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沪科版数学八年级上册期末质量检测卷（一）
数学考试
考试时间：120分钟
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
第Ⅰ卷 客观题
阅卷人 一、选择题（每题4分，共40分）
得分
1．（2025八上·兰州期中）下列能准确表示榆中县某个地点位置的是（ ）
A．北纬 B．东经
C．兰州东北方 D．东经，北纬
2．（2025八上·广州期中）下列中华人民共和国全运会会徽图片中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025八上·瑞安期中）下列长度的三条线段能构成三角形的是 ( )
A．3，5，8 B．3，4，8 C．4，4，8 D．3，3，5
4．（2025八上·广州期中）下列选项所给条件能画出唯一的是（ ）．
A．， B．，，
C．，， D．，，
5．（2025八上·宁波期末）在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024七下·南山期中）如图，是的中线，点和点分别是和的中点，若的面积为，则的面积为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
7．（2025八上·柯桥期中）如图，△ABC中，，，是△ABC的中线，点在边上，，则等于（ ）
A． B． C． D．
8．（2025八上·南山期中）为了探究浮力的大小与哪些因素有关，物理实验小组进行了测浮力的实验.如图1，先将一个长方体铁块放在玻璃烧杯上方，再向下缓缓移动，移动过程中记录弹簧测力计的示数F拉力（单位：N）与铁块下降的高度x（单位：cm）之间的关系如图2所示.（温馨提示：当铁块位于水面上方时，；当石块入水后，）.下列说法不正确的是（ ）
A．铁块的高度为4cm
B．铁块入水之前，烧杯内水的高度为10cm
C．当铁块下降的高度为8cm时，该铁块所受到的浮力为3.25N
D．当弹簧测力计的示数为3N时，此时铁块距离烧杯底
9．（2025八上·宝安期中）在同一直角坐标系中，直线与直线可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024八上·新宾期末）如图，在和中，，．连接，连接并延长交于点，若恰好平分，则下列结论：①；②；③；④中，正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
阅卷人 二、填空题（每题5分，共20分）
得分
11．（2025八上·温州期中） 命题“如果|a|═|b|， 那么a=b”的逆命题是 .
12．（2024八上·庄浪期中）如图，，，则 ．
13．（2025八上·雷州月考）如图，在中，于点D，点E是上一点，连接，，，若，，则的长为 ．
14．（2025八上·杭州期末）定义：若，满足，（为常数），则称点为“好点”．
（1）若是“好点”，则 ；
（2）在的范围内，若直线上存在“好点”，则的取值范围为 ．
第Ⅱ卷 主观题
阅卷人 三、解答题（共9题，共90分）
得分
15．（2023八上·荣昌开学考）如图，直角坐标系中，的顶点都在网格上，其中点坐标为．
.
（1）写出点、的坐标；
（2）将先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到，请你画出平移后的．
16．（2024八上·北京市月考）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E．
（1）若，，求的度数；
（2）直接写出、、三个角之间存在的等量关系．
17．（2024八上·化州期末）已知一次函数的图象经过点，且与y轴的交点的纵坐标为3．求一次函数的解析式．
18．（2023八上·崇左期中）如图，是的高，是的角平分线，是的中线．
（1）若，，求的度数；
（2）若，与的周长差为3，求的长．
19．（2025八上·丽水期末）如图，直线过点，
（1）求直线的解析式．
（2）若直线与直线相交于点C，求点C的坐标．
（3）根据图象，写出关于x的不等式的解集．
20．（2025八上·普陀期中）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．
（1）证明：Rt△BCE≌Rt△DCF；
（2）若AB=21，AD=9，BC=CD=10，求AC的长．
21．（2024八上·鄞州期中）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．
（1）如图1，是等腰锐角三角形，，若的角平分线交于点，且是的一条特异线，则_______度；
（2）如图2，中，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E，求证：是的一条特异线．
（3）如图3，已知是特异三角形，且，为钝角，直接写出所有可能的的度数．
22．（2025八上·鹿寨期末）如图，某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连．这家工厂从A地购买每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路的运价为1.5元／（吨），铁路的运价为1.0元／（吨）．
（1）从A地运回m吨原材料到工厂，需要的运费是多少？（用含m的代数式表示）
（2）若其中一批原料，从A地运回，到生产成产品运到B地，两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元．这一批原料是多少吨？每吨原料能加工成的产品数量是多少？
（3）若生产该产品，每月的其它成本费为350000元，每吨的生产费为3000元，求该产品每月的毛利润w与原料x吨之间的函数关系．（规定：每月的毛利润=销售额-原料费-其它成本费-生产费-运输费）
23．（2024八上·金华月考）
（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点使，连结，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围。请写出的取值范围，并说明理由
（2）如图2，在中，是边上的中线，点，分别在，上，且，求证：。小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点，使……，请你帮她完成证明过程。
（3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点，分别在，上，且，连结，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：A：仅提供北纬35°51'，缺少经度信息，无法唯一确定位置，故A不符合题意；
B：仅提供东经104°09'，缺少纬度信息，无法唯一确定位置，故B不符合题意；
C：描述为“兰州东北方”，属于相对方向，未提供具体坐标，无法精确定位，故C不符合题意；
D：同时提供东经104°09'和北纬35°51'，符合经纬度坐标的完整要求，故D符合题意。
故选：D
【分析】确定地理位置需要经度和纬度两个参数，单独的经度或纬度只能确定一条线，而方向描述不够精确。选项D提供了完整的经纬度坐标，因此能准确表示位置。
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形是轴对称图形，符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
C、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
【分析】根据轴对称图形的概念，在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，对选项逐个判断即可．
3．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解： ∴此三条线段不能组成三角形，故该选项不符合题意；
∴此三条线段不能组成三角形，故该选项不符合题意；
∴此三条线段不能组成三角形，故该选项不符合题意；
∴此三条线段能组成三角形，故该选项符合题意；
故答案为：D .
【分析】利用“三角形任意两边之和大于第三边”逐项判断，即可求解.
4．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A项：，，只给出直角和斜边，无法唯一确定三角形，不符合题意；
B项：，，，已知两角及夹边，符合ASA全等条件，能唯一画出，符合题意；
C项：，，，因为，不满足三角形三边关系，不能画出三角形，不符合题意；
D项：，，，已知两边及非夹角，属于SSA情况，不能保证唯一三角形，不符合题意．
故选：B．
【分析】根据全等三角形的判定方法和三角形三边关系，对选项逐个判断即可，根据HL、ASA、SAS、SSS等判定唯一三角形，同时考虑三角形三边关系．
5．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵点横坐标从到，说明是向右移动了，纵坐标从2到，说明是向下移动了，
故线段是由线段经过向右移动4个单位，向下移动5个单位得到的，
∵点B的对应点的坐标为，
∴点的坐标为，即．
故答案为：A．
【分析】根据图形平移与点的坐标关系“左减右加（横坐标），上加下减（纵坐标）”，观察A与A'的坐标得出平移的方法及距离，进而应用此规则去反推点B的坐标即可.
6．【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵点是的中点，，
∴，
∵点是的中点，
∴，，
∴，
∴．
故选：A．
【分析】本题考查了三角形中线的性质，由点是的中点，得到，再由点是的中点，得到，，根据，进而求得的面积 ，得到答案.
7．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD为△ABC的中线
∴AD⊥BC，∠CAD=∠BAD=∠BAC=40°
∴∠ADC=90
∵AD=AE
∴∠ADE=
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-70°=20°
故答案：C.
【分析】由等腰三角形“三线合一”知AD⊥BC和⊥CAD的度数，再由AD=AE可得⊥ADE的度数，即得∠EDC的度数.
8．【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由图2得，当x=6时，铁块接触水面
∴铁块下降了6cm
∵铁块入水之前，水面高度为10cm，B正确
当x=10时，铁块完全浸没于水中
∴铁块下降4cm时，即铁块高4cm，A正确
设图中AB：F=kx+b，将(6，4)，(10，2.5)代入解析式可得
，解得：
∴
将x=8代入可得，y=3.25，C正确
将y=3代入可得，，D错误
故答案为：C
【分析】根据图象信息，结合一次函数性质即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：当时，直线经过第一、三象限；
当时，直线经过第二、四象限．
直线的斜率为，因此直线一定从左到右上升（经过第一、三象限）；截距为：
当时，直线与轴的交点在正半轴（经过第一、二、三象限）；
当时，直线与轴的交点在负半轴（经过第一、三、四象限）．
情况1：
直线经过第一、三象限；直线经过第一、二、三象限．
选项A中，的截距为负（与矛盾），排除；
选项C中，经过第一、三象限，经过第一、二、三象限，符合条件．
情况2：
直线经过第二、四象限；直线经过第一、三、四象限．
选项B中，的斜率为负（与斜率矛盾），排除；
选项D中，的斜率为负（与斜率矛盾），排除．
故选：C
【分析】
分和两种情况，分别分析直线和的象限分布，再与选项逐一比对，得出正确答案。当a＞0时，对于直线y=ax：当a>0时，其图象经过第一、三象限；对于直线y=2x+a：K=2>0，图象从左到右上升（必过第一、三象限）；截距为a，因a>0，所以与y轴交点在正半轴，整体经过第一、二、三象限；
当a<0时，对于直线y=ax：当a<0时，其图象经过第二、四象限（正比例函数性质，斜率为负过二、四象限），对于直线y=2x+a：K=2>0，图象从左到右上升（必过第一、三象限）；截距为a，因a<0，所以与y轴交点在负半轴，整体经过第一、三、四象限。
10．【答案】C
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：①，
，即，
在和中，
，
，
，故①选项符合题意；
，
②，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
故②选项符合题意；
，
，
，
∴，
故③选项符合题意；
根据已知条件无法证明，故④选项不符合题意．
故选：C．
【分析】根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质可判断①；根据等边对等角可得，根据角平分线定义可得，再根据直线平行判定定理可判断②；根据三角形内角和定理可得∠CFB，再根据等角对等边可得CB=BF，可判断③，根据边之间的关系可判断④.
11．【答案】如果a=b，那么么
【知识点】逆命题
12．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
同理可求：，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据等边对等角可得，再根据三角形外角性质即可求出答案.
13．【答案】6
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：，
，
在和中，
，
，，
，，
，
故答案为：6．
【分析】根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．【答案】；
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）∵是“好点”，
∴，
解得：，
故答案为：；
（2）∵在的范围内，直线上存在“好点”，
∴，
解得：，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）根据题意得出，消去t即可得到；
（2）根据题意得出，消去t得，由-在，得出．
15．【答案】（1）解：由题意得，点的坐标为，点的坐标为；
（2）如图所示，即为所求．
【知识点】点的坐标；作图﹣平移；图形的平移；用坐标表示平移
【解析】【分析】本题考查点的坐标和点和图形的平移规律。
（1）根据平面直角坐标系，直接写出点A、B的坐标即可；
（2）将三角形左移2个单位长度，再上移1个单位长度，则三角形的三个顶点也依照这样的平移方式平移，根据平移规律：横坐标左减右加，纵坐标上加下减，得出平移后的三个顶点坐标，则可画出图形。
16．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（2）解：，证明如下：
∵平分，
∴，
又∵，
∴
，
即．
【分析】（1）根据三角形外角性质可得∠ECD，再根据角平分线定义可得，再根据三角形外角性质即可求出答案.
（2）根据角平分线定义可得，再根据三角形外角性质即可求出答案.
（1）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：
∵平分，
∴，
又∵，
∴
，
即．
17．【答案】解：根据一次函数与轴的交点可得，
，
点代入，得，
解得：，
一次函数的解析式为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】先根据“一次函数的图象与y轴的交点的纵坐标为3”可得b的值，再将点（-2，1）代入，求出k的值即可.
18．【答案】（1）解：是的高，
，
，
，
是的角平分线，，
，
；
（2）解：是中点，
，
与的周长差为3，
，
，
，
，
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形的两锐角互余；三角形的中线；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【分析】（1）先由三角形的高的概念可得，再由直角三角形两锐角互余可求，再由角平分线的定义可求，再利用三角形的外角性质即可；
（2）由三角形的中线的概念可得AF=CF，又BF是公共边，则与的周长差转化为线段BC与AB的差，即BC-AB=3 ．
（1）是的高，
，
，
，
是的角平分线，，
，
；
（2）是中点，
，
与的周长差为3，
，
，
，
，
19．【答案】（1）解：直线过点，，
，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：联立，
解得，
点C的坐标为；
（3）解：
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【分析】将A、B两点坐标代入解析式，求出k、b的值，即可写出一次函数解析；
联立两直线解析式，解方程组即可得到点C的坐标；
根据图形，找出点C右边的部分的x的取值范围即可．
（1）解：直线过点，，
，
解方程组得，
直线的解析式为；
（2）直线与直线相交于点C，
联立，
解得，
点C的坐标为；
（3）由图可知，时，
20．【答案】（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F.
∴∠CFD=90°，∠CEB=90°，CE=CF
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL)
（2）解：∵AC平分∠BAD，CF⊥AF，CE⊥AE，
∴CF=CE.
在Rt△ACF和Rt△ACE中，
∴Rt△ACF≌Rt△ACE(HL)，
∴AF=AE.
∵Rt△BCE≌Rt△DCE
∴DF=BE，
∴AE=15
∴BE=6，
∵，
∴.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)易证∠CFD=90°，∠CEB=90°，CE=CF，即可证明Rt△BCE≌Rt△DCF；
(2)易求CF=CE，即可证明Rt△ACF≌Rt△ACE，可得AF=AE，根据DF=BE，即可求得AE的长，可求得BE的长，根据勾股定理即可求得CE的长，再根据勾股定理即可求得AC的长，即可解题.
21．【答案】（1）36
（2）证明：是线段的垂直平分线，
，即是等腰三角形，
，
，
，
，即是等腰三角形，
是是一条特异线．
（3）解：或或．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）解：，
，
平分，
，
是的一条特异线，
和是等腰三角形，
，
，，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
；
故答案为：36；
（3）当是特异线时，如果，如图3，
则；
如果，，如图4，
则；
如果（或，如图5，
则（不合题意，舍去）；
当是特异线时，，，如图6，
则；
当为特异线时，不合题意．
综上，所有可能的的度数为或或．
【分析】本题考查新定义，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理．
（1）利用等腰三角形的性质得出，设，则，在中，利用三角形内角和定理可列出方程， 解方程可求出x的值，据此可求出∠A的度数；
（2）根据垂直平分线的性质可得EA=EC，据此可证明是等腰三角形，利用等腰三角形的性质可得，利用角的运算可得，再根据 ，可得，据此可证明是等腰三角形，利用新定义可证明结论.
（3）当是特异线时，分三种情形讨论：当是特异线时，是特异线时，是特异线时，根据等边对等角，利用角的运算和三角形的内角和定理可求出的度数.
（1）解：，
，
平分，
，
是的一条特异线，
和是等腰三角形，
，
，，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
；
故答案为：36；
（2）证明：是线段的垂直平分线，
，即是等腰三角形，
，
，
，
，即是等腰三角形，
是是一条特异线．
（3）解：当是特异线时，如果，如图3，
则；
如果，，如图4，
则；
如果（或，如图5，
则（不合题意，舍去）；
当是特异线时，，，如图6，
则；
当为特异线时，不合题意．
综上，所有可能的的度数为或或．
22．【答案】（1）元
（2）这一批原料有500吨；每吨原料能加工成的产品是0.6吨
（3）
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一次函数的其他应用
23．【答案】（1）解：，在和中，
，，，
，，
（2）解：如图，延长到，使得，连结，.
在和中，
，，，
又，，
在中，，，，
（3）解：结论：.
理由：延长到，使得.
，，
，，，
，，，
，
，，
，
，，
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）证明△CDE≌△BDA（SAS），得到CE＝4，在△ACE中，利用三角形的三边关系解决问题即可；
（2）如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接CH，FH．证明△BDE≌△CDH（SAS），得到BE＝CH，再证明EF＝FH，利用三角形的三边关系即可解决问题；
（3）结论：AF＋EC＝EF．延长BC到H，使得CH＝AF，通过两次全等证明AF＝CE，EF＝EH即可解决问题．
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考试时间：120分钟
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
第Ⅰ卷 客观题
阅卷人 一、选择题（每题4分，共40分）
得分
1．（2025八上·兰州期中）下列能准确表示榆中县某个地点位置的是（ ）
A．北纬 B．东经
C．兰州东北方 D．东经，北纬
【答案】D
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：A：仅提供北纬35°51'，缺少经度信息，无法唯一确定位置，故A不符合题意；
B：仅提供东经104°09'，缺少纬度信息，无法唯一确定位置，故B不符合题意；
C：描述为“兰州东北方”，属于相对方向，未提供具体坐标，无法精确定位，故C不符合题意；
D：同时提供东经104°09'和北纬35°51'，符合经纬度坐标的完整要求，故D符合题意。
故选：D
【分析】确定地理位置需要经度和纬度两个参数，单独的经度或纬度只能确定一条线，而方向描述不够精确。选项D提供了完整的经纬度坐标，因此能准确表示位置。
2．（2025八上·广州期中）下列中华人民共和国全运会会徽图片中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形是轴对称图形，符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
C、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
D、该图形不是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
【分析】根据轴对称图形的概念，在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，对选项逐个判断即可．
3．（2025八上·瑞安期中）下列长度的三条线段能构成三角形的是 ( )
A．3，5，8 B．3，4，8 C．4，4，8 D．3，3，5
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解： ∴此三条线段不能组成三角形，故该选项不符合题意；
∴此三条线段不能组成三角形，故该选项不符合题意；
∴此三条线段不能组成三角形，故该选项不符合题意；
∴此三条线段能组成三角形，故该选项符合题意；
故答案为：D .
【分析】利用“三角形任意两边之和大于第三边”逐项判断，即可求解.
4．（2025八上·广州期中）下列选项所给条件能画出唯一的是（ ）．
A．， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A项：，，只给出直角和斜边，无法唯一确定三角形，不符合题意；
B项：，，，已知两角及夹边，符合ASA全等条件，能唯一画出，符合题意；
C项：，，，因为，不满足三角形三边关系，不能画出三角形，不符合题意；
D项：，，，已知两边及非夹角，属于SSA情况，不能保证唯一三角形，不符合题意．
故选：B．
【分析】根据全等三角形的判定方法和三角形三边关系，对选项逐个判断即可，根据HL、ASA、SAS、SSS等判定唯一三角形，同时考虑三角形三边关系．
5．（2025八上·宁波期末）在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点的对应点为，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵点横坐标从到，说明是向右移动了，纵坐标从2到，说明是向下移动了，
故线段是由线段经过向右移动4个单位，向下移动5个单位得到的，
∵点B的对应点的坐标为，
∴点的坐标为，即．
故答案为：A．
【分析】根据图形平移与点的坐标关系“左减右加（横坐标），上加下减（纵坐标）”，观察A与A'的坐标得出平移的方法及距离，进而应用此规则去反推点B的坐标即可.
6．（2024七下·南山期中）如图，是的中线，点和点分别是和的中点，若的面积为，则的面积为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】解：∵点是的中点，，
∴，
∵点是的中点，
∴，，
∴，
∴．
故选：A．
【分析】本题考查了三角形中线的性质，由点是的中点，得到，再由点是的中点，得到，，根据，进而求得的面积 ，得到答案.
7．（2025八上·柯桥期中）如图，△ABC中，，，是△ABC的中线，点在边上，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD为△ABC的中线
∴AD⊥BC，∠CAD=∠BAD=∠BAC=40°
∴∠ADC=90
∵AD=AE
∴∠ADE=
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-70°=20°
故答案：C.
【分析】由等腰三角形“三线合一”知AD⊥BC和⊥CAD的度数，再由AD=AE可得⊥ADE的度数，即得∠EDC的度数.
8．（2025八上·南山期中）为了探究浮力的大小与哪些因素有关，物理实验小组进行了测浮力的实验.如图1，先将一个长方体铁块放在玻璃烧杯上方，再向下缓缓移动，移动过程中记录弹簧测力计的示数F拉力（单位：N）与铁块下降的高度x（单位：cm）之间的关系如图2所示.（温馨提示：当铁块位于水面上方时，；当石块入水后，）.下列说法不正确的是（ ）
A．铁块的高度为4cm
B．铁块入水之前，烧杯内水的高度为10cm
C．当铁块下降的高度为8cm时，该铁块所受到的浮力为3.25N
D．当弹簧测力计的示数为3N时，此时铁块距离烧杯底
【答案】C
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：由图2得，当x=6时，铁块接触水面
∴铁块下降了6cm
∵铁块入水之前，水面高度为10cm，B正确
当x=10时，铁块完全浸没于水中
∴铁块下降4cm时，即铁块高4cm，A正确
设图中AB：F=kx+b，将(6，4)，(10，2.5)代入解析式可得
，解得：
∴
将x=8代入可得，y=3.25，C正确
将y=3代入可得，，D错误
故答案为：C
【分析】根据图象信息，结合一次函数性质即可求出答案.
9．（2025八上·宝安期中）在同一直角坐标系中，直线与直线可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：当时，直线经过第一、三象限；
当时，直线经过第二、四象限．
直线的斜率为，因此直线一定从左到右上升（经过第一、三象限）；截距为：
当时，直线与轴的交点在正半轴（经过第一、二、三象限）；
当时，直线与轴的交点在负半轴（经过第一、三、四象限）．
情况1：
直线经过第一、三象限；直线经过第一、二、三象限．
选项A中，的截距为负（与矛盾），排除；
选项C中，经过第一、三象限，经过第一、二、三象限，符合条件．
情况2：
直线经过第二、四象限；直线经过第一、三、四象限．
选项B中，的斜率为负（与斜率矛盾），排除；
选项D中，的斜率为负（与斜率矛盾），排除．
故选：C
【分析】
分和两种情况，分别分析直线和的象限分布，再与选项逐一比对，得出正确答案。当a＞0时，对于直线y=ax：当a>0时，其图象经过第一、三象限；对于直线y=2x+a：K=2>0，图象从左到右上升（必过第一、三象限）；截距为a，因a>0，所以与y轴交点在正半轴，整体经过第一、二、三象限；
当a<0时，对于直线y=ax：当a<0时，其图象经过第二、四象限（正比例函数性质，斜率为负过二、四象限），对于直线y=2x+a：K=2>0，图象从左到右上升（必过第一、三象限）；截距为a，因a<0，所以与y轴交点在负半轴，整体经过第一、三、四象限。
10．（2024八上·新宾期末）如图，在和中，，．连接，连接并延长交于点，若恰好平分，则下列结论：①；②；③；④中，正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【解答】解：①，
，即，
在和中，
，
，
，故①选项符合题意；
，
②，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
故②选项符合题意；
，
，
，
∴，
故③选项符合题意；
根据已知条件无法证明，故④选项不符合题意．
故选：C．
【分析】根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质可判断①；根据等边对等角可得，根据角平分线定义可得，再根据直线平行判定定理可判断②；根据三角形内角和定理可得∠CFB，再根据等角对等边可得CB=BF，可判断③，根据边之间的关系可判断④.
阅卷人 二、填空题（每题5分，共20分）
得分
11．（2025八上·温州期中） 命题“如果|a|═|b|， 那么a=b”的逆命题是 .
【答案】如果a=b，那么么
【知识点】逆命题
12．（2024八上·庄浪期中）如图，，，则 ．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
同理可求：，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据等边对等角可得，再根据三角形外角性质即可求出答案.
13．（2025八上·雷州月考）如图，在中，于点D，点E是上一点，连接，，，若，，则的长为 ．
【答案】6
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：，
，
在和中，
，
，，
，，
，
故答案为：6．
【分析】根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．（2025八上·杭州期末）定义：若，满足，（为常数），则称点为“好点”．
（1）若是“好点”，则 ；
（2）在的范围内，若直线上存在“好点”，则的取值范围为 ．
【答案】；
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）∵是“好点”，
∴，
解得：，
故答案为：；
（2）∵在的范围内，直线上存在“好点”，
∴，
解得：，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）根据题意得出，消去t即可得到；
（2）根据题意得出，消去t得，由-在，得出．
第Ⅱ卷 主观题
阅卷人 三、解答题（共9题，共90分）
得分
15．（2023八上·荣昌开学考）如图，直角坐标系中，的顶点都在网格上，其中点坐标为．
.
（1）写出点、的坐标；
（2）将先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到，请你画出平移后的．
【答案】（1）解：由题意得，点的坐标为，点的坐标为；
（2）如图所示，即为所求．
【知识点】点的坐标；作图﹣平移；图形的平移；用坐标表示平移
【解析】【分析】本题考查点的坐标和点和图形的平移规律。
（1）根据平面直角坐标系，直接写出点A、B的坐标即可；
（2）将三角形左移2个单位长度，再上移1个单位长度，则三角形的三个顶点也依照这样的平移方式平移，根据平移规律：横坐标左减右加，纵坐标上加下减，得出平移后的三个顶点坐标，则可画出图形。
16．（2024八上·北京市月考）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E．
（1）若，，求的度数；
（2）直接写出、、三个角之间存在的等量关系．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（2）解：，证明如下：
∵平分，
∴，
又∵，
∴
，
即．
【分析】（1）根据三角形外角性质可得∠ECD，再根据角平分线定义可得，再根据三角形外角性质即可求出答案.
（2）根据角平分线定义可得，再根据三角形外角性质即可求出答案.
（1）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：
∵平分，
∴，
又∵，
∴
，
即．
17．（2024八上·化州期末）已知一次函数的图象经过点，且与y轴的交点的纵坐标为3．求一次函数的解析式．
【答案】解：根据一次函数与轴的交点可得，
，
点代入，得，
解得：，
一次函数的解析式为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】先根据“一次函数的图象与y轴的交点的纵坐标为3”可得b的值，再将点（-2，1）代入，求出k的值即可.
18．（2023八上·崇左期中）如图，是的高，是的角平分线，是的中线．
（1）若，，求的度数；
（2）若，与的周长差为3，求的长．
【答案】（1）解：是的高，
，
，
，
是的角平分线，，
，
；
（2）解：是中点，
，
与的周长差为3，
，
，
，
，
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形的两锐角互余；三角形的中线；三角形的高；三角形的角平分线
【解析】【分析】（1）先由三角形的高的概念可得，再由直角三角形两锐角互余可求，再由角平分线的定义可求，再利用三角形的外角性质即可；
（2）由三角形的中线的概念可得AF=CF，又BF是公共边，则与的周长差转化为线段BC与AB的差，即BC-AB=3 ．
（1）是的高，
，
，
，
是的角平分线，，
，
；
（2）是中点，
，
与的周长差为3，
，
，
，
，
19．（2025八上·丽水期末）如图，直线过点，
（1）求直线的解析式．
（2）若直线与直线相交于点C，求点C的坐标．
（3）根据图象，写出关于x的不等式的解集．
【答案】（1）解：直线过点，，
，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：联立，
解得，
点C的坐标为；
（3）解：
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【分析】将A、B两点坐标代入解析式，求出k、b的值，即可写出一次函数解析；
联立两直线解析式，解方程组即可得到点C的坐标；
根据图形，找出点C右边的部分的x的取值范围即可．
（1）解：直线过点，，
，
解方程组得，
直线的解析式为；
（2）直线与直线相交于点C，
联立，
解得，
点C的坐标为；
（3）由图可知，时，
20．（2025八上·普陀期中）如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．
（1）证明：Rt△BCE≌Rt△DCF；
（2）若AB=21，AD=9，BC=CD=10，求AC的长．
【答案】（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F.
∴∠CFD=90°，∠CEB=90°，CE=CF
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL)
（2）解：∵AC平分∠BAD，CF⊥AF，CE⊥AE，
∴CF=CE.
在Rt△ACF和Rt△ACE中，
∴Rt△ACF≌Rt△ACE(HL)，
∴AF=AE.
∵Rt△BCE≌Rt△DCE
∴DF=BE，
∴AE=15
∴BE=6，
∵，
∴.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)易证∠CFD=90°，∠CEB=90°，CE=CF，即可证明Rt△BCE≌Rt△DCF；
(2)易求CF=CE，即可证明Rt△ACF≌Rt△ACE，可得AF=AE，根据DF=BE，即可求得AE的长，可求得BE的长，根据勾股定理即可求得CE的长，再根据勾股定理即可求得AC的长，即可解题.
21．（2024八上·鄞州期中）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形．
（1）如图1，是等腰锐角三角形，，若的角平分线交于点，且是的一条特异线，则_______度；
（2）如图2，中，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E，求证：是的一条特异线．
（3）如图3，已知是特异三角形，且，为钝角，直接写出所有可能的的度数．
【答案】（1）36
（2）证明：是线段的垂直平分线，
，即是等腰三角形，
，
，
，
，即是等腰三角形，
是是一条特异线．
（3）解：或或．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）解：，
，
平分，
，
是的一条特异线，
和是等腰三角形，
，
，，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
；
故答案为：36；
（3）当是特异线时，如果，如图3，
则；
如果，，如图4，
则；
如果（或，如图5，
则（不合题意，舍去）；
当是特异线时，，，如图6，
则；
当为特异线时，不合题意．
综上，所有可能的的度数为或或．
【分析】本题考查新定义，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理．
（1）利用等腰三角形的性质得出，设，则，在中，利用三角形内角和定理可列出方程， 解方程可求出x的值，据此可求出∠A的度数；
（2）根据垂直平分线的性质可得EA=EC，据此可证明是等腰三角形，利用等腰三角形的性质可得，利用角的运算可得，再根据 ，可得，据此可证明是等腰三角形，利用新定义可证明结论.
（3）当是特异线时，分三种情形讨论：当是特异线时，是特异线时，是特异线时，根据等边对等角，利用角的运算和三角形的内角和定理可求出的度数.
（1）解：，
，
平分，
，
是的一条特异线，
和是等腰三角形，
，
，，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
；
故答案为：36；
（2）证明：是线段的垂直平分线，
，即是等腰三角形，
，
，
，
，即是等腰三角形，
是是一条特异线．
（3）解：当是特异线时，如果，如图3，
则；
如果，，如图4，
则；
如果（或，如图5，
则（不合题意，舍去）；
当是特异线时，，，如图6，
则；
当为特异线时，不合题意．
综上，所有可能的的度数为或或．
22．（2025八上·鹿寨期末）如图，某化工厂与A，B两地有公路和铁路相连．这家工厂从A地购买每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地．已知公路的运价为1.5元／（吨），铁路的运价为1.0元／（吨）．
（1）从A地运回m吨原材料到工厂，需要的运费是多少？（用含m的代数式表示）
（2）若其中一批原料，从A地运回，到生产成产品运到B地，两次运输共支出公路运费16500元，铁路运费93000元．这一批原料是多少吨？每吨原料能加工成的产品数量是多少？
（3）若生产该产品，每月的其它成本费为350000元，每吨的生产费为3000元，求该产品每月的毛利润w与原料x吨之间的函数关系．（规定：每月的毛利润=销售额-原料费-其它成本费-生产费-运输费）
【答案】（1）元
（2）这一批原料有500吨；每吨原料能加工成的产品是0.6吨
（3）
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一次函数的其他应用
23．（2024八上·金华月考）
（1）如图1，在中，，，是边上的中线，延长到点使，连结，把，，集中在中，利用三角形三边关系可得的取值范围。请写出的取值范围，并说明理由
（2）如图2，在中，是边上的中线，点，分别在，上，且，求证：。小艾同学受到（1）的启发，在解决（2）的问题时，延长到点，使……，请你帮她完成证明过程。
（3）如图3，在四边形中，为钝角，为锐角，，，，点，分别在，上，且，连结，试探索线段，，之间的数量关系，并加以证明.
【答案】（1）解：，在和中，
，，，
，，
（2）解：如图，延长到，使得，连结，.
在和中，
，，，
又，，
在中，，，，
（3）解：结论：.
理由：延长到，使得.
，，
，，，
，，，
，
，，
，
，，
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】（1）证明△CDE≌△BDA（SAS），得到CE＝4，在△ACE中，利用三角形的三边关系解决问题即可；
（2）如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接CH，FH．证明△BDE≌△CDH（SAS），得到BE＝CH，再证明EF＝FH，利用三角形的三边关系即可解决问题；
（3）结论：AF＋EC＝EF．延长BC到H，使得CH＝AF，通过两次全等证明AF＝CE，EF＝EH即可解决问题．
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