2026年高考数学一轮复习专题课件：第1学时 第1学时　正、余弦定理 (共37张PPT)

(共37张PPT)
第1学时　正、余弦定理
第1学时
题型一　 利用正、余弦定理解三角形
∵b>a，∴B>A＝45°，∴B有两解，即B＝60°或120°.
①当B＝60°时，C＝180°－(45°＋60°)＝75°，
方法二：由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A.
(2)(2025·八省联考)在△ABC中，BC＝8，AC＝10，cos∠BAC＝ ，则△ABC的面积为(　　)
A．6　　　　 B．8 C．24 D．48
√
(2)(2025·八省联考)在△ABC中，BC＝8，AC＝10，cos∠BAC＝ ，则△ABC的面积为(　　)
A．6　　　　　　　　　 B．8
C．24 D．48
√
【解析】　设AB＝c.
方法二：在△ABC中，由正弦定理，
状元笔记
(1)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其他边角时，首先必须判明是否有解(例如在△ABC中，已知a＝1，b＝2，A＝60°，则sin B＝ sin A＝ >1，问题就无解)，如果有解，是一解，还是两解．
(2)正、余弦定理可将三角形边的关系转化为角的关系，也可将角(三角函数)的关系转化为边的关系．
(3)在三角形的判断中注意应用“大边对大角”．
思考题1　(1)(2017·课标全国Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝60°，b＝ ，c＝3，则A＝________．
75°
√
题型二　 判断三角形的形状
直角三角形
题型二　 判断三角形的形状
直角三角形
即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2.所以△ABC为直角三角形，但无法判断两直角边是否相等．
又sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
所以cos Bsin C＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
即sin Bcos C＝0，又sin B≠0，
所以cos C＝0，
(2)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知 ，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，试判断△ABC的形状．
(2)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知 ，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，试判断△ABC的形状．
【答案】　等边三角形
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，
所以△ABC是等边三角形．
状元笔记
　三角形形状的判定方法
(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如a＝2Rsin A，a2＋b2－c2＝2abcos C等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如sin A＝sin B A＝B；sin(A－B)＝0 A＝B；sin 2A＝sin 2B A＝B或A＋B＝ 等．
(2)利用正弦定理、余弦定理化角为边，如sin A＝ ，cos A＝
等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断．
(3)注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要约掉，否则会有漏掉一种情况的可能．
思考题2　【多选题】(2025·山东师大附中模拟)已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，下列四个命题中正确的是(　　)
A．若sin2A＋sin2B＋cos2C>1，则△ABC为锐角三角形
B．若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形
C．若bcos C＋ccos B＝b，则△ABC是等腰三角形
√
√
【解析】　∵sin2A＋sin2B＋cos2C>1，故sin2A＋sin2B>sin2C，
但不能说明△ABC为锐角三角形，∴A错误；由acos A＝bcos B及正弦定理，可得sin 2A＝sin 2B，
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，∴B错误；由bcos C＋ccos B＝b及正弦定理，可知sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin B，∴sin A＝sin B，∴A＝B，∴C正确；由已知和正弦定理，易知tan A＝tan B＝tan C，∴A＝B＝C，∴D正确．故选CD.
题型三　 与三角形面积有关的问题
(1)求∠A；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积．
条件①：b＝7；
状元笔记
　 与三角形面积有关问题的解题策略
(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积．
(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量．
(2)若sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求△ABC的面积．
【答案】　(1)a＝2，b＝2　
(2)若sin C＋sin(B－A)＝2sin 2A，求△ABC的面积．
【解析】　(2)由题意得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sin Acos A，即sin Bcos A＝2sin Acos A.
当cos A≠0时，得sin B＝2sin A，由正弦定理，得b＝2a.
题型四　 正、余弦定理的应用
(2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝ cos B，a2＋b2－c2＝ ab.
(1)求B；
题型四　 正、余弦定理的应用
(2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝ cos B，a2＋b2－c2＝ ab.
(1)求B；
思考题4　(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sin B.
(1)求sin A；
(2)设AB＝5，求AB边上的高．
思考题4　(2023·新高考Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sin B.
(1)求sin A；
(2)设AB＝5，求AB边上的高．
【答案】　(2)6
本课总结
1．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角，(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．
2．用正弦(余弦)定理解三角形问题时可适当应用向量数量积求三角形内角，应用向量的模求三角形边长等．
3．在判断三角形形状或解斜三角形时，一定要注意解是否唯一，并注意挖掘隐含条件．如：
(1)A＋B＋C＝π.
(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(4)在△ABC中，A，B，C成等差数列的充要条件是B＝60°.