4.1 数列的概念(同步练习.含解析）2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

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4.1数列的概念
一．选择题（共6小题）
1．设数列{xn}为项数为n（n≥3，n∈N）的严格增数列，且每一项均为正整数．若对于数列{xn}中的任意两项xi、xj（1≤i＜j≤n），均有，则项数n的最大值为（　　）
A．6 B．7 C．10 D．11
2．已知数列{an}满足：a1＝9，an+1﹣an＝n，则a4＝（　　）
A．20 B．18 C．15 D．10
3．数列﹣2，，…的通项公式可以为（　　）
A． B．
C． D．
4．设{an}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{an}为单调递增数列”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝n2+3n+2，则下列判断正确的是（　　）
A．数列{an}为等差数列 B．a5＝11
C．数列{Sn}存在最大值 D．数列存在最大值
6．对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项的之和，构造一个新的数列．现对数列1，5进行构造，第1次得到数列1，6，5，第2次得到数列1，7，6，11，5，依此类推，第n次得到数列1，x1，x2，x3，…，5．记第n次得到的数列的各项之和为Sn，则{Sn}的通项公式Sn＝（　　）
A．3n+1+3 B．3n+1+1 C．3n+3 D．3n+1
二．多选题（共3小题）
（多选）7．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝9，an＝an+1+3，则下列说法正确的是（　　）
A．a5﹣a1＝﹣12
B．{an}是递增数列
C．当n＞4时，an＜0
D．当n＝3或4时，Sn取得最大值
（多选）8．设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，若a3＝12，S12＞0，S13＜0，则下列结论正确的是（　　）
A．数列{an}是递增数列
B．S5＝60
C．
D．数列{an}中最大项为第6项
（多选）9．下列数列{an}的通项公式中，是递增数列的是（　　）
A．an＝﹣3n﹣1 B．an＝5n﹣3
C． D．
三．填空题（共4小题）
10．已知数列{an}的前4项分别为，则数列{an}的通项公式为an＝　 　
11．已知数列{an}的通项公式为，则{an}中最小项的值为 　 　 ．
12．数列{an}中，若存在ak，使得“ak≥ak﹣1且ak≥ak+1”成立，（k≥2，k∈N*），则称ak为{an}的一个峰值．若an＝﹣3n2+11n，则{an}的峰值为 　 　 ；若an＝tlnn﹣n，且{an}不存在峰值，则实数t的取值范围为 　 　 ．
13．数列的最大项为第k项，则k＝ 　 　 ．
四．解答题（共2小题）
14．数列{an}的通项公式是．
（1）这个数列的第4项是多少？
（2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
15．若数列{an}与{bn}都是严格增数列且无公共项，将它们的项合并在一起并按由小到大的顺序排列，在得到的新数列中，来自{bn}的任意两项均不相邻，则称{an}为{bn}的“隔数列”．
（1）若{an}是首项与公差均为整数的等差数列，bn＝2n，且数列a1，a2，a3是数列b1，b2，b3，b4的“隔数列”，求{an}的通项公式；
（2）若an＝2n，{bn}是首项为1、公比为的等比数列，且数列a1，a2，a3，a4是数列b1，b2，b3，b4的“隔数列”，求整数m的值；
（3）设{an}是公比为q的无穷等比数列，其前n项和为Sn，若{Sn}是{an+1}的“隔数列”，求q的取值范围．
4.1数列的概念
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．设数列{xn}为项数为n（n≥3，n∈N）的严格增数列，且每一项均为正整数．若对于数列{xn}中的任意两项xi、xj（1≤i＜j≤n），均有，则项数n的最大值为（　　）
A．6 B．7 C．10 D．11
【考点】数列的函数特性．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】根据得到，再从x1＝1开始逐个推导，求出最大值．
【解答】解：∵数列{xn}每一项均为正整数，且，
∴，所以，
设，则数列{yk}是严格递减数列，
∴可转化为，i＜j，
想要n尽量大，就要让yk尽量慢的递减，且xk必须是正整数，
从x1＝1开始，则y1＝1，
，∴，满足该条件的最小正整数为2，∴，
，∴，满足该条件的最小正整数为3，∴，
，∴，满足该条件的最小正整数为4，∴，
，∴，满足该条件的最小正整数为5，∴，
，∴，满足该条件的最小正整数为6，∴，
，∴，满足该条件的最小正整数为8，∴，
，∴，满足该条件的最小正整数为11，∴，
，∴，满足该条件的最小正整数为16，∴，
，∴，满足该条件的最小正整数为29，∴，
，∴，满足该条件的最小正整数为150，∴，
，不满足条件，∴n的最大值为11．
故选：D．
【点评】本题考查数列的函数特性等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
2．已知数列{an}满足：a1＝9，an+1﹣an＝n，则a4＝（　　）
A．20 B．18 C．15 D．10
【考点】由通项公式求解或判断数列中的项．
【专题】方程思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】C
【分析】根据题意利用累加法分析求解即可．
【解答】解：数列{an}满足：a1＝9，an+1﹣an＝n，
则a4﹣a3＝3，a3﹣a2＝2，a2﹣a1＝1，
相加可得a4﹣a1＝6，即a4＝a1+6，
且a1＝9，
∴a4＝a1+6＝15．
故选：C．
【点评】本题考查数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．数列﹣2，，…的通项公式可以为（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由数列若干项归纳出通项公式．
【专题】整体思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学抽象．
【答案】B
【分析】结合数列各项的规律检验各选项即可判断．
【解答】解：结合选项可知，当n＝1时，A，C，D与已知显然不符合；
故﹣2，，…的通项公式可以为（﹣1）n．
故选：B．
【点评】本题主要考查了由数列项的特点求解数列通项公式，属于基础题．
4．设{an}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{an}为单调递增数列”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【考点】数列的单调性．
【专题】对应思想；转化法；简易逻辑．
【答案】D
【分析】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
【解答】解：等比数列﹣1，﹣2，﹣4，…，满足公比q＝2＞1，但{an}不是递增数列，充分性不成立．
若an＝﹣1 （）n﹣1为递增数列，但q1不成立，即必要性不成立，
故“q＞1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键．
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝n2+3n+2，则下列判断正确的是（　　）
A．数列{an}为等差数列 B．a5＝11
C．数列{Sn}存在最大值 D．数列存在最大值
【考点】数列的函数特性．
【专题】计算题；分类讨论；分析法；分类法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】D
【分析】根据Sn写出通项公式，根据通项公式逐项求解即可．
【解答】解：由可知，当n≥2时，，
∴即故数列{an}是从第二项开始的等差数列，故A错误．
将n＝5代入{an}的通项公式可得a5＝2×5+2＝12，故B错误．
由知，数列{Sn}为递增数列，Sn不存在最大值，故C错误．
由知，数列为递减数列，故存在最大值，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查等差数列的定义与数列的函数特性，属于中档题．
6．对于任意一个有穷数列，可以通过在该数列的每相邻两项之间插入这两项的之和，构造一个新的数列．现对数列1，5进行构造，第1次得到数列1，6，5，第2次得到数列1，7，6，11，5，依此类推，第n次得到数列1，x1，x2，x3，…，5．记第n次得到的数列的各项之和为Sn，则{Sn}的通项公式Sn＝（　　）
A．3n+1+3 B．3n+1+1 C．3n+3 D．3n+1
【考点】数列的单调性．
【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列；推理和证明；运算求解．
【答案】A
【分析】依据题意构造数列，分析规律，结合等比数列前n项和公式即可求解．
【解答】解：根据题意，第1次得到数列1，6，5，则S1＝1+6+5＝12，
第2次得到数列1，7，6，11，5，则S2＝1+7+6+11+5＝12+18＝12+6×3，
依次类推：，
S4＝1+9+8+15+7+20+13+19+6+23+17+28+11+27+16+21+5
＝12+18+54+162＝12+6×3+6×32+6×33＝12+6×（31+32+33），
，
归纳可得：3n+1+3，
所以{Sn}的通项公式．
故选：A．
【点评】本题考查归纳推理的应用，涉及等比数列的求和，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝9，an＝an+1+3，则下列说法正确的是（　　）
A．a5﹣a1＝﹣12
B．{an}是递增数列
C．当n＞4时，an＜0
D．当n＝3或4时，Sn取得最大值
【考点】数列的函数特性．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】ACD
【分析】由题意可知，数列{an}是首项为9，公差为﹣3的等差数列，由此求得其通项公式和前n项和公式，并对选项逐一判断即可．
【解答】解：根据题意，因为数列{an}满足，an＝an+1+3，即an+1﹣an＝﹣3，
又a1＝9，所以数列{an}是首项为9，公差d＝﹣3的等差数列，
故an＝a1+（n﹣1）×d＝﹣3n+12，，
依次分析选项：
对于A：a5﹣a1＝4d＝﹣12，A正确．
对于B：因为公差为﹣3，所以数列{an}是递减数列，B错误．
对于C：当n＞4，﹣3n+12＜0，即an＜0，C正确．
对于D：，
所以Sn在1≤n≤3时单调递增，在n≥4时单调递减，因为S3＝18，S4＝18，
所以当n＝3或4时，Sn取得最大值，最大值为18，所以D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查等差数列的性质，涉及数列的单调性，属于基础题．
（多选）8．设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，若a3＝12，S12＞0，S13＜0，则下列结论正确的是（　　）
A．数列{an}是递增数列
B．S5＝60
C．
D．数列{an}中最大项为第6项
【考点】数列的单调性；数列的最大项最小项；求等差数列的前n项和．
【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据题意，利用等差数列的前n项和公式和等差数列的性质得到a7＜0，a6+a7＞0，再利用等差数列的通项公式得到关于d的不等式组进行求解，即可判断AC；利用等差数列的前n项和公式及等差数列的性质计算判定B；利用单调性判定D，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，等差数列{an}中，a3＝12，S12＞0，S13＜0，
依次分析选项：
对于A、C，由于S12＞0，S13＜0，则，，
则a7＜0，a6+a7＞0，
又a3＝12，则，解得，
由于d＜0，则等差数列{an}是递减数列，A错误，C正确；
对于B，由a3＝12，得，B正确；
对于D，由等差数列{an}是递减数列，得数列{an}中最大项为第1项，D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查等差数列的性质和通项公式，涉及数列的单调性，属于基础题．
（多选）9．下列数列{an}的通项公式中，是递增数列的是（　　）
A．an＝﹣3n﹣1 B．an＝5n﹣3
C． D．
【考点】数列的单调性．
【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据题意，根据数列单调性定义，验证an+1﹣an＞0是否成立，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，∵an+1﹣an＝﹣3（n+1）﹣1+3n+1＝﹣3＜0，∴数列{an}为递减数列，A错误；
对于B，∵an+1﹣an＝5（n+1）﹣3﹣5n+3＝5＞0，∴数列{an}为递增数列，B正确；
对于C，∵，∴数列{an}为递增数列，C正确；
对于D，，
∵，∴当n为偶数时，an+1﹣an＜0，
∴数列{an}不是递增数列，D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查数列的函数特性，涉及数列的单调性，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
10．已知数列{an}的前4项分别为，则数列{an}的通项公式为an＝　　
【考点】由数列若干项归纳出通项公式．
【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．
【答案】．
【分析】根据已知条件，结合数列的规律，即可求解．
【解答】解：数列{an}的前4项分别为，
即为：，，，，
故数列{an}的通项公式为an．
故答案为：．
【点评】本题主要考查数列的通项公式，属于基础题．
11．已知数列{an}的通项公式为，则{an}中最小项的值为 　﹣6　 ．
【考点】数列的最大项最小项；数列的函数特性．
【专题】整体思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．
【答案】﹣6．
【分析】由通项公式得，n∈N*，根据二次函数的性质确定最小项的值．
【解答】解：由，
当n＝2时，a2＝8﹣22+9＝﹣5，当n＝3时，a3＝18﹣33+9＝﹣6，
所以{an}中最小项的值为﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题主要考查了数列的函数特性的应用，属于基础题．
12．数列{an}中，若存在ak，使得“ak≥ak﹣1且ak≥ak+1”成立，（k≥2，k∈N*），则称ak为{an}的一个峰值．若an＝﹣3n2+11n，则{an}的峰值为 　10　 ；若an＝tlnn﹣n，且{an}不存在峰值，则实数t的取值范围为 　（﹣∞，）　 ．
【考点】数列的函数特性．
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．
【答案】10；（﹣∞，）．
【分析】（1）令，根据二次函数的单调性、数列的基本概念，求出{an}的峰值；
（2）若an＝tlnn﹣n，且{an}不存在峰值，则相应的函数不存在极大值，从而运用导数研究函数的单调性，求出实数t的取值范围．
【解答】解：（1）若，令f（n）＝﹣3n2+11n，相应的二次函数图象开口向下，关于直线x对称．
因此，存在n＝2，满足a2≥a1且a2≥a3，所以{an}的峰值为a2＝﹣3×4+11×2＝10；
（2）令f（x）＝tlnx﹣x（x≥1），则f′（x），
①若t≤0，则f′（x）＜0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递减，此时{an}不存在峰值，符合题意；
②若t＞0，则当0＜x＜t时，f′（x）＞0，x＞t时，f′（x）＜0，
故f（x）在（0，t）上为增函数，在（t，+∞）上为减函数，
若要an＝f（n）＝tlnn﹣n（n∈N*）不存在峰值，则必须，即，解得0＜t．
综上所述，t，即实数t的取值范围为（﹣∞，）．
故答案为：10；（﹣∞，）．
【点评】本题主要考查数列的基本概念、数列的函数特征、运用导数研究函数的单调性与极值等知识，属于中档题．
13．数列的最大项为第k项，则k＝ 　5或6　 ．
【考点】数列的最大项最小项．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】5或6．
【分析】由题意列出不等式即可求解．
【解答】解：根据题意可知，数列的最大项为第k项，
所以，即，即5≤k≤6，
由于k是正整数，所以k＝5或6．
故答案为：5或6．
【点评】本题考查了数列的性质，属于基础题．
四．解答题（共2小题）
14．数列{an}的通项公式是．
（1）这个数列的第4项是多少？
（2）150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？
【考点】数列的函数特性；数列的概念及简单表示法．
【专题】函数思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】（1）﹣6；（2）16项．
【分析】（1）利用数列{an}的通项公式能求出这个数列的第4项．
（2）由150，能求出结果．
【解答】解：（1）数列{an}的通项公式是．
∴这个数列的第4项是：
a4＝42﹣7×4+6＝﹣6．
（2）150，即n2﹣7n﹣144＝0，
解得n＝16或n＝﹣9（舍），
∴150是这个数列的项，是第16项．
【点评】本题考查数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15．若数列{an}与{bn}都是严格增数列且无公共项，将它们的项合并在一起并按由小到大的顺序排列，在得到的新数列中，来自{bn}的任意两项均不相邻，则称{an}为{bn}的“隔数列”．
（1）若{an}是首项与公差均为整数的等差数列，bn＝2n，且数列a1，a2，a3是数列b1，b2，b3，b4的“隔数列”，求{an}的通项公式；
（2）若an＝2n，{bn}是首项为1、公比为的等比数列，且数列a1，a2，a3，a4是数列b1，b2，b3，b4的“隔数列”，求整数m的值；
（3）设{an}是公比为q的无穷等比数列，其前n项和为Sn，若{Sn}是{an+1}的“隔数列”，求q的取值范围．
【考点】数列的单调性．
【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解；新定义类．
【答案】（1）an＝3n或an＝4n﹣1；（2）m的值为21，22，23，24，25，26，27，28；（3）[2，+∞）．
【分析】（1）根据新定义及等差数列的性质，即可求解；
（2）根据新定义及等比数列的性质，即可求解；
（3）根据新定义及数列的单调性，即可求解．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则a1，d∈Z，
∵数列a1，a1+d，a1+2d是数列2，4，8，16的“隔数列”，
∴d＞0，2＜a1＜4＜a1+d＜8＜a1+2d＜16，
∴a1＝3且2.5＜d＜5，∴d＝3或4，
∴an＝3n或an＝4n﹣1；
（2）设等比数列{bn}的公比为q，由数列2，4，6，8是数列1，q，q2，q3的“隔数列”，
可得q＞2，相应地q2＞4，q3＞8，
∴1＜2＜q＜4＜6＜q2＜8＜q3或1＜2＜q＜4＜q2＜6＜8＜q3，
解得或，
∴，
∴整数m的值为21，22，23，24，25，26，27，28；
（3）∵{Sn}是{an+1}的“隔数列”，∴{Sn}与{an+1}都是严格增数列，
∵{Sn}是严格增数列，∴对一切正整数恒成立，
又{an+1}是严格增数列，∴an+2＞an+1，
∴对一切正整数n都成立，
∴q＞1且a1＞0，
又Sn＞an对一切大于等于2的整数恒成立，
∴S1＜a2＜S2＜a3＜S3＜a4＜S4＜…＜an＜Sn＜an+1＜Sn+1＜…，
∴Sn＜an+1对一切正整数n都成立，
∴对一切正整数n都成立，
∴对一切正整数n都成立，
∴2﹣q≤0，
∴q的取值范围是[2，+∞）．
【点评】本题考查数列的新定义，数列的单调性，化归转化思想，属难题．
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