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第13章 勾股定理 单元复习达标卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．用反证法证明“若，则”，应先假设（ ）
A． B． C． D．
2．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面8m，树的顶端离树根6m，则这棵树在折断之前的高度是（ ）
A．18m B．10m C．14m D．24m
3．如图， 为等腰 内一点，过点 分别作三条边 、 、 的垂线，垂足分别为 、 、 ，已知 ， ，且 ，则 的长为（ ）
A． B． C．7 D．8
4． 若三边长分别为，，，则的面积为（ ）
A．2 B．4 C． D．
5．以下列长度的线段为边，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．5，6，7 D．7，8，9
6．如图在 中 ， ，高 ，则 的面积为（ ）
A．12 B．24 C．36 D．48
7．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部落在距根部4m处，这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．5米 B．7米 C．8米 D．12米
8．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是（ ）
A．20 B．25 C．20 D．25
9．如图，分别以直角三角形ABC的三边作正三角形，已知AC=6，AB=10，阴影部分的面积分别记为S1，S2，S3，则S1+S3﹣S2的值为（ ）
A．24 B．48 C．25 D．50-24
10．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将 如图折叠，使点A和点B重合，则折痕DE的长是（ ）
A．3 B．3.5 C．3.75 D．4
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 如图，圆柱的高为8cm，底面圆的周长为12cm，一只蚂蚁从下底面的点A处沿圆柱侧面爬到上底面与点A相对的点B处觅食，则蚂蚁爬行的最短路程为 cm．
12．如图，在和中，，是的中点，连接、若，则的长为 ．
13．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是 ．
14．如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度运动.设运动时间为t（s），则当 时，为直角三角形.
15．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 cm．
16．如图，在等腰中， ，，以为边作等边 ，连接，若平分交于点E，则的长为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．春天到了，奇奇和妙妙一同去春游．如图，有一座景观桥，他俩一同坐在离桥头A的凉亭D处，准备从桥的不同方向到达景点C．奇奇先走到桥尾B到岸边后再坐船到景点C，妙妙先走到桥头A到岸边，再沿与桥垂直的小路走到达景点C，若距离均以直线计算，且两人所经过的距离相等，请利用所学知识计算桥的长是多少？
18． 如图，四边形中，，，，．
（1）求的度数．
（2）求四边形的面积．
19．某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为1.62米.
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降11米，则他应该往回收线多少米？
20． 如图是一张直角三角形纸片，，，．
（1）在图1中，将直角边沿折叠，使点落在斜边上的点处，求的长；
（2）在图2中，将沿折叠，使点与点重合，求的长．
21．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，点、、均在格点上．
（1）图中线段 ▲ ， ▲ ， ▲ ；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若于点，求的长．
22．如图，∠AOB=90°，OA=40m，OB=15m．一机器人在B点处看见一球从A点出发沿AO方向匀速滚向O，机器人立即从B点出发，沿直线匀速前进栏截球，在C处截住球．球滚速与机器人行速相同，机器人行走的路程BC为多少？
23．已知等边 的两个顶点的坐标为 ， ，试求 点的坐标和 的面积．
24．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到的位置，使得．
（1）请判断的形状，并说明理由．
（2）求的度数．
25．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，把它们的底角顶点连接起来形成一组可证得全等的三角形，我们把连接的那两条线段叫做“友好”线段．例如：如图1，中，，中，，且，连接，则可证得，此时线段和线段就是一对“友好”线段．
（1）如图2，和都是等腰直角三角形，且．
①图中线段的“友好”线段是 ；
②连接，若，求的长；
（2）如图3，是等腰直角三角形，是外一点，，，求线段的长．
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第13章 勾股定理 单元复习达标卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．用反证法证明“若，则”，应先假设（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：根据反证法的一般步骤：先假设结论不成立再进行解答，故第一步是假设a2≤b2.
故答案为：B.
【分析】反证法的步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确.
2．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面8m，树的顶端离树根6m，则这棵树在折断之前的高度是（ ）
A．18m B．10m C．14m D．24m
【答案】A
【解析】【解答】解：∵BC=8m，AC=6m，∠C=90 ，
∴AB= m，
∴树高10+8=18m.
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理可求出AB的长，AB+BC即为树在折断之前的高度.
3．如图， 为等腰 内一点，过点 分别作三条边 、 、 的垂线，垂足分别为 、 、 ，已知 ， ，且 ，则 的长为（ ）
A． B． C．7 D．8
【答案】B
【解析】【解答】解：连接AP，
∵PF⊥AB，PE⊥AC，PD⊥BC，
∴∠PFA＝∠FEA＝90°，
∵
∴PF＝PE
在Rt△PAF和Rt△PAE中，
∴Rt△PAF≌Rt△PAE（HL）
∴∠PAF＝∠PAE
∴PA是∠A的平分线。
∴点P在∠A的角平分线上，
∵AB=AC，PD⊥BC，
∴AD⊥BC，BD=DC=6，
根据勾股定理可得：
，
设PD、PE、PF分别为x、3x、3x，
则： 、
解得：
即PD= ，
∴AP= .
故答案为：B.
【分析】连接AP，由垂直的概念可得∠PFA＝∠FEA＝90°，由已知条件可得PF＝PE，利用HL证明Rt△PAF≌Rt△PAE，得到∠PAF＝∠PAE，由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，BD=DC=6，根据勾股定理求出AD，设PD、PE、PF分别为x、3x、3x，根据三角形的面积公式以及面积间的和差关系可得x，进而可求出AP.
4． 若三边长分别为，，，则的面积为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵
∴ABC为直角三角形
∴
故答案为：A .
【分析】由勾股定理逆定理可知△ABC为直角三角形，直接求解面积即可.
5．以下列长度的线段为边，能构成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．3，4，5 C．5，6，7 D．7，8，9
【答案】B
【解析】【解答】解：A.1+2=3，不能构成三角形，故不符合题意；
B.32+42=52，能构成直接三角形，故符合题意；
C.52+62≠72，不能构成直角三角形，故不符合题意；
D.72+82≠92，不能构成直接三角形，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边和三角形勾股定理的逆定理判断即可.
6．如图在 中 ， ，高 ，则 的面积为（ ）
A．12 B．24 C．36 D．48
【答案】B
【解析】【解答】解：在Rt△ADC中，∠C=45°，
∴CD=AD=6，
在Rt△ADB中，BD= =2，
则BC=BD+CD=8，
∴△ABC的面积= ×BC×AD=24，
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的性质求出CD，根据勾股定理求出BD，根据三角形的面积公式计算，得到答案.
7．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部落在距根部4m处，这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．5米 B．7米 C．8米 D．12米
【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示：
∵△ABC是直角三角形且∠BAC=90°，
∴BC=，
∴这棵树的高度=AB+BC=3+5=8，
故答案为：C.
【分析】先利用勾股定理求出BC的长，再利用线段的和差求出这棵树的高度即可.
8．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是（ ）
A．20 B．25 C．20 D．25
【答案】D
【解析】【解答】解：展开图为：
则AC=20dm，BC=3×3+2×3=15dm，
在Rt△ABC中，AB= dm．
所以蚂蚁所走的最短路线长度为25dm．
故选D
【分析】把立体几何图展开得到平面几何图，如图，然后利用勾股定理计算AB，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度．
9．如图，分别以直角三角形ABC的三边作正三角形，已知AC=6，AB=10，阴影部分的面积分别记为S1，S2，S3，则S1+S3﹣S2的值为（ ）
A．24 B．48 C．25 D．50-24
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，
同理可求：
设S△ACD=α，S△BCE=β，S△ABC=γ，
则S1+S3﹣S2=9﹣α+16﹣β﹣（25﹣α﹣β﹣γ）
=9﹣α+16﹣β﹣25+α+β+γ
=γ；
γ=×6×8=24．
故选A．
【分析】首先求出△ABM、△ACN、△BCP，设出S△ACD=α，S△BCE=β，S△ABC=γ，证明S1+S3﹣S2=γ，即可解决问题．
10．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将 如图折叠，使点A和点B重合，则折痕DE的长是（ ）
A．3 B．3.5 C．3.75 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：
由折叠可得：
设 则
故答案为：C.
【分析】由勾股定理求解 ，由对折可得 设 则 利用勾股定理求解x，再利用勾股定理可得答案.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 如图，圆柱的高为8cm，底面圆的周长为12cm，一只蚂蚁从下底面的点A处沿圆柱侧面爬到上底面与点A相对的点B处觅食，则蚂蚁爬行的最短路程为 cm．
【答案】10
【解析】【解答】解：如图，把圆柱体展开，连接，
圆柱的高为，底面圆的周长为，
，，
，
蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程为，
故答案为：10．
【分析】根据圆柱体展开图、结合勾股定理最短距离问题求解。把圆柱体展开，连接，然后可知，，进而可由两点之间线段最短可得即为所求，再利用勾股定理求解．
12．如图，在和中，，是的中点，连接、若，则的长为 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：∵在和中，是的中点，
∴OA=OB=OC=OD，
∵AO=3，
∴OD=3.
故答案为：3.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半即可求出答案.
13．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是 ．
【答案】47
【解析】【解答】设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得：
，
，
，
即最大正方形E的面积为：．
故答案为：47．
【分析】分别设中间两个正方形和最大正方形E的边长为x，y，z，利用勾股定理可求出最大正方形E的面积.
14．如图，在中，，，，动点从点出发沿射线以的速度运动.设运动时间为t（s），则当 时，为直角三角形.
【答案】
【解析】【解答】解：过点C作CP'⊥AB，如图，
∵中，，，，
∴ AB=5cm，
∴AC·BC=AB·CP'，
∴ CP'=，
∴ BP'==，
∴ t=BP'÷2=.
故答案为：.
【分析】根据勾股定理得AB，根据三角形的面积得CP'， 再利用勾股定理求得BP'，从而求得t.
15．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到D，则橡皮筋被拉长了 cm．
【答案】2
【解析】【解答】解：Rt△ACD中，AC=AB=4cm，CD=3cm；
根据勾股定理，得：AD==5cm；
∴AD+BD﹣AB=2AD﹣AB=10﹣8=2cm；
故橡皮筋被拉长了2cm．
【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．
16．如图，在等腰中， ，，以为边作等边 ，连接，若平分交于点E，则的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：过点D作于点F，连，
∵是等边三角形，，
∴，，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，平分，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
【分析】先求出，可说明，再利用等腰直角三角形的性质求得DF，再说明，利用勾股定理求得EF，再根据BE=BF+EF，求得BE．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．春天到了，奇奇和妙妙一同去春游．如图，有一座景观桥，他俩一同坐在离桥头A的凉亭D处，准备从桥的不同方向到达景点C．奇奇先走到桥尾B到岸边后再坐船到景点C，妙妙先走到桥头A到岸边，再沿与桥垂直的小路走到达景点C，若距离均以直线计算，且两人所经过的距离相等，请利用所学知识计算桥的长是多少？
【答案】解：设桥长为，则，
由题可知，奇奇走的路程（BD + BC）与妙妙走的路程（AD+AC）相等。
即：BD + BC=AD+AC，
∴x-100+BC=100+200，
∴BC=400-x，
∵在Rt△ABC中，
∴，
∴，
解得：，
答：桥长．
【解析】【分析】设桥AB长为xm，且AD=100m，则BD=AB-AD=x-100m。此时，奇奇的路径为D→B→C，总距离为DB+BC=(x-100)+BC；妙妙的路径为D→A→C，总距离为DA+AC=100+200=300m。根据题意，两人总距离相等列方程进而求得BC=400-x，在RtABC中，根据勾股定理：AB2+AC2=BC2代入已知值求解即可.
18． 如图，四边形中，，，，．
（1）求的度数．
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）解：如图，连接，
，
为等边三角形
，
，
，
（2）解：如图，过点作
为等边三角形
在中，
．
【解析】【分析】（1）连接，证明为等边三角形，得到，，根据勾股定理逆定理得到，即，进而即可求出的度数；
（2）过点作，得到，根据四边形的面积等于和的面积和，即可得到答案.
19．某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米；③牵线放风筝的小明的身高为1.62米.
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降11米，则他应该往回收线多少米？
【答案】（1）解：在中，
由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
所以，（米），
答：风筝的高度为17.62米
（2）解：由题意得，米，
∴米，
∴（米），
∴（米），
∴他应该往回收线7米
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再利用线段的和差求出CE的长即可；
（2）先利用勾股定理求出BM的长，再利用线段的和差求出答案即可.
20． 如图是一张直角三角形纸片，，，．
（1）在图1中，将直角边沿折叠，使点落在斜边上的点处，求的长；
（2）在图2中，将沿折叠，使点与点重合，求的长．
【答案】（1）解：在中，，，
．
由题意知，，．
．
设，则，．
在中，，
．
解得．
．
（2）解：由题意知，
设，则．
在中，，
．
解得．
．
【解析】【分析】
(1)先根据勾股定理求出AB的长，设CD=X根据折叠，得出DE=X，BD=8-X，BE=4，根据勾股定理，列出方程：解出X即可
(2)由折叠可知：设，则，根据勾股定理，列出方程，解出y即可.
21．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，点、、均在格点上．
（1）图中线段 ▲ ， ▲ ， ▲ ；
（2）判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）若于点，求的长．
【答案】（1）解：，，
（2）解：△ABC是直角三角形，
理由如下：
∵AB＝5，AC＝10，．
∴AB +AC ＝5 +10 ＝125，
，
∴AB +AC ＝BC
∴，
∴△ABC是直角三角形.
（3）解：∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2）根据勾股定理的逆定理即可求出答案.
（3）根据三角形的面积，代入相关值即可求出答案.
22．如图，∠AOB=90°，OA=40m，OB=15m．一机器人在B点处看见一球从A点出发沿AO方向匀速滚向O，机器人立即从B点出发，沿直线匀速前进栏截球，在C处截住球．球滚速与机器人行速相同，机器人行走的路程BC为多少？
【答案】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，
∴BC=AC，
设BC=AC=xm，
则OC=（40﹣x）m，
在Rt△BOC中，
∵ ，
∴ ，
解得．
∴机器人行走的路程BC为m．
【解析】【分析】由题意可得BC=AC，设BC=AC=xm，则OC=(40-x)m，然后在Rt△BOC中，利用勾股定理计算即可.
23．已知等边 的两个顶点的坐标为 ， ，试求 点的坐标和 的面积．
【答案】解：作CH⊥AB于H．
∵A（-4，0），B（2，0），
∴AB=6．
∵△ABC是等边三角形，
∴AH=BH=3．
根据勾股定理，得CH=3 ．
∴C（-1，3 ）；
同理，当点C在第三象限时，C（-1，-3 ）．
故C点坐标为：C（-1，3 ）或（-1，-3 ）；
S△ABC= ×6×3 =9
【解析】【分析】作CH⊥AB于H．根据点A和B的坐标，得AB=6．根据等腰三角形的三线合一的性质，得AH=BH=3，再根据勾股定理求得CH=3 ，从而写出点C的坐标；根据三角形的面积公式进行计算．
24．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转到的位置，使得．
（1）请判断的形状，并说明理由．
（2）求的度数．
【答案】（1）答：为等腰三角形。
证明：∵绕点A逆时针旋转到的位置，
∴，
∴为等腰三角形。
（2）解：∵绕点A逆时针旋转到的位置，，∴，
∴，
∴
由（1）得，
∵，，
∴．
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可知，然后根据等腰三角形的特点即可得出答案；
（2）根据旋转的性质得到，然后进行角度变形和平行线的性质特点，即可求出。
（1）解：为等腰三角形．
理由如下：
∵绕点A逆时针旋转到的位置，
∴，
∴为等腰三角形；
（2）解：∵绕点A逆时针旋转到的位置，，
∴，
∴，
∴
由（1）得，
∵，，
∴．
∴，
∴．
25．两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，把它们的底角顶点连接起来形成一组可证得全等的三角形，我们把连接的那两条线段叫做“友好”线段．例如：如图1，中，，中，，且，连接，则可证得，此时线段和线段就是一对“友好”线段．
（1）如图2，和都是等腰直角三角形，且．
①图中线段的“友好”线段是 ；
②连接，若，求的长；
（2）如图3，是等腰直角三角形，是外一点，，，求线段的长．
【答案】（1）①；
解：②连接，
是等腰直角三角形，
，
由①知，，
∴
（2）以为直角边在的下面作等腰直角三角形，则，，
∵，
，
∴，
∴，
∴线段的长为
【解析】（1）解：①如图2，
和都是等腰直角三角形，，
，
图中线段的“友好”线段是，
故答案为：；
【分析】（1）①根据等腰三角形得到然后根据“”得到，即可得到然后根据“友好”线段的定义解题；
②连接，根据勾股定理求出的长，进而得到的长，再利用勾股定理即可求出的长，结合①的结论计算即可；
（2）以为直角边在的下面作等腰直角三角形，即可得到利用等边对等角得到然后运用“”证明即可得到最后利用勾股定理解题即可．
（1）解：①如图2，
和都是等腰直角三角形，，
，
图中线段的“友好”线段是，
故答案为：；
②连接，
是等腰直角三角形，
，
由①知，，
∴；
（2）以为直角边在的下面作等腰直角三角形，则，，
∵，
，
∴，
∴，
∴线段的长为．
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