﹣2p）|＝4p＝8，因此p＝2，故①错误；
对于②选项，由上述过程，可得A（4，4），B（﹣4，4），所以三角形面积，
故选项②正确；
对于选项③，根据题意，因为对称性，阴影部分在四个象限的图形全等，因此只讨论第一象限部分，
第一象限部分依然根据对称性，可分为两份，以下只讨论曲线C与直线y＝x围成的部分，如图，
设该阴影部分面积为S′，显然S＝8S′，
设，那么导函数，故过A点的切线斜率为，
所以过A点的切线为y＝2x﹣4，该切线与x轴交于点M，因此M（2，0），
则，因此S＜8S△AOM＝4×8＝32，故选项③正确；
对于选项④，第二象限的“花瓣”图形由曲线C和曲线C3围城，两者关于y＝﹣x对称，
y＝x+b与曲线C相交，联立方程化简得x2﹣4x﹣4b＝0，解得x＝2±2，
又交点在第二象限，因此x＜0，因此，交点坐标为，
所以“花瓣”图形仅限阴影部分区域，因此，即，
因为曲线C和曲线C3关于y＝﹣x对称，所以直线y＝x+b也关于y＝﹣x对称，
因此y＝x+b与曲线C3的交点为，
因此弦长，
设，那么1≤m≤3，所以，
因此当m＝1或m＝3时，即b＝0或b＝8时，直线y＝x+b与两曲线交于一点，弦长为0，
当m＝2时，即b＝3时，弦长最长，此时，故④错误．
故答案为：②③．
【点评】本题考查了曲线与方程的概念，是中档题．
11．已知点M（1，4）不在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，抛物线C的焦点为F．若对于抛物线上的一点P，|PM|+|PF|的最小值为4，则p的值等于 2 ．
【考点】抛物线上的点到准线及其平行线的距离；抛物线的定义．
【专题】分类讨论；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】2．
【分析】分两种情况，若点M在抛物线的张口外部，最小值为|MF|可求得p；若点M在抛物线的张口内部，则利用抛物线的定义转化求最小值，最小值为14，最后再检验p值即可．
【解答】解：已知点M（1，4）不在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，抛物线C的焦点为F，
又对于抛物线上的一点P，|PM|+|PF|的最小值为4，
①如图，若点M在抛物线的张口外部，
即2p×1＜42，
即0＜p＜8，
则当点M，P，F三点共线时，|PM|+|PF|有最小值，最小值为|MF|，又F（，0），
则|MF|4，
解得p＝2，符合题意；
②如图，若点M在抛物线的张口内部，
即2p×1＞42，
即p＞8，
过点P作PD⊥l，垂足为D，其中直线l为抛物线的准线，
则由抛物线的定义可知，|PF|＝|PD|，
所以当M，P，D三点共线时，|PM|+|PD|＝|PM|+|PF|有最小值，
则14，
得p＝6，
不符合题意，
故p的值等于2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了抛物线的定义，属中档题．
12．已知圆C：x2+（y﹣2）2＝9的圆心C与抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点重合，两曲线在第一象限的交点为A，则原点到直线AC的距离为 ．
【考点】圆与圆锥曲线的综合；点到直线的距离公式；求抛物线的焦点和焦准距．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，首先解出抛物线的方程，联立方程组，解出交点A的坐标，再求出直线AC的方程，最后由点到直线的距离公式，即可得到答案．
【解答】解：圆C：x2+（y﹣2）2＝9的圆心C（0，2），半径为3，
∵圆心C（0，2）与x2＝2py（p＞0）的焦点（0，）重合，
∴，两曲线在第一象限的交点为A，
由，可得，
∵，∴由点斜式方程可得：，
即：，∴原点到lAC的距离．
故答案为：．
【点评】本题考查抛物线的简单性质以及圆的方程的应用，是中档题．
13．已知抛物线x2＝6y的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上，PQ⊥l于点Q．若△PQF是锐角三角形，则|PF|的取值范围是 （3，+∞） ．
【考点】抛物线的焦点弦及焦半径．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（3，+∞）．
【分析】在y轴上取点A，推导出∠PFA为锐角，设点P（x，y），可得出，可求得y的范围，再根据抛物线焦半径公式求解即可．
【解答】解：已知抛物线x2＝6y的焦点为F，
则，
由抛物线的定义得|PF|＝|PQ|，
所以∠PFQ＝∠PQF，
由于△PQF是锐角三角形，
则∠FPQ为锐角，
在y轴上取一点A（0，2），
由PQ∥y轴，
所以∠FPQ＝∠PFA，
则∠PFA为锐角，
设点P（x，y），，
则，
所以，
则．
故答案为：（3，+∞）．
【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了抛物线的定义，属基础题．
四．解答题（共2小题）
14．已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线Γ：y2＝2px的焦点为F（1，0），A、B是抛物线Γ上两个不同的点．
（1）求抛物线Γ的方程；
（2）若直线AB斜率为1，且过点F，求线段AB的长度；
（3）直线l与抛物线Γ交于不同于O的A、B两点，若以AB为直径的圆经过点O，且OG⊥AB于G，证明：存在定点H，使|GH|为定值．
【考点】抛物线的定点及定值问题；根据抛物线上的点求抛物线的标准方程．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（1）y2＝4x；
（2）|AB|＝8；
（3）证明：由题意可设直线AB的方程为x＝my+n（n≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，可得y2﹣4my﹣4n＝0，Δ＝16m2+16n＞0，
所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n，
又以AB为直径的圆经过点O，所以，
所以，n≠0，
所以n＝4，
所以直线AB过定点T（4，0），
又OG⊥AB，所以△OGT为直角三角形，
所以当H为斜边OT中点时，|GH|为定值，且，
所以定点H为（2，0），|GH|为定值2．
【分析】（1）根据抛物线的几何性质，即可求解；
（2）联立直线和抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用焦点弦长公式求出答案；
（3）联立方程，得到根与系数的关系，根据以线段AB为直径的圆经过点O，转化成，可得直线过定点，再由OG⊥AB，根据直角三角形的特征即可找到H的位置，即可求解．
【解答】解：（1）根据题意可得，所以p＝2，
所以抛物线Γ的方程为y2＝4x；
（2）因为线AB斜率为1，且过点F（1，0），
所以直线AB的方程为l：y＝x﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，得x2﹣6x+1＝0，Δ＝32＞0，
所以x1+x2＝6，
所以|AB|＝p+x1+x2＝2+6＝8；
（3）证明：由题意可设直线AB的方程为x＝my+n（n≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，可得y2﹣4my﹣4n＝0，Δ＝16m2+16n＞0，
所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n，
又以AB为直径的圆经过点O，所以，
所以，n≠0，
所以n＝4，
所以直线AB过定点T（4，0），
又OG⊥AB，所以△OGT为直角三角形，
所以当H为斜边OT中点时，|GH|为定值，且，
所以定点H为（2，0），|GH|为定值2．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，属中档题．
15．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F到直线y＝x﹣1的距离为，不过原点的直线l与C交于A，B两点．
（1）求C的标准方程；
（2）若直线l的方程为y＝2x﹣1，求|AB|；
（3）若OA垂直于OB，求证：直线l过定点．
【考点】直线与抛物线的综合；根据定义求抛物线的标准方程．
【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（1）x2＝4y；
（2）；
（3）证明：设直线l的方程为y＝kx+t，t≠0，点，
由消去y得x2﹣4kx﹣4t＝0，当Δ＝16k2+16t＞0时，xA xB＝﹣4t，
由OA垂直于OB，得，而t≠0，解得t＝4，
则直线l的方程为y＝kx+4，所以直线l过定点（0，4）．
【分析】（1）求出焦点坐标，再利用点到直线距离公式求出p值；
（2）联立直线与抛物线方程，求出交点的横坐标，进而求出弦长；
（3）设直线l的方程为y＝kx+t，t≠0，与抛物线方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示求出t即可．
【解答】解：（1）抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为，
根据点到直线的距离公式，焦点F到直线y＝x﹣1（即x﹣y﹣1＝0）的距离为：，
已知该距离为，得，而p＞0，解得p＝2，
因此抛物线C的标准方程为x2＝4y；
（2）由消去y得x2﹣8x+4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），
解得，因此；
（3）证明：设直线l的方程为y＝kx+t，t≠0，点，
由消去y得x2﹣4kx﹣4t＝0，当Δ＝16k2+16t＞0时，xA xB＝﹣4t，
由OA垂直于OB，得，而t≠0，解得t＝4，
因此直线l的方程为y＝kx+4，因此直线l过定点（0，4）．
【点评】本题考查直线与抛物线的综合与根据定义求抛物线的标准方程，属于中档题．
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3.3抛物线
一．选择题（共6小题）
1．抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．如下示意图中，手电筒内，在小灯泡的后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面．该镜面圆形镜口的直径AB＝4，镜深OH＝3．为使小灯泡发出的光经镜面反射后，射出为一束平行光线，则该小灯泡距离镜面顶点O的距离应为（ ）
A．2 B．3 C． D．
2．曲线与直线的公共点的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
3．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过C上一点M（2，m）作l的垂线，垂足为N，若∠NMF的平分线经过l与x轴的交点，则p＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．焦点为（0，2）的抛物线标准方程是（ ）
A．x2＝8y B．x2＝4y C．y2＝4x D．y2＝8x
5．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，点M（x0，2）在C上，且|MF|＝2|OF|，则p＝（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
6．画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔 蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆是x2+y2＝a2+b2，若圆（x+3）2+（y﹣4）2＝4与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则m的值为（ ）
A．或 B．7或47 C． D．47
二．多选题（共3小题）
（多选）7．到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．设F1（﹣c，0）和F2（c，0）且c＞0，动点M满足，动点M的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线C，则下列描述正确的是（ ）
A．曲线C的方程是
B．曲线C关于坐标轴对称
C．曲线C与x轴没有交点
D．△MF1F2的面积不大于
（多选）8．已知抛物线y2＝4x上两点A（x1，y1），B（x2，y2），F为抛物线的焦点，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为x＝﹣1
B．若直线AB过F，且AB⊥x轴，则|AB|＝4
C．若直线AB过F，则y1y2＝﹣1
D．若|AB|＝6，则AB的中点到y轴距离的最小值为2
（多选）9．已知曲线C：x2+y2＝|x|+|y|，则（ ）
A．曲线C关于y轴对称
B．曲线C上任意一点到原点的距离都不超过
C．曲线C所围成的图形的面积为
D．当点（x0，y0）在曲线C上时，x0+y0≤2
三．填空题（共4小题）
10．如图所示的“四角花瓣”图形可以看作由抛物线C：x2＝2py（p＞0）绕坐标原点旋转，π，后所得三条曲线与C共同围成的区域（阴影部分），A、B分别为C与另外两条曲线在第一象限、第二象限的交点，若|AB|＝8，阴影部分的面积为S，给出以下结论：①p＝1；②△AOB的面积为16；③S＜32；④直线y＝x+b被第二象限“花瓣”截得的线段的长可能为1.5．其中正确结论的序号为 ．
11．已知点M（1，4）不在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，抛物线C的焦点为F．若对于抛物线上的一点P，|PM|+|PF|的最小值为4，则p的值等于 ．
12．已知圆C：x2+（y﹣2）2＝9的圆心C与抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点重合，两曲线在第一象限的交点为A，则原点到直线AC的距离为 ．
13．已知抛物线x2＝6y的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上，PQ⊥l于点Q．若△PQF是锐角三角形，则|PF|的取值范围是 ．
四．解答题（共2小题）
14．已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线Γ：y2＝2px的焦点为F（1，0），A、B是抛物线Γ上两个不同的点．
（1）求抛物线Γ的方程；
（2）若直线AB斜率为1，且过点F，求线段AB的长度；
（3）直线l与抛物线Γ交于不同于O的A、B两点，若以AB为直径的圆经过点O，且OG⊥AB于G，证明：存在定点H，使|GH|为定值．
15．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F到直线y＝x﹣1的距离为，不过原点的直线l与C交于A，B两点．
（1）求C的标准方程；
（2）若直线l的方程为y＝2x﹣1，求|AB|；
（3）若OA垂直于OB，求证：直线l过定点．
3.3抛物线
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．抛物线有如下光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴．如下示意图中，手电筒内，在小灯泡的后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面．该镜面圆形镜口的直径AB＝4，镜深OH＝3．为使小灯泡发出的光经镜面反射后，射出为一束平行光线，则该小灯泡距离镜面顶点O的距离应为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【考点】直线与抛物线的位置关系及公共点的个数．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维．
【答案】D
【分析】根据抛物线的方程以及性质即可求解．
【解答】解：以O为坐标原点，以OH所在直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，
那么A（3，2），设xOy平面截该镜面所得的抛物线方程为y2＝2px（p＞0），
代入A（3，2），那么可得，
那么小灯泡应置于焦点处，因此其距离镜面顶点O的距离应为．
故选：D．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，属于简单题．
2．曲线与直线的公共点的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【考点】曲线与方程．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维．
【答案】B
【分析】根据y≥0以及y＜0分别得曲线为椭圆以及双曲线的一部分，根据直线与其关系即可求解．
【解答】解：当y≥0时，曲线的方程为，
表示椭圆的上半部分（含与x轴的交点），此时曲线与的交点为（0，3），（4，0），
当y＜0时，曲线的方程为，表示双曲线在x轴下方的部分，
其一条渐近线方程为：，
故直线与无交点，
所以曲线与直线的公共点的个数为2．
故选：B．
【点评】本题考查曲线与方程，属于中档题．
3．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过C上一点M（2，m）作l的垂线，垂足为N，若∠NMF的平分线经过l与x轴的交点，则p＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】直线与抛物线的位置关系及公共点的个数．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维．
【答案】D
【分析】设准线l与x轴交于点K，根据抛物线的定义得到四边形NMFK为正方形，即可求出P．
【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为，
设准线l与x轴交于点K，依题意|MN|＝|MF|，又MN∥KF，
所以∠NMK＝∠MKF，又∠NMK＝∠KMF，所以∠KMF＝∠MKF，
所以|KF|＝|MF|，所以|MN|＝|KF|，则四边形NMFK为正方形，又M（2，m），所以，解得p＝4．
故选：D．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系以及共同点的个数，属于中档题．
4．焦点为（0，2）的抛物线标准方程是（ ）
A．x2＝8y B．x2＝4y C．y2＝4x D．y2＝8x
【考点】由抛物线的焦点或焦准距求解抛物线方程或参数．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】A
【分析】通过抛物线的焦点坐标求解标准方程即可．
【解答】解：焦点为（0，2）的抛物线标准方程是：x2＝8y．
故选：A．
【点评】本题考查抛物线的标准方程的求法，抛物线的简单性质的应用，是基础题．
5．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，点M（x0，2）在C上，且|MF|＝2|OF|，则p＝（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
【考点】抛物线的焦点弦及焦半径．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】C
【分析】由抛物线定义得到|MF|，利用|MF|＝2|OF|解得p，进而求得抛物线方程．
【解答】解：F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，
则，
则|MF|＝2|OF|＝p，
由抛物线的定义，可知，
所以，
得，
由点在C上，
得，
又p＞0，
解得p＝2．
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了抛物线的定义，属基础题．
6．画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔 蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆是x2+y2＝a2+b2，若圆（x+3）2+（y﹣4）2＝4与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则m的值为（ ）
A．或 B．7或47 C． D．47
【考点】由圆与圆的位置关系求解圆的方程或参数．
【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解；新定义类．
【答案】B
【分析】根据题意，得到蒙日圆方程为x2+y2＝m+2，根据蒙日圆与圆（x+3）2+（y﹣4）2＝4只有一个公共点，结合圆与圆的位置关系，得到或，求得m的值，即可得到答案．
【解答】解：由椭圆的方程，
可得m＞0且m≠2，且蒙日圆方程为x2+y2＝m+2，
可得蒙日圆的圆心为原点O，半径为，
又由圆（x+3）2+（y﹣4）2＝4的圆心为A（﹣3，4），半径为2，
因为两圆只有一个公共点，则两圆外切或内切，
可得或，
又因为，
所以或，
解得m＝7或m＝47．
故选：B．
【点评】本题考查圆的方程的应用，属于中档题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．设F1（﹣c，0）和F2（c，0）且c＞0，动点M满足，动点M的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线C，则下列描述正确的是（ ）
A．曲线C的方程是
B．曲线C关于坐标轴对称
C．曲线C与x轴没有交点
D．△MF1F2的面积不大于
【考点】曲线与方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】ABD
【分析】根据两点之间的距离公式和题目所给定义，判断A的正误，根据坐标轴对称的性质，判断B的正误，根据设纵坐标为0，列出方程，判断C的正误；根据三角形正弦定理面积公式，以及三角函数范围，判断D的正误．
【解答】解：设M（x，y），则，
则，故A正确；
令﹣x代x，则，
可知曲线关于x轴对称，
令﹣y代y，则，
可知曲线关于y轴对称，故B正确；
令y＝0，则，化简得（x2﹣c2）2＝a4，解得x2＝c2±a2，
可知当c＜a时，，当c＝a时，或x＝0，当c＞a时，或，
可知与x轴至少有2个交点，故C错误；
由三角形面积公式可知，因为在三角形中0＜sin∠F1MF2≤1，
所以，
且仅当sin∠F1MF2＝1，即时取等号，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查曲线与方程，考查运算求解能力，属于中档题．
（多选）8．已知抛物线y2＝4x上两点A（x1，y1），B（x2，y2），F为抛物线的焦点，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为x＝﹣1
B．若直线AB过F，且AB⊥x轴，则|AB|＝4
C．若直线AB过F，则y1y2＝﹣1
D．若|AB|＝6，则AB的中点到y轴距离的最小值为2
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维．
【答案】ABD
【分析】根据抛物线方程求出p＝2，确定焦点位置，即可判断A项；
通过计算点的坐标易判断B项；
设AB的方程x＝my+1，与抛物线方程联立，利用韦达定理即可判断C项；
对于D项，结合图形可推出当且仅当AB经过点F时，|AB|≤|AF|+|BF|，设直线AB的方程x＝my+t，与抛物线方程联立，利用韦达定理得到2m2+t≥2，计算AB的中点M（x0，y0）的横坐标，即得AB的中点到y轴距离的最小值为2．
【解答】解：根据抛物线y2＝4x可知抛物线的焦点在x轴正半轴上，且p＝2．
对于选项A，抛物线的准线方程为，因此选项A正确；
对于选项B，由于AB过F，且AB⊥x轴，把代入y2＝4x，解得y＝±2，
因此|AB|＝|2﹣（﹣2）|＝4，因此选项B正确；
对于选项C，根据上分析知F（1，0），由于AB的斜率不能为0，故可设其为x＝my+1，
代入y2＝4x，那么可得y2﹣4my﹣4＝0，根据韦达定理，可得y1y2＝﹣4，故C错误；
对于选项D，根据图知，|AB|≤|AF|+|BF|，当且仅当AB经过点F时，等号成立．
设直线AB为x＝my+t，t≥0，代入y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4t＝0，
那么根的判别式Δ＝16m2+16t＞0，那么根据韦达定理可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t，
则，
因|AB|＝6，故可得4m2+2t+2≥6，即得2m2+t≥2，
设AB的中点为M（x0，y0），而x0即点M到y轴的距离，
因，
故当时，AB的中点到y轴的距离的最小值为2，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
（多选）9．已知曲线C：x2+y2＝|x|+|y|，则（ ）
A．曲线C关于y轴对称
B．曲线C上任意一点到原点的距离都不超过
C．曲线C所围成的图形的面积为
D．当点（x0，y0）在曲线C上时，x0+y0≤2
【考点】曲线与方程．
【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维．
【答案】ABD
【分析】根据给定的曲线方程，利用关于y对称特征判断A；利用基本不等式求解判断BD；作出曲线求出图形面积判断C．
【解答】解：对于选项A，曲线C上任意点（x，y），那么（﹣x）2+y2＝|﹣x|+|y|成立，
即点（﹣x，y）在曲线C上，因此曲线C关于y轴对称，因此选项A正确；
对于选项B，令（a，b）是曲线C上任意一点，那么a2+b2＝|a|+|b|，
根据，
当且仅当|a|＝|b|时取等号，解得a2+b2≤2，即，
所以曲线C上任意一点到原点的距离都不超过，因此选项B正确；
对于选项C，当x＞0，y＞0时，x2+y2＝x+y，其对应的图形以为半径，为圆心的圆在第一象限的半圆部分，
该半圆面积为，而曲线C关于坐标轴对称，
曲线C：x2+y2＝|x|+|y|对应的图形如下：
曲线C围成的图形的面积由边长为的正方形和4个半径为的半圆组成，
所以曲线C围成的图形的面积为，因此选项C错误；
对于选项D，根据选项B得，那么|x0|+|y0|≤2，又因为x0≤|x0|，y0≤|y0|，
因此x0+y0≤|x0|+|y0|≤2，当且仅当x0＝y0＝1时取等号，因此选项D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查曲线与方程，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
10．如图所示的“四角花瓣”图形可以看作由抛物线C：x2＝2py（p＞0）绕坐标原点旋转，π，后所得三条曲线与C共同围成的区域（阴影部分），A、B分别为C与另外两条曲线在第一象限、第二象限的交点，若|AB|＝8，阴影部分的面积为S，给出以下结论：①p＝1；②△AOB的面积为16；③S＜32；④直线y＝x+b被第二象限“花瓣”截得的线段的长可能为1.5．其中正确结论的序号为 ②③ ．
【考点】曲线与方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；运算求解．
【答案】②③．
【分析】根据题意，设抛物线C绕坐标原点顺时针旋转，π，后所得三条曲线分别为C1，C2，C3，根据对称性，可得三条曲线的方程，分别联立曲线C与C1、曲线C与C3，可求得A、B的坐标，根据|AB|＝8，可求得p的值；进而可求得S△AOB的面积；根据对称性，可得S＜8S△AOM，先求S△AOM，即可判断；根据图形的对称性，可求得弦长，结合函数关系进行求解即可．
【解答】解：由题意“四角花瓣”图形是由抛物线C：x2＝2py（p＞0）绕坐标原点旋转，π，后所得三条曲线与C共同围成的区域（阴影部分），
A、B分别为C与另外两条曲线在第一象限、第二象限的交点，|AB|＝8，阴影部分的面积为S，
可设抛物线C绕坐标原点顺时针旋转，π，后所得三条曲线分别为C1，C2，C3，
抛物线C的焦点为，因此C2的焦点为，C1的焦点为，C3的焦点为，
因此，，，（p＞0），
对于选项①，A为曲线C与C1的交点，联立两抛物线方程，解得，即A（2p，2p），
B为曲线C与C3的交点，联立两抛物线方程，解得，即B（﹣2p，2p），
又|AB|＝8，所以|2p﹣（﹣2p）|＝4p＝8，因此p＝2，故①错误；
对于②选项，由上述过程，可得A（4，4），B（﹣4，4），所以三角形面积，
故选项②正确；
对于选项③，根据题意，因为对称性，阴影部分在四个象限的图形全等，因此只讨论第一象限部分，
第一象限部分依然根据对称性，可分为两份，以下只讨论曲线C与直线y＝x围成的部分，如图，
设该阴影部分面积为S′，显然S＝8S′，
设，那么导函数，故过A点的切线斜率为，
所以过A点的切线为y＝2x﹣4，该切线与x轴交于点M，因此M（2，0），
则，因此S＜8S△AOM＝4×8＝32，故选项③正确；
对于选项④，第二象限的“花瓣”图形由曲线C和曲线C3围城，两者关于y＝﹣x对称，
y＝x+b与曲线C相交，联立方程化简得x2﹣4x﹣4b＝0，解得x＝2±2，
又交点在第二象限，因此x＜0，因此，交点坐标为，
所以“花瓣”图形仅限阴影部分区域，因此，即，
因为曲线C和曲线C3关于y＝﹣x对称，所以直线y＝x+b也关于y＝﹣x对称，
因此y＝x+b与曲线C3的交点为，
因此弦长，
设，那么1≤m≤3，所以，
因此当m＝1或m＝3时，即b＝0或b＝8时，直线y＝x+b与两曲线交于一点，弦长为0，
当m＝2时，即b＝3时，弦长最长，此时，故④错误．
故答案为：②③．
【点评】本题考查了曲线与方程的概念，是中档题．
11．已知点M（1，4）不在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，抛物线C的焦点为F．若对于抛物线上的一点P，|PM|+|PF|的最小值为4，则p的值等于 2 ．
【考点】抛物线上的点到准线及其平行线的距离；抛物线的定义．
【专题】分类讨论；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】2．
【分析】分两种情况，若点M在抛物线的张口外部，最小值为|MF|可求得p；若点M在抛物线的张口内部，则利用抛物线的定义转化求最小值，最小值为14，最后再检验p值即可．
【解答】解：已知点M（1，4）不在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，抛物线C的焦点为F，
又对于抛物线上的一点P，|PM|+|PF|的最小值为4，
①如图，若点M在抛物线的张口外部，
即2p×1＜42，
即0＜p＜8，
则当点M，P，F三点共线时，|PM|+|PF|有最小值，最小值为|MF|，又F（，0），
则|MF|4，
解得p＝2，符合题意；
②如图，若点M在抛物线的张口内部，
即2p×1＞42，
即p＞8，
过点P作PD⊥l，垂足为D，其中直线l为抛物线的准线，
则由抛物线的定义可知，|PF|＝|PD|，
所以当M，P，D三点共线时，|PM|+|PD|＝|PM|+|PF|有最小值，
则14，
得p＝6，
不符合题意，
故p的值等于2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了抛物线的定义，属中档题．
12．已知圆C：x2+（y﹣2）2＝9的圆心C与抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点重合，两曲线在第一象限的交点为A，则原点到直线AC的距离为 ．
【考点】圆与圆锥曲线的综合；点到直线的距离公式；求抛物线的焦点和焦准距．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，首先解出抛物线的方程，联立方程组，解出交点A的坐标，再求出直线AC的方程，最后由点到直线的距离公式，即可得到答案．
【解答】解：圆C：x2+（y﹣2）2＝9的圆心C（0，2），半径为3，
∵圆心C（0，2）与x2＝2py（p＞0）的焦点（0，）重合，
∴，两曲线在第一象限的交点为A，
由，可得，
∵，∴由点斜式方程可得：，
即：，∴原点到lAC的距离．
故答案为：．
【点评】本题考查抛物线的简单性质以及圆的方程的应用，是中档题．
13．已知抛物线x2＝6y的焦点为F，准线为l，点P在抛物线上，PQ⊥l于点Q．若△PQF是锐角三角形，则|PF|的取值范围是 （3，+∞） ．
【考点】抛物线的焦点弦及焦半径．
【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（3，+∞）．
【分析】在y轴上取点A，推导出∠PFA为锐角，设点P（x，y），可得出，可求得y的范围，再根据抛物线焦半径公式求解即可．
【解答】解：已知抛物线x2＝6y的焦点为F，
则，
由抛物线的定义得|PF|＝|PQ|，
所以∠PFQ＝∠PQF，
由于△PQF是锐角三角形，
则∠FPQ为锐角，
在y轴上取一点A（0，2），
由PQ∥y轴，
所以∠FPQ＝∠PFA，
则∠PFA为锐角，
设点P（x，y），，
则，
所以，
则．
故答案为：（3，+∞）．
【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了抛物线的定义，属基础题．
四．解答题（共2小题）
14．已知在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线Γ：y2＝2px的焦点为F（1，0），A、B是抛物线Γ上两个不同的点．
（1）求抛物线Γ的方程；
（2）若直线AB斜率为1，且过点F，求线段AB的长度；
（3）直线l与抛物线Γ交于不同于O的A、B两点，若以AB为直径的圆经过点O，且OG⊥AB于G，证明：存在定点H，使|GH|为定值．
【考点】抛物线的定点及定值问题；根据抛物线上的点求抛物线的标准方程．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（1）y2＝4x；
（2）|AB|＝8；
（3）证明：由题意可设直线AB的方程为x＝my+n（n≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，可得y2﹣4my﹣4n＝0，Δ＝16m2+16n＞0，
所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n，
又以AB为直径的圆经过点O，所以，
所以，n≠0，
所以n＝4，
所以直线AB过定点T（4，0），
又OG⊥AB，所以△OGT为直角三角形，
所以当H为斜边OT中点时，|GH|为定值，且，
所以定点H为（2，0），|GH|为定值2．
【分析】（1）根据抛物线的几何性质，即可求解；
（2）联立直线和抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用焦点弦长公式求出答案；
（3）联立方程，得到根与系数的关系，根据以线段AB为直径的圆经过点O，转化成，可得直线过定点，再由OG⊥AB，根据直角三角形的特征即可找到H的位置，即可求解．
【解答】解：（1）根据题意可得，所以p＝2，
所以抛物线Γ的方程为y2＝4x；
（2）因为线AB斜率为1，且过点F（1，0），
所以直线AB的方程为l：y＝x﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，得x2﹣6x+1＝0，Δ＝32＞0，
所以x1+x2＝6，
所以|AB|＝p+x1+x2＝2+6＝8；
（3）证明：由题意可设直线AB的方程为x＝my+n（n≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，可得y2﹣4my﹣4n＝0，Δ＝16m2+16n＞0，
所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n，
又以AB为直径的圆经过点O，所以，
所以，n≠0，
所以n＝4，
所以直线AB过定点T（4，0），
又OG⊥AB，所以△OGT为直角三角形，
所以当H为斜边OT中点时，|GH|为定值，且，
所以定点H为（2，0），|GH|为定值2．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，属中档题．
15．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F到直线y＝x﹣1的距离为，不过原点的直线l与C交于A，B两点．
（1）求C的标准方程；
（2）若直线l的方程为y＝2x﹣1，求|AB|；
（3）若OA垂直于OB，求证：直线l过定点．
【考点】直线与抛物线的综合；根据定义求抛物线的标准方程．
【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．
【答案】（1）x2＝4y；
（2）；
（3）证明：设直线l的方程为y＝kx+t，t≠0，点，
由消去y得x2﹣4kx﹣4t＝0，当Δ＝16k2+16t＞0时，xA xB＝﹣4t，
由OA垂直于OB，得，而t≠0，解得t＝4，
则直线l的方程为y＝kx+4，所以直线l过定点（0，4）．
【分析】（1）求出焦点坐标，再利用点到直线距离公式求出p值；
（2）联立直线与抛物线方程，求出交点的横坐标，进而求出弦长；
（3）设直线l的方程为y＝kx+t，t≠0，与抛物线方程联立，利用韦达定理及数量积的坐标表示求出t即可．
【解答】解：（1）抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为，
根据点到直线的距离公式，焦点F到直线y＝x﹣1（即x﹣y﹣1＝0）的距离为：，
已知该距离为，得，而p＞0，解得p＝2，
因此抛物线C的标准方程为x2＝4y；
（2）由消去y得x2﹣8x+4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），
解得，因此；
（3）证明：设直线l的方程为y＝kx+t，t≠0，点，
由消去y得x2﹣4kx﹣4t＝0，当Δ＝16k2+16t＞0时，xA xB＝﹣4t，
由OA垂直于OB，得，而t≠0，解得t＝4，
因此直线l的方程为y＝kx+4，因此直线l过定点（0，4）．
【点评】本题考查直线与抛物线的综合与根据定义求抛物线的标准方程，属于中档题．
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