鲁教版（五四制）数学八年级上学期期末仿真模拟试卷（二）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025八上·固安期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图形，该图形沿某条直线折叠时，直线两旁部分能重合，是轴对称图形；但将其绕某点旋转180°后，无法与原图形重合，不是中心对称图形，因此A不符合要求；
B、图形，该图形既不存在一条直线使折叠后两旁部分重合（不是轴对称图形），也不存在某点旋转180°后与原图形重合（不是中心对称图形），因此B不符合要求；
C、图形，该图形绕某点旋转180°后能与原图形重合（是中心对称图形），但不存在一条直线使折叠后两旁部分重合（不是轴对称图形），因此C不符合要求；
D、图形，该图形存在多条直线，沿这些直线折叠时两旁部分能重合（是轴对称图形）；同时绕其中心旋转180°后也能与原图形重合（是中心对称图形），因此D符合要求。
综上，既是轴对称图形又是中心对称图形的是D。
故选：D．
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的定义，再依据定义对每个选项逐一分析，找出同时满足两种图形特征的选项。轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
2．（2021八上·沙坪坝期末）下列条件中能判定四边形 是平行四边形的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、不可以得到两组对角分别相等，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
B、不可以得到两组对边分别相等，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
C、根据：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】平行四边形的判定定理有：①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形；据此逐项判断即可.
3．某中学篮球队名队员的年龄情况如下：
年龄单位：岁
人数
则这个队队员年龄的众数和中位数分别是（ )
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：出现次数最多的数据是，
队员年龄的众数为岁；
一共有名队员，
因此其中位数应是第名同学的年龄，
中位数为，
故答案为：.
【分析】 众数即为出现次数最多的数，所以从中找到出现次数最多的数即可；排序后位于中间位置的数，或中间两数的平均数是中位数.据此解答即可.
4．（2024八上·四会期末）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：选项A、C、D没有写成积的形式，故A、C、D选项不符合题意；
B选项，根据平方差公式写成积的形式，故选项B正确.
故答案为：B.
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，即可得解.
5．（2025八上·海淀期中）在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆.如将因式分解的结果为（x-3）（x+3），取个人年龄作为x的值，当x=13时，x-3=10，x+3=16，由此可以得到数字密码1016.小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（ ）
A．141414 B．141315 C．131413 D．151415
【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
当ｘ＝14时，，，
∴他设置的密码可能是：141315.
故答案为：Ｂ.
【分析】先把提公因式得，再根据平方差公式得，当ｘ＝14时，，，即可写出可能得密码.
6．（2025八上·宁波开学考）如图，在□ABCD中，AB=2，∠D=45°，∠ACD=90°，M是AD的中点，E是AB延长线上的动点，作∠EMF=90°交AC的延长线于点F.记BE=x，CF=y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C．xy D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接CM， 设AF， ME交于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC=90°，
∵∠D=45°，
∴∠CAD=∠D=45°，
∴CA=CD，
∵AM=MD，
∴CM = AM = MD， CM⊥AD，
∵∠AMC=∠EMF=90°，
∴∠AME=∠CMF，
∵∠EAO=∠FMO=90°， ∠AOE=∠FOBE=2M，
∴∠E=∠F，
∴△AME≌△CMF(AAS)，
∴AE=CF，
∵AE-BE=AB=2，
∴CF-BE=2，
∴y-x=2，
∴x-y=-2的值不变.
故答案为：B.
【分析】证明△AME≌△CMF， 推出AE=CF可得结论.
7．如图，平行四边形的对角线，相交于点， ，，是的中点，连接，.下列结论： ；平分；；.其中结论正确的序号是（ ）
A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：是的中点，
.又，
.又 ，是等边三角形，
，，
， ．
四边形是平行四边形，
，，
， ，.
平分．则①，②正确；
是的中点，是的中点，
是的中位线，，
．则③正确；
是的中点，．
是的中点，，．
由平行四边形的性质得，
，即．则④不正确．
所以正确的有①②③.
故答案为：C.
【分析】首先可知△CBE是等边三角形，得∠CEB=60°，再利用平行线的性质可得∠ACD=30°，可知正确，由∠BCE=∠DCE=60°，得CE平分∠DCB，故②正确；由平行四边形的性质得OB是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理可对③④进行判断.
8．（2024八下·新洲期末）如图，在长方形中，是对角线，将长方形绕点B顺时针旋转到长方形的位置，H是的中点，若，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；旋转的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取BG的中点，连接MH，如图所示：
∵H是的中点，
∴为△GBE的中位线，
∴HM，HM∥BE，
∴∠GMH=∠CBE=90°，
由题意得：，
∴，
∴
∴
故选：B.
【分析】取BG的中点，连接MH，可知为的中位线，根据三角形的中位线定理求出MH，然后根据勾股定理求出CH 即可解答.
9．（2024八上·烟台期末）如图，在中，垂直平分于点E， ，，则的对角线的长为（ ）
A．5 B．10 C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接交于点F．
∵垂直平分，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴．
在中，由勾股定理得，，
∴，
故答案为：D．
【分析】连接交于点F，根据平行四边形和线段垂直平分线的性质可以推出，即可推出，先利用勾股定理求出的长，即可求出的长．
10．（2023八上·景县期末）如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与交于点，则一下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；④的长不变；其中正确的个数为（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵点在的角平分线上，
∴，
如图所示，过点作于点，作于点，
∴，，，
∴在四边形中，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，故①正确；
由①正确可得，，
∴，故②正确；
由可得，
∴，
∴四边形的面积是定值，故③正确；
如图所示，连接，由上述结论可得，，，，，
∴，即的长度发生变化，故④错误；
综上所述，正确的有①②③，共3个，
故答案为：C
【分析】根据角平分线的性质可得，过点作于点，作于点，则，，，再根据四边形内角和定理可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，故①正确；再根据边之间的关系可判断②正确，根据全等三角形判定定理可得，则，即四边形的面积是定值，故③正确；连接，由上述结论可得，，，，，则，即的长度发生变化，故④错误；
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．若样本数据x1＋1，x2＋1，…，xn＋1的平均数是5，方差是2，则样本数据2x1＋2，2x2＋2，…，2xn＋2的平均数、方差分别是 。
【答案】10，8
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵样本 的平均数是5， 方差是2，
的平均数是2×5=10，方差是
故答案为：D.
【分析】由数据 是将原数据分别乘以2所得，其平均数是原平均数的2倍，方差是原方差的 倍，据此可得答案.
12．（2015八上·平邑期末）若关于x的分式方程 无解，则m的值是 ．
【答案】3
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：去分母，得m﹣3=x﹣1，
x=m﹣2．
∵关于x的分式方程无解，
∴最简公分母x﹣1=0，
∴x=1，
当x=1时，得m=3，
即m的值为3．
故答案为3．
【分析】先把分式方程化为整式方程得到x=m﹣2，由于关于x的分式方程 无解，则最简公分母x﹣1=0，求得x=1，进而得到m=3．
13．如图，分别以 Rt△ABC 的直角边AC 及斜边AB 为边向外作等边三角形ACD、等边三角形 ABE，EF⊥AB 于点 F，连接 DF，当 时，四边形ADFE 是平行四边形.
【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵
∴∠CAB=30°，
∵△ABE为等边三角形，EF⊥AB，
∴EF为∠BEA的平分线，∠AEB=60°，AE=AB，
∴∠FEA=30°，又∠BAC=30°，
∴∠FEA=∠BAC，
在△ABC和△EAF中，
∴△ABC≌△EAF(AAS)
∵∠BAC=30°，∠DAC=60°
∴∠DAB=90°，即DA⊥AB，
∵EF⊥AB，
∴AD//EF，
∵△ABC≌△EAF，
∴EF=AC=AD，
∴四边形ADFE是平行四边形
故答案为：.
【分析】由三角形ABE为等边三角形，EF垂直于AB，利用三线合一得到EF为角平分线，得到∠AEF=30°，进而确定∠BAC=∠AEF，利用AAS即可得证△ABC≌△EAF，由∠BAC与∠DAC度数之和为90°，得到DA垂直于AB，而EF垂直于AB，得到EF与AD平行，再由全等得到EF=AC，而AC=AD，可得出一组对边平行且相等即可得证.
14．（2025八下·宝安期末）如图，在□ABCD中，连接AC，将△ACD绕点A顺时针旋转一定角度，得到△AEF，点C，D分别旋转到了点E，F.已知点E在边BC上，AD=5，EF=2，BE=3，则AE的长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：作AH ⊥BC于点H，则∠AHB=90°
∵四边形ABCD是平行四边形
∴BC=AD=5，AB=CD
∵BE=3
∴CE=BC-BE=2
由旋转可得AE=AC，
∴
∴BH=BE+EH=4
∴
∴
故答案为：
【分析】作AH ⊥BC于点H，则∠AHB=90°，根据平行四边形性质可得BC=AD=5，AB=CD，再根据边之间的关系可得CE，由旋转可得AE=AC，，则由旋转可得AE=AC，，则，再根据边之间的关系可得BH，再根据勾股定理即可求出答案.
15．（2020八上·龙凤期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，AD=4，AB=2，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF则EF的最大值与最小值的差为 ．
【答案】
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图：取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD= 120°
∴∠D=180°-∠BCD=60°，AB=CD=2
∴AM=DM=DC=2
∴△CDM是等边三角形
∴∠DMC=∠MCD=60°，AM=MC
∴∠MAC=∠MCA=30°
∴∠ACD=90°
∴AC=2
在Rt△ACN中，AC=2 ，∠ACN=∠DAC=30°
∴AN= AC=
∵AE=EH，GF=FH
∴EF= AG
∴AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长
∵AG的最大值为2 ，最小值为
∴EF的最大值为 ，最小值为
∴EF的最大值与最小值的差为 - = ．
故答案为 ．
【分析】取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N；再证明∠ACD=90°，求出AC=2 、AN= ；然后由三角形中位线定理，可得EF= AG，最后求出AG的最大值和最小值即可．
三、解答题：本大题共8小题，共75分.
16．（2019八上·昌平期中）解方程： .
【答案】解： ，
方程两边同时乘以 ，得
∴
∴
，
，
检验：当 时， ，原方程中的分式无意义.
∴原方程无解.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】把分式方程去分母变成整式方程，求出整式方程的解，最后进行检验即可．
17．（2024八上·青羊期中）如图，三个顶点的坐标分别是A，B，C．
（1）请画出向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的；
（2）请画出关于原点对称的，并写出的坐标；
（3）求出的面积．
【答案】（1）解：如图，即为所求作：
（2）解：如上图，即为所求，
的坐标为.
（3）解：=.
【知识点】三角形的面积；作图﹣平移；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据平移性质先找到对应点，再顺次连接即可画图；
（2）根据关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数找到对应点，再顺次连接即可画图；
（3）根据网格特点，把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可求解．
（1）解：如图，即为所求作：
（2）解：如图，即为所求作，的坐标为；
（3）解：的面积为．
18．（2024八上·金牛期中）某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况，进行了抽样调查．该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数，数据如下：
20 21 19 16 27 18 31 29 21 22
25 20 19 22 35 33 19 17 18 29
18 35 22 15 18 18 31 31 19 22
整理上面数据，得到条形统计图：
样本数据的平均数、众数、中位数如下表所示：
统计量 平均数 众数 中位数
数值 23 m 21
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上表中众数m的值为 ；
（2）为调动工人的积极性，该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励．如果想让一半左右的工人能获奖，应根据 来确定奖励标准比较合适．（填“平均数”、“众数”或“中位数”）
（3）该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手．若该部门有300名工人，试估计该部门生产能手的人数．
【答案】 (1)18；
（2）中位数；
（3）300×=110（名），
答：该部门生产能手有110名工人．
【知识点】统计表；条形统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）由图可得，
众数m的值为18，
故答案为18；
（2）由题意可得，
如果想让一半左右的工人能获奖，应根据中位数来确定奖励标准比较合适，
故答案为中位数；
【分析】（1）根据众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数”并结合条形统计图中的数据可求解；
（2）根据题意可知应选择中位数比较合适；
（3）根据统计图中的数据可以计该部门生产能手的人数．
19．（2024八上·前郭尔罗斯月考）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍多，求这个多边形的边数．
【答案】解：设这个多边形的边数是n，依题意得，
，
解得．
∴这个多边形的边数是7．
【知识点】一元一次方程的其他应用；多边形内角与外角
【解析】【分析】根据多边形的内角和比它的外角和的2倍多列方程求解．
20．（2024八上·柯桥期中）如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AE＝CF．
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）若∠BCE＝30°，∠CBF＝20°，求∠CED的度数．
【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠DCE，
∵AE＝CF，
∴AF＝CE，
又∵AB＝CD，
∴△ABF≌△CDE（SAS）．
（2）解：∵∠BCE＝30°，∠CBF＝20°，
∴∠AFB＝∠BCE+∠CBF＝30°+20°＝50°，
∵△ABF≌△CDE，
∴∠CED＝∠AFB＝50°．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质得到∠BAF＝∠DCE，然后得到AF＝CE，根据SAS证明即可；
（2）先根据三角形的外角得到∠AFB的度数，然后根据全等三角形的对应角相等解题即可.
21．如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线与CD的延长线相交于点E，与AD 相交于点F，且点 F恰好为边AD 的中点，连接AE.
（1）求证：四边形ABDE 是平行四边形；
（2）若AG⊥BE于点G，BC=6，AG=2，求 EF的长.
【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABE=∠BEC，
∵点F恰好为边AD 的中点，∴AF=DF，
∵∠AFB=∠DFE，∴△ABF≌△DEF(AAS)，∴DE=AB，
∵DE∥AB，∴四边形 ABDE 是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥CB，∴∠AFB=∠CBF，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠AFB=∠ABF，∴AF=AB，
∵AG⊥BE，∴BG=FG，
∵AF=DF，AD=BC=6，∴AB=AF=3，
∵AG=2，
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】
（1）利用平行四边形性质和中点定义可得到△ABF≌△DE，即可证明四边形ABDE 是平行四边形；
（2）先利用和角平分线定义得到AF=AB，再根据勾股定理求出BG，最后利用等腰三角形的性质得到BF，即可得出EF的长.
22．（2024八上·烟台期末）如图，的对角线，相交于点O，的平分线与边相交于点E，P是的中点，若，，求的长．
【答案】解：在中，，，，，
．
平分，
，
，
，
．
是的中点，是的中点，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据平行四边形性质可得，，，，则，再根据角平分线定义可得，则，即，再根据边之间的关系可得EB=4，再根据三角形中位定理即可求出答案.
23．（2023八上·江北期末）平行四边形中，，点E在边上，连接.
（1）如图1，交于点G，若平分，且，，请求出四边形的面积；
（2）如图2，点F在对角线上，且，连接，过点F作于H，连接，求证：.
（3）如图3，线段在线段上运动，点R在边上，连接.若平分，，，，.请直接写出线段的和的最小值以及此时的面积.
【答案】（1）解：如图，过点G作于点K，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，，，
∴
；
（2）证明：如图，过点A作于点A，交延长线于点J，
∵，，，
∴，，
∴点A，B，F，H四点共圆，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∵
∴
（3）解：；
【知识点】两点之间线段最短；三角形的面积；平行四边形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（3）解：如图，取的中点M，的中点N，连接，则，
由（1）得：，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
由（1）得：，
∵点M为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当点N，Q，C三点共线时，的值最小，此时的值最小，最小值为，
如图，过点C作于点S，
由（1）得：，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为；
由（1）得：，
∴.
【分析】（1）过点G作GK⊥AD于点K，由平行四边形的性质可得∠DAC=∠ACB，AB=CD，AD∥
BC，由平行线的性质可得∠AEB=∠CBE，易得∠ABC=60°，∠ACD=∠BAC=90°，根据角平分线的概念可得∠ABE=∠AEB=∠CBE=30°，则∩CBE=∠ACB，AE=AB，推出CG=BG，然后求出AG、AC、AE、KG的值，再根据S四边形EGCD=S△ACD-S△AGE进行计算；
（2）过点A作AJ⊥AM于点A，交FH延长线于点J，则点A，B，F，H四点共圆，则∠BHA=∠AFB=45°，推出△AHJ是等腰直角三角形，则JH=AH，利用SAS证明△ABH≌△AFJ，得到BH=FJ，据此证明；
（3）取AB的中点M，AE的中点N，连接PM、NQ、MN，由（1）得BE=3，易得四边形PMNQ为平行四边形，则PM=NQ，结合中点的概念可得BM=BR，证明△PBM≌△PBR，得到PR=PM，则NQ=PR，CQ+PQ+PR=CQ+NQ+，故当点N，Q，C三点共线时，CQ+NQ的值最小，过点C作CS⊥AD于点S，易得AC、CD、AE、AM、AD、CS、SD、MS、CM的值，据此不难求出CQ+PQ+PR的最小值，然后根据S△CEQ=S四边形EGCD-S△CDE进行计算.
1 / 1鲁教版（五四制）数学八年级上学期期末仿真模拟试卷（二）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2025八上·固安期中）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021八上·沙坪坝期末）下列条件中能判定四边形 是平行四边形的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．某中学篮球队名队员的年龄情况如下：
年龄单位：岁
人数
则这个队队员年龄的众数和中位数分别是（ )
A．， B．， C．， D．，
4．（2024八上·四会期末）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025八上·海淀期中）在日常生活中，经常会用到密码，有一种利用“因式分解”法生成的密码，方便记忆.如将因式分解的结果为（x-3）（x+3），取个人年龄作为x的值，当x=13时，x-3=10，x+3=16，由此可以得到数字密码1016.小旭按这种方式将因式分解后，取自己的年龄14设置了一个密码，他设置的密码可能是（ ）
A．141414 B．141315 C．131413 D．151415
6．（2025八上·宁波开学考）如图，在□ABCD中，AB=2，∠D=45°，∠ACD=90°，M是AD的中点，E是AB延长线上的动点，作∠EMF=90°交AC的延长线于点F.记BE=x，CF=y，当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A． B． C．xy D．
7．如图，平行四边形的对角线，相交于点， ，，是的中点，连接，.下列结论： ；平分；；.其中结论正确的序号是（ ）
A．①② B．②③④ C．①②③ D．①③④
8．（2024八下·新洲期末）如图，在长方形中，是对角线，将长方形绕点B顺时针旋转到长方形的位置，H是的中点，若，，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024八上·烟台期末）如图，在中，垂直平分于点E， ，，则的对角线的长为（ ）
A．5 B．10 C． D．
10．（2023八上·景县期末）如图，点为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与交于点，则一下结论：①恒成立；②的值不变；③四边形的面积不变；④的长不变；其中正确的个数为（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.
11．若样本数据x1＋1，x2＋1，…，xn＋1的平均数是5，方差是2，则样本数据2x1＋2，2x2＋2，…，2xn＋2的平均数、方差分别是 。
12．（2015八上·平邑期末）若关于x的分式方程 无解，则m的值是 ．
13．如图，分别以 Rt△ABC 的直角边AC 及斜边AB 为边向外作等边三角形ACD、等边三角形 ABE，EF⊥AB 于点 F，连接 DF，当 时，四边形ADFE 是平行四边形.
14．（2025八下·宝安期末）如图，在□ABCD中，连接AC，将△ACD绕点A顺时针旋转一定角度，得到△AEF，点C，D分别旋转到了点E，F.已知点E在边BC上，AD=5，EF=2，BE=3，则AE的长为 .
15．（2020八上·龙凤期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，AD=4，AB=2，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF则EF的最大值与最小值的差为 ．
三、解答题：本大题共8小题，共75分.
16．（2019八上·昌平期中）解方程： .
17．（2024八上·青羊期中）如图，三个顶点的坐标分别是A，B，C．
（1）请画出向左平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的；
（2）请画出关于原点对称的，并写出的坐标；
（3）求出的面积．
18．（2024八上·金牛期中）某工厂生产部门为了解本部门工人的生产能力情况，进行了抽样调查．该部门随机抽取了30名工人某天每人加工零件的个数，数据如下：
20 21 19 16 27 18 31 29 21 22
25 20 19 22 35 33 19 17 18 29
18 35 22 15 18 18 31 31 19 22
整理上面数据，得到条形统计图：
样本数据的平均数、众数、中位数如下表所示：
统计量 平均数 众数 中位数
数值 23 m 21
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上表中众数m的值为 ；
（2）为调动工人的积极性，该部门根据工人每天加工零件的个数制定了奖励标准，凡达到或超过这个标准的工人将获得奖励．如果想让一半左右的工人能获奖，应根据 来确定奖励标准比较合适．（填“平均数”、“众数”或“中位数”）
（3）该部门规定：每天加工零件的个数达到或超过25个的工人为生产能手．若该部门有300名工人，试估计该部门生产能手的人数．
19．（2024八上·前郭尔罗斯月考）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍多，求这个多边形的边数．
20．（2024八上·柯桥期中）如图，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上两点，且AE＝CF．
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）若∠BCE＝30°，∠CBF＝20°，求∠CED的度数．
21．如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线与CD的延长线相交于点E，与AD 相交于点F，且点 F恰好为边AD 的中点，连接AE.
（1）求证：四边形ABDE 是平行四边形；
（2）若AG⊥BE于点G，BC=6，AG=2，求 EF的长.
22．（2024八上·烟台期末）如图，的对角线，相交于点O，的平分线与边相交于点E，P是的中点，若，，求的长．
23．（2023八上·江北期末）平行四边形中，，点E在边上，连接.
（1）如图1，交于点G，若平分，且，，请求出四边形的面积；
（2）如图2，点F在对角线上，且，连接，过点F作于H，连接，求证：.
（3）如图3，线段在线段上运动，点R在边上，连接.若平分，，，，.请直接写出线段的和的最小值以及此时的面积.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图形，该图形沿某条直线折叠时，直线两旁部分能重合，是轴对称图形；但将其绕某点旋转180°后，无法与原图形重合，不是中心对称图形，因此A不符合要求；
B、图形，该图形既不存在一条直线使折叠后两旁部分重合（不是轴对称图形），也不存在某点旋转180°后与原图形重合（不是中心对称图形），因此B不符合要求；
C、图形，该图形绕某点旋转180°后能与原图形重合（是中心对称图形），但不存在一条直线使折叠后两旁部分重合（不是轴对称图形），因此C不符合要求；
D、图形，该图形存在多条直线，沿这些直线折叠时两旁部分能重合（是轴对称图形）；同时绕其中心旋转180°后也能与原图形重合（是中心对称图形），因此D符合要求。
综上，既是轴对称图形又是中心对称图形的是D。
故选：D．
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的定义，再依据定义对每个选项逐一分析，找出同时满足两种图形特征的选项。轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
2．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、不可以得到两组对角分别相等，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
B、不可以得到两组对边分别相等，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
C、根据：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】平行四边形的判定定理有：①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形；据此逐项判断即可.
3．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：出现次数最多的数据是，
队员年龄的众数为岁；
一共有名队员，
因此其中位数应是第名同学的年龄，
中位数为，
故答案为：.
【分析】 众数即为出现次数最多的数，所以从中找到出现次数最多的数即可；排序后位于中间位置的数，或中间两数的平均数是中位数.据此解答即可.
4．【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：选项A、C、D没有写成积的形式，故A、C、D选项不符合题意；
B选项，根据平方差公式写成积的形式，故选项B正确.
故答案为：B.
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，即可得解.
5．【答案】B
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
当ｘ＝14时，，，
∴他设置的密码可能是：141315.
故答案为：Ｂ.
【分析】先把提公因式得，再根据平方差公式得，当ｘ＝14时，，，即可写出可能得密码.
6．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接CM， 设AF， ME交于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC=90°，
∵∠D=45°，
∴∠CAD=∠D=45°，
∴CA=CD，
∵AM=MD，
∴CM = AM = MD， CM⊥AD，
∵∠AMC=∠EMF=90°，
∴∠AME=∠CMF，
∵∠EAO=∠FMO=90°， ∠AOE=∠FOBE=2M，
∴∠E=∠F，
∴△AME≌△CMF(AAS)，
∴AE=CF，
∵AE-BE=AB=2，
∴CF-BE=2，
∴y-x=2，
∴x-y=-2的值不变.
故答案为：B.
【分析】证明△AME≌△CMF， 推出AE=CF可得结论.
7．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：是的中点，
.又，
.又 ，是等边三角形，
，，
， ．
四边形是平行四边形，
，，
， ，.
平分．则①，②正确；
是的中点，是的中点，
是的中位线，，
．则③正确；
是的中点，．
是的中点，，．
由平行四边形的性质得，
，即．则④不正确．
所以正确的有①②③.
故答案为：C.
【分析】首先可知△CBE是等边三角形，得∠CEB=60°，再利用平行线的性质可得∠ACD=30°，可知正确，由∠BCE=∠DCE=60°，得CE平分∠DCB，故②正确；由平行四边形的性质得OB是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理可对③④进行判断.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；旋转的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：取BG的中点，连接MH，如图所示：
∵H是的中点，
∴为△GBE的中位线，
∴HM，HM∥BE，
∴∠GMH=∠CBE=90°，
由题意得：，
∴，
∴
∴
故选：B.
【分析】取BG的中点，连接MH，可知为的中位线，根据三角形的中位线定理求出MH，然后根据勾股定理求出CH 即可解答.
9．【答案】D
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接交于点F．
∵垂直平分，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴．
在中，由勾股定理得，，
∴，
故答案为：D．
【分析】连接交于点F，根据平行四边形和线段垂直平分线的性质可以推出，即可推出，先利用勾股定理求出的长，即可求出的长．
10．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵点在的角平分线上，
∴，
如图所示，过点作于点，作于点，
∴，，，
∴在四边形中，，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，故①正确；
由①正确可得，，
∴，故②正确；
由可得，
∴，
∴四边形的面积是定值，故③正确；
如图所示，连接，由上述结论可得，，，，，
∴，即的长度发生变化，故④错误；
综上所述，正确的有①②③，共3个，
故答案为：C
【分析】根据角平分线的性质可得，过点作于点，作于点，则，，，再根据四边形内角和定理可得，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，故①正确；再根据边之间的关系可判断②正确，根据全等三角形判定定理可得，则，即四边形的面积是定值，故③正确；连接，由上述结论可得，，，，，则，即的长度发生变化，故④错误；
11．【答案】10，8
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵样本 的平均数是5， 方差是2，
的平均数是2×5=10，方差是
故答案为：D.
【分析】由数据 是将原数据分别乘以2所得，其平均数是原平均数的2倍，方差是原方差的 倍，据此可得答案.
12．【答案】3
【知识点】分式方程的解及检验
【解析】【解答】解：去分母，得m﹣3=x﹣1，
x=m﹣2．
∵关于x的分式方程无解，
∴最简公分母x﹣1=0，
∴x=1，
当x=1时，得m=3，
即m的值为3．
故答案为3．
【分析】先把分式方程化为整式方程得到x=m﹣2，由于关于x的分式方程 无解，则最简公分母x﹣1=0，求得x=1，进而得到m=3．
13．【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：∵
∴∠CAB=30°，
∵△ABE为等边三角形，EF⊥AB，
∴EF为∠BEA的平分线，∠AEB=60°，AE=AB，
∴∠FEA=30°，又∠BAC=30°，
∴∠FEA=∠BAC，
在△ABC和△EAF中，
∴△ABC≌△EAF(AAS)
∵∠BAC=30°，∠DAC=60°
∴∠DAB=90°，即DA⊥AB，
∵EF⊥AB，
∴AD//EF，
∵△ABC≌△EAF，
∴EF=AC=AD，
∴四边形ADFE是平行四边形
故答案为：.
【分析】由三角形ABE为等边三角形，EF垂直于AB，利用三线合一得到EF为角平分线，得到∠AEF=30°，进而确定∠BAC=∠AEF，利用AAS即可得证△ABC≌△EAF，由∠BAC与∠DAC度数之和为90°，得到DA垂直于AB，而EF垂直于AB，得到EF与AD平行，再由全等得到EF=AC，而AC=AD，可得出一组对边平行且相等即可得证.
14．【答案】
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：作AH ⊥BC于点H，则∠AHB=90°
∵四边形ABCD是平行四边形
∴BC=AD=5，AB=CD
∵BE=3
∴CE=BC-BE=2
由旋转可得AE=AC，
∴
∴BH=BE+EH=4
∴
∴
故答案为：
【分析】作AH ⊥BC于点H，则∠AHB=90°，根据平行四边形性质可得BC=AD=5，AB=CD，再根据边之间的关系可得CE，由旋转可得AE=AC，，则由旋转可得AE=AC，，则，再根据边之间的关系可得BH，再根据勾股定理即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图：取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD= 120°
∴∠D=180°-∠BCD=60°，AB=CD=2
∴AM=DM=DC=2
∴△CDM是等边三角形
∴∠DMC=∠MCD=60°，AM=MC
∴∠MAC=∠MCA=30°
∴∠ACD=90°
∴AC=2
在Rt△ACN中，AC=2 ，∠ACN=∠DAC=30°
∴AN= AC=
∵AE=EH，GF=FH
∴EF= AG
∴AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长
∵AG的最大值为2 ，最小值为
∴EF的最大值为 ，最小值为
∴EF的最大值与最小值的差为 - = ．
故答案为 ．
【分析】取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N；再证明∠ACD=90°，求出AC=2 、AN= ；然后由三角形中位线定理，可得EF= AG，最后求出AG的最大值和最小值即可．
16．【答案】解： ，
方程两边同时乘以 ，得
∴
∴
，
，
检验：当 时， ，原方程中的分式无意义.
∴原方程无解.
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】把分式方程去分母变成整式方程，求出整式方程的解，最后进行检验即可．
17．【答案】（1）解：如图，即为所求作：
（2）解：如上图，即为所求，
的坐标为.
（3）解：=.
【知识点】三角形的面积；作图﹣平移；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据平移性质先找到对应点，再顺次连接即可画图；
（2）根据关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数找到对应点，再顺次连接即可画图；
（3）根据网格特点，把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可求解．
（1）解：如图，即为所求作：
（2）解：如图，即为所求作，的坐标为；
（3）解：的面积为．
18．【答案】 (1)18；
（2）中位数；
（3）300×=110（名），
答：该部门生产能手有110名工人．
【知识点】统计表；条形统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）由图可得，
众数m的值为18，
故答案为18；
（2）由题意可得，
如果想让一半左右的工人能获奖，应根据中位数来确定奖励标准比较合适，
故答案为中位数；
【分析】（1）根据众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数”并结合条形统计图中的数据可求解；
（2）根据题意可知应选择中位数比较合适；
（3）根据统计图中的数据可以计该部门生产能手的人数．
19．【答案】解：设这个多边形的边数是n，依题意得，
，
解得．
∴这个多边形的边数是7．
【知识点】一元一次方程的其他应用；多边形内角与外角
【解析】【分析】根据多边形的内角和比它的外角和的2倍多列方程求解．
20．【答案】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠BAF＝∠DCE，
∵AE＝CF，
∴AF＝CE，
又∵AB＝CD，
∴△ABF≌△CDE（SAS）．
（2）解：∵∠BCE＝30°，∠CBF＝20°，
∴∠AFB＝∠BCE+∠CBF＝30°+20°＝50°，
∵△ABF≌△CDE，
∴∠CED＝∠AFB＝50°．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先根据平行线的性质得到∠BAF＝∠DCE，然后得到AF＝CE，根据SAS证明即可；
（2）先根据三角形的外角得到∠AFB的度数，然后根据全等三角形的对应角相等解题即可.
21．【答案】（1）证明：∵四边形 ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABE=∠BEC，
∵点F恰好为边AD 的中点，∴AF=DF，
∵∠AFB=∠DFE，∴△ABF≌△DEF(AAS)，∴DE=AB，
∵DE∥AB，∴四边形 ABDE 是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥CB，∴∠AFB=∠CBF，
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠AFB=∠ABF，∴AF=AB，
∵AG⊥BE，∴BG=FG，
∵AF=DF，AD=BC=6，∴AB=AF=3，
∵AG=2，
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【分析】
（1）利用平行四边形性质和中点定义可得到△ABF≌△DE，即可证明四边形ABDE 是平行四边形；
（2）先利用和角平分线定义得到AF=AB，再根据勾股定理求出BG，最后利用等腰三角形的性质得到BF，即可得出EF的长.
22．【答案】解：在中，，，，，
．
平分，
，
，
，
．
是的中点，是的中点，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念；三角形的中位线定理
【解析】【分析】根据平行四边形性质可得，，，，则，再根据角平分线定义可得，则，即，再根据边之间的关系可得EB=4，再根据三角形中位定理即可求出答案.
23．【答案】（1）解：如图，过点G作于点K，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，，，
∴
；
（2）证明：如图，过点A作于点A，交延长线于点J，
∵，，，
∴，，
∴点A，B，F，H四点共圆，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∵
∴
（3）解：；
【知识点】两点之间线段最短；三角形的面积；平行四边形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（3）解：如图，取的中点M，的中点N，连接，则，
由（1）得：，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
由（1）得：，
∵点M为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当点N，Q，C三点共线时，的值最小，此时的值最小，最小值为，
如图，过点C作于点S，
由（1）得：，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为；
由（1）得：，
∴.
【分析】（1）过点G作GK⊥AD于点K，由平行四边形的性质可得∠DAC=∠ACB，AB=CD，AD∥
BC，由平行线的性质可得∠AEB=∠CBE，易得∠ABC=60°，∠ACD=∠BAC=90°，根据角平分线的概念可得∠ABE=∠AEB=∠CBE=30°，则∩CBE=∠ACB，AE=AB，推出CG=BG，然后求出AG、AC、AE、KG的值，再根据S四边形EGCD=S△ACD-S△AGE进行计算；
（2）过点A作AJ⊥AM于点A，交FH延长线于点J，则点A，B，F，H四点共圆，则∠BHA=∠AFB=45°，推出△AHJ是等腰直角三角形，则JH=AH，利用SAS证明△ABH≌△AFJ，得到BH=FJ，据此证明；
（3）取AB的中点M，AE的中点N，连接PM、NQ、MN，由（1）得BE=3，易得四边形PMNQ为平行四边形，则PM=NQ，结合中点的概念可得BM=BR，证明△PBM≌△PBR，得到PR=PM，则NQ=PR，CQ+PQ+PR=CQ+NQ+，故当点N，Q，C三点共线时，CQ+NQ的值最小，过点C作CS⊥AD于点S，易得AC、CD、AE、AM、AD、CS、SD、MS、CM的值，据此不难求出CQ+PQ+PR的最小值，然后根据S△CEQ=S四边形EGCD-S△CDE进行计算.
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