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圆 单元同步模拟测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，半径OA，OB互相垂直，点在劣弧AB上.若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角度数为（ ）
A．120° B．180° C．240° D．300°
6．数学课上，老师将如图所示的边长为1的正方形铁丝框变形成以 A 为圆心，AB 为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形 DAB的面积是 （ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．0.5
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（3，0），C为平面内的动点，且满足∠ACB=90°，D为直线y=x上的动点，则线段CD长的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
8．如图，以 为直径，点 为圆心的半圆经过点 ，若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．在半径为2的圆中，弦AB的长为2，则 的长等于（ ）
A． B． C． D．
10． 如图，⊙O 内切于Rt△ABC，点 P，Q分别在直角边BC、斜边AB 上，PQ____AB，且PQ与⊙O 相切.若AC=2PQ，则 tanB 的值为( )
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦， ， ， ，则弦AB和CD之间的距离是 ．
12．如图，中，，，，将绕原点O顺时针旋转90°，则旋转后点A的对应点的坐标是 ．
13．如图，⊙O是△ABC的内切圆，与边BC，CA，AB的切点分别为D，E，F，若∠A＝70°，则∠EDF＝ 度．
14．如图，△ABC内接于⊙O，AB、CD为⊙O直径，DE⊥AB于点E，sinA= ，则∠D的度数是 ．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（﹣4，0）、B（0，4），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为 ．
16．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最小值是 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，连结AD.
（1）求证：BD=CD.
（2）若⊙O与AC相切，求∠B的度数.
（3）用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点E.（不写作法，保留作图痕迹）
18． 如图，已知△ABC，以AB为直径的半⊙O交AC于D，交BC于E，∠C＝65°，求∠DOE的度数．
19． 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图．
（1）画以点O为对称中心，为顶点的；
（2）的周长为 ．
20．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=2 cm，扇形的圆心角θ=120°，求该圆锥的高h的长.
21．如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC， AC平分∠BCD， 请找出图中与弦AD相等的线段，并加以证明
22．如图，△ABC内接于⊙O，∠A =
30°，过圆心O作OD⊥BC，垂足为D.若⊙O的半径为6，求OD的长.
23．如图1，是的外接圆，连接，若
（1）求证：；
（2）如图2，作交于D，的延长线交于E，若，求线段的长．
24．如图，已知是的角平分线，是斜边上的动点，以点为圆心，的长为半径的经过点，与相交于点．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求的长．
25．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．求△ABC的内切圆半径 ．
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圆 单元同步模拟测试卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】A、不是中心对称图形，本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，本选项符合题意；
D、不是中心对称图形，本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据轴对称和中心对称图形的定义可求解。
2．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可。
3．如图，在中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：因为同弧所对圆心角是圆周角的2倍，即∠AOC=2∠ABC=100°．
故答案为：D．
【分析】本题考查圆周角定理.根据圆周角定理可得：∠AOC=2∠ABC，再代入数据进行计算可求出答案.
4．如图，在中，半径OA，OB互相垂直，点在劣弧AB上.若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：连接OC，
∵∠ABC＝19°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝38°，
∵半径OA，OB互相垂直，
∴∠AOB＝90°，
∴∠BOC＝90° 38°＝52°，
∴∠BAC＝∠BOC＝26°，
故答案为：D．
【分析】连接OC，根据圆周角定理可求解∠AOC的度数，结合垂直的定义可求解∠BOC 的度数，再利用圆周角定理可求解．
5．一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角度数为（ ）
A．120° B．180° C．240° D．300°
【答案】A
【解析】【解答】解：设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，扇形的圆心角为n度．
由题意得S底面面积=πr2，
l底面周长=2πr，
S扇形=3S底面面积=3πr2，
l扇形弧长=l底面周长=2πr．
由S扇形= l扇形弧长×R得3πr2= ×2πr×R，
故R=3r．
由l扇形弧长= 得：
2πr= 解得n=120°．
故选A．
【分析】根据圆锥的侧面积是底面积的3倍得到圆锥底面半径和母线长的关系，根据圆锥侧面展开图的弧长=底面周长即可求得圆锥侧面展开图的圆心角度数．
6．数学课上，老师将如图所示的边长为1的正方形铁丝框变形成以 A 为圆心，AB 为半径的扇形（铁丝的粗细忽略不计），则所得扇形 DAB的面积是 （ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．0.5
【答案】A
【解析】【解答】解：由题，铁丝的长度为4，
∵AB=DA=1，
∴弧DB的长为2，
根据弧长公式有，
得n=，
∴S扇形 DAB=，
故答案为：A.
【分析】根据铁丝长度不变，得弧DB=2，根据弧长公式可得圆心角n的度数，从而代入扇形面积公式进行计算即可.
7．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，0），B（3，0），C为平面内的动点，且满足∠ACB=90°，D为直线y=x上的动点，则线段CD长的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：取AB的中点E，过点E作直线y=x的垂线，垂足为D，
∵点A（1，0），B （3，0），
∴OA=1，OB=3，
∴OE=2，
∴ED=2×
=
，
∵∠ACB=90°，
∴点C在以AB为直径的圆上，
∴线段CD长的最小值为
1.
故答案为：C.
【分析】取AB的中点E，过点E作直线y=x的垂线，垂足为D，根据点A、B的坐标可得OA=1，OB=3，进而求出OE、ED的值，推出当点D、C、E共线时，CD取得最小值，为DE-CE，据此计算.
8．如图，以 为直径，点 为圆心的半圆经过点 ，若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵ 为直径，
∴ ，
∵ ，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴ ，则OA=OB=1，
∴OC⊥AB，
∴△AOC和△BOC都为等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ；
故答案为：A．
【分析】先求出△ABC是等腰直角三角形，再求出 ，最后利用扇形面积公式计算求解即可。
9．在半径为2的圆中，弦AB的长为2，则 的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
连接OA、OB，
∵OA=OB=AB=2，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴ 的长为 .
故答案为：C.
【分析】连接OA、OB，根据三边都相等的三角形是等边三角形可得△AOB是等边三角形，由弧长公式l=计算即可求解.
10． 如图，⊙O 内切于Rt△ABC，点 P，Q分别在直角边BC、斜边AB 上，PQ____AB，且PQ与⊙O 相切.若AC=2PQ，则 tanB 的值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，设⊙O 分别切AC，BC，PQ，AB 于点 D，E，F，G，连结OD，OG，OF，OE.
设⊙O 的半径为r，PE=PF=x，BQ=y.
∵⊙O 内切于Rt△ABC，
∴∠ODC=∠OEC=90°=∠C，AD = AG.
∴ 四边形CDOE 为矩形.
∵ OD=OE，
∴ 矩形CDOE 是正方形.
∴ OD = CD =CE=r.
同理，可得FQ=OF=GQ=r.
∴ PQ=FQ+PF=r+x.
∵ PQ⊥AB，
∴∠PQB=∠C=90°.
∵∠B=∠B，
∴△BQP∽△BCA.
∴
∴ BC=2BQ=2y.
根据切线长定理，可得BG=BE，
∴y+r=2y-r，解得y=2r.
∴ BQ=2r，BC=2y=4r.
∴BP=BC-CE-PE=4r-r-x = 3r - x.
在 Rt △PQB 中，
∵∠PQB=90°，
∴ PQ2 + BQ2 =BP2，
即
解得
在 Rt △PQB 中，
∵∠PQB=90°，
∴ tan B =PQ=
故答案为：C.
【分析】首先确定切点，设PE=PF=x，BQ=y，由PQ⊥AB可知△BQP∽△BCA，然后得到BQ与BC的关系，接着利用切线长定理得到x与y之间的关系，然后在Rt △PQB 中，利用勾股定理得到x的值，接着在Rt △PQB 中结合三角函数定义得到tanB值.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦， ， ， ，则弦AB和CD之间的距离是 ．
【答案】2cm或14cm
【解析】【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图，
∵ ， ，
∴AE=8cm，CF=6cm，
∵OA=OC=10cm，
∴EO=6cm，OF=8cm，
∴EF=OF-OE=2cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，
∵ ， ，
∴AE=8cm，CF=6cm，
∵OA=OC=10cm，
∴EO=6cm，OF=8cm，
∴EF=OF＋OE=14cm；
∴AB与CD之间的距离为2cm或14cm，
故答案为：2cm或14cm．
【分析】根据①当弦AB和CD在圆心同侧时，②当弦AB和CD在圆心异侧时，两种情况分类讨论即可。
12．如图，中，，，，将绕原点O顺时针旋转90°，则旋转后点A的对应点的坐标是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点作轴于点，点作轴于点，
设，则，
在中，，
在中，，
，
解得，
，
由旋转的性质得：，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】利用勾股定理和全等三角形的判定与性质计算求解即可。
13．如图，⊙O是△ABC的内切圆，与边BC，CA，AB的切点分别为D，E，F，若∠A＝70°，则∠EDF＝ 度．
【答案】55
【解析】【解答】连接OE、OF
由圆的切线性质得：
在四边形AEOF中，由内角和定理得：
再根据圆心角与圆周角的关系得：
故答案为：55.
【分析】利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得 ，利用切线的性质可知，结合 ∠A＝70° 在四边形AEOF中计算即可。
14．如图，△ABC内接于⊙O，AB、CD为⊙O直径，DE⊥AB于点E，sinA= ，则∠D的度数是 ．
【答案】30°
【解析】【解答】解：∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）；
又∵sinA= ，
∴∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°（直角三角形的两个锐角互余）；
又∵点O是AB的中点，
∴OC=OB，
∴∠OCB=OBC=60°，
∴∠COB=60°，
∴∠EOD=∠COB=60°（对顶角相等）；
又∵DE⊥AB，
∴∠D=90°﹣60°=30°．
故答案是：30°．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得到直角三角形ABC，由sinA的值，求出∠CAB=30°，根据三角形内角和定理求出∠ABC=60°，得到等边三角形OBC，根据对顶角相等和三角形内角和定理，求出∠D的度数.
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB经过点A（﹣4，0）、B（0，4），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：连接OP、OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2，
∵当PO⊥AB时，线段PQ最短；
又∵A（﹣4，0）、B（0，4），
∴OA=OB=4，
∴AB=4
∴OP= AB=2 ，
∴PQ= ；
故答案为： ．
【分析】连接OP．根据勾股定理知PQ2=OP2﹣OQ2，当OP⊥AB时，线段OP最短，即线段PQ最短．
16．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最小值是 ．
【答案】1
【解析】【解答】当O、Q、P三点一线且OP⊥BC时，PQ有最小值，设AC与圆的切点为D，连接OD，如图，
∵AC为圆的切线，
∴OD⊥AC，
∵AC=8，BC=6，AB=10，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴OD∥BC，且O为AB中点，
∴OD为△ABC的中位线，
∴OD= BC=3，
同理可得PO= AC=4，
∴PQ=OP﹣OQ=4﹣3=1，
【分析】当O、Q、P三点一线且OP⊥BC时，PQ有最小值，设AC与圆的切点为D，连接OD（如图），由切线性质得出OD⊥AC，再由勾股定理逆定理得出∠ACB=90°，根据平行线的性质得出OD∥BC，且O为AB中点，由三角形中位线定理得OD= 1 2 BC=3，同理可得PO= 1 2 AC=4，从而得PQ=OP﹣OQ=4﹣3=1.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，连结AD.
（1）求证：BD=CD.
（2）若⊙O与AC相切，求∠B的度数.
（3）用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点E.（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】（1）证明：∵AB 是直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC.∵AB=AC，∴BD=CD
（2）解：∵⊙O 与AC 相切，AB 为直径，∴BA⊥AC.∵AB=AC，∴△BAC是等腰直角三角形，∴∠B=45°.
（3）解：如图，作∠ABC的角平分线交AD 于点 E，则点 E 即是劣弧AD的中点.
【解析】【分析】（1）由AB是⊙O 的直径可得出AD⊥BC，由AB=AC，可利用等腰三角形的性质即可得出AD是BC边上的中线即可解答；
（2）由切线的性质可得BA⊥AC，由AB＝AC，得出△BAC是等腰直角三角形，即可求出∠B的度数；
（3）利用尺规作图，作∠BAD的平分线交于点E，由圆周角定理可得出点E即是劣弧的中点．
18． 如图，已知△ABC，以AB为直径的半⊙O交AC于D，交BC于E，∠C＝65°，求∠DOE的度数．
【答案】解：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣∠C＝90°﹣65°＝25°，
∴∠DOE＝2∠CAE＝50°．
【解析】【分析】连接AE，先根据直径说对的角为直角得到∠AEC＝90°，进而结合题意进行角的运算即可求解。
19． 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图．
（1）画以点O为对称中心，为顶点的；
（2）的周长为 ．
【答案】（1）解：如图，
（2）
【解析】【解答】解(1)
（2）∵AB=CD=；
AD=BC=；
∴周长为AB+BC+CD+AD=；
故答案为：.
【分析】（1）找到A关于O对称的点C、B关于O对称的点D，顺次连结A、B、C、D，平行四边形ABCD即为所求；
（2）利用勾股定理求出四边长，加起来即可.
20．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=2 cm，扇形的圆心角θ=120°，求该圆锥的高h的长.
【答案】解：由题意得： ，
∴ =6（cm），
∴由勾股定理得：
（cm），
即该圆锥的高为 cm.
【解析】【分析】利用圆锥展开的扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，可求出母线长；再利用勾股定理求出圆锥的高.
21．如图，已知点A、B、C、D均在已知圆上，AD∥BC， AC平分∠BCD， 请找出图中与弦AD相等的线段，并加以证明
【答案】解：∵AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，∴ AD=AB∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB∴∠DAC=∠DCA∴AD=CD，∴AD=AB=CD.
【解析】【分析】由AC平分∠BCD得出∠ACB=∠ACD，证得AD=AB，再由AD∥BC及等量代换，证出∠DAC=∠DCA，得出AB=CD，即可得出结论。
22．如图，△ABC内接于⊙O，∠A =
30°，过圆心O作OD⊥BC，垂足为D.若⊙O的半径为6，求OD的长.
【答案】解：连接OB、OC，如图
则OB=OC=6
∵圆周角∠A与圆心角∠BOC对着同一段弧
∴∠BOC=2∠A=60゜
∴△OBC是等边三角形
∴BC=OB=6
∵OD⊥BC
∴
在Rt△ODC中，由勾股定理得：
【解析】【分析】连接OB、OC，则OB=OC=6，根据圆周角定理可得∠BOC=2∠A=60°，推出△OBC是等边三角形，得到BC=OB=6，根据垂径定理可得CD=BD=3，然后在Rt△ODC中，由勾股定理计算即可.
23．如图1，是的外接圆，连接，若
（1）求证：；
（2）如图2，作交于D，的延长线交于E，若，求线段的长．
【答案】（1）证明：连接并延长交于T，如图所示：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴；
（2）解：延长并交于F，连接，如图所示：
∵交于D，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中
∴
故答案为：.
【解析】【分析】（1）连接并延长交于T，先证出垂直平分，再利用垂直平分线的性质可得；
（2）延长并交于F，连接，先利用角的运算及等量代换求出，再利用等角对等边的性质可得，利用线段的和差求出OE的长，最后利用勾股定理求出AC的长即可.
24．如图，已知是的角平分线，是斜边上的动点，以点为圆心，的长为半径的经过点，与相交于点．
（1）求证：是的切线．
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
由条件可知，
又，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线．
（2）解：如图，连接，过点作于点，
，，
∽，
，即，
解得，
，
由条件可知四边形为矩形，
，
由勾股定理得，
，
，即，
解得．
【解析】【分析】(1)由等腰三角形的性质得，结合已知条件得到，由此即可判定，利用平行线得判定可得到，由切线的判定定理即可证明结论，解答即可；
（2）先根据已知条件证明∽，利用相似三角形的性质建立比例关系可得BE，OB的值，根据矩形的性质得，再由勾股定理计算可得BF得值；即可根据平行得到，建立比例关系，即可解答.
25．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．求△ABC的内切圆半径 ．
【答案】解：如图，
在Rt△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB= =10，
四边形OECF中，OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠C=90°，
∴四边形OECF是正方形；
由切线长定理，得：AD=AF，BD=BE，CE=CF；
∴CE=CF= （AC+BC-AB），
即：r= （6+8-10）=2．
【解析】【分析】由勾股定理，可求出AB的长度，再利用邻边相等以及四个角为直角得出四边形OECF为正方形，利用切线长得出 BE=BD，AF=AD，得出BE＋AF=AB，则BC＋AC-AB=2CE=2r，即可求出r的值。
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