5.1 导数的概念及其意义(同步练习.含解析）2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 5.1 导数的概念及其意义(同步练习.含解析）2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 226.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-12-04 21:04:13 | ||
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文档简介
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5.1 导数的概念及其意义
一．选择题（共6小题）
1．计算（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．若函数的图象在点M（1，1）处的切线与直线2x﹣y+6＝0垂直，则ba＝（ ）
A． B．0 C． D．
3．已知函数f（x）在R上的部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ）
A．f′（1）＞f′（2） B．f′（1）＜f′（2）
C．f′（1）＝f′（2） D．f′（1）+f′（2）＜0
4．已知函数f（x）和g（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A．f（x）在a到b之间的平均变化率大于g（x）在a到b之间的平均变化率
B．f（x）在a到b之间的平均变化率小于g（x）在a到b之间的平均变化率
C．对于任意x0∈（a，b），函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率总大于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率
D．存在x0∈（a，b），使得函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率小于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率
5．已知曲线f（x）x2﹣2上一点（1，y0），记f′（x）为函数f（x）的导数，则f（1）+f′（1）＝（ ）
A． B． C． D．
6．已知某质点的运动方程为S＝2t2﹣t，其中S的单位是m，t的单位是s，则该质点在4s末的瞬时速度为（ ）
A．16m/s B．15m/s C．12m/s D．8m/s
二．多选题（共3小题）
（多选）7．（多选）已知函数y＝f（x），x∈[a，d]的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．[a，b]是函数f（x）的单调递增区间
B．[b，c]是函数f（x）的单调递减区间
C．函数f（x）在[a，b]∪[c，d]上单调递增
D．函数f（x）在[b，0）∪（0，c]上单调递减
（多选）8．一个质量为4kg的物体做直线运动，该物体的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，且表示物体的动能，单位：J，m表示物体的质量，单位：kg，v表示物体的瞬时速度，单位：m/s），则（ ）
A．该物体瞬时速度的最小值为1m/s
B．该物体瞬时速度的最小值为1.5m/s
C．该物体在第1秒末的动能为10J
D．该物体在第1秒末的动能为8J
（多选）9．设f（x）在x0处可导，下列式子中与f′（x0）相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三．填空题（共4小题）
10．已知函数f（x）＝lnx+ex，则的值为 ．
11．某高台跳水运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与跳起后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）＝﹣4.9t2+4.8t+11，h（t）的图象如图所示，已知曲线h（t）在t＝t0处的切线l0平行于t轴，根据图象，给出下列四个结论：
①在t＝t0时高度h关于时间t的瞬时变化率为0；
②曲线h（t）在t＝t2附近比在t＝t1附近下降得慢；
③曲线h（t）在t＝t3附近比在t＝t4附近上升得快，
其中所有正确结论的序号是 ．
12．一质点的运动方程为s＝2t2+3（s的单位：m，t的单位：s），则该质点在t＝3时的瞬时速度为 ．
13．已知直线y＝kx+1与曲线相切，则实数k的值为 ．
四．解答题（共2小题）
14．对于三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）．定义：（1）f（x）的导数f′（x）（也叫f（x）一阶导数）的导数，f″（x）为f（x）的二阶导数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0） ）为函数y＝f（x）的“拐点”；定义：（2）设x0为常数，若定义在R上的函数y＝f（x）对于定义域内的一切实数x，都有f（x0+x）+f（x0﹣x）＝2f（x0）恒成立，则函数y＝f（x）的图象关于点（x0，f（x0））对称．
（1）已知f（x）＝x3﹣3x2+2x+2，求函数f（x）的“拐点”A的坐标；
（2）检验（1）中的函数f（x）的图象是否关于“拐点”A对称；
（3）对于任意的三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）．
15．已知函数的图象在x＝1处的切线与直线x+2y+1＝0平行，其中a为常数．
（1）求a的值；
（2）求不等式f（x2﹣1）＜f（5x﹣7）的解集．
5.1 导数的概念及其意义
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．计算（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【考点】含Δx表达式的极限计算与导数的关系．
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】令f（x）＝x2，根据导数的概念，可求解．
【解答】解：设函数f（x）＝x2，f′（x）＝2x，
故f′（2）＝2×2＝4．
即4．
故选：A．
【点评】本题主要考查导数的求解，属于基础题．
2．若函数的图象在点M（1，1）处的切线与直线2x﹣y+6＝0垂直，则ba＝（ ）
A． B．0 C． D．
【考点】导数与切线的斜率．
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】函数求导得，由题意可得，解得a，b的值，代入所求式计算即得．
【解答】解：由题可得：，
依题意，有，解得，
则．
故选：C．
【点评】本题主要考查导数知识的应用，考查计算能力，属于基础题．
3．已知函数f（x）在R上的部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ）
A．f′（1）＞f′（2） B．f′（1）＜f′（2）
C．f′（1）＝f′（2） D．f′（1）+f′（2）＜0
【考点】导数及其几何意义．
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据导数的几何意义即可求解．
【解答】解：根据导数的几何意义，f'（x）表示函数f（x）在x处切线的斜率，
观察图像可知，函数图像从左到右上升，且切线斜率逐渐增大，
因此，x＝2处的切线斜率大于x＝1处的切线斜率，即f'（1）＜f'（2），
故B正确，A，C错误；
f'（1）和f'（2）均为正，其和大于0，D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了导数的几何意义，属于基础题．
4．已知函数f（x）和g（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A．f（x）在a到b之间的平均变化率大于g（x）在a到b之间的平均变化率
B．f（x）在a到b之间的平均变化率小于g（x）在a到b之间的平均变化率
C．对于任意x0∈（a，b），函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率总大于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率
D．存在x0∈（a，b），使得函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率小于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率
【考点】变化的快慢与变化率．
【专题】导数的概念及应用．
【答案】D
【分析】由函数在某一区间上的平均变化率的定义，可以判定选项A、B错误；
由函数在某一点处的瞬时变化率是函数在该点处的导数，即函数在该点处的切线的斜率，可以判定选项C错误，D正确．
【解答】解：对于A、B，∵f（x）在a到b之间的平均变化率是，
g（x）在a到b之间的平均变化率是，
∴，即二者相等；
∴选项A、B错误；
对于C、D，∵函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率是函数f（x）在x＝x0处的导数，
即函数f（x）在该点处的切线的斜率，
同理函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率是函数g（x）在x＝x0处的导数，
即函数g（x）在x＝x0处的切线的斜率，
由图形知，选项C错误，D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了导数的概念及其应用问题，解题时应结合平均变化率与瞬时变化率以及导数的几何意义，判定每一个选项是否正确，是基础题．
5．已知曲线f（x）x2﹣2上一点（1，y0），记f′（x）为函数f（x）的导数，则f（1）+f′（1）＝（ ）
A． B． C． D．
【考点】导数及其几何意义．
【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】求导可得f′（1）＝1，进而求解．
【解答】解：，，f′（x）＝x，所以f′（1）＝1，
所以．
故选：D．
【点评】本题考查导数及其几何意义，属于基础题．
6．已知某质点的运动方程为S＝2t2﹣t，其中S的单位是m，t的单位是s，则该质点在4s末的瞬时速度为（ ）
A．16m/s B．15m/s C．12m/s D．8m/s
【考点】变化的快慢与变化率．
【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】求出S'，将t＝4代入，即可求解．
【解答】解：∵S＝2t2﹣t，
∴S'＝4t﹣1，
当t＝4时，S'＝4×4﹣1＝15，
故该质点在4s末的瞬时速度为15m/s．
故选：B．
【点评】本题考查了导数在物理中的应用，考查了运算能力，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．（多选）已知函数y＝f（x），x∈[a，d]的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．[a，b]是函数f（x）的单调递增区间
B．[b，c]是函数f（x）的单调递减区间
C．函数f（x）在[a，b]∪[c，d]上单调递增
D．函数f（x）在[b，0）∪（0，c]上单调递减
【考点】函数图象趋势与导数大小的关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】利用函数图象得到单调性判断A，B，利用单调区间不能用并集符号连接判断C，D即可．
【解答】解：对于选项A，根据函数图象可知函数f（x）在[a，b]上单调递增，故选项A正确，
对于选项B，根据函数图象可知函数f（x）在[b，c]上单调递减，故选项B正确，
对于选项C，由图象可知b＜c，f（b）＞f（c），因此不能说函数f（x）在[a，b]，[c，d]上单调递增，故选项C错误；
对于选项D，由于函数[b，c]在x＝0时有定义，由图象可知f（0）＝0，则[b，c]为函数的一个单调递减区间，故函数[b，c]在[b，0），（0，c]上单调递减，故选项D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，是中档题．
（多选）8．一个质量为4kg的物体做直线运动，该物体的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，且表示物体的动能，单位：J，m表示物体的质量，单位：kg，v表示物体的瞬时速度，单位：m/s），则（ ）
A．该物体瞬时速度的最小值为1m/s
B．该物体瞬时速度的最小值为1.5m/s
C．该物体在第1秒末的动能为10J
D．该物体在第1秒末的动能为8J
【考点】瞬时变化率．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】AD
【分析】求出函数的导数后结合配方法可求瞬时速度的最小值，故可判断AB的正误，结合导数及题设中的动能公式计算后可判断CD的正误．
【解答】解：对于AB，由位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，
可得y′（t）＝t2﹣4t+5＝（t﹣2）2+1≥1，
则该物体瞬时速度的最小值为1m/s，A正确，B错误．
对于CD，由y′（1）＝2，得，所以该物体在第1秒末时的动能为8J，
故C错误，D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查函数性质在生活中的应用，考查导函数的求解，属于中档题．
（多选）9．设f（x）在x0处可导，下列式子中与f′（x0）相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】极限及其运算．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】AC
【分析】利用导数的定义对各项逐一分析，能求出结果．
【解答】解：对于A，f′（x0），故A正确；
对于B，22f′（x0），故B错误；
对于C，f′（x0），故C正确；
对于D，33，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查导数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
三．填空题（共4小题）
10．已知函数f（x）＝lnx+ex，则的值为e+1 ．
【考点】含Δx表达式的极限计算与导数的关系．
【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】e+1．
【分析】求出导函数f′（x），然后即可得出f′（1）的值，然后根据导数的定义即可得解．
【解答】解：，f′（1）＝1+e，
所以．
故答案为：e+1．
【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，导数的定义，是基础题．
11．某高台跳水运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与跳起后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）＝﹣4.9t2+4.8t+11，h（t）的图象如图所示，已知曲线h（t）在t＝t0处的切线l0平行于t轴，根据图象，给出下列四个结论：
①在t＝t0时高度h关于时间t的瞬时变化率为0；
②曲线h（t）在t＝t2附近比在t＝t1附近下降得慢；
③曲线h（t）在t＝t3附近比在t＝t4附近上升得快，
其中所有正确结论的序号是 ①③ ．
【考点】导数与切线的斜率；瞬时变化率．
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】①③．
【分析】对于①，因为曲线h（t）在t＝t1处的切线l0平行于t轴，所以切线的斜率为0，即h′（t0）＝0；对于②，比较|h′（t1）|，|h′（t2）|的大小即可；对于③，比较|h′（t3）|，|h′（t4）|的大小即可．
【解答】解：因为h（t）＝﹣4.9t2+4.8t+11，所以h′（t）＝﹣9.8t+4.8，
①，因为曲线h（t）在t＝t0处的切线l0平行于t轴，
所以切线l0的斜率为0，即h′（t0）＝0，
所以在t＝t0时高度h关于时间t的瞬时变化率为0，故①正确；
②，由图可知曲线h（t）在t＝t1处的切线的斜率h′（t1）＜0，在t＝t2处的切线的斜率h′（t2）＜0，
又t1＜t2，所以h′（t1）＝﹣9.8t1+4.8＞﹣9.8t2+4.8＝h′（t2），
所以|h′（t1）|＜|h′（t2）|，
即曲线在t＝t2附近比在t＝t1附近下降得快，故②错误；
③，由图可知曲线h（t）在t＝t3处的切线的斜率h′（t3）＞0，在t＝t4处的切线的斜率h′（t4）＞0，
又t3＜t4，所以h′（t3）＝﹣9.8t3+4.8＞﹣9.8t4+4.8＝h′（t4），
所以|h′（t3）|＞|h′（t4）|，
即曲线在t＝t3附近比在t＝t4附近上升得快，故③正确；
所以所有正确结论的序号是①③．
故答案为：①③．
【点评】本题考查了导数的性质，属于基础题．
12．一质点的运动方程为s＝2t2+3（s的单位：m，t的单位：s），则该质点在t＝3时的瞬时速度为 12m/s ．
【考点】变化的快慢与变化率；基本初等函数的导数．
【专题】整体思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】12m/s．
【分析】先对函数求导，然后把t＝3代入即可求解．
【解答】解：因为质点的运动方程为s＝2t2+3，
所以S′（t）＝4t，
当t＝3时的瞬时速度为12m/s．
故答案为：12m/s．
【点评】本题主要考查了导数的实际意义的应用，属于基础题．
13．已知直线y＝kx+1与曲线相切，则实数k的值为 ．
【考点】导数与切线的斜率．
【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．
【答案】．
【分析】由直线方程得到直线的定点坐标，求出函数f（x）的导函数，设切点坐标，由两点坐标表示出斜率建立方程，求得切点坐标，即可求得实数k的值．
【解答】解：由题意直线y＝kx+1与曲线相切，
可得直线y＝kx+1过定点（0，1），
函数求导可得，
设直线与曲线的切点坐标为，
则，
则x0＝2，∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了导数的几何意义，是中档题．
四．解答题（共2小题）
14．对于三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）．定义：（1）f（x）的导数f′（x）（也叫f（x）一阶导数）的导数，f″（x）为f（x）的二阶导数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0） ）为函数y＝f（x）的“拐点”；定义：（2）设x0为常数，若定义在R上的函数y＝f（x）对于定义域内的一切实数x，都有f（x0+x）+f（x0﹣x）＝2f（x0）恒成立，则函数y＝f（x）的图象关于点（x0，f（x0））对称．
（1）已知f（x）＝x3﹣3x2+2x+2，求函数f（x）的“拐点”A的坐标；
（2）检验（1）中的函数f（x）的图象是否关于“拐点”A对称；
（3）对于任意的三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）．
【考点】导数及其几何意义；奇偶函数图象的对称性；函数恒成立问题．
【专题】创新题型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先求f′（x）得解析式，再求f″（x），由f″（x）＝0 求得拐点的横坐标，代入函数解析式求拐点的纵坐标．
（2）因为f（1+x）+f（1﹣x）＝2f（1），由定义（2）知：f（x）＝x3﹣3x2+2x+2关于点（1，2）对称．
（3）将（2）的结论进行合情推理，可得结论：三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d （a≠0）的“拐点”是（，f（）），它就是f（x）的对称中心．
【解答】解：（1）依题意，得：f′（x）＝3x2﹣6x+2，∴f″（x）＝6x﹣6．
由f″（x）＝0，即 6x﹣6＝0．∴x＝1，又 f（1）＝2，
∴f（x）＝x3﹣3x2+2x+2的“拐点”坐标是（1，2）．
（2）由（1）知“拐点”坐标是（1，2）．
而f（1+x）+f（1﹣x）＝（1+x）3﹣3（1+x）2+2（1+x）+2+（1﹣x）3﹣3（1﹣x）2+2（1﹣x）+2
＝2+6x2﹣6﹣6x2+4+4＝4＝2f（1），
由定义（2）知：f（x）＝x3﹣3x2+2x+2关于点（1，2）对称．
（3）一般地，三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d （a≠0）的“拐点”是（，f（）），它就是f（x）的对称中心．
（或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数；都对．）
【点评】本题考查一阶导数、二阶导数的求法，函数的拐点的定义以及函数图象关于某点对称的条件．
15．已知函数的图象在x＝1处的切线与直线x+2y+1＝0平行，其中a为常数．
（1）求a的值；
（2）求不等式f（x2﹣1）＜f（5x﹣7）的解集．
【考点】导数与切线的斜率；利用导数求解函数的单调性和单调区间．
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据题意，f（x）在x＝1处的切线的斜率等于，据此求解a；
（2）利用导数判断f（x）的单调性，进而利用单调性解不等式．
【解答】解：（1）由函数可得：，
又在x＝1处的切线与直线x+2y+1＝0平行，
可得，∴；
（2）∵函数的定义域为（0，+∞），
∴x2﹣1和5x﹣7都大于0，可得，
又∵，即f（x）在（0，+∞）上单调递减
又f（x2﹣1）＜f（5x﹣7），故x2﹣1＞5x﹣7，解得：x＜2或x＞3，
因此原不等式的解集为．
【点评】本题主要考查导数知识的综合应用，考查计算能力，属于中档题．
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5.1 导数的概念及其意义
一．选择题（共6小题）
1．计算（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．若函数的图象在点M（1，1）处的切线与直线2x﹣y+6＝0垂直，则ba＝（ ）
A． B．0 C． D．
3．已知函数f（x）在R上的部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ）
A．f′（1）＞f′（2） B．f′（1）＜f′（2）
C．f′（1）＝f′（2） D．f′（1）+f′（2）＜0
4．已知函数f（x）和g（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A．f（x）在a到b之间的平均变化率大于g（x）在a到b之间的平均变化率
B．f（x）在a到b之间的平均变化率小于g（x）在a到b之间的平均变化率
C．对于任意x0∈（a，b），函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率总大于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率
D．存在x0∈（a，b），使得函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率小于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率
5．已知曲线f（x）x2﹣2上一点（1，y0），记f′（x）为函数f（x）的导数，则f（1）+f′（1）＝（ ）
A． B． C． D．
6．已知某质点的运动方程为S＝2t2﹣t，其中S的单位是m，t的单位是s，则该质点在4s末的瞬时速度为（ ）
A．16m/s B．15m/s C．12m/s D．8m/s
二．多选题（共3小题）
（多选）7．（多选）已知函数y＝f（x），x∈[a，d]的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．[a，b]是函数f（x）的单调递增区间
B．[b，c]是函数f（x）的单调递减区间
C．函数f（x）在[a，b]∪[c，d]上单调递增
D．函数f（x）在[b，0）∪（0，c]上单调递减
（多选）8．一个质量为4kg的物体做直线运动，该物体的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，且表示物体的动能，单位：J，m表示物体的质量，单位：kg，v表示物体的瞬时速度，单位：m/s），则（ ）
A．该物体瞬时速度的最小值为1m/s
B．该物体瞬时速度的最小值为1.5m/s
C．该物体在第1秒末的动能为10J
D．该物体在第1秒末的动能为8J
（多选）9．设f（x）在x0处可导，下列式子中与f′（x0）相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三．填空题（共4小题）
10．已知函数f（x）＝lnx+ex，则的值为 ．
11．某高台跳水运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与跳起后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）＝﹣4.9t2+4.8t+11，h（t）的图象如图所示，已知曲线h（t）在t＝t0处的切线l0平行于t轴，根据图象，给出下列四个结论：
①在t＝t0时高度h关于时间t的瞬时变化率为0；
②曲线h（t）在t＝t2附近比在t＝t1附近下降得慢；
③曲线h（t）在t＝t3附近比在t＝t4附近上升得快，
其中所有正确结论的序号是 ．
12．一质点的运动方程为s＝2t2+3（s的单位：m，t的单位：s），则该质点在t＝3时的瞬时速度为 ．
13．已知直线y＝kx+1与曲线相切，则实数k的值为 ．
四．解答题（共2小题）
14．对于三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）．定义：（1）f（x）的导数f′（x）（也叫f（x）一阶导数）的导数，f″（x）为f（x）的二阶导数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0） ）为函数y＝f（x）的“拐点”；定义：（2）设x0为常数，若定义在R上的函数y＝f（x）对于定义域内的一切实数x，都有f（x0+x）+f（x0﹣x）＝2f（x0）恒成立，则函数y＝f（x）的图象关于点（x0，f（x0））对称．
（1）已知f（x）＝x3﹣3x2+2x+2，求函数f（x）的“拐点”A的坐标；
（2）检验（1）中的函数f（x）的图象是否关于“拐点”A对称；
（3）对于任意的三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）．
15．已知函数的图象在x＝1处的切线与直线x+2y+1＝0平行，其中a为常数．
（1）求a的值；
（2）求不等式f（x2﹣1）＜f（5x﹣7）的解集．
5.1 导数的概念及其意义
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．计算（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【考点】含Δx表达式的极限计算与导数的关系．
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】令f（x）＝x2，根据导数的概念，可求解．
【解答】解：设函数f（x）＝x2，f′（x）＝2x，
故f′（2）＝2×2＝4．
即4．
故选：A．
【点评】本题主要考查导数的求解，属于基础题．
2．若函数的图象在点M（1，1）处的切线与直线2x﹣y+6＝0垂直，则ba＝（ ）
A． B．0 C． D．
【考点】导数与切线的斜率．
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】函数求导得，由题意可得，解得a，b的值，代入所求式计算即得．
【解答】解：由题可得：，
依题意，有，解得，
则．
故选：C．
【点评】本题主要考查导数知识的应用，考查计算能力，属于基础题．
3．已知函数f（x）在R上的部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ）
A．f′（1）＞f′（2） B．f′（1）＜f′（2）
C．f′（1）＝f′（2） D．f′（1）+f′（2）＜0
【考点】导数及其几何意义．
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】根据导数的几何意义即可求解．
【解答】解：根据导数的几何意义，f'（x）表示函数f（x）在x处切线的斜率，
观察图像可知，函数图像从左到右上升，且切线斜率逐渐增大，
因此，x＝2处的切线斜率大于x＝1处的切线斜率，即f'（1）＜f'（2），
故B正确，A，C错误；
f'（1）和f'（2）均为正，其和大于0，D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了导数的几何意义，属于基础题．
4．已知函数f（x）和g（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，那么下列说法正确的是（ ）
A．f（x）在a到b之间的平均变化率大于g（x）在a到b之间的平均变化率
B．f（x）在a到b之间的平均变化率小于g（x）在a到b之间的平均变化率
C．对于任意x0∈（a，b），函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率总大于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率
D．存在x0∈（a，b），使得函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率小于函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率
【考点】变化的快慢与变化率．
【专题】导数的概念及应用．
【答案】D
【分析】由函数在某一区间上的平均变化率的定义，可以判定选项A、B错误；
由函数在某一点处的瞬时变化率是函数在该点处的导数，即函数在该点处的切线的斜率，可以判定选项C错误，D正确．
【解答】解：对于A、B，∵f（x）在a到b之间的平均变化率是，
g（x）在a到b之间的平均变化率是，
∴，即二者相等；
∴选项A、B错误；
对于C、D，∵函数f（x）在x＝x0处的瞬时变化率是函数f（x）在x＝x0处的导数，
即函数f（x）在该点处的切线的斜率，
同理函数g（x）在x＝x0处的瞬时变化率是函数g（x）在x＝x0处的导数，
即函数g（x）在x＝x0处的切线的斜率，
由图形知，选项C错误，D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了导数的概念及其应用问题，解题时应结合平均变化率与瞬时变化率以及导数的几何意义，判定每一个选项是否正确，是基础题．
5．已知曲线f（x）x2﹣2上一点（1，y0），记f′（x）为函数f（x）的导数，则f（1）+f′（1）＝（ ）
A． B． C． D．
【考点】导数及其几何意义．
【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】求导可得f′（1）＝1，进而求解．
【解答】解：，，f′（x）＝x，所以f′（1）＝1，
所以．
故选：D．
【点评】本题考查导数及其几何意义，属于基础题．
6．已知某质点的运动方程为S＝2t2﹣t，其中S的单位是m，t的单位是s，则该质点在4s末的瞬时速度为（ ）
A．16m/s B．15m/s C．12m/s D．8m/s
【考点】变化的快慢与变化率．
【专题】转化思想；转化法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】求出S'，将t＝4代入，即可求解．
【解答】解：∵S＝2t2﹣t，
∴S'＝4t﹣1，
当t＝4时，S'＝4×4﹣1＝15，
故该质点在4s末的瞬时速度为15m/s．
故选：B．
【点评】本题考查了导数在物理中的应用，考查了运算能力，属于基础题．
二．多选题（共3小题）
（多选）7．（多选）已知函数y＝f（x），x∈[a，d]的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．[a，b]是函数f（x）的单调递增区间
B．[b，c]是函数f（x）的单调递减区间
C．函数f（x）在[a，b]∪[c，d]上单调递增
D．函数f（x）在[b，0）∪（0，c]上单调递减
【考点】函数图象趋势与导数大小的关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．
【答案】ABD
【分析】利用函数图象得到单调性判断A，B，利用单调区间不能用并集符号连接判断C，D即可．
【解答】解：对于选项A，根据函数图象可知函数f（x）在[a，b]上单调递增，故选项A正确，
对于选项B，根据函数图象可知函数f（x）在[b，c]上单调递减，故选项B正确，
对于选项C，由图象可知b＜c，f（b）＞f（c），因此不能说函数f（x）在[a，b]，[c，d]上单调递增，故选项C错误；
对于选项D，由于函数[b，c]在x＝0时有定义，由图象可知f（0）＝0，则[b，c]为函数的一个单调递减区间，故函数[b，c]在[b，0），（0，c]上单调递减，故选项D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，是中档题．
（多选）8．一个质量为4kg的物体做直线运动，该物体的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，且表示物体的动能，单位：J，m表示物体的质量，单位：kg，v表示物体的瞬时速度，单位：m/s），则（ ）
A．该物体瞬时速度的最小值为1m/s
B．该物体瞬时速度的最小值为1.5m/s
C．该物体在第1秒末的动能为10J
D．该物体在第1秒末的动能为8J
【考点】瞬时变化率．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】AD
【分析】求出函数的导数后结合配方法可求瞬时速度的最小值，故可判断AB的正误，结合导数及题设中的动能公式计算后可判断CD的正误．
【解答】解：对于AB，由位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，
可得y′（t）＝t2﹣4t+5＝（t﹣2）2+1≥1，
则该物体瞬时速度的最小值为1m/s，A正确，B错误．
对于CD，由y′（1）＝2，得，所以该物体在第1秒末时的动能为8J，
故C错误，D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查函数性质在生活中的应用，考查导函数的求解，属于中档题．
（多选）9．设f（x）在x0处可导，下列式子中与f′（x0）相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】极限及其运算．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】AC
【分析】利用导数的定义对各项逐一分析，能求出结果．
【解答】解：对于A，f′（x0），故A正确；
对于B，22f′（x0），故B错误；
对于C，f′（x0），故C正确；
对于D，33，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查导数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
三．填空题（共4小题）
10．已知函数f（x）＝lnx+ex，则的值为e+1 ．
【考点】含Δx表达式的极限计算与导数的关系．
【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】e+1．
【分析】求出导函数f′（x），然后即可得出f′（1）的值，然后根据导数的定义即可得解．
【解答】解：，f′（1）＝1+e，
所以．
故答案为：e+1．
【点评】本题考查了基本初等函数的求导公式，导数的定义，是基础题．
11．某高台跳水运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与跳起后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）＝﹣4.9t2+4.8t+11，h（t）的图象如图所示，已知曲线h（t）在t＝t0处的切线l0平行于t轴，根据图象，给出下列四个结论：
①在t＝t0时高度h关于时间t的瞬时变化率为0；
②曲线h（t）在t＝t2附近比在t＝t1附近下降得慢；
③曲线h（t）在t＝t3附近比在t＝t4附近上升得快，
其中所有正确结论的序号是 ①③ ．
【考点】导数与切线的斜率；瞬时变化率．
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】①③．
【分析】对于①，因为曲线h（t）在t＝t1处的切线l0平行于t轴，所以切线的斜率为0，即h′（t0）＝0；对于②，比较|h′（t1）|，|h′（t2）|的大小即可；对于③，比较|h′（t3）|，|h′（t4）|的大小即可．
【解答】解：因为h（t）＝﹣4.9t2+4.8t+11，所以h′（t）＝﹣9.8t+4.8，
①，因为曲线h（t）在t＝t0处的切线l0平行于t轴，
所以切线l0的斜率为0，即h′（t0）＝0，
所以在t＝t0时高度h关于时间t的瞬时变化率为0，故①正确；
②，由图可知曲线h（t）在t＝t1处的切线的斜率h′（t1）＜0，在t＝t2处的切线的斜率h′（t2）＜0，
又t1＜t2，所以h′（t1）＝﹣9.8t1+4.8＞﹣9.8t2+4.8＝h′（t2），
所以|h′（t1）|＜|h′（t2）|，
即曲线在t＝t2附近比在t＝t1附近下降得快，故②错误；
③，由图可知曲线h（t）在t＝t3处的切线的斜率h′（t3）＞0，在t＝t4处的切线的斜率h′（t4）＞0，
又t3＜t4，所以h′（t3）＝﹣9.8t3+4.8＞﹣9.8t4+4.8＝h′（t4），
所以|h′（t3）|＞|h′（t4）|，
即曲线在t＝t3附近比在t＝t4附近上升得快，故③正确；
所以所有正确结论的序号是①③．
故答案为：①③．
【点评】本题考查了导数的性质，属于基础题．
12．一质点的运动方程为s＝2t2+3（s的单位：m，t的单位：s），则该质点在t＝3时的瞬时速度为 12m/s ．
【考点】变化的快慢与变化率；基本初等函数的导数．
【专题】整体思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】12m/s．
【分析】先对函数求导，然后把t＝3代入即可求解．
【解答】解：因为质点的运动方程为s＝2t2+3，
所以S′（t）＝4t，
当t＝3时的瞬时速度为12m/s．
故答案为：12m/s．
【点评】本题主要考查了导数的实际意义的应用，属于基础题．
13．已知直线y＝kx+1与曲线相切，则实数k的值为 ．
【考点】导数与切线的斜率．
【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；运算求解．
【答案】．
【分析】由直线方程得到直线的定点坐标，求出函数f（x）的导函数，设切点坐标，由两点坐标表示出斜率建立方程，求得切点坐标，即可求得实数k的值．
【解答】解：由题意直线y＝kx+1与曲线相切，
可得直线y＝kx+1过定点（0，1），
函数求导可得，
设直线与曲线的切点坐标为，
则，
则x0＝2，∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了导数的几何意义，是中档题．
四．解答题（共2小题）
14．对于三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）．定义：（1）f（x）的导数f′（x）（也叫f（x）一阶导数）的导数，f″（x）为f（x）的二阶导数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0） ）为函数y＝f（x）的“拐点”；定义：（2）设x0为常数，若定义在R上的函数y＝f（x）对于定义域内的一切实数x，都有f（x0+x）+f（x0﹣x）＝2f（x0）恒成立，则函数y＝f（x）的图象关于点（x0，f（x0））对称．
（1）已知f（x）＝x3﹣3x2+2x+2，求函数f（x）的“拐点”A的坐标；
（2）检验（1）中的函数f（x）的图象是否关于“拐点”A对称；
（3）对于任意的三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d（a≠0）写出一个有关“拐点”的结论（不必证明）．
【考点】导数及其几何意义；奇偶函数图象的对称性；函数恒成立问题．
【专题】创新题型．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先求f′（x）得解析式，再求f″（x），由f″（x）＝0 求得拐点的横坐标，代入函数解析式求拐点的纵坐标．
（2）因为f（1+x）+f（1﹣x）＝2f（1），由定义（2）知：f（x）＝x3﹣3x2+2x+2关于点（1，2）对称．
（3）将（2）的结论进行合情推理，可得结论：三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d （a≠0）的“拐点”是（，f（）），它就是f（x）的对称中心．
【解答】解：（1）依题意，得：f′（x）＝3x2﹣6x+2，∴f″（x）＝6x﹣6．
由f″（x）＝0，即 6x﹣6＝0．∴x＝1，又 f（1）＝2，
∴f（x）＝x3﹣3x2+2x+2的“拐点”坐标是（1，2）．
（2）由（1）知“拐点”坐标是（1，2）．
而f（1+x）+f（1﹣x）＝（1+x）3﹣3（1+x）2+2（1+x）+2+（1﹣x）3﹣3（1﹣x）2+2（1﹣x）+2
＝2+6x2﹣6﹣6x2+4+4＝4＝2f（1），
由定义（2）知：f（x）＝x3﹣3x2+2x+2关于点（1，2）对称．
（3）一般地，三次函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d （a≠0）的“拐点”是（，f（）），它就是f（x）的对称中心．
（或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数；都对．）
【点评】本题考查一阶导数、二阶导数的求法，函数的拐点的定义以及函数图象关于某点对称的条件．
15．已知函数的图象在x＝1处的切线与直线x+2y+1＝0平行，其中a为常数．
（1）求a的值；
（2）求不等式f（x2﹣1）＜f（5x﹣7）的解集．
【考点】导数与切线的斜率；利用导数求解函数的单调性和单调区间．
【专题】转化思想；综合法；导数的概念及应用；运算求解．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据题意，f（x）在x＝1处的切线的斜率等于，据此求解a；
（2）利用导数判断f（x）的单调性，进而利用单调性解不等式．
【解答】解：（1）由函数可得：，
又在x＝1处的切线与直线x+2y+1＝0平行，
可得，∴；
（2）∵函数的定义域为（0，+∞），
∴x2﹣1和5x﹣7都大于0，可得，
又∵，即f（x）在（0，+∞）上单调递减
又f（x2﹣1）＜f（5x﹣7），故x2﹣1＞5x﹣7，解得：x＜2或x＞3，
因此原不等式的解集为．
【点评】本题主要考查导数知识的综合应用，考查计算能力，属于中档题．
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