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第二十六章 二次函数 单元综合强化提升卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3的对称轴是（ ）
A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝3 D．直线x＝﹣3
2． 抛物线y＝(x－2)2＋1的顶点坐标为（ ）
A．(2，1) B．(－2，1) C．(2，－1) D．(－2，－1)
3．抛物线y＝﹣2（x﹣6）2+8的顶点坐标是（ ）
A．（6，8） B．（﹣6，﹣8）
C．（﹣6，8） D．（6，﹣8）
4．已知函数 ，则下列函数图象正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．函数y=（m﹣1）x2﹣5x﹣6是关于x的二次函数，则m（ ）
A．等于1 B．不等于1 C．等于﹣1 D．不等于﹣1
6．将抛物线 向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为（ ）
A． B．
C． D．
7．在下列二次函数中，其图象对称轴为的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，抛物线 交 轴于点 ，对称轴为直线 ，若 ，则x的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
9．已知抛物线的解析式为，则该抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（3，2） B．（﹣3，2）
C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）
10．已知函数 ，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．二次函数经过点，则 ．
12．抛物线的顶点坐标是 ．
13． 抛物线 经过 ，， 三点，则 ，， 的大小关系为 ．
14．函数y=2x2中，自变量x的取值范围是 ，函数值y的取值范围是 ．
15． 若 是关于x的二次函数，则m= .
16．如图，已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．
（1）抛物线的解析式为 ；
（2）若点D、N均在此抛物线上，其中点D坐标为（2，﹣2），点N满足∠NBO＝∠ABO，P为平面上一点，则所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标有 （点P、O、D分别与点N、O、B对应）．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．若．
（1）取什么值时，此函数是二次函数？
（2）取什么值时，此函数是一次函数？
18．二次函数与直线的图象交于点．
（1）______．
（2）求该二次函数的解析式，并写出顶点坐标和对称轴．
19．一位滑雪者从某山坡滑下并滑完全程20m，滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）近似满足“一次函数”、“二次函数”关系中的一种．测得一些数据如下：
滑行时间 0 1 2 3 4
滑行距离 0 2 6 12 20
（1）s是t的__________函数（填“一次”、“二次”）；
（2）求s关于t的函数表达式；
（3）已知第二位滑雪者也从该山坡滑下并滑完全程，且滑行距离与第一位滑雪者相同，滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）近似满足函数关系．记第一位滑雪者滑完全程所用时间为，第二位滑雪者滑完全程所用时间为，则__________（填“<”，“=”或“>”）．
20．当k为何值时，函数y=（k﹣1）为二次函数？
21．新定义：如果二次函数的图象经过点，那么称此二次函数图象为“定点抛物线”．
（1）若抛物线是“定点抛物线”，求该抛物线的表达式．
（2）已知抛物线（，为常数，且）．
①求证：该抛物线为“定点抛物线”；
②若，当抛物线的顶点在最低位置时，抛物线上有两点，，当时，求的取值范围．
22．已知抛物线y＝（k﹣1）x2﹣2kx+3k，其中k为实数．
（1）若抛物线经过点（1，3），求k的值；
（2）若抛物线经过点（1，a），（3，b），试说明ab＞﹣3．
23．已知y＝（a﹣3）﹣2是二次函数，求a．
24．如图，抛物线：y1＝ax2＋2ax（a＞0）与x轴交于点A，顶点为点P．
（1）直接写出抛物线的对称轴是 ，用含a的代数式表示顶点P的坐标 ；
（2）把抛物线，绕点M（m，0）旋转180°得到抛物线（其中m＞0），抛物线与x轴右侧的交点为点B，顶点为点Q．
①当m＝1时，求线段AB的长；
②在①的条件下，是否存在△ABP为等腰三角形．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
25．如图，抛物线其中为常数且经过点．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）如图，连接，点P在直线下方的抛物线上，求的面积最大时点P的坐标．
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第二十六章 二次函数 单元综合强化提升卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3的对称轴是（ ）
A．直线x＝1 B．直线x＝﹣1 C．直线x＝3 D．直线x＝﹣3
【答案】B
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的图象与性质求对称轴即可。
2． 抛物线y＝(x－2)2＋1的顶点坐标为（ ）
A．(2，1) B．(－2，1) C．(2，－1) D．(－2，－1)
【答案】A
【解析】【解答】解：因为 是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为(2，1).
故答案为：A.
【分析】根据顶点式 的顶点坐标为(h，k)解答即可.
3．抛物线y＝﹣2（x﹣6）2+8的顶点坐标是（ ）
A．（6，8） B．（﹣6，﹣8）
C．（﹣6，8） D．（6，﹣8）
【答案】A
【解析】【解答】抛物线y＝﹣2（x﹣6）2+8的顶点坐标是（6，8）
故答案为：A.
【分析】已知抛物线的顶点式，直接写出顶点坐标即可
4．已知函数 ，则下列函数图象正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：y=x2+1，开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是（0，1），当x≥﹣1时，B、C、D正确；
y= ，图象在第一、三象限，当x＜﹣1时，C正确．
故选：C．
【分析】y=x2+1在x≥﹣1时的性质和y= 在x＜﹣1时的性质，选出正确选项即可．
5．函数y=（m﹣1）x2﹣5x﹣6是关于x的二次函数，则m（ ）
A．等于1 B．不等于1 C．等于﹣1 D．不等于﹣1
【答案】B
【解析】【解答】∵函数y=（m﹣1）x2﹣5x﹣6是关于x的二次函数，∴m﹣1≠0，∴m≠1．故选B．
【分析】根据二次函数的定义得到m﹣1≠0，然后解不等式即可．
6．将抛物线 向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵抛物线y=-2x2-3向右平移2个单位长度，
∴平移后解析式为：y=-2（x-2）2-3，
∴再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为：y=-2（x-2）2-3+1．
即y=-2（x-2）2-2；
故答案为：B．
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行平移.
7．在下列二次函数中，其图象对称轴为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：
A、对称轴为x=-2，A符合题意；
B、对称轴为x=0，B不符合题意；
C、对称轴为x=0，C不符合题意；
D、对称轴为x=2，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据二次函数的图象结合题意即可求解。
8．如图，抛物线 交 轴于点 ，对称轴为直线 ，若 ，则x的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】B
【解析】【解答】解：∵交y轴于点（0，5），
∴c＝5，
∵对称轴为直线x＝ 2，
∴ ＝ 2，
∴b＝ 4，
∴y＝ x2 4x＋5，
当y＝0时， x2 4x＋5＝0，
∴x＝ 5或x＝1，
∴y＞0时， 5＜x＜1；
故答案为：B．
【分析】由交y轴于点（0，5），求出c=5；由对称轴为直线x=-2，求出b，确定函数解析式求出二次函数与x轴的交点即可求解。
9．已知抛物线的解析式为，则该抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（3，2） B．（﹣3，2）
C．（﹣3，﹣2） D．（3，﹣2）
【答案】C
【解析】【解答】的顶点坐标为；
故答案为：C．
【分析】本题考查二次函数的图象与性质．二次函数的顶点式为的顶点坐标为，据此可写出函数的顶点．
10．已知函数 ，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】【解答】如图：
利用顶点式及取值范围，可画出函数图象会发现：当x=3时，y=k成立的x值恰好有三个，此时y= ，则k的值为3。
【分析】利用顶点式及取值范围，可画出函数图象，从而得出x=3时满足题意，进而解得k。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．二次函数经过点，则 ．
【答案】2
【解析】【解答】解：将P（-1，2）代入中得：，
解得：，
故答案为：2.
【分析】将点P（-1，2）代入y=ax2，可求出a的值.
12．抛物线的顶点坐标是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：由得到顶点坐标是，
故答案为：
【分析】根据题意可得函数解析式为顶点式，据此可得得到顶点坐标是.
13． 抛物线 经过 ，， 三点，则 ，， 的大小关系为 ．
【答案】y1＞y3＞y2
【解析】【解答】解：由已知可得对称轴为直线x=1，
关于直线x=1的对称点为，
∵图象开口向上，
∴当x<1时，y随x的增大而减小，
∴y1＞y3＞y2.
故答案为：y1＞y3＞y2 .
【分析】先写出抛物线的对称轴，再写出 关于直线x=1的对称点，最后根据函数的单调性即可得出答案.
14．函数y=2x2中，自变量x的取值范围是 ，函数值y的取值范围是 ．
【答案】全体实数；y≥0
【解析】【解答】解：函数y=2x2中，自变量x的取值范围是全体实数，函数值y的取值范围是y≥0，
故答案为：全体实数，y≥0
【分析】由于该二次函数的解析式是一个整式，故自变量的取值是全体实数，再根据偶次方的非负性，得出其对应的函数值一定是非负数。
15． 若 是关于x的二次函数，则m= .
【答案】- 1或±2或±或±
【解析】【解答】解：①当m+1=0时，是二次函数，此时m=-1；
②当 m+1+2≠0时，是二次函数，此时m=±2；
③当 时，是二次函数，此时
④当 时，是二次函数，此时
综上所述，m=-1或±2或 或
故答案为： - 1或±2或±或±.
【分析】根据二次函数的定义，可得方程，根据解方程，可得答案.
16．如图，已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过A（3，0）、B（4，4）两点．
（1）抛物线的解析式为 ；
（2）若点D、N均在此抛物线上，其中点D坐标为（2，﹣2），点N满足∠NBO＝∠ABO，P为平面上一点，则所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标有 （点P、O、D分别与点N、O、B对应）．
【答案】（1）x2-3x
（2）（-，），（，）
【解析】【解答】解：（1）由题意得：，
解得，
∴y=x2-3x，
故答案为：x2-3x.
（2）如图，过点D作DP1∥N1B1，
∵B（4，4），
∴直线OB的解析式为y=x，且A（3，0），
∴点A关于直线OB的对称点A’的坐标为（0，3），
设直线A'B的解析式为y=kx+3，
∵B（4，4），
∴4k+3=4，解得k=，
∴直线A'B的解析式为y=x+3，
∵∠NBO=∠ABO，
∴点N在直线A'B上，
∴设点N（n，n+3），又点N在抛物线上，
∴n+3=n2-3n，
解得：n=-或4（与B点重合，不合题意），
∴点N的坐标为（-，），
将△NOB沿x轴翻折，得到△N1OB1，
则N1（，），B1（4，-4），
∴O、D、B1都在直线y=-x上，
∵ △P1OD∽△NOB ，
∴△P1OD∽△N1OB ，
∴P1是ON1的中点，
∴，
∴点P1的坐标为（-，），
将△P1OD沿直线y=-x翻折，可得到另一个满足条件的点到x轴
距离等于P1到y轴的距离，点到y轴距离，
∴此点坐标为（，），
综上，点P的坐标是（-，），（，）.
故答案为：（-，），（，）.
【分析】 （1）利用待定系数法求二次函数解析式进而得出答案即可；
（2）根据解方程组，可得N点坐标，求出直线A′B的解析式，进而由△P1OD∽△NOB，得出△P1OD∽△N1OB1，进而求出点P1的坐标，再利用翻折变换的性质得出另一点的坐标．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．若．
（1）取什么值时，此函数是二次函数？
（2）取什么值时，此函数是一次函数？
【答案】（1）解：当是二次函数时，
有，
解得，
当时，此函数是二次函数；
（2）解：当是一次函数时，
有，
解得或，
当或时，此函数是一次函数．
【解析】【分析】（1）根据形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数叫做二次函数，即可列出混合组，求解即可；
（2）根据形如y=kx+b（k≠0）的函数叫做一次函数，即可列出混合组，求解即可.
18．二次函数与直线的图象交于点．
（1）______．
（2）求该二次函数的解析式，并写出顶点坐标和对称轴．
【答案】（1）1
（2），顶点坐标为，对称轴为y轴
19．一位滑雪者从某山坡滑下并滑完全程20m，滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）近似满足“一次函数”、“二次函数”关系中的一种．测得一些数据如下：
滑行时间 0 1 2 3 4
滑行距离 0 2 6 12 20
（1）s是t的__________函数（填“一次”、“二次”）；
（2）求s关于t的函数表达式；
（3）已知第二位滑雪者也从该山坡滑下并滑完全程，且滑行距离与第一位滑雪者相同，滑行距离s（单位：m）与滑行时间t（单位：s）近似满足函数关系．记第一位滑雪者滑完全程所用时间为，第二位滑雪者滑完全程所用时间为，则__________（填“<”，“=”或“>”）．
【答案】（1）二次
（2）解：设函数关系式为，
根据题意，得，
解得，
∴函数关系式为；
（3）
【解析】【解答】（1）解：自变量增加1时，函数值依次增加了2，4，6，8，可知是二次函数；
故答案为：二次；
（3）解：根据题意，得，
当时，，
∴．
故答案为：．
【分析】（1）一次函数的特点是函数值随自变量均匀变化，即相邻函数值的差值为常数； 二次函数的特点是函数值的差值的差值为常数，据此通过计算给定数据中相邻s值的差值及差值的差值来判断
（2）用待定系数法求出函数关系式即可
（3）当时，分别求出t1，t2，再比较大小．
（1）解：自变量增加1时，函数值依次增加了2，4，6，8，可知是二次函数；
故答案为：二次；
（2）解：设函数关系式为，根据题意，得
，
解得，
∴函数关系式为；
（3）解：根据题意，得，
当时，，
∴．
故答案为：．
20．当k为何值时，函数y=（k﹣1）为二次函数？
【答案】解：∵函数y=（k﹣1）为二次函数，
∴k2+k=2，k﹣1≠0，
∴k1=1，k2=﹣2，k≠1，
∴k=﹣2．
【解析】【分析】根据二次函数的定义，令k2+k=2且同时满足k﹣1≠0即可解答．
21．新定义：如果二次函数的图象经过点，那么称此二次函数图象为“定点抛物线”．
（1）若抛物线是“定点抛物线”，求该抛物线的表达式．
（2）已知抛物线（，为常数，且）．
①求证：该抛物线为“定点抛物线”；
②若，当抛物线的顶点在最低位置时，抛物线上有两点，，当时，求的取值范围．
【答案】（1）解：将代入，
得，
解得，
故抛物线的表达式为；
（2）①证明：将代入，得，
点在抛物线上，
∴该抛物线为“定点抛物线”.
②，
该抛物线的开口向下，
由题可知该抛物线经过点，
当抛物线的顶点在最低位置时，顶点坐标为.
此时抛物线的对称轴为直线，
点关于直线的对称点为.
画出抛物线的大致图象如图所示：
结合图象可知，当时，点在直线上方，
此时.
【解析】【分析】（1）将代入，求出，再求解即可；
（2）①根据题意先求出，再求出点在抛物线上，最后证明求解即可；
②先求出抛物线的开口向下，再求出当抛物线的顶点在最低位置时，顶点坐标为，最后作答求解即可.
（1）解：将代入，
得，
解得，
故抛物线的表达式为；
（2）①证明：将代入，得，
点在抛物线上，
∴该抛物线为“定点抛物线”.
②，
该抛物线的开口向下，
由题可知该抛物线经过点，
当抛物线的顶点在最低位置时，顶点坐标为.
此时抛物线的对称轴为直线，
点关于直线的对称点为.
画出抛物线的大致图象如图所示；
结合图象可知，当时，点在直线上方，
此时；
22．已知抛物线y＝（k﹣1）x2﹣2kx+3k，其中k为实数．
（1）若抛物线经过点（1，3），求k的值；
（2）若抛物线经过点（1，a），（3，b），试说明ab＞﹣3．
【答案】（1）解：将点（1，3）代入y＝（k﹣1）x2﹣2kx+3k中，
得：3＝k﹣1﹣2k+3k，
解得：k＝2；
（2）解：∵抛物线经过点（1，a），（3，b），
∴a＝k﹣1﹣2k+3k＝2k﹣1，b＝9k﹣9﹣6k+3k＝6k﹣9，
∴ab
＝（2k﹣1）（6k﹣9）
＝12k2﹣24k+9
＝12（k﹣1）2﹣3，
∵12（k﹣1）2≥0，
∴12（k﹣1）2﹣3≥﹣3，
∵二次函数二次项系数不为0，即k﹣1≠0，即k≠1，
∴12（k﹣1）2＞0，
∴12（k﹣1）2﹣3＞﹣3，
即ab＞﹣3．
【解析】【分析】（1）将点（1，3）代入即可求解；
（2）先将点代入分别表示a和b，进而即可得到ab，再根据二次函数的定义结合题意即可求出ab的范围。
23．已知y＝（a﹣3）﹣2是二次函数，求a．
【答案】解：∵y＝（a﹣3）﹣2是二次函数，
则a2﹣2a﹣1＝2，
解得a＝3或a＝﹣1，
又∵a﹣3≠0，
∴a≠3，
∴a＝﹣1．
【解析】【分析】利用二次函数y=ax2（a≠0），根据二次项系数不等于0，且最高次数为2，可得到关于a的不等式和方程，然后求出不等式的解集和方程的解，由此可得到a的值.
24．如图，抛物线：y1＝ax2＋2ax（a＞0）与x轴交于点A，顶点为点P．
（1）直接写出抛物线的对称轴是 ，用含a的代数式表示顶点P的坐标 ；
（2）把抛物线，绕点M（m，0）旋转180°得到抛物线（其中m＞0），抛物线与x轴右侧的交点为点B，顶点为点Q．
①当m＝1时，求线段AB的长；
②在①的条件下，是否存在△ABP为等腰三角形．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）直线x＝－1；（－1，－a）
（2）解：①由旋转知，MA＝MB，当y1＝0时，＝－2，＝0，∴A（－2，0），∴AO＝2，
∵M（1，0），∴AM＝3，∴AB＝2MA＝2×3＝6
②存在，∵A（－2，0），AB＝6，∴B（4，0）．∵A（－2，0），P（－1，－a），∴AP＝＝，BP2＝25＋a2，当AB＝AP时，1＋a2＝，解得＝，＝－（舍去）；
当AB＝BP时，25＋a2＝，解得＝，＝－（含去）；
当AP＝BP时，1＋a2＝25＋a2，不成立，即当a取或时，△ABP为等腰三角形．
【解析】【解答】解：（1）y1＝ax2＋2ax（a＞0）
对称轴为x==-1，
当x=-1时，y1＝a-2a=-a，
∴ 顶点P的坐标（-1，-a）.
故答案为： 直线x＝－1 ， （－1，－a）
【分析】（1）直接利用对称轴公式求出对称轴，即而求出顶点坐标；
（2）① 由旋转知MA＝MB ，令y1＝0时求出x值，即可确定A的坐标，从而得出AM的长，由AB＝2MA即可求解；
②分三种情况： 当AB＝AP时、当AB＝BP时和当AP＝BP时 ，据此分别解答即可.
25．如图，抛物线其中为常数且经过点．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）如图，连接，点P在直线下方的抛物线上，求的面积最大时点P的坐标．
【答案】（1）解：根据题意知抛物线与轴的交点为和，∴设抛物线的函数解析式为．
把代入，得，解得，
∴抛物线的函数解析式为．
故答案为：抛物线的函数解析式为．
（2）解：如图，连接，过点P作轴于点D，交于点E．
设直线的解析式为．将代入，得
解得
直线的解析式为．
设点P的坐标为，则点E的坐标为，
，
．
，开口向下
当时，有最大值，此时点P的坐标为．
故答案为：
．
【解析】【分析】
（1）根据抛物线与轴的交点和，设抛物线的解析式为，将点B的坐标代入该解析式，利用待定系数法即可求出抛物线的函数解析式。
（2）过点P作轴于点D，交于点E．设点P的坐标为，先求出直线AB的解析式，进而得到点E的坐标为，由此可计算出PE的长度为：，最后结合三角形面积公式计算即可。
（1）解：根据题意知抛物线与轴的交点为和，
∴设抛物线的函数解析式为．
把代入，得，解得，
∴抛物线的函数解析式为．
故答案为：抛物线的函数解析式为．
（2）解：如图，连接，过点P作轴于点D，交于点E．
设直线的解析式为．将代入，得
解得
直线的解析式为．
设点P的坐标为，则点E的坐标为，
，
．
，开口向下
当时，有最大值，此时点P的坐标为．
故答案为：
．
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