4.4 数学归纳法(同步练习.含解析）2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 4.4 数学归纳法(同步练习.含解析）2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 61.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-04 00:00:00 | ||
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文档简介
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4.4数学归纳法
一．选择题（共6小题）
1．用数学归纳法证明：（n为正整数）从k到k+1时，等式左边需增加的代数式是（ ）
A．k2+（k+1）2 B．k2+（k+1）2+k2
C．（k+1）2 D．2k+1
2．用数学归纳法证明：12+22+…+n2+…+22+12，第二步从k到k+1，等式左边应添加的项是（ ）
A．（k2+1）2 B．k2+1
C．（k+1）2+k2 D．（k+1）k2+2k2
3．利用数学归纳法证明：不等式（n≥2，n∈N）的过程中，由n＝k变到n＝k+1时，左边增加了（ ）
A．1项 B．k项 C．2k﹣1项 D．2k项
4．用数学归纳法证明，从n＝k到n＝k+1，不等式左边需添加的项是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．用数学归纳法证明“2n＞n2对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值n0应取（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．用数学归纳法证明不等式的过程中，由n＝k递推到n＝k+1时不等式左边（ ）
A．增加了
B．增加了
C．增加了，但减少了
D．增加了，但减少了
二．多选题（共3小题）
（多选）7．对于不等式，某同学用数学归纳法证明的过程如下：
①当n＝1时，，不等式成立；
②假设当n＝k（n∈N*）时，不等式成立，即，
则当n＝k+1时，．
故当n＝k+1时，不等式成立．
则下列说法错误的是（ ）
A．过程全部正确
B．n＝1的验证不正确
C．n＝k的归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k+1的推理不正确
（多选）8．以下四个命题，其中满足“假设当n＝k（k∈N*，k≥n0）时命题成立，则当n＝k+1时命题也成立”，但不满足“当n＝n0（n0是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（ ）
A．2n＞2n+1（n≥2）
B．2+4+6+…+2n＝n2+n+2（n≥1）
C．凸n边形的内角和为f（n）＝（n﹣2）π（n≥3）
D．凸n边形的对角线条数
（多选）9．对于不等式n+1（n∈N*），某学生用数学归纳法的证明过程如下：
①当n＝1时，1+1，不等式成立
②假设n＝k（k∈N*）时，不等式成立，即k2+k＜k+1，则n＝k+1时，（k+1）+1，∴当n＝k+1时；不等式成立．
关于上述证明过程的说法正确的是（ ）
A．证明过程全都正确
B．当n＝1时的验证正确
C．归纳假设正确
D．从n＝k到n＝k+1的推理不正确
三．填空题（共4小题）
10．记f（n）＝1+2+3+ +（3n﹣1）+3n，在用数学归纳法证明对于任意正整数n，f（n）＞4n2的过程中，从n＝k到n＝k+1时，不等式左边的f（k+1）比f（k）增加了 项．
11．用数学归纳法证明1n（n∈N*，且n≥2），第一步要证的不等式是 ．
12．若用数学归纳法证明2n＞n2成立，正整数n的第一个取值为 ．
13．用数学归纳法证明等式12+22+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…22+12时，第（ii）步从n＝k到n＝k+1时等式左边应添加的项是 ．
四．解答题（共2小题）
14．已知函数．
（1）依次求f（2），f（3）+f（4），f（5）+f（6）+f（7）+f（8）的值；
（2）对任意正整数n，记，即．猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
15．已知数列{an}中，a1＝1且an+1．
（Ⅰ）求数列{an}的第2，3，4项；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法进行证明．
4.4数学归纳法
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．用数学归纳法证明：（n为正整数）从k到k+1时，等式左边需增加的代数式是（ ）
A．k2+（k+1）2 B．k2+（k+1）2+k2
C．（k+1）2 D．2k+1
【考点】数学归纳法的适用条件与步骤．
【专题】转化思想；转化法；推理和证明；运算求解．
【答案】A
【分析】取n＝k+1和n＝k代入左式相减得到答案．
【解答】解：等式左边需增加的代数式是：[12+22+ +k2+（k+1）2+k2+ +22+12]﹣（12+22+ +k2+ +22+12）＝k2+（k+1）2．
故选：A．
【点评】本题主要考查数学归纳法的应用，属于基础题．
2．用数学归纳法证明：12+22+…+n2+…+22+12，第二步从k到k+1，等式左边应添加的项是（ ）
A．（k2+1）2 B．k2+1
C．（k+1）2+k2 D．（k+1）k2+2k2
【考点】数学归纳法．
【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．
【答案】C
【分析】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，分别写出n＝k和n＝k+1的结论，对照即可求解．
【解答】解：用数学归纳法证明：12+22+…+n2+…+22+12，
可得上式左边各数是先递增再递减，
由于n＝k，左边＝12+22+ +（k﹣1）2+k2+（k﹣1）2+ +22+12；
n＝k+1时，左边＝12+22+ +（k﹣1）2+k2+（k+1）2+k2+（k﹣1）2+ +22+12，
比较两式，从而等式左边应添加的式子是（k+1）2+k2．
故选：C．
【点评】本题考查数学归纳法，考查运算能力和推理能力，属于基础题．
3．利用数学归纳法证明：不等式（n≥2，n∈N）的过程中，由n＝k变到n＝k+1时，左边增加了（ ）
A．1项 B．k项 C．2k﹣1项 D．2k项
【考点】数学归纳法．
【专题】计算题；点列、递归数列与数学归纳法．
【答案】D
【分析】依题意，由n＝k递推到n＝k+1时，不等式左边为1，与n＝k时不等式的左边比较即可得到答案．
【解答】解：用数学归纳法证明等式1f（n）（n≥2，n∈N*）的过程中，
假设n＝k时不等式成立，左边＝1，
则当n＝k+1时，左边＝1，
∴由n＝k递推到n＝k+1时不等式左边增加了：，
共（2k+1﹣1）﹣2k+1＝2k项，
故选：D．
【点评】本题考查数学归纳法，考查观察、推理与运算能力，属于中档题．
4．用数学归纳法证明，从n＝k到n＝k+1，不等式左边需添加的项是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】数学归纳法．
【专题】证明题；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维．
【答案】B
【分析】求出当n＝k时，左边的代数式，当n＝k+1时，左边的代数式，相减可得结果．
【解答】解：当n＝k时，左边的代数式为，
当n＝k+1时，左边的代数式为，
故用n＝k+1时左边的代数式减去n＝k时左边的代数式的结果为，
故选：B．
【点评】本题考查用数学归纳法证明不等式，注意式子的结构特征，以及从n＝k到n＝k+1项的变化．
5．用数学归纳法证明“2n＞n2对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值n0应取（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】数学归纳法的适用条件与步骤．
【专题】计算题；转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】利用数学归纳法的证明步骤，通过验证n＝1，n＝1，n＝2，n＝4，n＝5，判断即可．
【解答】解：用数学归纳法证明“2n＞n2对于n≥n0的正整数n都成立”时，
当n＝1时，21＞12；
当n＝2时，22＝22；
当n＝3时，23＜32；
当n＝4时，24＝42；
当n＝5时，25＞52．
故选：D．
【点评】本题考查数学归纳法的应用，证明步骤的应用，是基础题．
6．用数学归纳法证明不等式的过程中，由n＝k递推到n＝k+1时不等式左边（ ）
A．增加了
B．增加了
C．增加了，但减少了
D．增加了，但减少了
【考点】数学归纳法的适用条件与步骤．
【专题】转化思想；转化法；推理和证明；运算求解．
【答案】C
【分析】分别求出当n＝k，n＝k+1时，不等式左边的表达式，通过比较，即可求解．
【解答】解：当n＝k时，
不等式左边为，
当n＝k+1时，不等式的左边为，
故不等式左边增加了，但减少了．
故选：C．
【点评】本题主要考查数学归纳法的应用，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．对于不等式，某同学用数学归纳法证明的过程如下：
①当n＝1时，，不等式成立；
②假设当n＝k（n∈N*）时，不等式成立，即，
则当n＝k+1时，．
故当n＝k+1时，不等式成立．
则下列说法错误的是（ ）
A．过程全部正确
B．n＝1的验证不正确
C．n＝k的归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k+1的推理不正确
【考点】数学归纳法的适用条件与步骤．
【专题】对应思想；归纳法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维．
【答案】ABC
【分析】根据数学归纳法证明的基本过程可得出结论．
【解答】解：适合命题的第一个自然数n＝1，验证n＝1时过程正确；
假设当n＝k（n∈N*）时，不等式成立，即，该假设正确；
在n＝k+1时，没有应用n＝k时的假设，即从n＝k到n＝k+1的推理不正确，
故D错误，ABC正确．
故选：ABC．
【点评】本题考查利用数学归纳法证题的步骤，是基础题．
（多选）8．以下四个命题，其中满足“假设当n＝k（k∈N*，k≥n0）时命题成立，则当n＝k+1时命题也成立”，但不满足“当n＝n0（n0是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（ ）
A．2n＞2n+1（n≥2）
B．2+4+6+…+2n＝n2+n+2（n≥1）
C．凸n边形的内角和为f（n）＝（n﹣2）π（n≥3）
D．凸n边形的对角线条数
【考点】数学归纳法的适用条件与步骤．
【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；简易逻辑；运算求解．
【答案】ABC
【分析】对于命题A，可以验证当n等于给定的初始值时不成立，所以满足条件；
对于命题B，容易验证假设n＝k时命题成立，则当n＝k+1时命题也成立．对于初始值n＝1时，不成立，所以满足条件；
对于命题C，容易验证假设n＝k时命题成立，则当n＝k+1时命题也成立．对于初始值n＝3内角和为π，不成立．故满足条件；
对于命题D，凸n边形对角线条数f（n），假设n＝k时命题成立，当n＝k+1时多了一条边，即多了一个顶点，故多了k个对角线，则可以验证当n＝k+1时不成立，不满足要求．
【解答】解：对于命题A，2n＞2n+1（n≥2），当n＝2的时有4＜5，故当n等于给定的初始值时不成立，所以满足条件；
对于命题B，2+4+6+…+2n＝n2+n+2（n≥1），
假设n＝k时命题成立，即2+4+6+…+2k＝k2+k+2，
当n＝k+1时有2+4+6+…+2k+2（k+1）＝k2+k+2+2（k+1）＝k2+2k+1+k+3＝（k+1）2+（k+1）+2，
故对n＝k+1时命题也成立，对于初始值n＝1时有4≠4+2+2，不成立．所以满足条件；
对于命题C，凸n边形内角和为f（n）＝（n﹣1）π（n≥3），
假设n＝k时命题成立，即f（k）＝（k﹣1）π，
当n＝k+1时有f（k+1）＝f（k）+π＝kπ，故对n＝k+1时命题也成立，
对于初始值n＝3内角和为π，不成立．故满足条件；
对于命题D，凸n边形对角线条数f（n），
假设n＝k时命题成立，即f（k），
当n＝k+1时，有f（k+1）＝f（k）+k﹣1k﹣1，故不满足条件．
故选：ABC．
【点评】本题考查了数学归纳法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
（多选）9．对于不等式n+1（n∈N*），某学生用数学归纳法的证明过程如下：
①当n＝1时，1+1，不等式成立
②假设n＝k（k∈N*）时，不等式成立，即k2+k＜k+1，则n＝k+1时，（k+1）+1，∴当n＝k+1时；不等式成立．
关于上述证明过程的说法正确的是（ ）
A．证明过程全都正确
B．当n＝1时的验证正确
C．归纳假设正确
D．从n＝k到n＝k+1的推理不正确
【考点】数学归纳法的适用条件与步骤．
【专题】转化思想；定义法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维．
【答案】BD
【分析】利用数学归纳法的证明步骤，写出正确的证明过程，即可判断选项中的命题是否正确．
【解答】解：用数学归纳法证明n+1（n∈N*）的过程如下：
①当n＝1时，1+1，即2，不等式成立；
②假设n＝k（k∈N*）时，不等式成立，即k+1，两边平方得，k2+k＜k2+2k+1，即0＜k+1，显然成立；
则n＝k+1时，（k+1）+1，
所以当n＝k+1时，不等式也成立．
由此知，原证明过程的说法中，正确的是BD．
故选：BD．
【点评】本题考查了数学归纳法的应用问题，也考查了分析与判断能力，是中档题．
三．填空题（共4小题）
10．记f（n）＝1+2+3+ +（3n﹣1）+3n，在用数学归纳法证明对于任意正整数n，f（n）＞4n2的过程中，从n＝k到n＝k+1时，不等式左边的f（k+1）比f（k）增加了 3 项．
【考点】数学归纳法．
【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维．
【答案】3．
【分析】根据给定条件，分析从n＝k到n＝k+1时式子的变化即可作答．
【解答】解：因为f（k）＝1+2+3+ +（3k﹣1）+3k，f（k+1）＝1+2+3+ +（3k﹣1）+3k+（3k+1）+（3k+2）+3（k+1），
所以不等式左边的f（k+1）比f（k）增加了3k+1，3k+2，3（k+1），共3项．
故答案为：3．
【点评】本题考查数学归纳法，考查运算能力和推理能力，属于基础题．
11．用数学归纳法证明1n（n∈N*，且n≥2），第一步要证的不等式是 ．
【考点】数学归纳法．
【专题】计算题；规律型；分析法；推理和证明．
【答案】见试题解答内容
【分析】观察不等式的特点，然后写出结果即可．
【解答】解：1n（n∈N*，且n≥2），
左侧的表达式的分母可知第k项是由1，2，3，到2k﹣1，结束；
第一步要证的不等式是：．
故答案为：．
【点评】本题考查数学归纳法的应用，注意观察表达式的特征是解题的关键．
12．若用数学归纳法证明2n＞n2成立，正整数n的第一个取值为 5 ．
【考点】数学归纳法的适用条件与步骤．
【专题】计算题；转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．
【答案】5．
【分析】根据数学归纳法的步骤，结合本题的题意，是要验证n＝1，2，3，4，命题是否成立；可得答案．
【解答】解：根据数学归纳法的步骤，首先要验证当n取第一个值时命题成立；
结合本题，要验证n＝1时，左＝21＝2，右＝1，2n＞n2成立，
n＝2时，左＝22＝4，右＝4，2n＞n2不成立，
n＝3时，左＝23＝8，右＝9，2n＞n2不成立，
n＝4时，左＝24＝16，右＝16，2n＞n2不成立，
n＝5时，左＝25＝32，右＝25，2n＞n2成立，
当n≥5成立，所以2n＞n2恒成立．
所以n的第一个取值应是5．
故答案为：5．
【点评】本题考查数学归纳法的运用，解此类问题时，注意n的取值范围．
13．用数学归纳法证明等式12+22+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…22+12时，第（ii）步从n＝k到n＝k+1时等式左边应添加的项是 2k2+2k+1 ．
【考点】数学归纳法的适用条件与步骤．
【专题】转化思想；转化法；推理和证明；运算求解．
【答案】2k2+2k+1．
【分析】根据数学归纳法的证明步骤解答．
【解答】解：n＝k时，左边＝12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k﹣1）2+…22+12；
当n＝k+1时，左边＝12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k+1）2+k2+（k﹣1）2+…22+12；
观察两式易知增加的项为：（k+1）2+k2＝2k2+2k+1．
故答案为：2k2+2k+1．
【点评】本题主要考查数学归纳法的应用，属于基础题．
四．解答题（共2小题）
14．已知函数．
（1）依次求f（2），f（3）+f（4），f（5）+f（6）+f（7）+f（8）的值；
（2）对任意正整数n，记，即．猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
【考点】数学归纳法证明命题．
【专题】转化思想；转化法；推理和证明；运算求解．
【答案】（1）f（2）＝1，f（3）+f（4）＝4，f（5）+f（6）+f（7）+f（8）＝16；
（2）猜想，证明见解析．
【分析】（1）根据已知条件，结合函数f（x）的解析式，即可求解；
（2）根据已知条件，结合数学归纳法的步骤，即可求解l．
【解答】解：（1）函数，
则f（2）＝f（1）＝1，f（3）＝3，f（4）＝f（2）＝1，f（5）＝5，
f（6）＝f（3）＝3，f（7）＝7，f（8）＝f（4）＝1，
所以f（2）＝1，f（3）+f（4）＝3+1＝4，f（5）+f（6）+f（7）+f（8）＝5+3+7+1＝16；
（2）a1＝f（2）＝1，a2＝f（3）+f（4）＝4，a3＝f（5）+f（6）+f（7）+f（8）＝16，
所以猜想，
当n＝1时，，成立，
假设当n＝k时，命题成立，即，
函数，
即，
那么当n＝k+1时，
＝[f（2k+1）+f（2k+3）+ +f（2k+2k﹣1）]+[f（2k+2）+f（2k+4）+ +f（2k+2k）]＝（2k+1）+（2k+3）+ +（2k+2k﹣1）+[f（2k﹣1+1）+f（2k﹣1+2）+ +f（2k）]
＝22k﹣1+22k﹣2+4k﹣1
，
所以当n＝k+1时，猜想成立，
综合以上可知，当n∈N*时，成立．
【点评】本题主要考查数学归纳法的应用，属于中档题．
15．已知数列{an}中，a1＝1且an+1．
（Ⅰ）求数列{an}的第2，3，4项；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法进行证明．
【考点】数学归纳法证明命题．
【专题】计算题；方程思想；归纳法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．
【答案】（Ⅰ）a2，a3，a4；（2）对于任何n∈N*，an．
【分析】（I）利用数列递推式，代入计算，即可求a2、a3、a4；
（Ⅱ）猜想数列{an}通项公式，利用数学归纳法即可证明．
【解答】解：（Ⅰ）a1＝1且an+1，
∴a2，a3，a4；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，可猜想数an，
证明如下：①当n＝1时，等式成立，
假设当n＝k时等式成立，即ak，
那么当n＝k+1时，ak+1，
所以当n＝k+1时，等式成立，
由①②，对于任何n∈N*，an．
【点评】本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数学归纳法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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4.4数学归纳法
一．选择题（共6小题）
1．用数学归纳法证明：（n为正整数）从k到k+1时，等式左边需增加的代数式是（ ）
A．k2+（k+1）2 B．k2+（k+1）2+k2
C．（k+1）2 D．2k+1
2．用数学归纳法证明：12+22+…+n2+…+22+12，第二步从k到k+1，等式左边应添加的项是（ ）
A．（k2+1）2 B．k2+1
C．（k+1）2+k2 D．（k+1）k2+2k2
3．利用数学归纳法证明：不等式（n≥2，n∈N）的过程中，由n＝k变到n＝k+1时，左边增加了（ ）
A．1项 B．k项 C．2k﹣1项 D．2k项
4．用数学归纳法证明，从n＝k到n＝k+1，不等式左边需添加的项是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．用数学归纳法证明“2n＞n2对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值n0应取（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．用数学归纳法证明不等式的过程中，由n＝k递推到n＝k+1时不等式左边（ ）
A．增加了
B．增加了
C．增加了，但减少了
D．增加了，但减少了
二．多选题（共3小题）
（多选）7．对于不等式，某同学用数学归纳法证明的过程如下：
①当n＝1时，，不等式成立；
②假设当n＝k（n∈N*）时，不等式成立，即，
则当n＝k+1时，．
故当n＝k+1时，不等式成立．
则下列说法错误的是（ ）
A．过程全部正确
B．n＝1的验证不正确
C．n＝k的归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k+1的推理不正确
（多选）8．以下四个命题，其中满足“假设当n＝k（k∈N*，k≥n0）时命题成立，则当n＝k+1时命题也成立”，但不满足“当n＝n0（n0是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（ ）
A．2n＞2n+1（n≥2）
B．2+4+6+…+2n＝n2+n+2（n≥1）
C．凸n边形的内角和为f（n）＝（n﹣2）π（n≥3）
D．凸n边形的对角线条数
（多选）9．对于不等式n+1（n∈N*），某学生用数学归纳法的证明过程如下：
①当n＝1时，1+1，不等式成立
②假设n＝k（k∈N*）时，不等式成立，即k2+k＜k+1，则n＝k+1时，（k+1）+1，∴当n＝k+1时；不等式成立．
关于上述证明过程的说法正确的是（ ）
A．证明过程全都正确
B．当n＝1时的验证正确
C．归纳假设正确
D．从n＝k到n＝k+1的推理不正确
三．填空题（共4小题）
10．记f（n）＝1+2+3+ +（3n﹣1）+3n，在用数学归纳法证明对于任意正整数n，f（n）＞4n2的过程中，从n＝k到n＝k+1时，不等式左边的f（k+1）比f（k）增加了 项．
11．用数学归纳法证明1n（n∈N*，且n≥2），第一步要证的不等式是 ．
12．若用数学归纳法证明2n＞n2成立，正整数n的第一个取值为 ．
13．用数学归纳法证明等式12+22+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…22+12时，第（ii）步从n＝k到n＝k+1时等式左边应添加的项是 ．
四．解答题（共2小题）
14．已知函数．
（1）依次求f（2），f（3）+f（4），f（5）+f（6）+f（7）+f（8）的值；
（2）对任意正整数n，记，即．猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
15．已知数列{an}中，a1＝1且an+1．
（Ⅰ）求数列{an}的第2，3，4项；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法进行证明．
4.4数学归纳法
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．用数学归纳法证明：（n为正整数）从k到k+1时，等式左边需增加的代数式是（ ）
A．k2+（k+1）2 B．k2+（k+1）2+k2
C．（k+1）2 D．2k+1
【考点】数学归纳法的适用条件与步骤．
【专题】转化思想；转化法；推理和证明；运算求解．
【答案】A
【分析】取n＝k+1和n＝k代入左式相减得到答案．
【解答】解：等式左边需增加的代数式是：[12+22+ +k2+（k+1）2+k2+ +22+12]﹣（12+22+ +k2+ +22+12）＝k2+（k+1）2．
故选：A．
【点评】本题主要考查数学归纳法的应用，属于基础题．
2．用数学归纳法证明：12+22+…+n2+…+22+12，第二步从k到k+1，等式左边应添加的项是（ ）
A．（k2+1）2 B．k2+1
C．（k+1）2+k2 D．（k+1）k2+2k2
【考点】数学归纳法．
【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．
【答案】C
【分析】根据等式左边的特点，各数是先递增再递减，分别写出n＝k和n＝k+1的结论，对照即可求解．
【解答】解：用数学归纳法证明：12+22+…+n2+…+22+12，
可得上式左边各数是先递增再递减，
由于n＝k，左边＝12+22+ +（k﹣1）2+k2+（k﹣1）2+ +22+12；
n＝k+1时，左边＝12+22+ +（k﹣1）2+k2+（k+1）2+k2+（k﹣1）2+ +22+12，
比较两式，从而等式左边应添加的式子是（k+1）2+k2．
故选：C．
【点评】本题考查数学归纳法，考查运算能力和推理能力，属于基础题．
3．利用数学归纳法证明：不等式（n≥2，n∈N）的过程中，由n＝k变到n＝k+1时，左边增加了（ ）
A．1项 B．k项 C．2k﹣1项 D．2k项
【考点】数学归纳法．
【专题】计算题；点列、递归数列与数学归纳法．
【答案】D
【分析】依题意，由n＝k递推到n＝k+1时，不等式左边为1，与n＝k时不等式的左边比较即可得到答案．
【解答】解：用数学归纳法证明等式1f（n）（n≥2，n∈N*）的过程中，
假设n＝k时不等式成立，左边＝1，
则当n＝k+1时，左边＝1，
∴由n＝k递推到n＝k+1时不等式左边增加了：，
共（2k+1﹣1）﹣2k+1＝2k项，
故选：D．
【点评】本题考查数学归纳法，考查观察、推理与运算能力，属于中档题．
4．用数学归纳法证明，从n＝k到n＝k+1，不等式左边需添加的项是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】数学归纳法．
【专题】证明题；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维．
【答案】B
【分析】求出当n＝k时，左边的代数式，当n＝k+1时，左边的代数式，相减可得结果．
【解答】解：当n＝k时，左边的代数式为，
当n＝k+1时，左边的代数式为，
故用n＝k+1时左边的代数式减去n＝k时左边的代数式的结果为，
故选：B．
【点评】本题考查用数学归纳法证明不等式，注意式子的结构特征，以及从n＝k到n＝k+1项的变化．
5．用数学归纳法证明“2n＞n2对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的初始值n0应取（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】数学归纳法的适用条件与步骤．
【专题】计算题；转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】利用数学归纳法的证明步骤，通过验证n＝1，n＝1，n＝2，n＝4，n＝5，判断即可．
【解答】解：用数学归纳法证明“2n＞n2对于n≥n0的正整数n都成立”时，
当n＝1时，21＞12；
当n＝2时，22＝22；
当n＝3时，23＜32；
当n＝4时，24＝42；
当n＝5时，25＞52．
故选：D．
【点评】本题考查数学归纳法的应用，证明步骤的应用，是基础题．
6．用数学归纳法证明不等式的过程中，由n＝k递推到n＝k+1时不等式左边（ ）
A．增加了
B．增加了
C．增加了，但减少了
D．增加了，但减少了
【考点】数学归纳法的适用条件与步骤．
【专题】转化思想；转化法；推理和证明；运算求解．
【答案】C
【分析】分别求出当n＝k，n＝k+1时，不等式左边的表达式，通过比较，即可求解．
【解答】解：当n＝k时，
不等式左边为，
当n＝k+1时，不等式的左边为，
故不等式左边增加了，但减少了．
故选：C．
【点评】本题主要考查数学归纳法的应用，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．对于不等式，某同学用数学归纳法证明的过程如下：
①当n＝1时，，不等式成立；
②假设当n＝k（n∈N*）时，不等式成立，即，
则当n＝k+1时，．
故当n＝k+1时，不等式成立．
则下列说法错误的是（ ）
A．过程全部正确
B．n＝1的验证不正确
C．n＝k的归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k+1的推理不正确
【考点】数学归纳法的适用条件与步骤．
【专题】对应思想；归纳法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维．
【答案】ABC
【分析】根据数学归纳法证明的基本过程可得出结论．
【解答】解：适合命题的第一个自然数n＝1，验证n＝1时过程正确；
假设当n＝k（n∈N*）时，不等式成立，即，该假设正确；
在n＝k+1时，没有应用n＝k时的假设，即从n＝k到n＝k+1的推理不正确，
故D错误，ABC正确．
故选：ABC．
【点评】本题考查利用数学归纳法证题的步骤，是基础题．
（多选）8．以下四个命题，其中满足“假设当n＝k（k∈N*，k≥n0）时命题成立，则当n＝k+1时命题也成立”，但不满足“当n＝n0（n0是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（ ）
A．2n＞2n+1（n≥2）
B．2+4+6+…+2n＝n2+n+2（n≥1）
C．凸n边形的内角和为f（n）＝（n﹣2）π（n≥3）
D．凸n边形的对角线条数
【考点】数学归纳法的适用条件与步骤．
【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；简易逻辑；运算求解．
【答案】ABC
【分析】对于命题A，可以验证当n等于给定的初始值时不成立，所以满足条件；
对于命题B，容易验证假设n＝k时命题成立，则当n＝k+1时命题也成立．对于初始值n＝1时，不成立，所以满足条件；
对于命题C，容易验证假设n＝k时命题成立，则当n＝k+1时命题也成立．对于初始值n＝3内角和为π，不成立．故满足条件；
对于命题D，凸n边形对角线条数f（n），假设n＝k时命题成立，当n＝k+1时多了一条边，即多了一个顶点，故多了k个对角线，则可以验证当n＝k+1时不成立，不满足要求．
【解答】解：对于命题A，2n＞2n+1（n≥2），当n＝2的时有4＜5，故当n等于给定的初始值时不成立，所以满足条件；
对于命题B，2+4+6+…+2n＝n2+n+2（n≥1），
假设n＝k时命题成立，即2+4+6+…+2k＝k2+k+2，
当n＝k+1时有2+4+6+…+2k+2（k+1）＝k2+k+2+2（k+1）＝k2+2k+1+k+3＝（k+1）2+（k+1）+2，
故对n＝k+1时命题也成立，对于初始值n＝1时有4≠4+2+2，不成立．所以满足条件；
对于命题C，凸n边形内角和为f（n）＝（n﹣1）π（n≥3），
假设n＝k时命题成立，即f（k）＝（k﹣1）π，
当n＝k+1时有f（k+1）＝f（k）+π＝kπ，故对n＝k+1时命题也成立，
对于初始值n＝3内角和为π，不成立．故满足条件；
对于命题D，凸n边形对角线条数f（n），
假设n＝k时命题成立，即f（k），
当n＝k+1时，有f（k+1）＝f（k）+k﹣1k﹣1，故不满足条件．
故选：ABC．
【点评】本题考查了数学归纳法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
（多选）9．对于不等式n+1（n∈N*），某学生用数学归纳法的证明过程如下：
①当n＝1时，1+1，不等式成立
②假设n＝k（k∈N*）时，不等式成立，即k2+k＜k+1，则n＝k+1时，（k+1）+1，∴当n＝k+1时；不等式成立．
关于上述证明过程的说法正确的是（ ）
A．证明过程全都正确
B．当n＝1时的验证正确
C．归纳假设正确
D．从n＝k到n＝k+1的推理不正确
【考点】数学归纳法的适用条件与步骤．
【专题】转化思想；定义法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维．
【答案】BD
【分析】利用数学归纳法的证明步骤，写出正确的证明过程，即可判断选项中的命题是否正确．
【解答】解：用数学归纳法证明n+1（n∈N*）的过程如下：
①当n＝1时，1+1，即2，不等式成立；
②假设n＝k（k∈N*）时，不等式成立，即k+1，两边平方得，k2+k＜k2+2k+1，即0＜k+1，显然成立；
则n＝k+1时，（k+1）+1，
所以当n＝k+1时，不等式也成立．
由此知，原证明过程的说法中，正确的是BD．
故选：BD．
【点评】本题考查了数学归纳法的应用问题，也考查了分析与判断能力，是中档题．
三．填空题（共4小题）
10．记f（n）＝1+2+3+ +（3n﹣1）+3n，在用数学归纳法证明对于任意正整数n，f（n）＞4n2的过程中，从n＝k到n＝k+1时，不等式左边的f（k+1）比f（k）增加了 3 项．
【考点】数学归纳法．
【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑思维．
【答案】3．
【分析】根据给定条件，分析从n＝k到n＝k+1时式子的变化即可作答．
【解答】解：因为f（k）＝1+2+3+ +（3k﹣1）+3k，f（k+1）＝1+2+3+ +（3k﹣1）+3k+（3k+1）+（3k+2）+3（k+1），
所以不等式左边的f（k+1）比f（k）增加了3k+1，3k+2，3（k+1），共3项．
故答案为：3．
【点评】本题考查数学归纳法，考查运算能力和推理能力，属于基础题．
11．用数学归纳法证明1n（n∈N*，且n≥2），第一步要证的不等式是 ．
【考点】数学归纳法．
【专题】计算题；规律型；分析法；推理和证明．
【答案】见试题解答内容
【分析】观察不等式的特点，然后写出结果即可．
【解答】解：1n（n∈N*，且n≥2），
左侧的表达式的分母可知第k项是由1，2，3，到2k﹣1，结束；
第一步要证的不等式是：．
故答案为：．
【点评】本题考查数学归纳法的应用，注意观察表达式的特征是解题的关键．
12．若用数学归纳法证明2n＞n2成立，正整数n的第一个取值为 5 ．
【考点】数学归纳法的适用条件与步骤．
【专题】计算题；转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．
【答案】5．
【分析】根据数学归纳法的步骤，结合本题的题意，是要验证n＝1，2，3，4，命题是否成立；可得答案．
【解答】解：根据数学归纳法的步骤，首先要验证当n取第一个值时命题成立；
结合本题，要验证n＝1时，左＝21＝2，右＝1，2n＞n2成立，
n＝2时，左＝22＝4，右＝4，2n＞n2不成立，
n＝3时，左＝23＝8，右＝9，2n＞n2不成立，
n＝4时，左＝24＝16，右＝16，2n＞n2不成立，
n＝5时，左＝25＝32，右＝25，2n＞n2成立，
当n≥5成立，所以2n＞n2恒成立．
所以n的第一个取值应是5．
故答案为：5．
【点评】本题考查数学归纳法的运用，解此类问题时，注意n的取值范围．
13．用数学归纳法证明等式12+22+…+（n﹣1）2+n2+（n﹣1）2+…22+12时，第（ii）步从n＝k到n＝k+1时等式左边应添加的项是 2k2+2k+1 ．
【考点】数学归纳法的适用条件与步骤．
【专题】转化思想；转化法；推理和证明；运算求解．
【答案】2k2+2k+1．
【分析】根据数学归纳法的证明步骤解答．
【解答】解：n＝k时，左边＝12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k﹣1）2+…22+12；
当n＝k+1时，左边＝12+22+…+（k﹣1）2+k2+（k+1）2+k2+（k﹣1）2+…22+12；
观察两式易知增加的项为：（k+1）2+k2＝2k2+2k+1．
故答案为：2k2+2k+1．
【点评】本题主要考查数学归纳法的应用，属于基础题．
四．解答题（共2小题）
14．已知函数．
（1）依次求f（2），f（3）+f（4），f（5）+f（6）+f（7）+f（8）的值；
（2）对任意正整数n，记，即．猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．
【考点】数学归纳法证明命题．
【专题】转化思想；转化法；推理和证明；运算求解．
【答案】（1）f（2）＝1，f（3）+f（4）＝4，f（5）+f（6）+f（7）+f（8）＝16；
（2）猜想，证明见解析．
【分析】（1）根据已知条件，结合函数f（x）的解析式，即可求解；
（2）根据已知条件，结合数学归纳法的步骤，即可求解l．
【解答】解：（1）函数，
则f（2）＝f（1）＝1，f（3）＝3，f（4）＝f（2）＝1，f（5）＝5，
f（6）＝f（3）＝3，f（7）＝7，f（8）＝f（4）＝1，
所以f（2）＝1，f（3）+f（4）＝3+1＝4，f（5）+f（6）+f（7）+f（8）＝5+3+7+1＝16；
（2）a1＝f（2）＝1，a2＝f（3）+f（4）＝4，a3＝f（5）+f（6）+f（7）+f（8）＝16，
所以猜想，
当n＝1时，，成立，
假设当n＝k时，命题成立，即，
函数，
即，
那么当n＝k+1时，
＝[f（2k+1）+f（2k+3）+ +f（2k+2k﹣1）]+[f（2k+2）+f（2k+4）+ +f（2k+2k）]＝（2k+1）+（2k+3）+ +（2k+2k﹣1）+[f（2k﹣1+1）+f（2k﹣1+2）+ +f（2k）]
＝22k﹣1+22k﹣2+4k﹣1
，
所以当n＝k+1时，猜想成立，
综合以上可知，当n∈N*时，成立．
【点评】本题主要考查数学归纳法的应用，属于中档题．
15．已知数列{an}中，a1＝1且an+1．
（Ⅰ）求数列{an}的第2，3，4项；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法进行证明．
【考点】数学归纳法证明命题．
【专题】计算题；方程思想；归纳法；点列、递归数列与数学归纳法；运算求解．
【答案】（Ⅰ）a2，a3，a4；（2）对于任何n∈N*，an．
【分析】（I）利用数列递推式，代入计算，即可求a2、a3、a4；
（Ⅱ）猜想数列{an}通项公式，利用数学归纳法即可证明．
【解答】解：（Ⅰ）a1＝1且an+1，
∴a2，a3，a4；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，可猜想数an，
证明如下：①当n＝1时，等式成立，
假设当n＝k时等式成立，即ak，
那么当n＝k+1时，ak+1，
所以当n＝k+1时，等式成立，
由①②，对于任何n∈N*，an．
【点评】本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数学归纳法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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