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第24章 解直角三角形 单元知识强化训练卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是 （ ）
A．2cm、2cm、4cm B．2cm、6cm、3cm
C．8cm、6cm、3cm D．11cm、4cm、6cm
2．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA= ，则BC的长是（ ）
A．2 B．8 C．2 D．4
3．如图， 为直角三角形， ， ，点 、 分别在边 、 上，将 沿 折叠，点 恰好落在边 上的点 ，若 平分 ， ，则 的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
4．若等腰三角形的一边是8，另一边是4，则此等腰三角形的周长是( )
A．20 B．16 C．16或20 D．无法确定
5．如图，延长Rt△ABC斜边AB到点D，使BD=AB，连接CD，若tan∠BCD=，则tanA=（ ）
A． B．1 C． D．
6．已知等腰三角形有两条边的长分别是2，5，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．12 B．9 C．12或9 D．7
7．在 中， ， ， ，则 等于（ ）
A．3 B．2 C． D．
8．如图，电线杆AB的中点C处有一标志物，在地面D点处测得标志物的仰角为45°，若测得DC的长度为 a，则电线杆AB的长可表示为（ ）
A．a B．2a C． a D． a
9．已知等边△ABC的边长为 ，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时，AD的长是（ ）
A． B． C． D．
10．矩形纸片中，，将纸片对折，使顶点A与顶点C重合，得折痕，将纸片展开铺平后再进行折叠，使顶点B与顶点D重合，得折痕，展开铺平后如图所示.若折痕与较小的夹角记为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，菱形的周长为40，对角线，相交于点O，若点E是的中点， 则的长是
12．三角形的两边长为3和4，则第三边（边长为整数）可以是 .
13．北京冬奥会雪上项目竞赛场地“首钢滑雪大跳台”巧妙地融入了敦煌壁画“飞天”元素.如图，赛道剖面图的一部分可抽象为线段AB.已知坡AB的长为50m，坡AB的坡比为3：4，则铅直高度AH为 m.
14．已知一直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边上中线的长度是 ．
15．如图，将两块直角三角板的斜边重合，E是两直角三角形公共斜边AC的中点，D，B分别为直角顶点，连结DE，BE，DB，∠DAC=60°，∠BAC=45°.则∠EDB的度数为 .
16．如图，矩形 中， ， ，点 是 边上一动点，连接 、 ，则 的最小值为 ．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．等腰△ABC两边的长分别是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个解，则这个等腰三角形的周长是多少？
18．2013年9月23日强台风“天兔”登录深圳，伴随着就是狂风暴雨梧桐山山坡上有一棵与水平面垂直的大树，台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）.已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干的倾斜角为∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=3m.
（1）求∠DAC的度数；
（2）求这棵大树折断前的高度？（结果保留根号）.
19．如图，一艘海轮位于灯塔C的北偏东45方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东30°方向上的B处，求此时船距灯塔的距离（参考数据： ≈1.414， ≈1.732，结果取整数）.
20．如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面 处测得楼房顶部 的仰角为 ，沿坡面向下走到坡脚 处，然后向楼房方向继续行走10米到达 处，测得楼房顶部 的仰角为 .已知坡面 米，山坡的坡度 （坡度 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求楼房 高度.（结果精确到0.1米）（参考数据： ， ）
21．如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△ABC来测量操场旗杆MN的高度，他们通过调整测量位置，并使边AC与旗杆顶点M在同一直线上，已知AC＝0.8米，BC＝0.5米，目测点A到地面的距离AD＝1.5米，到旗杆的水平距离AE＝20米，求旗杆MN的高度．
22．在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF∥MN，小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD=10米.请根据这些数据求出河的宽度.(结果保留根号)
23．如图1是小区常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，如图2，从侧面看，立柱DE高1.8米，踏板静止时踏板连杆与DE上的线段AB重合，BE长为0.2米，当踏板连杆绕着点A旋转到AC处时，测得∠CAB＝37°，此时点C距离地面的高度CF为0.45米，求AB和AD的长(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
24．如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C经测量东方家具城D位于点A的北偏东45°方向，点B的北偏东30°方向上，AB=2km，∠DAC=15°，求C、D之间的距离（结果保留根号）．
25．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，AC＝2，点A1，B1为边AC，BC的中点，连接A1B1，将△A1B1C绕点C逆时针旋转α（0°≤α≤360°）．
（1）如图1，当α＝0°时，＝ ，BB1，AA1所在直线相交所成的较小夹角的度数为 ；
（2）将△A1B1C绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）在△A1B1C绕点C逆时针旋转过程中，
①请直接写出的最大值；
②当A1，B1，B三点共线时，请直接写出线段BB1的长．
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第24章 解直角三角形 单元知识强化训练卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是 （ ）
A．2cm、2cm、4cm B．2cm、6cm、3cm
C．8cm、6cm、3cm D．11cm、4cm、6cm
【答案】C
【解析】【解答】解：A、2+2=4，不能组成三角形，故A不符合题意；
B、2+3=5＜6，不能组成三角形，故B不符合题意；
C、6+3=9＞8，能组成三角形，故C符合题意；
D、4+6=10＜11，不能组成三角形，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用三角形三边关系定理，求出各选项中较小两线段长的和与最长的线段的长比较大小，即可作出判断。
2．如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，tanA= ，则BC的长是（ ）
A．2 B．8 C．2 D．4
【答案】A
【解析】【解答】解：∵tanA= = ，AC=4，
∴BC=2，
故选：A．
【分析】根据锐角三角函数定义得出tanA= ，代入求出即可．
3．如图， 为直角三角形， ， ，点 、 分别在边 、 上，将 沿 折叠，点 恰好落在边 上的点 ，若 平分 ， ，则 的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【解析】【解答】解：∵将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边AB上的点D，
∴∠DEF=∠CEF，ED=EC=2，
∵DE平分∠BEF，
∴∠DEF=∠DEB，
∴∠DEB=∠DEF=∠CEF=60°，
∵∠B=90°，
∴∠BDE=30°，
∴BE= ED=1，
∴BC=BE+EC=3，
∵∠C=60°，
∴∠A=30°，
∴AC=2BC=6，
故答案为：C．
【分析】根据折叠的性质及角平分线的定义可以得到∠DEB=∠DEF=∠CEF=60°，利用三角形的内角和可以求出∠BDE=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质，可以求出BE，再利用线段的计算求出BC，最后再利用含30°角的直角三角形的性质可求得AC=2BC。
4．若等腰三角形的一边是8，另一边是4，则此等腰三角形的周长是( )
A．20 B．16 C．16或20 D．无法确定
【答案】A
5．如图，延长Rt△ABC斜边AB到点D，使BD=AB，连接CD，若tan∠BCD=，则tanA=（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：过B作BE∥AC交CD于E．
∵AC⊥BC，
∴BE⊥BC，∠CBE=90°．
∴BE∥AC．
∵AB=BD，
∴AC=2BE．
又∵tan∠BCD=，设BE=x，则AC=2x，
∴tanA===，
【分析】若想利用tan∠BCD的值，应把∠BCD放在直角三角形中，也就得到了Rt△ACD的中位线，可分别得到所求的角的正切值相关的线段的比．
6．已知等腰三角形有两条边的长分别是2，5，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．12 B．9 C．12或9 D．7
【答案】A
【解析】【解答】解：分两种情况：
当腰为2时，2+2＜5，所以不能构成三角形；
当腰为5时，5+2＞5，所以能构成三角形，周长是：5+5+2=12．
故答案为：A．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形三边的关系求解即可。
7．在 中， ， ， ，则 等于（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵ 中， ， ， ，
∴ ，
∴AC= =2．
故答案为：B．
【分析】利用解直角三角形的计算方法求解即可。
8．如图，电线杆AB的中点C处有一标志物，在地面D点处测得标志物的仰角为45°，若测得DC的长度为 a，则电线杆AB的长可表示为（ ）
A．a B．2a C． a D． a
【答案】B
【解析】【解答】解：∵CD= a，∠D=45°，AB⊥BD，
∴BC=CD sin45°= a =a．
∵点C是AB的中点，
∴AB=2BC=2a．
故答案为：B．
【分析】根据解直角三角形即可求出AB的长。
9．已知等边△ABC的边长为 ，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时，AD的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】如图，设BD=x，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点F，FG⊥AB，
∴∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°，
∴∠ADE=∠CEF=∠BFD=30°，
∴BF=2BD=2x，
∴CF=18-2x，
∴CE=2CF=36-4x，
∴AE=18-CE=4x-18，
∴AD=2AE=8x-36，
∵AD+BD=AB，
∴8x-36+x=18，
∴x=6，
∴AD=8x-36=48-36=12，
故答案为：C.
【分析】设BD=x，根据等边三角形的性质得到∠A=∠B=∠C=60°，由垂直的定义得到∠BDF=∠DEA=∠EFC=90°，解直角三角形即可得到结论.
10．矩形纸片中，，将纸片对折，使顶点A与顶点C重合，得折痕，将纸片展开铺平后再进行折叠，使顶点B与顶点D重合，得折痕，展开铺平后如图所示.若折痕与较小的夹角记为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接AC、BM、DN、CE，过点M作MG⊥AC于点G，
∵四边形ABCD是矩形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，，
∴BC=AD=2a，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由折叠可知，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
故答案为：D.
【分析】连接AC、BM、DN、CE，过点M作MG⊥AC于点G，由矩形的性质及同角的余角相等得∠ACB=∠MAG，由有两组角对应相等的两个三角形相似得△MAG∽△ABC，由相似三角形对应边成比例得，设AM=x，AB=a，则BC=AD=2a，MB=MD=2a-x，用勾股定理表示出AC，在Rt△ABM中利用勾股定理建立方程用含a的式子表示出x，由折叠的性质得，，代入比例式可表示出MG、AG，进而表示出OG，利用正切函数的定义求出tan∠GMO，由平行线的性质推出∠GMO=∠MOE，由等角的同名三角函数值相等即可得出答案.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，菱形的周长为40，对角线，相交于点O，若点E是的中点， 则的长是
【答案】5
【解析】【解答】解：四边形是菱形，且周长为，
，，
点是的中点，
，
故答案为：．
【分析】利用菱形的性质得出的长，进而根据直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
12．三角形的两边长为3和4，则第三边（边长为整数）可以是 .
【答案】5（答案不唯一）
【解析】【解答】解：设第三边的长为x，则
4-3＜x＜4+3，
所以1＜x＜7.
又x为整数，
所以x可取2，3，4，5，6.
故答案为 5（答案不唯一）.
【分析】设第三边的长为x，根据三角形的三边关系：任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此可得x的范围，然后结合x为整数可得x的取值.
13．北京冬奥会雪上项目竞赛场地“首钢滑雪大跳台”巧妙地融入了敦煌壁画“飞天”元素.如图，赛道剖面图的一部分可抽象为线段AB.已知坡AB的长为50m，坡AB的坡比为3：4，则铅直高度AH为 m.
【答案】30
【解析】【解答】解：∵坡AB的坡比为3：4，
∴设AH＝3x，则BH＝4x，
在Rt△ABH中，由勾股定理得：，
∴，
∴x＝10（负值已舍去），
∴AH＝30m，
故答案为：30.
【分析】由坡比可设AH＝3x，BH＝4x，在Rt△ABH中，利用勾股定理建立关于x方程并解之即可.
14．已知一直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边上中线的长度是 ．
【答案】5
【解析】【解答】解：在直角三角形中，两直角边长分别为6和8，
则斜边长= =10，
∴斜边中线长为 ×10=5，
故答案为 5．
【分析】考查了勾股定理的应用和直角三角形上斜边中线的性质，根据勾股定理得两直角边的平方和等于斜边的平方，题目中给出了两直角边边，则可算出斜边，然后根据直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，即可得出斜边上中线的长度。
15．如图，将两块直角三角板的斜边重合，E是两直角三角形公共斜边AC的中点，D，B分别为直角顶点，连结DE，BE，DB，∠DAC=60°，∠BAC=45°.则∠EDB的度数为 .
【答案】15°
【解析】【解答】解：∵△ADC和△ABC为直角三角形，
∴BE=DE=AC，
∵∠BAC=45°，E为AC的中点，
∴BE⊥AC，即∠BEA=90°，
∵∠DAC=60°，DE=AE，
∴∠AED=60°，
∴∠BED=∠BEA+∠AED=90°+60°=150°，
∴∠EDB=∠EBD=（180°-150°）÷2=15°.
故答案为：15°.
【分析】利用直角三角形斜边中线的性质求出△BED为等腰三角形，再利用三角形内角和定理分别求出∠AED和∠BEA的度数，则∠BED可知，从而求出∠BDE的度数。
16．如图，矩形 中， ， ，点 是 边上一动点，连接 、 ，则 的最小值为 ．
【答案】3+2
【解析】【解答】解：过点C作直线CE，使CE与BC的夹角为30°，过点P作PE⊥CE，垂足为点E，
∵∠PCE=30°，PE⊥CE，
∴PE= PC，
∴ 的最小值即为PA+PE的最小值，
当PA和PE在同一直线上时，PA+PE最小，此时，PA+PE=AE，
∵∠APB=∠CPE，且∠PCE+∠CPE=∠PAB+∠APB=90°，
∴∠PAB=∠PCE=30°，
∴AP=2BP，
∴ ，解得：BP= （负值舍去），
∴AP= ，
∴PE= ，
∴AE=PA+PE= + =3+2 ，
∴ 的最小值为3+2 ．
故答案是：3+2 ．
【分析】 求，关键把转化，化曲为直；本题通过构造直角三角形将进行转化，是一个难点
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．等腰△ABC两边的长分别是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个解，则这个等腰三角形的周长是多少？
【答案】解：解方程x2﹣5x+6＝0，得：x＝2或x＝3，
当2为腰时，2+2＞3，可以构成三角形，周长为7；
当3为腰时，3+3＞2，可以构成三角形，周长为8.
【解析】【分析】先利用因式分解法求出方程的解，然后分当2为腰时与当3为腰时两种情况考虑，再结合等腰三角形的性质及三角形三边关系判断是否构成三角形，继而可得答案.
18．2013年9月23日强台风“天兔”登录深圳，伴随着就是狂风暴雨梧桐山山坡上有一棵与水平面垂直的大树，台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）.已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干的倾斜角为∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=3m.
（1）求∠DAC的度数；
（2）求这棵大树折断前的高度？（结果保留根号）.
【答案】（1）解：延长BA交EF于一点G，
则∠DAC=180°-∠BAC-∠GAE=180°-38°-（90°-23°）=75°.
（2）解：过点A作CD的垂线，设垂足为H，则Rt△ADH中，
∵∠ADC=60°，∠AHD=90°，
∴∠DAH=30°，
∵AD=3，
∴DH= ，AH= ，
在Rt△ADH中 ，∵∠CAH=∠CAD-∠DAH=75°-30°=45°，
∴∠C=45°，
故CH=AH= ，AC=
故树高 + + （米）.
【解析】【分析】（1）延长BA交EF于一点G，由平角的定义得∠DAC=180°-∠BAC-∠GAE；（2）过点A作CD的垂线，设垂足为H，构造了两个直角三角形，根据60度的角和AD=3m，可得AH= AD，DH= AD；又∠CAH=∠CAD-∠DAH=75°-30°=45°，可得CH=AH，AC= AH，则原树高为AC+CH+HD.
19．如图，一艘海轮位于灯塔C的北偏东45方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东30°方向上的B处，求此时船距灯塔的距离（参考数据： ≈1.414， ≈1.732，结果取整数）.
【答案】解：过C作CD⊥AB，
在Rt△ACD中，∠A＝45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴AD＝CD＝ AC＝50 海里，
在Rt△BCD中，∠B＝30°，
∴BC＝2CD＝100 海里≈141海里，
则此时船距灯塔的距离为141海里.
【解析】【分析】 过C作CD⊥AB， 根据等腰直角三角形的性质得出 AD＝CD＝ AC＝50 海里 ，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出 BC＝2CD＝100 海里≈141海里。
20．如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面 处测得楼房顶部 的仰角为 ，沿坡面向下走到坡脚 处，然后向楼房方向继续行走10米到达 处，测得楼房顶部 的仰角为 .已知坡面 米，山坡的坡度 （坡度 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求楼房 高度.（结果精确到0.1米）（参考数据： ， ）
【答案】解：如图所示：过D作DG⊥BC于G，DH⊥AB于H，交AE于F，作FP⊥BC于P，则DG=FP=BH，DF=GP，
∵坡面CD=8米，山坡的坡度i=1：
∴∠DCG=30°，
∴FP=DG=BH= CD=4，
∴CG= DG=4 ，
∵∠FEP=60°，
∴FP= EP=4，
∴EP=
∴DF=GP=4 +10+ = +10
∵∠AEB=60°，
∴∠EAB=30°，
∵∠ADH=30°，
∴∠DAH=60°，
∴∠DAF=30°=∠ADF，
∴AF=DF= +10.
∴FH= AF= +5.
∴AH= FH=8+5 .
∴AB=AH+BH=8+5 +4≈20.7（米）
答：楼房AB高度约为20.7米.
【解析】【分析】过D作DG⊥BC于G，DH⊥AB于H，交AE于F，作FP⊥BC于P，则DG=FP=BH，DF=GP，求出∠DCG=30°，得出FP=DG= CD=4.CG= DG=4 ，求出DF=GP=4 +10，证出∠DAF=30°=∠ADF，得出AF=DF=4 +10，得出FH= AF，因此AH=FH，最后根据AB=AH+BH即可得出答案.
21．如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△ABC来测量操场旗杆MN的高度，他们通过调整测量位置，并使边AC与旗杆顶点M在同一直线上，已知AC＝0.8米，BC＝0.5米，目测点A到地面的距离AD＝1.5米，到旗杆的水平距离AE＝20米，求旗杆MN的高度．
【答案】解：根据题意，得，，，
∵Rt△ABC
∴
∵
∴
∴
∵AC＝0.8米，BC＝0.5米，AE＝20米
∴米
∵，，
∴四边形为矩形
∴米
∴米．
【解析】【分析】可证 ，利用相似三角形的性质可求出ME的长，由题意知四边形为矩形，可得米，利用MN=ME+EN即可求解.
22．在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF∥MN，小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B处，测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD=10米.请根据这些数据求出河的宽度.(结果保留根号)
【答案】解：如图作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分别为H、K，则四边形BHCK是矩形，
设CK=HB=x，
∵∠CKA=90°，∠CAK=45°，
∴∠CAK=∠ACK=45°，
∴AK=CK=x，BK=HC=AK-AB=x-30，
∴HD=x-30+10=x-20，
在Rt△BHD中，∵∠BHD=90°，∠HBD=30°，
∴tan30°= ，
∴
解得x=30+10 .
∴河的宽度为（30+10 ）米。
【解析】【分析】 作BH⊥EF，CK⊥MN，垂足分别为H、K，根据三个角是直角的四边形是矩形可得四边形BHCK是矩形， 则可设CK=HB=x，由线段的构成得BK=HC=AK-AB，则可将BK用含x的代数式表示出来，由HD=HC+CD=BK+CD可将HD用含x的代数式表示出来，在Rt△BHD中， 根据 tan30°= 可得关于x的方程，解方程可求解.
23．如图1是小区常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，如图2，从侧面看，立柱DE高1.8米，踏板静止时踏板连杆与DE上的线段AB重合，BE长为0.2米，当踏板连杆绕着点A旋转到AC处时，测得∠CAB＝37°，此时点C距离地面的高度CF为0.45米，求AB和AD的长(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
【答案】解：过点 作 于 ，
则四边形 是矩形，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∴ ， ，
在 中， ， ，
，
解得： ，
∴ 米， 米，
答： 和 的长分别为1.25米，0.35米.
【解析】【分析】过点C作CG⊥AB于G， 则四边形CFEG是矩形，EG=CF=0.45，设AD=x，则AE=1.8-x，AC=1.6-x，AG=1.35-x，根据∠CAG余弦函数的概念可得x的值，进而可得AD、AB的值.
24．如图，AC是某市环城路的一段，AE，BF，CD都是南北方向的街道，其与环城路AC的交叉路口分别是A，B，C经测量东方家具城D位于点A的北偏东45°方向，点B的北偏东30°方向上，AB=2km，∠DAC=15°，求C、D之间的距离（结果保留根号）．
【答案】解：∵由题意可得∠EAD=45°，∠FBD=30°，又∵∠DAC=15°，∴∠EAC=60°，∵AE∥BF，∴∠FBC=∠EAB=60°，∴∠DBC=30°，∴∠BDA=∠DBC﹣∠DAB=30°﹣15°=15°，∴∠BDA=∠DAB，∴AB=DB=2km，∴∠ADB=15°，∴∠DBC=∠ADB+∠DAC=15°+15°=30°；过B作BO⊥DC，交其延长线于点O，在Rt△DBO中，BD=2，∠DBO=60°，∴DO=2×sin60°= ，BO=2×cos60°=1．在Rt△CBO中，∠CBO=30°，CO=BOtan30°= ，∴CD=DO﹣CO= ﹣ = （km）．即C，D之间的距离 km．
【解析】【分析】通过作垂线把特殊角放到直角三角形Rt△DBO、Rt△CBO中，利用平行线的性质，转化同位角得到∠CBO=30°，∠DBO=60°，进而 DO、CO，二者之差即可求出CD.
25．如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝60°，AC＝2，点A1，B1为边AC，BC的中点，连接A1B1，将△A1B1C绕点C逆时针旋转α（0°≤α≤360°）．
（1）如图1，当α＝0°时，＝ ，BB1，AA1所在直线相交所成的较小夹角的度数为 ；
（2）将△A1B1C绕点C逆时针旋转至图2所示位置时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）在△A1B1C绕点C逆时针旋转过程中，
①请直接写出的最大值；
②当A1，B1，B三点共线时，请直接写出线段BB1的长．
【答案】（1）2；60°
（2）解：（1）中结论仍然成立，证明：延长AA1，BB1相交于点D，如图2，
由旋转知，∠ACA1＝∠BCB1，
A1C＝1，B1C＝2，
∵AC＝2，BC＝4，
∴
∴
∴△ACA1∽△BCB1，
∴，∠CAA1＝∠CBB1，
∴∠ABD+∠BAD＝∠ABC+∠CBB1+∠BAC-∠CAA1＝∠ABC+∠BAC＝30°+90°＝120°，
∴∠D＝180°-（∠ABD+∠BAD）＝60°；
（3）解：①3；
②线段BB1的长为+或-．
【解析】【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AC=2，
∠ACB＝60°，
∠ACB＝30°，
BC=2AC=4，
B1为BC的中点，A1为边AC的中点，
∠ACB＝60°，
、所在直线相交所成的较小夹角为∠ACB＝60°，
故答案为：2，60°；
（3）①由题意，AC=2，AB=
当点落在AC的延长线上时，的面积最大，最大值=
②在Rt△中，，当点在的延长线上时，如图3，
、、B三点共线，
在Rt△中，
当点在线段上时，如图4，
图4
与①一样可求得
线段的长为或
【分析】（1）先求出BC，再求出的值，进而得出结论.
（2）先证明△ACA1∽△BCB1，得出 ， ∠CAA1＝∠CBB1， 进而求得∠ABD+∠BAD的值，即可得出结论；
（3）①当点落在AC的延长线上时，的面积最大，直接利用三角形面积公式即可求解；
②分两种情况讨论：先画出图形，利用勾股定理求出、即可得出结论.
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