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第二十七章 圆与正多边形 单元核心素养提升卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知☉O的半径为6，A为线段PO的中点，当OP=10时，点A与☉O的位置关系为（ ）
A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不确定
2．如图，在 中，弦AB垂直平分半径OC，OC=2，则弦AB的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图是一个半径为6cm的的纸片，是的内接三角形，分别以直线和折叠纸片，和都经过圆心O，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，⊙O过点B，C．圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为（ ）
A． B．2 C．3 D．
5．如图，是直径，弦，垂足为，若，，则等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．如图所示，小昆从A点出发，沿直线前进10米后向左转，再沿直线前进10米后，又向左转，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（ ）
A．60米 B．70米 C．80米 D．90米
7．如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．若完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
8．下列结论中：① 的内切圆半径为 ， 的周长为 ，则 的面积是 ；②同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面向上的概率为 ；③圆内接平行四边形是矩形；④无论 取何值，方程 总有两个不等的实数根．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
9．如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝12，且AC+BC＝10，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，一张扇形纸片OAB，∠AOB=120°，OA=6，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O重合，折痕为CD，则图中未重叠部分(即阴影部分)的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在扇形中，，，则的长为 .
12．已知扇形的圆心角为150°，半径为3cm，则扇形的面积是 cm2．
13．如图，△ABC中，∠BAC=90°，点G是△ABC的重心，如果AG=4，那么BC的长为 ．
14．如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为 ．
15． 如图，在扇形中，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线，若，，则扇形的面积为 （结果保留）．
16．如图，等腰 放置在直线 上， ， .将 绕点 旋转，使点 的对应点 落在直线 上，再将第一次旋转得到的三角形绕点 继续旋转，使其顶点 落在直线 上点 处，则点 经过的路径总长为 （结果保留 ）.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为P，BP=2cm，CD=6cm，求直径AB的长．
18．如图， 在 中， 与 相切于点 ， 过点 作 的垂线交 的延长线于点 ， 交 于点 ， 连接 ．
（1） 求证： 是 的切线；
（2） 若 ， 求 的长．
19． “抖空竹”在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一小亮玩”抖空竹”游戏时发现可以将某时刻的情形抽象成数学问题如图，、分别与相切于点、，延长、交于点，连接、，的半径为，．
（1）连接，，判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若某时刻，与交于点，求的长．
20．如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠ABC=2∠ACB，点D平分，连结AD，BD，CD.
（1）求证：AB=CD.
（2）过点D作DG//AB，分别交AC，BC于点E，F，交⊙O于点G.
①若AD=a，BC=b，求线段EF的长.（用含a，b的代数式表示）
②若∠ABC=72°，求证：FG2=EF·DF.
21．用代数式表示图中阴影郎分的面积，并将所得结果化简.
22．如图所示：
（1）用代数式表示阴影部分的面积；
（2）当a=10，b=4时，π取值为3.14，求阴影部分的面积．
23．已知：如图，⊙O是Rt△ABC中的内切圆，切点分别为D、E、F，且∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm．求：⊙O的半径是多少cm？
24．如图①，在中，为直径，C为上一点，，过点C作的切线，与的延长线相交于点P.
图① 图②
（1）求的大小；
（2）如图②，过点B作的垂线，垂足为点E，与的延长线交于点F，
①求的大小；
②若的半径为2，求的长.
25．如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点E．点C是弧BF的中点．
（1）求证：AD⊥CD；
（2）若∠CAD=30°．⊙O的半径为3，一只蚂蚁从点B出发，沿着BE--EC--弧CB爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程(π≈3.14， ≈1.73，结果保留一位小数．)
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第二十七章 圆与正多边形 单元核心素养提升卷
（时间：100分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知☉O的半径为6，A为线段PO的中点，当OP=10时，点A与☉O的位置关系为（ ）
A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不确定
【答案】C
【解析】【解答】解：∵点A为OP的中点，
∴OA=OP÷2=5<6，
∴点A在☉O内部.
故答案为：C.
【分析】先根据中点的定义求得OA=5，再根据OA2．如图，在 中，弦AB垂直平分半径OC，OC=2，则弦AB的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，连接OA；
∵AB垂直平分半径OC，且OC=2，
∴AD=BD ，OD=1，且OA=2
由勾股定理得：AD=
∴AB=2AD=2
故答案为A.
【分析】连接OA，先说明AD=BD，再运用勾股定理即可求出AD的长，即可解答.
3．如图是一个半径为6cm的的纸片，是的内接三角形，分别以直线和折叠纸片，和都经过圆心O，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：连接，延长交于点D，如图所示：
∵是的内接三角形，的半径为6cm，
∴，cm，
∴cm，
∴，
∴cm，
由图得，阴影部分得面积即为的面积，
∴，
故答案为：A．
【分析】连接，延长交于点D，先证明阴影部分得面积即为的面积，再利用三角形的面积公式求解即可。
4．如图，⊙O过点B，C．圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，则⊙O的半径为（ ）
A． B．2 C．3 D．
【答案】D
【解析】【解答】解：过点O作OD⊥BC于点D
∴AD⊥BC
∴BD=BC=×6=3，
∵等腰直角△ABC，OD垂直平分BC
∴点A在线段BC的垂直平分线上，
∴点A、O、D三点共线
∴∠ABD=45°
△ADB是等腰直角三角形，
∴BD=AD=3
∴OD=AD-AO=3-1=2
∴OB=
∴圆的半径为
故答案为：D
【分析】过点O作OD⊥BC于点D，利用等腰三角形的性质及圆的对称性，可证得点A、O、D三点共线，利用垂径定理求出BD的长，再证明△ADB是等腰直角三角形，就可求出OD的长，然后利用勾股定理求出圆的半径。
5．如图，是直径，弦，垂足为，若，，则等于（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解析】【解答】解：连接，设，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，
故答案为：C
【分析】连接，设，，进而结合题意即可得到x，从而得到EO，再运用勾股定理结合题意即可求解。
6．如图所示，小昆从A点出发，沿直线前进10米后向左转，再沿直线前进10米后，又向左转，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（ ）
A．60米 B．70米 C．80米 D．90米
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可得：
小昆从A点出发，沿直线前进10米后向左转，再回到出发地A点是走了一个正多边形
则360°÷45°=8，即小昆正好走了一个正8边形
∴周长为：10×8=80
故答案为：C.
【分析】根据正多边形的外角和定理即可求出答案.
7．如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．若完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，
∵多边形是正五边形，
∴多边形的每一个内角为，
∴，
∴正五边形的个数是．
故答案为：D
【分析】先求出多边形的每一个内角为108°，再求出∠O=36°，最后计算求解即可。
8．下列结论中：① 的内切圆半径为 ， 的周长为 ，则 的面积是 ；②同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面向上的概率为 ；③圆内接平行四边形是矩形；④无论 取何值，方程 总有两个不等的实数根．其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】【解答】①如图1，连接OE，OD，OF；OA，OB，OC；
则OE⊥AB，OF⊥AC，OD⊥BC；
∴S△ABC= AB·OE+ BC·OD+ AC·OF
∵OE=OF=OD=r，AB+BC+AC=l，
∴S△ABC= AB·r+ BC·r+ AC·r= （AB+BC+AC）= ，
∴①符合题意．
②列举抛掷两枚硬币所能产生的全部结果，它们是：正正，正反，反正，反反，
∴满足硬币全部正面向上的概率= ，
∴②不符合题意．
③如图3，∵平行四边形ABCD为圆内接平行四边形，
∴OA=OB=OC=OD，且圆心O是对角线的交点，
∴BD=2OB=2OC=AC，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∴③符合题意．
④∵ ，即x2-5x+6-p2=0，
∴△=b2﹣4ac=（-5）2-4（6-p2），
∴△=25-24+4 p2＞0，
∴无论 取何值，该方程总有两个不相等的实数根，
∴④符合题意，
故答案为：B．
【分析】①如图，连接OE，OD，OF；OA，OB，OC；则OE⊥AB，OF⊥AC，OD⊥BC，由S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC进行求解即可判断；②利用举出所有等可能情况，求出其概率再判断即可；③根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判断；④求出△=1++4 p2＞0，据此即可判断.
9．如图，阴影部分表示以直角三角形各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，已知S1+S2＝12，且AC+BC＝10，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
∵S1+S2＝12，
∴ ×π× + π× + AC×BC﹣ π× ＝12，
∴AC×BC＝24，
AB＝ .
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理得到AC2+BC2＝AB2，根据扇形面积公式、完全平方公式计算即可.
10．如图，一张扇形纸片OAB，∠AOB=120°，OA=6，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O重合，折痕为CD，则图中未重叠部分(即阴影部分)的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图：连接AD，OD
由折叠可知：S弓形AD=S弓形OD，DA= DO
∵OA= OD
∴AD=OD=OA=6
∴△AOD为等边三角形
∴∠AOD=60°，∠DOB=60°
∴
∴S弓形AD=S弓形OD=S扇形ADO-S△ADO=
∵
∴阴影部分的面积为：
-S弓形OD= 6π -（）=.
故答案为：A.
【分析】连接AD，OD，得出：△AOD为等边三角形，∠AOD=60°，∠DOB=60°，S弓形AD=S弓形OD和
，再求出，从而求出S弓形AD=S弓形OD=S扇形ADO-S△ADO=，再根据阴影部分的面积=-S弓形OD进行计算即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在扇形中，，，则的长为 .
【答案】
【解析】【解答】解：lAB = nπr180=120π×6180=4π .
故答案为：.
【分析】直接根据弧长计算公式“”计算可得答案.
12．已知扇形的圆心角为150°，半径为3cm，则扇形的面积是 cm2．
【答案】
【解析】【解答】解：扇形的面积
故答案为：.
【分析】根据扇形面积公式，代入数据计算即可.
13．如图，△ABC中，∠BAC=90°，点G是△ABC的重心，如果AG=4，那么BC的长为 ．
【答案】12
【解析】【解答】解：如图，延长AG交BC于点D．
∵点G是△ABC的重心，AG=4，
∴点D为BC的中点，且AG=2DG=4，
∴DG=2，
∴AD=AG+DG=6，
∵△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边的中线，
∴BC=2AD=12．
故答案为12．
【分析】延长AG交BC于点D，根据重心的性质可知点D为BC的中点，且AG=2DG=4，则AD=6，再根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解．
14．如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为 ．
【答案】(6，2)
【解析】【解答】圆心是BC，AB两边垂直平分线的交点为(6，2)．
【分析】由网格图像的特点和三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点可求解。
15． 如图，在扇形中，，分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线，若，，则扇形的面积为 （结果保留）．
【答案】
【解析】【解答】由作图可知，OP平分∠AOB，
，
，
扇形的面积为
故答案为： .
【分析】根据作图得到OP平分∠AOB，利用角平分线的性质求得，最后根据扇形的面积公式即可求解.
16．如图，等腰 放置在直线 上， ， .将 绕点 旋转，使点 的对应点 落在直线 上，再将第一次旋转得到的三角形绕点 继续旋转，使其顶点 落在直线 上点 处，则点 经过的路径总长为 （结果保留 ）.
【答案】7π
【解析】【解答】解：将 绕点 旋转，使点 的对应点 落在直线 ，点 到 处，如图：
根据题意： ， ，
，
同理： ，
根据旋转的性质可知，点A到 和 到 的运动轨迹是分别以C， 为圆心， 为半径的圆的一部分，两次旋转经过的路径都是圆上经过的弧长所对的圆心角为 ，
设点 经过的路径总长为 ，
，
故答案是：7π.
【分析】根据题意确定点A的运动轨迹是圆的一部分，求点经过的路径总长转为求弧长，然后求出结论即可.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为P，BP=2cm，CD=6cm，求直径AB的长．
【答案】解：连接OC
∵OB⊥CD，O为圆心
∴CP= CD=3，
设OC=OB=r，
∴OP=r﹣2，
在Rt△OCP中，由勾股定理得：
（r﹣2）2+32=r2，
∴r=
∴直径AB=2r=
【解析】【分析】连接OC，由 垂径定理可知CP= CD=3，设半径为r，由勾股定理可求出r的值．
18．如图， 在 中， 与 相切于点 ， 过点 作 的垂线交 的延长线于点 ， 交 于点 ， 连接 ．
（1） 求证： 是 的切线；
（2） 若 ， 求 的长．
【答案】（1）证明：如解图，连接AD，
∵过点 作 的垂线交 的延长线于点 ，
∴∠EAC=90°.
∵BC是切线，
在与中，
∴AF⊥BF.
∵AF为半径，
（2）解：由（1）可得，
又∵
∴
∴
∴
∵
∴
∴，解得
由勾股定理可得：
【解析】【分析】（1）先利用SAS证明，可得，再根据AF为半径，可得 是 的切线；
（2）由题意可得：，得到，得到，求得，根据勾股定理求得.
19． “抖空竹”在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一小亮玩”抖空竹”游戏时发现可以将某时刻的情形抽象成数学问题如图，、分别与相切于点、，延长、交于点，连接、，的半径为，．
（1）连接，，判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若某时刻，与交于点，求的长．
【答案】（1）解：四边形是正方形，
理由：，分别与相切于点，，
，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形；
（2）解：延长交于，
四边形是正方形，，
，，
，
，，
，
∽，
，
，
．
【解析】【分析】（1）根据切线性质可得：，再根据矩形的判定定理可得四边形是矩形，再根据，可得四边形是正方形；
（2）延长交于， 根据正方形性质，直线平行性质，特殊角的三角函数值可得，，再根据相似三角形的判定定理可得∽，则，代入计算即可求出答案。
20．如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠ABC=2∠ACB，点D平分，连结AD，BD，CD.
（1）求证：AB=CD.
（2）过点D作DG//AB，分别交AC，BC于点E，F，交⊙O于点G.
①若AD=a，BC=b，求线段EF的长.（用含a，b的代数式表示）
②若∠ABC=72°，求证：FG2=EF·DF.
【答案】（1）证明：∵点D平分，
∴，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠ABD+∠CBD＝∠ABC，
∴2∠CBD＝∠ABC，
∵∠ABC＝2∠ACB，
∴∠ACB＝∠CBD，
∴AB＝CD；
（2）①解：由（1）可知，AB＝AD＝CD＝a，则，
∴，
∴∠BCD＝∠ABC，
∵DG∥AB，
∴∠DFC＝∠ABC，
∴∠BCD＝∠DFC，
∴DF＝CD，
∴DF＝AB，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABFD是菱形，
∴BF＝AD＝a，CF＝b﹣a，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴，即，
解得：，
∴线段EF的长为；
②证明：∵∠ABC＝72°，
∴∠ACB＝36°，
∴∠CAB＝72°，
∵DG∥AB，
∴∠CEF＝∠CFE＝72°，
∵∠DFC＝∠DCF＝72°，
∴△CEF∽△DCF，
∴，即EF DF＝CF2，
如图，连接CG，
∴∠DGC＝∠DBC＝36°，
∵∠FCG＝∠DFC﹣∠DGC＝36°，
∴∠DGC＝∠FCG，
∴FG＝CF，
∴FG2＝EF DF．
【解析】 【分析】（1）由点D平分，可得，则∠ABD＝∠CBD，由∠ABD+∠CBD＝∠ABC，可得2∠CBD＝∠ABC，则∠ACB＝∠CBD，进而结论得证；
（2）①证明四边形ABFD是菱形，则BF＝AD＝a，CF＝b﹣a，证明△CEF∽△CAB，则，即，求解即可；
②由∠ABC＝72°，可得∠ACB＝36°，∠CAB＝72°，由DG∥AB，可得∠CEF＝∠CFE＝72°，证明△CEF∽△DCF，则，即EF DF＝CF2，如图，连接CG，∠DGC＝∠DBC＝36°，说明∠DGC＝∠FCG，则FG＝CF，进而结论得证．
21．用代数式表示图中阴影郎分的面积，并将所得结果化简.
【答案】解： = = = ；
= .
【解析】【分析】左图：阴影部分面积=长方形的面积-半径为a的四分之一圆-直径为a的半圆，据此计算即可；
右图：阴影部分面积=半径为a的四分之一圆-直角三角形的面积，据此计算即可.
22．如图所示：
（1）用代数式表示阴影部分的面积；
（2）当a=10，b=4时，π取值为3.14，求阴影部分的面积．
【答案】(1)解：长方形的面积是ab，两个扇形的圆心角是
∴这两个扇形是半径为b的圆面积的四分之一.
∴阴影部分的面积为：
(2)解：当a=10，b=4，的取值为3时，
【解析】【分析】（1）阴影面积 = 长方形面积 - 两个扇形面积，先确定长方形和扇形的面积计算方式.
（2）将，，代入（1）中代数式计算.
23．已知：如图，⊙O是Rt△ABC中的内切圆，切点分别为D、E、F，且∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm．求：⊙O的半径是多少cm？
【答案】解：设⊙O半径是rcm，
连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，如图所示：
∵⊙O为△ABC的内切圆，切点是D、E、F，
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，OD=OE=OF=r，
∵AC=6，BC=8，
由勾股定理得：AB=10，
根据三角形的面积公式得：S△ACB=S△OAC+S△OBC+S△OAB，
∴AC×BC=AC×r+BC×r+AB×r，
即：×6×8=×6r+×8r+×10r，
解得：r=2；
即：⊙O的半径是2cm．
【解析】【分析】设⊙O半径是rcm，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式得出S△ACB=S△OAC+S△OBC+S△OAB，代入求出即可．
24．如图①，在中，为直径，C为上一点，，过点C作的切线，与的延长线相交于点P.
图① 图②
（1）求的大小；
（2）如图②，过点B作的垂线，垂足为点E，与的延长线交于点F，
①求的大小；
②若的半径为2，求的长.
【答案】（1）如图，连接.
∵与相切于点C，∴，即，
∵，∴，
在中，，∴；
（2）①由（I）得，又∵，即
∴∴；
②由①，∴，连接，
∵是直径，∴，即，
∴∵，，
∴是等边三角形，∴，
∴，∴.
【解析】【分析】（1）连接OC，结合切线的性质求出答案；
（2）①根据题意由直线平行的判定和性质求出答案；
②证明△OBC为等边三角形，结合等边三角形的性质以及勾股定理求出答案。
25．如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点E．点C是弧BF的中点．
（1）求证：AD⊥CD；
（2）若∠CAD=30°．⊙O的半径为3，一只蚂蚁从点B出发，沿着BE--EC--弧CB爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程(π≈3.14， ≈1.73，结果保留一位小数．)
【答案】（1）解：连接OC．
∵直线CD与⊙O相切，
∴OC⊥CD．
∵点C是 的中点，
∴∠DAC=∠EAC．
∵OA=OC，∴∠OCA=∠EAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∴AD⊥CD.
（2）解：∵∠CAD=30°，
∴∠CAE=∠CAD=30°，由圆周角定理得：∠COE=60°，
∴OE=2OC=6，EC= OC=3 ， = =π，
∴蚂蚁爬过的路程=3+3 +π≈11.3．
【解析】【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可证得AD⊥CD。
（2）根据圆周角定理可得出圆周角，再利用弧长公式可得出弧长。
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