2025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级上学期期末仿真模拟试卷（二）[范围：九上全册]
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024九上·泰山月考）二次函数y =（x-3）2 +4的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（ ）
A．向上，直线x=3，（3，4） B．向上，直线x=-3，（3，4）
C．向上，直线x=3，（3，-4） D．向下，直线x=3，（3，4）
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：∵
∴二次函数y =（x-3）2+4的图象开口向下，
对称轴为，顶点坐标为
故答案为：D．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系以及抛物线的顶点式直接求出顶点坐标即可.
2．（2024九上·岳阳期末） 在 Rt△ABC中，∠C= 90°，若 △ABC的三边都放大2倍，则 sinA的值（ ）
A．缩小 2 倍 B．放大 2 倍 C．不变 D．无法确定
【答案】C
【知识点】角的大小比较；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵∠C= 90°，若 △ABC的三边都放大2倍，
∴∠A大小不变，
∴ sinA的值不变，
故答案为：C
【分析】先根据角得到∠A大小不变，进而根据特殊角的三角函数值即可求解。
3．（2024九上·大东期末）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由三视图可知，该几何体由上下两部分组成，上面是一个圆锥，下面是一个圆柱．
故答案为：D．
【分析】先根据三视图，想像出上、下两部分的几何体，再作出判断．
4．（2025九上·金牛期中）已知点A（﹣1，y1）、B（﹣3，y2）、C（，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵k=-6<0，
∴反比例函数的图象位于二四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，
∴点A(-1，y1)，B(-3，y2)在第二象限，而在第四象限.
∴0∴y1>y2>y3，
故选：A.
【分析】根据k的值确定双曲线所在的象限，进而明确函数的增减性，再根据点A(-1，y1)，B(-3，y2)，所在的象限，确定y2、y1、y3，大小关系.
5．（2024九上·诸暨月考）在同一坐标系中画出 的图象， 正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：由于抛物线y=-2x2开口向下，所以排除A，D选项.
抛物线y=ax2，|a|越大，抛物线的开口越小，
故答案为：B.
【分析】二次函数y=ax2(a≠0)的图象是抛物线，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下，|a|越大，抛物线开口越窄.
6．（2025九上·肇庆期中）如图，在直角坐标系中，点和点在轴上，点在轴负半轴上，，当线段最长时，点的坐标为（ ）
A．(-2， 0) B．(-3， 0) C．(-4， 0) D．(-5， 0)
【答案】C
【知识点】点的坐标；三角形的面积；二次函数-动态几何问题；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵点A（0，a2+a）和点B（0，-a-2），
∴AB=a2+a-(-a-2)=a2+2a+2=(a+1)2+1，
∴AB的最小值为1，此时OM最长，
S△ABM=AB·OM=×1·OM=2，
解得OM=4．
又∵点M在x轴负半轴，
∴点M的坐标为（-4，0）．
故选：C．
【分析】根据两点间距离可得AB=(a+1)2+1，根据二次函数性质可得AB的最小值为1，此时OM最长，再根据三角形面积建立方程，解方程可得OM=4，再根据点的坐标即可求出答案.
7．（2025九上·邹平期末）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，据以上信息得出下列结论，其中错误的是（ ）
A．定价70元时，利润为6000元 B．定价元时，利润为6105元
C．降价3元，能使所获利润最大 D．涨价5元，能使所获利润最大
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：A、定价70元时，利润为，
∴此选项不符合题意；
定价元时，利润为，
∴此选项不符合题意；
设每件降价元，利润为，
则，
当时，利润最大，
∴此选项符合题意；
设每件涨价元，利润为，
则，
当时，利润最大，
∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据题意列出算式计算即可判断求解．
8．（2025九上·金华期中）已知抛物线 当0≤x≤m时， y的最小值为-1， 最大值为3，则m的取值范围为( )
A．m≥2 B．0≤m≤2 C．2≤m≤4 D．m≤4
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
9．（2025九上·余杭月考）如图，函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点P是BC上方抛物线上一点，连结AP交BC于点D，连结AC，CP，记△ACD的面积为S1，△PCD的面积为S2，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；三角形的面积；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：由题知，过点P作x轴的平行线交BC的延长线于点M，如图
∵轴
∴
∴
令y=0，则有
解得
∴
∴
将x=0代入得y=3
∴点C的坐标为
令直线BC的函数解析式为，则
解得
∴直线BC的函数解析式为
∵
令点P坐标为，则
∴
∴
则
∴
则当m=2时，有最大值为
即的最大值为
故选：B
【分析】首先可知，证明可得，易求AB=5，设参数表示出点P和点M的坐标，从而可以表示出线段，进一步表示出，利用二次函数的性质可知其最大值为。
10．（2025九上·广州月考）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出了下列结论：
①图象与坐标轴的交点为，，；
②当时，函数取得最大值；
③当或时，函数值随值的增大而增大；
④若在函数图象上，则也在函数图象上；
⑤当直线与函数的图象有个交点时，则的取值范围是．其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．①③④
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解： ① 当时，，解得：，，则 图象与轴的交点为，，当时，，则 图象与轴的交点为.故图象与坐标轴的交点为，，，①正确.
②观察函数图象知，函数没有最大值，故②错误.
③把配方得：，可作图如图如下：
由图得：当或时，函数值随值的增大而增大，故③正确.
④∵在函数图象上，
∴，
当时，，
∴也在函数图象上，故④正确.
⑤如图，
观察发现：
当时，，解得，
当时，，解得，
∴当或时直线与函数的图象有个交点，故 ⑤ 错误.
故答案为：D.
【分析】 ① 当时，，解得：，，则 图象与轴的交点为，，当时，，则 图象与轴的交点为.故图象与坐标轴的交点为，，即可判断.②观察函数图象知，函数没有最大值.③把配方得：，可作图，根据图像可得答案.④把代入计算即可.⑤作出直线与函数的图象，即可得当时，，解得，当时，，解得，当或时直线与函数的图象有个交点.
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（2025九上·温州期中）已知二次函数. 的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 .
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵ 二次函数的图象与x轴有交点，
∴，即1-4×2(k-2)≥0，
解得，
故答案为：.
【分析】根据题意得到，然后代入计算即可.
12．（2023九上·广饶期末）如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么的值为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；求正弦值
【解析】【解答】解：∵四边形为矩形，
∴， ，
∵矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处，
∴，，
在中，∵，
∴，
设，则
在中，∵，
∴，解得，
∴，
∴．
故答案为．
【分析】根据矩形的性质可得AD=BC=5，AB=CD=3，再根据折叠的性质得AF=AD=5，EF=DE，再根据勾股定理可得BF=4，则CF=BC-BF=1，设CE=x，则DE=EF=3-x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理建立方程，解方程可得，再根据正弦定义即可求出答案.
13．（2024九上·锦江期末）某三棱柱的三种视图如图所示，它的主视图是三角形，左视图和俯视图都是矩形，且俯视图的面积是左视图面积的倍，左视图中矩形的边长，则主视图的面积为 ．
【答案】9
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】因为主视图、俯视图与左视图的长相等，若左视图中矩形ABCD的边长AB=3，俯视图的面积是左视图面积的2倍，
所以主视图的宽为2AB=6，
因为主视图与左视图关系可知主视图三角形的高为AB=3，
所以主视图的面积为
故答案为：9.
【分析】根据三视图关系得出，主视图、俯视图与左视图的长相等，再根据左视图中矩形ABCD的边长AB=3，俯视图的面积是左视图面积的2倍，得出主视图的宽为2AB=6，再根据主视图与左视图关系可知主视图三角形的高为AB=3，即可得出主视图的面积.
14．（2025九上·余杭月考）如图，在四边形ABCD 中，AB=BC=6 cm，CD=AD=6cm，∠B=120°.点E从点B出发，沿BC边向点C以1cm/s的速度移动；点F从点C出发，沿CD边向点D以1cm/s的速度移动.E、F同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，连结AE，EF，AF，设运动的时间为t（S），若使△AEF的面积为最小，则t的值是 .
【答案】
【知识点】二次函数的最值；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：解： 连接AC，BD交于点M， 过点A作AG⊥BC交CB延长线于点G，过点A作AH⊥CD于点H
是等腰三角形，
BD=BD，
D，
同理得到
∴AC =AD=CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC=60°，
∵∠AHD=90°，
∴∠HAD=30°，
∵∠ABG=180°-∠ABC =60°， ∠AGB=90°，
∴∠BAG=30°，
同理求出.
∵∠BCD=∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，
∴△AEF的面积为
∵BE= tcm，CF = tcm，
∴△AEF的面积为 '的面积为
'的面积为
令 的面积为S，则
∴兰
时，S有最小值，
即当 时， 的面积为最小.
故答案为：
【分析】连接AC，BD交于点M， 过点A作AG⊥BC交CB延长线于点G，过点A作AH⊥CD于点H，易证△ABC是等腰三角形， 求出∠BAC =∠BCA=30°， 证明△ABD≌△CBD(SSS)， 易得∠ABM =∠CBM = 60°， 进而得到∠AMB=∠CMB=90°，利用直角三角形的性质求出 再利用勾股定理求出 同理得到 易证△ACD是等边三角形，进而求出AH =9cm， 由已知求出∠ABG=60°， 进而得到∠BAG=30°， 同理求出. 求出∠BCD= 90°， 根据△AEF的面积为 再利用二次函数的性质解答即可.
15．（2025九上·北川期中）如图，，是抛物线上两点，点为的中点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，．设，两点的横坐标分别为，．则的值为 ．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；线段的中点；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据题意可知，A、B两点的纵坐标分别为x12、x22，
∴点A（x1，x12），点B（x2，x22），
∵点P为AB的中点，
∴点P（，），
∵ 过点作轴的垂线，交抛物线于点 ，
∴点P和点Q的横坐标相同，为，
∴点Q的纵坐标为，
∵PQ=3，
∴-=3，
整理得：=12，
∵，
∴=，
故答案为：．
【分析】先根据题意结合中点坐标公式求出点的坐标，再根据列出方程根据完全平方公式求出的值即可得出答案．
三、解答题：本大题共8小题，共75分。
16．（2025九上·鹿城期末）如图，在中，，D为边上的一点，，．
（1）求的长．
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：在中，
，，
．
（2）解：，
，
．
．
答：
【知识点】勾股定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）由正切三角函数计算公式知，；
（2）因为直角三角形ACD中：，需要计算出AD的长，因为AC已知，则CD可知，应用勾股定理即可。
（1）解：在中，
，，
．
（2）解：，
，
．
．
17．（2025九上·江油月考）已知y=（m+1）是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小．
（1）求m的值；
（2）当自变量的值为多少时，函数有最值？最值是多少？
【答案】（1）解：∵（m+1）是关于x的二次函数，
∴m2+m=2，解得m=1或-2，
∵当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴m+1＜0，即m＜-1．
所以m=-2，m=1（不符合题意，舍）；
（2）解：当x=0时，y最大=0．
【知识点】二次函数的定义；二次函数y=ax²的性质
【解析】【分析】(1)根据二次函数的定义可知m=1或-2，图象当 x＞0时，y随x的增大而减小，说明开口向下，所以m＜-1，故m=-2；
(2)二次函数在顶点处有最值，由解析式可知该二次函数顶点坐标为(0，0)，所以当x=0时，y有最大值，且y最大=0．
18．（2024九上·长丰期中）如图，已知反比例函数的图象与直线相交于，B两点．
（1）求k的值．
（2）当时，请直接写出x的取值范围．
【答案】（1）解：∵点在直线上，
∴，
∴．
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得．
（2）或
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（2）解∶联立，
解得：或，
即，，
由图象可知，当时，或．
【分析】（1）先求出点m的值，然后利用待定系数法即可求出点k的值．
（2）先求出点B的坐标，再结合一次函数以及反比例函数的图象即可得出答案．
（1）解：∵点在直线上，
∴，
∴．
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得．
（2）解∶联立，
解得：或，
即，，
由图象可知，当时，或．
19．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册第五章 投影与视图 单元检测卷 ）由几个小立方体叠成的几何体的主视图和左视图如图所示，求组成几何体的小立方体个数的最大值与最小值，并画出相应的俯视图.
【答案】解：最大值为12个，最小值为7个，俯视图分别如图所示（每个方格内的数字表示该位置上叠的小立方体的个数）.
【知识点】由三视图判断几何体；作图﹣三视图
【解析】【分析】结合主视图和左视图可知：底面最多有小立方体3+3+3=9个，最少有小立方体1+2+1=4个，第二层最多有小立方体2个，最少有小立方体2个，第三层最多有小立方体1个，最少有小立方体1个，故组成这个几何体的小立方体的个数的最大值为9+2+1=12个，最小值为4+2+1=7个，根据俯视图的定义，分别作出组成几何体的小立方体最多的时候，与最少的时候从上向下看得到的正投影即可。
20．（2025九上·广东期末）已知反比例函数的图象经过点．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）这个函数的图象在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？
（3）判断点是否在这个函数的图象上，说明理由．
【答案】（1）解：将点代入反比例函数中，
即，
解得，
y与x之间的函数表达式为；
（2）在反比例函数中，，
这个函数的图象在第二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大；
（3）将代入中，
可得，
点不在这个函数的图象上．
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据反比例函数的图象经过点，即可得出y与x之间的函数表达式为；
（2）根据（1）的解析式中，k=-10＜0，即可得出这个函数的图象在第二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大；（3）直接把点P的横坐标代入解析式中，求得纵坐标，即可得出结论。
（1）解：将点代入反比例函数中，
即，
解得，
y与x之间的函数表达式为；
（2）在反比例函数中，，
这个函数的图象在第二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大；
（3）将代入中，
可得，
点不在这个函数的图象上．
21．（2025九上·北川期中） 如图，是一个抛物线形拱桥，以拱顶O为坐标原点建立平面直角坐标系，当拱顶O离水面BC的高OA=2m时，水面宽BC=4m.
（1）求该抛物线表示的二次函数解析式；
（2）当水面BC下降1m到达EF时，求水面宽度增加多少m？
【答案】（1）解：设该抛物线表示的二次函数解析式为y=ax2，
∵点（2，-2）在该抛物线上，
∴-2=a×22，
解得a= ，
∴该抛物线表示的二次函数解析式为y=
（2）解：当y=-3时，-3= ，得x1= ，x2=- ，
∴EF=-（）= （m），
∴EF-BC=（-4）m，
即当水面BC下降1m到达EF时，水面宽度增加（）m
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）先求出，然后利用待定系数法求解即可；
（2）先求出，进而求出，．得到，由此即可得到答案．
22．（2025九上·鄞州期中）某蛋糕店出售网红“奶昔包”，成本为30元/件，每天的销售量（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，当以40元每件出售时，每天可以卖出300件，当以55元每件出售时，每天可以卖出150件.
（1） 求y与x之间的函数关系式；
（2）如果规定每天“奶昔包”的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）解：设y与x之间的函数关系式：y=kx+b，
由题意得：
解得：
∴y与x之间的函数关系式为：y=-10x+700
（2）解：由题意，得-10x+700≥240，
解得x≤46.
设利润为w元
则w=(x-30)·y
=(x-30)(-10x+700)
=-10x2+1000x-21000
=-10(x-50)2+4000
∵-10<0.
∴x<50时，w随x的增大而增大
∴x=46时，w大=-10(46-50)2+4000=3840
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式；
(2)根据利润=销售量×单件的利润，然后将(1)中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润.
23．（2024九上·太和期中）定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．已知二次函数（为常数）．
（1）若该函数经过点，求该函数图象上的“三倍点”坐标；
（2）在（1）的条件下，当时，求该函数的最小值（用含的代数式表示）；
（3）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，求的取值范围．
【答案】（1）解：把代入，得，
抛物线的解析式为．
设该函数图象上的“三倍点”坐标为，
把代入，得，
整理，得，解得，
“三倍点”坐标为．
（2）解：由（1）可知，则抛物线的对称轴为直线．
当，即时，此时左侧端点离对称轴越远，则；
当，即时，此时右侧端点离对称轴越远，则．
综上，当时，；当时，．
（3）解：由题意，得“三倍点”所在的直线为．在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在的范围内，二次函数和的图象至少有一个交点，
令，整理得，
则，解得；
把代入，得，代入，得，
则，解得；
把代入，得，代入，得，
则，解得．
综上，的取值范围为．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；列一元二次方程
【解析】【分析】（1）首先根据点（1.-6），可求出二次函数解析式，进而根据“三倍点”定义，可设该函数图象上的“三倍点”坐标为，进而根据解析式可得出，解方程即可求解；
（2）首先可求出抛物线的对称轴，进而分类求出 该函数的最小值（用含的代数式表示） ，①当即时，②当即时，分别求解即可．
（3）由题意得，三倍点所在的直线为，将在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，转化为在的范围内，二次函数和至少有一个交点，即可求解．
（1）解：把代入，得，
抛物线的解析式为．
设该函数图象上的“三倍点”坐标为，
把代入，得，
整理，得，解得，
“三倍点”坐标为．
（2）解：由（1）可知，则抛物线的对称轴为直线．
当，即时，此时左侧端点离对称轴越远，则；
当，即时，此时右侧端点离对称轴越远，则．
综上，当时，；当时，．
（3）由题意，得“三倍点”所在的直线为．
在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在的范围内，二次函数和的图象至少有一个交点，
令，整理得，
则，解得；
把代入，得，代入，得，
则，解得；
把代入，得，代入，得，
则，解得．
综上，的取值范围为．
1 / 12025-2026学年鲁教版（五四制）数学九年级上学期期末仿真模拟试卷（二）[范围：九上全册]
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024九上·泰山月考）二次函数y =（x-3）2 +4的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（ ）
A．向上，直线x=3，（3，4） B．向上，直线x=-3，（3，4）
C．向上，直线x=3，（3，-4） D．向下，直线x=3，（3，4）
2．（2024九上·岳阳期末） 在 Rt△ABC中，∠C= 90°，若 △ABC的三边都放大2倍，则 sinA的值（ ）
A．缩小 2 倍 B．放大 2 倍 C．不变 D．无法确定
3．（2024九上·大东期末）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2025九上·金牛期中）已知点A（﹣1，y1）、B（﹣3，y2）、C（，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2
5．（2024九上·诸暨月考）在同一坐标系中画出 的图象， 正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025九上·肇庆期中）如图，在直角坐标系中，点和点在轴上，点在轴负半轴上，，当线段最长时，点的坐标为（ ）
A．(-2， 0) B．(-3， 0) C．(-4， 0) D．(-5， 0)
7．（2025九上·邹平期末）某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，据以上信息得出下列结论，其中错误的是（ ）
A．定价70元时，利润为6000元 B．定价元时，利润为6105元
C．降价3元，能使所获利润最大 D．涨价5元，能使所获利润最大
8．（2025九上·金华期中）已知抛物线 当0≤x≤m时， y的最小值为-1， 最大值为3，则m的取值范围为( )
A．m≥2 B．0≤m≤2 C．2≤m≤4 D．m≤4
9．（2025九上·余杭月考）如图，函数的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点P是BC上方抛物线上一点，连结AP交BC于点D，连结AC，CP，记△ACD的面积为S1，△PCD的面积为S2，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
10．（2025九上·广州月考）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出了下列结论：
①图象与坐标轴的交点为，，；
②当时，函数取得最大值；
③当或时，函数值随值的增大而增大；
④若在函数图象上，则也在函数图象上；
⑤当直线与函数的图象有个交点时，则的取值范围是．其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①④⑤ D．①③④
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．（2025九上·温州期中）已知二次函数. 的图象与x轴有交点，则k的取值范围是 .
12．（2023九上·广饶期末）如图，在矩形中，，，点在上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处，那么的值为 ．
13．（2024九上·锦江期末）某三棱柱的三种视图如图所示，它的主视图是三角形，左视图和俯视图都是矩形，且俯视图的面积是左视图面积的倍，左视图中矩形的边长，则主视图的面积为 ．
14．（2025九上·余杭月考）如图，在四边形ABCD 中，AB=BC=6 cm，CD=AD=6cm，∠B=120°.点E从点B出发，沿BC边向点C以1cm/s的速度移动；点F从点C出发，沿CD边向点D以1cm/s的速度移动.E、F同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，连结AE，EF，AF，设运动的时间为t（S），若使△AEF的面积为最小，则t的值是 .
15．（2025九上·北川期中）如图，，是抛物线上两点，点为的中点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，．设，两点的横坐标分别为，．则的值为 ．
三、解答题：本大题共8小题，共75分。
16．（2025九上·鹿城期末）如图，在中，，D为边上的一点，，．
（1）求的长．
（2）若，求的值．
17．（2025九上·江油月考）已知y=（m+1）是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而减小．
（1）求m的值；
（2）当自变量的值为多少时，函数有最值？最值是多少？
18．（2024九上·长丰期中）如图，已知反比例函数的图象与直线相交于，B两点．
（1）求k的值．
（2）当时，请直接写出x的取值范围．
19．（2018-2019学年数学北师大版九年级上册第五章 投影与视图 单元检测卷 ）由几个小立方体叠成的几何体的主视图和左视图如图所示，求组成几何体的小立方体个数的最大值与最小值，并画出相应的俯视图.
20．（2025九上·广东期末）已知反比例函数的图象经过点．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）这个函数的图象在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？
（3）判断点是否在这个函数的图象上，说明理由．
21．（2025九上·北川期中） 如图，是一个抛物线形拱桥，以拱顶O为坐标原点建立平面直角坐标系，当拱顶O离水面BC的高OA=2m时，水面宽BC=4m.
（1）求该抛物线表示的二次函数解析式；
（2）当水面BC下降1m到达EF时，求水面宽度增加多少m？
22．（2025九上·鄞州期中）某蛋糕店出售网红“奶昔包”，成本为30元/件，每天的销售量（件）与销售单价x（元）之间存在一次函数关系，当以40元每件出售时，每天可以卖出300件，当以55元每件出售时，每天可以卖出150件.
（1） 求y与x之间的函数关系式；
（2）如果规定每天“奶昔包”的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？
23．（2024九上·太和期中）定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．已知二次函数（为常数）．
（1）若该函数经过点，求该函数图象上的“三倍点”坐标；
（2）在（1）的条件下，当时，求该函数的最小值（用含的代数式表示）；
（3）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：∵
∴二次函数y =（x-3）2+4的图象开口向下，
对称轴为，顶点坐标为
故答案为：D．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系以及抛物线的顶点式直接求出顶点坐标即可.
2．【答案】C
【知识点】角的大小比较；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵∠C= 90°，若 △ABC的三边都放大2倍，
∴∠A大小不变，
∴ sinA的值不变，
故答案为：C
【分析】先根据角得到∠A大小不变，进而根据特殊角的三角函数值即可求解。
3．【答案】D
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由三视图可知，该几何体由上下两部分组成，上面是一个圆锥，下面是一个圆柱．
故答案为：D．
【分析】先根据三视图，想像出上、下两部分的几何体，再作出判断．
4．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵k=-6<0，
∴反比例函数的图象位于二四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，
∴点A(-1，y1)，B(-3，y2)在第二象限，而在第四象限.
∴0∴y1>y2>y3，
故选：A.
【分析】根据k的值确定双曲线所在的象限，进而明确函数的增减性，再根据点A(-1，y1)，B(-3，y2)，所在的象限，确定y2、y1、y3，大小关系.
5．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²的图象
【解析】【解答】解：由于抛物线y=-2x2开口向下，所以排除A，D选项.
抛物线y=ax2，|a|越大，抛物线的开口越小，
故答案为：B.
【分析】二次函数y=ax2(a≠0)的图象是抛物线，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下，|a|越大，抛物线开口越窄.
6．【答案】C
【知识点】点的坐标；三角形的面积；二次函数-动态几何问题；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵点A（0，a2+a）和点B（0，-a-2），
∴AB=a2+a-(-a-2)=a2+2a+2=(a+1)2+1，
∴AB的最小值为1，此时OM最长，
S△ABM=AB·OM=×1·OM=2，
解得OM=4．
又∵点M在x轴负半轴，
∴点M的坐标为（-4，0）．
故选：C．
【分析】根据两点间距离可得AB=(a+1)2+1，根据二次函数性质可得AB的最小值为1，此时OM最长，再根据三角形面积建立方程，解方程可得OM=4，再根据点的坐标即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：A、定价70元时，利润为，
∴此选项不符合题意；
定价元时，利润为，
∴此选项不符合题意；
设每件降价元，利润为，
则，
当时，利润最大，
∴此选项符合题意；
设每件涨价元，利润为，
则，
当时，利润最大，
∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据题意列出算式计算即可判断求解．
8．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
9．【答案】B
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；三角形的面积；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：由题知，过点P作x轴的平行线交BC的延长线于点M，如图
∵轴
∴
∴
令y=0，则有
解得
∴
∴
将x=0代入得y=3
∴点C的坐标为
令直线BC的函数解析式为，则
解得
∴直线BC的函数解析式为
∵
令点P坐标为，则
∴
∴
则
∴
则当m=2时，有最大值为
即的最大值为
故选：B
【分析】首先可知，证明可得，易求AB=5，设参数表示出点P和点M的坐标，从而可以表示出线段，进一步表示出，利用二次函数的性质可知其最大值为。
10．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解： ① 当时，，解得：，，则 图象与轴的交点为，，当时，，则 图象与轴的交点为.故图象与坐标轴的交点为，，，①正确.
②观察函数图象知，函数没有最大值，故②错误.
③把配方得：，可作图如图如下：
由图得：当或时，函数值随值的增大而增大，故③正确.
④∵在函数图象上，
∴，
当时，，
∴也在函数图象上，故④正确.
⑤如图，
观察发现：
当时，，解得，
当时，，解得，
∴当或时直线与函数的图象有个交点，故 ⑤ 错误.
故答案为：D.
【分析】 ① 当时，，解得：，，则 图象与轴的交点为，，当时，，则 图象与轴的交点为.故图象与坐标轴的交点为，，即可判断.②观察函数图象知，函数没有最大值.③把配方得：，可作图，根据图像可得答案.④把代入计算即可.⑤作出直线与函数的图象，即可得当时，，解得，当时，，解得，当或时直线与函数的图象有个交点.
11．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵ 二次函数的图象与x轴有交点，
∴，即1-4×2(k-2)≥0，
解得，
故答案为：.
【分析】根据题意得到，然后代入计算即可.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；求正弦值
【解析】【解答】解：∵四边形为矩形，
∴， ，
∵矩形沿直线折叠，顶点恰好落在边上的处，
∴，，
在中，∵，
∴，
设，则
在中，∵，
∴，解得，
∴，
∴．
故答案为．
【分析】根据矩形的性质可得AD=BC=5，AB=CD=3，再根据折叠的性质得AF=AD=5，EF=DE，再根据勾股定理可得BF=4，则CF=BC-BF=1，设CE=x，则DE=EF=3-x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理建立方程，解方程可得，再根据正弦定义即可求出答案.
13．【答案】9
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】因为主视图、俯视图与左视图的长相等，若左视图中矩形ABCD的边长AB=3，俯视图的面积是左视图面积的2倍，
所以主视图的宽为2AB=6，
因为主视图与左视图关系可知主视图三角形的高为AB=3，
所以主视图的面积为
故答案为：9.
【分析】根据三视图关系得出，主视图、俯视图与左视图的长相等，再根据左视图中矩形ABCD的边长AB=3，俯视图的面积是左视图面积的2倍，得出主视图的宽为2AB=6，再根据主视图与左视图关系可知主视图三角形的高为AB=3，即可得出主视图的面积.
14．【答案】
【知识点】二次函数的最值；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：解： 连接AC，BD交于点M， 过点A作AG⊥BC交CB延长线于点G，过点A作AH⊥CD于点H
是等腰三角形，
BD=BD，
D，
同理得到
∴AC =AD=CD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC=60°，
∵∠AHD=90°，
∴∠HAD=30°，
∵∠ABG=180°-∠ABC =60°， ∠AGB=90°，
∴∠BAG=30°，
同理求出.
∵∠BCD=∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，
∴△AEF的面积为
∵BE= tcm，CF = tcm，
∴△AEF的面积为 '的面积为
'的面积为
令 的面积为S，则
∴兰
时，S有最小值，
即当 时， 的面积为最小.
故答案为：
【分析】连接AC，BD交于点M， 过点A作AG⊥BC交CB延长线于点G，过点A作AH⊥CD于点H，易证△ABC是等腰三角形， 求出∠BAC =∠BCA=30°， 证明△ABD≌△CBD(SSS)， 易得∠ABM =∠CBM = 60°， 进而得到∠AMB=∠CMB=90°，利用直角三角形的性质求出 再利用勾股定理求出 同理得到 易证△ACD是等边三角形，进而求出AH =9cm， 由已知求出∠ABG=60°， 进而得到∠BAG=30°， 同理求出. 求出∠BCD= 90°， 根据△AEF的面积为 再利用二次函数的性质解答即可.
15．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；线段的中点；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据题意可知，A、B两点的纵坐标分别为x12、x22，
∴点A（x1，x12），点B（x2，x22），
∵点P为AB的中点，
∴点P（，），
∵ 过点作轴的垂线，交抛物线于点 ，
∴点P和点Q的横坐标相同，为，
∴点Q的纵坐标为，
∵PQ=3，
∴-=3，
整理得：=12，
∵，
∴=，
故答案为：．
【分析】先根据题意结合中点坐标公式求出点的坐标，再根据列出方程根据完全平方公式求出的值即可得出答案．
16．【答案】（1）解：在中，
，，
．
（2）解：，
，
．
．
答：
【知识点】勾股定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）由正切三角函数计算公式知，；
（2）因为直角三角形ACD中：，需要计算出AD的长，因为AC已知，则CD可知，应用勾股定理即可。
（1）解：在中，
，，
．
（2）解：，
，
．
．
17．【答案】（1）解：∵（m+1）是关于x的二次函数，
∴m2+m=2，解得m=1或-2，
∵当x＞0时，y随x的增大而减小，
∴m+1＜0，即m＜-1．
所以m=-2，m=1（不符合题意，舍）；
（2）解：当x=0时，y最大=0．
【知识点】二次函数的定义；二次函数y=ax²的性质
【解析】【分析】(1)根据二次函数的定义可知m=1或-2，图象当 x＞0时，y随x的增大而减小，说明开口向下，所以m＜-1，故m=-2；
(2)二次函数在顶点处有最值，由解析式可知该二次函数顶点坐标为(0，0)，所以当x=0时，y有最大值，且y最大=0．
18．【答案】（1）解：∵点在直线上，
∴，
∴．
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得．
（2）或
【知识点】一次函数的概念；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（2）解∶联立，
解得：或，
即，，
由图象可知，当时，或．
【分析】（1）先求出点m的值，然后利用待定系数法即可求出点k的值．
（2）先求出点B的坐标，再结合一次函数以及反比例函数的图象即可得出答案．
（1）解：∵点在直线上，
∴，
∴．
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得．
（2）解∶联立，
解得：或，
即，，
由图象可知，当时，或．
19．【答案】解：最大值为12个，最小值为7个，俯视图分别如图所示（每个方格内的数字表示该位置上叠的小立方体的个数）.
【知识点】由三视图判断几何体；作图﹣三视图
【解析】【分析】结合主视图和左视图可知：底面最多有小立方体3+3+3=9个，最少有小立方体1+2+1=4个，第二层最多有小立方体2个，最少有小立方体2个，第三层最多有小立方体1个，最少有小立方体1个，故组成这个几何体的小立方体的个数的最大值为9+2+1=12个，最小值为4+2+1=7个，根据俯视图的定义，分别作出组成几何体的小立方体最多的时候，与最少的时候从上向下看得到的正投影即可。
20．【答案】（1）解：将点代入反比例函数中，
即，
解得，
y与x之间的函数表达式为；
（2）在反比例函数中，，
这个函数的图象在第二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大；
（3）将代入中，
可得，
点不在这个函数的图象上．
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）根据反比例函数的图象经过点，即可得出y与x之间的函数表达式为；
（2）根据（1）的解析式中，k=-10＜0，即可得出这个函数的图象在第二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大；（3）直接把点P的横坐标代入解析式中，求得纵坐标，即可得出结论。
（1）解：将点代入反比例函数中，
即，
解得，
y与x之间的函数表达式为；
（2）在反比例函数中，，
这个函数的图象在第二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大；
（3）将代入中，
可得，
点不在这个函数的图象上．
21．【答案】（1）解：设该抛物线表示的二次函数解析式为y=ax2，
∵点（2，-2）在该抛物线上，
∴-2=a×22，
解得a= ，
∴该抛物线表示的二次函数解析式为y=
（2）解：当y=-3时，-3= ，得x1= ，x2=- ，
∴EF=-（）= （m），
∴EF-BC=（-4）m，
即当水面BC下降1m到达EF时，水面宽度增加（）m
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）先求出，然后利用待定系数法求解即可；
（2）先求出，进而求出，．得到，由此即可得到答案．
22．【答案】（1）解：设y与x之间的函数关系式：y=kx+b，
由题意得：
解得：
∴y与x之间的函数关系式为：y=-10x+700
（2）解：由题意，得-10x+700≥240，
解得x≤46.
设利润为w元
则w=(x-30)·y
=(x-30)(-10x+700)
=-10x2+1000x-21000
=-10(x-50)2+4000
∵-10<0.
∴x<50时，w随x的增大而增大
∴x=46时，w大=-10(46-50)2+4000=3840
答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)可用待定系数法来确定y与x之间的函数关系式；
(2)根据利润=销售量×单件的利润，然后将(1)中的函数式代入其中，求出利润和销售单件之间的关系式，然后根据其性质来判断出最大利润.
23．【答案】（1）解：把代入，得，
抛物线的解析式为．
设该函数图象上的“三倍点”坐标为，
把代入，得，
整理，得，解得，
“三倍点”坐标为．
（2）解：由（1）可知，则抛物线的对称轴为直线．
当，即时，此时左侧端点离对称轴越远，则；
当，即时，此时右侧端点离对称轴越远，则．
综上，当时，；当时，．
（3）解：由题意，得“三倍点”所在的直线为．在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在的范围内，二次函数和的图象至少有一个交点，
令，整理得，
则，解得；
把代入，得，代入，得，
则，解得；
把代入，得，代入，得，
则，解得．
综上，的取值范围为．
【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；列一元二次方程
【解析】【分析】（1）首先根据点（1.-6），可求出二次函数解析式，进而根据“三倍点”定义，可设该函数图象上的“三倍点”坐标为，进而根据解析式可得出，解方程即可求解；
（2）首先可求出抛物线的对称轴，进而分类求出 该函数的最小值（用含的代数式表示） ，①当即时，②当即时，分别求解即可．
（3）由题意得，三倍点所在的直线为，将在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，转化为在的范围内，二次函数和至少有一个交点，即可求解．
（1）解：把代入，得，
抛物线的解析式为．
设该函数图象上的“三倍点”坐标为，
把代入，得，
整理，得，解得，
“三倍点”坐标为．
（2）解：由（1）可知，则抛物线的对称轴为直线．
当，即时，此时左侧端点离对称轴越远，则；
当，即时，此时右侧端点离对称轴越远，则．
综上，当时，；当时，．
（3）由题意，得“三倍点”所在的直线为．
在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，
即在的范围内，二次函数和的图象至少有一个交点，
令，整理得，
则，解得；
把代入，得，代入，得，
则，解得；
把代入，得，代入，得，
则，解得．
综上，的取值范围为．
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