4.2 等差数列(同步练习.含解析）2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

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4.2等差数列
一．选择题（共6小题）
1．已知等差数列{an}的前n项和Sn存在最大值，且a13+3a15＜0，a14a15＜0，则Sn取得最小正值时n为（　　）
A．1 B．27 C．28 D．29
2．在等差数列﹣10，﹣7，﹣4，﹣1，…的每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列{an}，则a8＝（　　）
A． B． C．1 D．
3．记Sn是等差数列{an}的前n项和，若2an+1﹣an＝2n﹣2，则使Sn＜an成立的n的最大值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．{an}和{bn}是两个等差数列，其中为常值，a1＝288，a5＝96，b1＝192，则b3＝（　　）
A．64 B．128 C．256 D．512
5．已知两个等差数列2，6，10， ，98和2，8，14， ，98，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（　　）
A．850 B．1250 C．400 D．450
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn．若S2＜S3＜0，则下列结论中正确的是（　　）
A．a3＜0 B．a2﹣a1＜0
C．a2+a3＜0 D．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．已知等差数列{an}的公差为d，其前n项和为Sn，若S5＝S12，则下列论断中正确的有（　　）
A．当n＝8或9时，Sn取最大值
B．S17＝0
C．若d＞0，a4+a16＞0
D．若d＜0时，|a3|＞|a13|
（多选）8．下列说法正确的是（　　）
A．若数列{an}是等差数列，且am+an＝as+at（m，n，s，t∈N*），则m+n＝s+t
B．若Sn是等差数列{an}的前n项和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等差数列
C．若Sn是等比数列{an}的前n项和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等比数列
D．若Sn是等比数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn+B（其中A，B是非零常数，n∈N*），则A+B为零
（多选）9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S23＞0，S24＜0，则下列结论正确的是（　　）
A．数列{an}是递增数列
B．a13＞0
C．当Sn取得最大值时，n＝12
D．|a13|＞|a12|
三．填空题（共4小题）
10．已知数列{an}为等差数列，a2＝3，a4＝7，则an＝　 　 ；若，则b1b2+b2b3+…+b2024 b2025＝　 　 ．
11．已知等差数列{an}的首项a1＝﹣3，前6项的和为12，则该等差数列的公差d＝　 　 ．
12．已知{an}是等差数列，若a3、a7分别是函数y＝x2﹣4x+2的两个零点，则a5＝ 　 　 ．
13．若Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝28，S12＝66，则a5与a7的等比中项为　 　 ．
四．解答题（共2小题）
14．记Sn为等差数列{an}的前n项和，且满足a1＝5，S3＝12．
（1）求an．
（2）Sn是否存在最大（小）值，如果存在，求出取得最值时n的值，此时最值是多少？如果不存在，请说明理由
15．已知{an}为等差数列，且a2＝4，a6+a5＝﹣6．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求{an}的前n项和Sn及Sn的最大值．
4.2等差数列
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．已知等差数列{an}的前n项和Sn存在最大值，且a13+3a15＜0，a14a15＜0，则Sn取得最小正值时n为（　　）
A．1 B．27 C．28 D．29
【考点】等差数列的前n项和．
【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】B
【分析】根据条件确定等差数列的首项和公差的正负，再结合Sn所在二次函数的图象和性质，即可求解．
【解答】解：等差数列{an}的前n项和Sn存在最大值，且a13+3a15＜0，a14a15＜0，
Sn存在最大值，∴数列{an}的公差d＜0，
由a14a15＜0，且a14＞0，a15＜0，
∴数列{an}是首项a1＞0，d＜0的等差数列，
a13+3a15＝a13+a15+2a15＝2a14+2a15＜0，则a14+a15＜0，
，
，
∴0＜S1＜S2＜S3＜ ＜S14，S14＞S15＞S16＞ ＞S27＞0＞S28＞ ，
S27﹣S1＝a2+a3+ +a26+a27＝13（a14+a15）＜0，
∴S27＜S1，
∴Sn取得最小正值时n为27．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列前n项和公式及其性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
2．在等差数列﹣10，﹣7，﹣4，﹣1，…的每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列{an}，则a8＝（　　）
A． B． C．1 D．
【考点】等差数列的通项公式．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】B
【分析】由已知结合等差数列的通项公式即可求解．
【解答】解：由题意可得，新的等差数列{an}的首项为﹣10，公差为：（﹣10），
则a8＝﹣10+7．
故选：B．
【点评】本题主要考查了等差数列通项公式的应用，属于基础题．
3．记Sn是等差数列{an}的前n项和，若2an+1﹣an＝2n﹣2，则使Sn＜an成立的n的最大值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】求等差数列的前n项和．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】C
【分析】根据题意，求出数列{an}的通项公式和前n项和公式，可得关于n的不等式，解可得答案．
【解答】解：根据题意，设等差数列{an}的公差为d，
若2an+1﹣an＝2n﹣2，即2（a1+nd）﹣[a1+（n﹣1）d]＝a1+（n+1）d＝2n﹣2，
即an+2＝2n﹣2，
则有an＝2n﹣6，其首项为4，公差为2，
数列{an}为等差数列，则Sn＝na1d＝n2﹣5n，
若Sn＜an，即n2﹣5n＜2n﹣6，
解可得：1＜n＜6，
故使Sn＜an成立的n的最大值是5．
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的性质和应用，涉及等差数列的性质，属于基础题．
4．{an}和{bn}是两个等差数列，其中为常值，a1＝288，a5＝96，b1＝192，则b3＝（　　）
A．64 B．128 C．256 D．512
【考点】等差数列的通项公式；等差数列的性质．
【专题】方程思想；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】B
【分析】由已知条件先求出b5，然后结合等差数列的性质求解．
【解答】解：由已知条件可得，
则，
因此．
故选：B．
【点评】本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础题．
5．已知两个等差数列2，6，10， ，98和2，8，14， ，98，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（　　）
A．850 B．1250 C．400 D．450
【考点】求等差数列的前n项和．
【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】D
【分析】先求出新数列的公差，再结合等差数列的前n项和公式求解即可．
【解答】解：在等差数列2，6，10，…，98中，公差d1＝4；
在等差数列2，8，14，…，98中，公差d2＝6，而4和6的最小公倍数为12，
得到新数列{an}的公差d＝12，a1＝2，所以an＝12n﹣10，
令an＝12n﹣10≤98，解得n≤9，
所以．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等差数列的求和公式的应用，属于基础题．
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn．若S2＜S3＜0，则下列结论中正确的是（　　）
A．a3＜0 B．a2﹣a1＜0
C．a2+a3＜0 D．
【考点】等差数列的前n项和．
【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】D
【分析】由已知结合等差数列的性质检验各选项即可判断．
【解答】解：等差数列{an}的前n项和为Sn．若S2＜S3＜0，
则a1+a2＜0，a1+a2+a3＝3a2＜0，a3＞0，
所以a1+a2＜0，a2＜0，a3＞0，A错误；
所以d＞0，a1＜0，a2﹣a1＝d＞0，B错误；
由题意无法判断a2+a3的正负，C错误；
因为a4＞0，a5＞0，a3≠a5，
则2a4，
故，D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于中档题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．已知等差数列{an}的公差为d，其前n项和为Sn，若S5＝S12，则下列论断中正确的有（　　）
A．当n＝8或9时，Sn取最大值
B．S17＝0
C．若d＞0，a4+a16＞0
D．若d＜0时，|a3|＞|a13|
【考点】求等差数列的前n项和．
【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】BCD
【分析】结合等差数列的性质，求和公式及通项公式检验各选项即可求解．
【解答】解：等差数列{an}中，若S5＝S12，则a6+a7+…+a11+a12＝9a9＝0，
即a9＝0，但无法判断前8项的正负，A错误；
S1717a9＝0，B错误；
若d＞0，则a4+a16＝2a10＝2（a9+d）＝2d＞0，C正确；
若d＜0，则a3＞0，a13＜0，
所以|a3|﹣|a13|＝a3+a13＝2a8＝2（a9﹣d）＝﹣2d＞0，
所以|a3|＞|a13|，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了等差数列的性质，求和公式及通项公式的应用，属于中档题．
（多选）8．下列说法正确的是（　　）
A．若数列{an}是等差数列，且am+an＝as+at（m，n，s，t∈N*），则m+n＝s+t
B．若Sn是等差数列{an}的前n项和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等差数列
C．若Sn是等比数列{an}的前n项和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等比数列
D．若Sn是等比数列{an}的前n项和，且Sn＝Aqn+B（其中A，B是非零常数，n∈N*），则A+B为零
【考点】等差数列的概念与判定；等比数列的概念与判定．
【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；数学抽象．
【答案】BD
【分析】由已知结合等差数列与等比数列的性质及求和公式检验各选项即可判断．
【解答】解：若数列{an}是常数列，且am+an＝as+at（m，n，s，t∈N*），此时m+b＝s+t不一定成立，A错误；
根据等差数列的性质可知，若Sn是等差数列{an}的前n项和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n成等差数列，B正确；
若Sn是等比数列{an}的前n项和，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n有可能为0，C错误；
若Sn是等比数列{an}的前n项和，则q≠1时，Sn
由Sn＝Aqn+B可得a+B＝0，D正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查了等差数列与等比数列的性质的应用，属于基础题．
（多选）9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S23＞0，S24＜0，则下列结论正确的是（　　）
A．数列{an}是递增数列
B．a13＞0
C．当Sn取得最大值时，n＝12
D．|a13|＞|a12|
【考点】等差数列的前n项和；数列的最大项最小项．
【专题】方程思想；定义法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】CD
【分析】设出公差，利用等差数列求和公式得到a12＞0，a13＜0，|a13|＞|a12|，d＝a13﹣a12＜0，从而对选项一一判断，得到答案．
【解答】解：ABD选项，设{an}的公差为d，
，故a12＞0，
，故a12+a13＜0，
所以a13＜0，且|a13|＞|a12|，d＝a13﹣a12＜0，
即{an}是递减数列，AB错误，D正确．
C选项，由于{an}是递减数列，a12＞0，a13＜0，
故当Sn取得最大值时，n＝12，C正确．
故选：CD．
【点评】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
三．填空题（共4小题）
10．已知数列{an}为等差数列，a2＝3，a4＝7，则an＝　2n﹣1　 ；若，则b1b2+b2b3+…+b2024 b2025＝　　 ．
【考点】等差数列的前n项和．
【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】2n﹣1；．
【分析】先通过等差数列两项的差求出公差，进而推导通项公式；再对bnbn+1进行裂项，通过相消法求出数列和．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，由a4﹣a2＝2d＝7﹣3＝4，得d＝2，
则a1＝a2﹣d＝3﹣2＝1，故an＝1+（n﹣1）×2＝2n﹣1，
由，得，
所以．
故答案为：2n﹣1；．
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、裂项相消法求数列和，属于基础题．
11．已知等差数列{an}的首项a1＝﹣3，前6项的和为12，则该等差数列的公差d＝　2　 ．
【考点】等差数列的前n项和．
【专题】方程思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】2．
【分析】利用等差数列的前n项和公式求解．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
由题意得S6＝6a1+15d＝﹣18+15d＝12，
解得d＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查等差数列前n项和公式的运用，是基础题．
12．已知{an}是等差数列，若a3、a7分别是函数y＝x2﹣4x+2的两个零点，则a5＝ 　2　 ．
【考点】等差数列的性质；一元二次方程的根的分布与系数的关系．
【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】2．
【分析】根据已知条件，结合韦达定理，以及等差数列的性质，即可求解．
【解答】解：a3、a7分别是函数y＝x2﹣4x+2的两个零点，
则．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查韦达定理，以及等差数列的性质，属于基础题．
13．若Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝28，S12＝66，则a5与a7的等比中项为　　 ．
【考点】等差数列的性质．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】．
【分析】根据等差数列的相关计算，可求得a1＝0，d＝1，进而可求得a5和a7，再结合等比中项的性质即可求解．
【解答】解：设公差为d，
由题可得，解得，
所以a5＝a1+4d＝4，a7＝a1+6d＝6，
设a5与a7的等比中项为m，则m2＝a5 a7＝4×6＝24，则，
所以a5与a7的等比中项为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的性质应用，考查计算能力，属于基础题．
四．解答题（共2小题）
14．记Sn为等差数列{an}的前n项和，且满足a1＝5，S3＝12．
（1）求an．
（2）Sn是否存在最大（小）值，如果存在，求出取得最值时n的值，此时最值是多少？如果不存在，请说明理由
【考点】求等差数列的前n项和．
【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】（1）an＝6﹣n；
（2）n＝5或6时，Sn取得最大值15，无最小值．
【分析】（1）根据题设结合等差数列求和公式可得d＝﹣1，进而求解即可；
（2）先根据等差数列求和公式可得，再结合二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）等差数列{an}的前n项和，且满足a1＝5，S3＝12，
设等差数列{an}的公差为d，
由题意得，，则15+3d＝12，解得d＝﹣1，
所以an＝5+（n﹣1）×（﹣1）＝6﹣n；
（2）由，函数开口向下，对称轴为，
则n＝5或6时，Sn取得最大值15，无最小值．
【点评】本题主要考查了等差数列通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
15．已知{an}为等差数列，且a2＝4，a6+a5＝﹣6．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求{an}的前n项和Sn及Sn的最大值．
【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．
【专题】整体思想；综合法；等差数列与等比数列；运算求解．
【答案】（1）；
（2）；最大值为S3＝S4＝12．
【分析】（1）设公差，得出关于a1、d的方程组即可求；
（2）利用等差数列的前n项和公式求出Sn，再结合二次函数的单调性即可求最值．
【解答】解：（1）设数列{an}的公差为d，
则a2＝a1+d＝4，a6+a5＝2a1+9d＝﹣6，解得a1＝6，d＝﹣2，
则数列{an}的通项公式为an＝8﹣2n；
（2），
根据二次函数的性质可得，Sn的最大值为S3＝S4＝12．
【点评】本题主要考查了等差数列通项公式及求和公式的应用，属于基础题．
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