2025-2026学年冀教版数学八年级上册期末检测卷（二）
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2025八上·永康期中）以下是清华大学、北京大学、浙江大学、上海交通大学校徽的内部图案，其中轴对称图形是 ( )
A． B． C． D．
2．（2025八上·永康期中）空调外机支架一般会采用如图的方法固定，这是利用了三角形的( )
A．全等性 B．美观性 C．对称性 D．稳定性
3．（2025八上·瑞安期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，若AB=8，则CD的长为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2025八上·永康期中）仔细观察用直尺和圆规作一个角的平分线示意图，请根据三角形全等有关知识，说明AD平分∠BAC 的依据是( )
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
5．（2025八上·绍兴期中）两个完全一样的三角板如图摆放，使三角尺的一条直角边分别与△ABC的边AB、AC重合它们的顶点重合于点M，则点M一定在（ ）
A．BC边的中垂线上 B．AC边的高上
C．∠A的平分线上 D．AB边的中线上
6．（2025八上·绍兴月考）如图， AB =DB， ∠1=∠2， 添加下列条件， 不能判定△ABC≌△DBE的是( )
A．BC =BE B．AC=DE C．∠A =∠D D．∠ACB=∠DEB
7．（2025八上·永康期中）下列命题是假命题的是 ( )
A．等腰三角形的两腰相等
B．全等三角形的周长相等
C．等腰三角形的对称轴是顶角平分线
D．对顶角相等
8．（2025八上·普陀期中）在中，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是( )
A． B．
C． D．
9．（2025八上·温州期中）如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线l 是它的对称轴，下列结论中：①∠AOD+∠BOC=180°；②∠BOF=∠COE；③∠BOC=∠AOB；④∠BOD=90°。正确结论的个数是 （ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．（2019八上·兰州期中）设a=－1，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
11．（2024八上·仙居期末）为缅怀革命先烈，传承红色精神，某校八年级师生在清明节期间前往距离学校的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时达到．已知汽车的速度是骑车速度的3倍，设骑车的速度为，根据题意，下列方程正确的是（ ）．
A． B． C． D．
12．（2025八上·淳安期末）如图，中，，于，平分，于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点，下列结论：①；②；③是等腰三角形；④．
正确的是（ ）．
A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
二、填空题（每题3分，共12分）
13．（2025八上·温岭期末）若分式的值为零，则 ．
14．（2019八上·德清期末）命题“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是 ．
15．（2025八上·柯城期末）如图，，，的延长线交于点若，，，则的周长为 ．
16．（2025八上·金华月考）如图，在△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，点C是平面内一点，连结AC、BC、OC，OA=OC，直线BC与直线AO相交于点D，如果△COD是以DO为腰的等腰三角形，则∠OCB的度数为 .
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024八上·衢州期末）计算：
（1）；
（2）．
18．（2025八上·西湖月考）已知：如图，，，求证：平分．请完成下面的推理过程（填空）．
证明：在和中，
______（______），
，
平分．
19．（2024八上·瓯海期末）如图1，图2都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．如图，线段的两端点均在格点上，在给定的网格中，按下列要求用无刻度的直尺画等腰，使点在格点上．
（1）在图1中，画以为腰的三角形；
（2）在图2中，画以为底的三角形．
20．（2025八上·杭州期末）已知x＝；
（1）求x2+y2﹣xy的值；
（2）若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求（a+b）2+的值．
21．（2025八上·拱墅期末）如图，在中，，，是斜边上的高线，是斜边上的中线．
（1）若，求证：．
（2）若，求的长．
22．（2025八上·路桥期末）某农场将800千克的葡萄平均分给甲、乙两家水果店销售，甲店不分类直接销售，乙店分为小、中、大果进行销售，其中小果免费品尝，大果的售价是中果的倍，两家水果店的销售信息如表所示．已知用60元钱在乙店购买中果的质量比购买大果的质量多0.5千克，当甲、乙两家水果店的葡萄全部售完时，乙店的总售价比甲店多260元．
水果店 销售方式 质量 单价
甲 不分类 400千克 25元／千克
乙 小果 免费
中果 240千克
大果
（1）乙店大果和中果的售价各是多少元／千克？
（2）求乙店小果的质量；
（3）若甲店先以元／千克的批发价售卖千克的葡萄，再以元／千克的零售价卖完剩下的葡萄，总售价恰好与乙店相等，若均为正整数，求的值．
23．（2025八上·龙泉期末）在数学活动课上，同学们用边长为，的两个正方形，（如图1）进行摆放，其中．现有两种摆放方式：方式一，如图2，将正方形放在正方形内部；方式二，如图3，将正方形，并列放置在边长为的正方形内部．若记图1中正方形，的面积之和为，记图2，图3中阴影部分的面积分别为，，解答下列问题：
（1）用，的代数式表示；
（2）若的三边长分别为，，．试猜想是哪一类三角形，并证明你的猜想；
（3）已知直角三角形的两边长为，，且，为整数，当时，求直角三角形第三边的长．
24．（2025八上·路桥期末）【概念呈现】
有一组角互补，另一组角相等，且相等两个角的对边也相等的两个三角形称为“和合”三角形．如图1，在与中，若，，，则与是“和合”三角形．
【性质探究】
（1）如图2，线段交于点，，，容易知道与是“和合”三角形．爱思考的小涛发现，在该组“和合”三角形中可构造出全等三角形，他的作法如下：过点作，交于点．
请证明；
【拓展应用】
（2）如图3，是等边三角形的边上的一动点，在的延长线上，，连接交于点，连接．
①若，求的度数；
②当的值为多少时，与是“和合”三角形．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：观察A、B、C、D选项，只有B选项是轴对称图形，
故答案为：B .
【分析】根据轴对称图形的定义作答.
2．【答案】D
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：三角形具有稳定性，
故答案为：D .
【分析】根据三角形稳定性作答.
3．【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵ ∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=，
故答案为：B .
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可.
4．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据作图步骤：以A为圆心任意长为半径作弧，则AF=AE，
以E、F分别为圆心，大于EF长为半径作弧，则DF=DE，
又AD=AD，
∴△ADF≌△ADE（SSS），
∴∠FAD=∠EAD，
即 AD平分∠BAC
故答案为：A .
【分析】根据作图轨迹知AF=AE，DE=DF，再根据公共边AD证明△ADF≌△ADE（SSS），从而说明 AD平分∠BAC .
5．【答案】C
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵MF⊥AC，ME⊥AB，MF=ME，
∴点M在∠AD的平分线上.
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的判定即可得出答案.
6．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、添加BC = BE， 可根据SAS判定△ABC≌△DBE， 故正确；
B、添加AC = DE， SSA不能判定△ABC≌△DBE， 故错误；
C、添加∠A=∠D， 可根据ASA判定△ABC≌△DBE， 故正确；
D、添加∠ACB=∠DEB， 可根据AAS判定△ABC≌△DBE， 故正确.
故答案为：B .
【分析】本题要判定△ABC≌△DBE， 已知AB=DB，∠1 =∠2，具备了一组边一个角对应相等，对选项一一分析，选出正确答案.
7．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；对顶角及其性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：根据等腰三角形的定义知： 等腰三角形的两腰相等 ，即A选项正确；
根据全等三角形的性质知： 全等三角形的周长相等 ，即B选项正确；
对称轴是直线，角平分线是射线，故C选项错误；
根据对顶角性质知：对顶角相等，即D选项正确；
故答案为：C .
【分析】根据等腰三角形定义及性质、确定三角形性质、对顶角性质进行作答.
8．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A、由a：b：c=2：3：4，设a=2x，b=3x，c=4x，
∴a2+b2=4x2+92=13x2，而c2=16x2
∴a2+b2≠c2，故△ABC不是直角三角形，本选项符合题意；
B、∠A+∠B=90°，得∠C=90°，故△ABC是直角三角形，本选项不符合题意；
C、由∠A：∠B：∠C=1：2：3，设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，由三角形内角和定理可得：∠A+∠B+∠C=180°，
∴x+2x+3x=180°
解得：x=30°
∴∠C=90°，故△ABC是直角三角形，本选项不符合题意；
D、由b2=a2-c2得到b2+c2=a2，符合勾股定理逆定理，故△ABC是直角三角形，本选项不符合题意；
故选：A.
【分析】根据勾股定理逆定理即可判断A、D，根据三角形内角和定理即可判断B，C.
9．【答案】B
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，
由图形可知： ∠IOA =∠BOG =∠GOC =∠HOD，
则∠AOD +∠BOC =∠AOD +∠BOG +∠GOC =∠AOD +∠IOA +∠DOH =180°，即①正确；
由图形可知： ∠BOE =∠COF，则∠BOE +∠BOF =∠COF +∠BOF，
∴∠BOF =∠COE，即②正确；
由OB = OB，OA = OC，但AB≠BC，则△BOC与△AOB不全等，
∴∠BOC ≠∠AOB，故③错误；
由图形可知： ∠BOG =∠HOD，则∠BOD =∠BOG +∠GOD =∠HOD +∠GOD =90°，即④正确.
综上，正确的有3个.
故答案为：B.
【分析】根据轴对称的性质，结合全等三角形的判定与性质、角的和差以及等量代换逐个判断即可.
10．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【分析】根据二次根式的性质得出＜＜，推出4＜＜5，都减去1即可得出答案．
【解答】∵4＜＜5，
∴4-1＜-1＜5-1，
∴3＜-1＜4，
故答案为：C．
【点评】本题考查了二次根式的性质和估算无理数的大小，注意：＜＜．
11．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： ∵汽车的速度是骑车师生速度的3倍，且骑车师生的速度为x km/h，
∴汽车的速度为3x km/h
由题意得：
故答案为：B.
【分析】 由汽车及骑车师生速度间的关系可得出汽车的速度为3x km/h，再利用“时间、路程、速度”的关系以及等量关系“他们同时达到”列出关于x的分式方程即可．
12．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
，故①正确；
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵平分，，
∴，
∵，是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，故③正确；
作于，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，故④错误，
∴①②③正确．
故答案为：A．
【分析】先根据AAS得到，即可得到是等腰三角形，求出，判断①②③；作于，得到判断④．
13．【答案】2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：根据题意可知：且，
解得，
故答案为：2.
【分析】根据分式的值为零的条件“分式分子的值为零，且分母的值不为零”列出混合组，求解即可.
14．【答案】同旁内角互补，两直线平行
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：依题可得逆命题： 同旁内角互补 ， 两直线平行 .
故答案为： 同旁内角互补 ， 两直线平行.
【分析】根据原命题和逆命题之间的关系即可得出答案.
15．【答案】6
【知识点】全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：，
，，
，
，
，
的周长．
故答案为：．
【分析】由全等三角形的对应边相等，推出，，由线段和差求出CE=2，然后根据三角形周长计算公式、等量代换及线段和差将△CDE的周长转化为EB+CE，从而代值计算可得答案.
16．【答案】20°或40°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵直线BC与直线AO相交于点D，且.是以D
O为腰的等腰三角形，
∴有以下两种情况：
①当直线BC与线段AO交于点D时，如图2①所示：
设
是以DO为腰的等腰三角形，即DO=DC，
，
在中，OB=OC，
即
②当直线BC与AO的延长线交于点D时，如图2②所示：
设∠OCB=θ，
∵∠AOB=120°，
∴∠BOD=180°-∠AOB=60°，
∵△COD是以DO为腰的等腰三角形，即DO=DC，
∴∠DOC=∠OCB=θ，
∴∠COB=∠DOC+∠BOD=θ+60°，
在△OBC中，OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=θ，
∵∠OBC+∠OCB+∠COB=180°，
∴θ+θ+θ+60°=180°，
∴θ=40°，
∴∠OCB=θ=40°，
综上所述：∠OCB的度数为20°或40°.
【分析】分两种情况讨论如下：①当直线BC与线段AO交于点D时，设∠OCB=β，则∠DOC=∠OCB=β，∠COB=β+120°，再根据OB=OC得∠OBC=∠OCB=β，再根据三角形内角和定理得β+β+120°+β=180°，则β=20°，②当直线BC与AO的延长线交于点D时，设∠OCB=θ，则∠DOC=∠OCB=θ，再求出∠BOD=60°，得∠COB=θ+60°，根据OB=OC得∠OBC=∠OCB=θ，再根据三角形内角和定理得θ+θ+θ+60°=180°，则θ=40°，综上所述即可得出∠OCB的度数.
17．【答案】（1）解：原式。
（2）解：原式．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算．
（1）利用二次根式的运算法则计算可得：原式，再进行计算可求出答案；
（2）先去括号可得：原式，再利用二次根式的运算法则：，进行计算可得：原式=，再进行合并同类二次根式可求出答案．
18．【答案】；公共边；；
【知识点】三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】证明：在和中，
∵，
，
，
平分．
故答案为：；公共边；；．
【分析】由已知得B=AC，BD=CD，结合公共边AD=AD，从而由“SSS”判断出△ABD≌△ACD，由全等三角形的对应角相等得到，进而根据角平分线的定义可得结论．
19．【答案】（1）解：如图所示，即为所求，
（2）解：如图所示，即为所求，
【知识点】等腰三角形的判定；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）取格点C，然后连接AC、BC即可得到；
（2）取格点D，然后连接AD、BD即可得到．
（1）解：如图所示，即为所求，
（2）解：如图所示，即为所求，
20．【答案】解：（1）∵x=，
∴x+y=（2－）+（2+）=4，
xy=（2－）×（2+）=4－3=1，
∴x2+y2－xy
=（x+y）2－3xy
=42－3×1
=16－3
=13；
（2）∵1，
∴b＝2+－3＝－1，
∴a＝2－，
∴a+b＝（2－）+（－1）＝1，
a－b＝（2－）－（－1）＝3－2＝3－＜0，
∴（a+b）2+＝12+|3－2|
=1+2－3
=2－2．
【知识点】无理数的估值；分母有理化；二次根式的化简求值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）先分母有理化，求出x、y值，求出x+y和xy的值，再代入求出即可；
（2）求出a、b的值，再求出a+b和a-b的值，再代入求出即可．
21．【答案】（1）证明：在中，，是斜中线，
，
，，
，
是等边三角形，
，；
（2）解：，，
，，
，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】
（1）先由线段垂直平分线的性质可得CB＝CE、再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE＝BE，即可证是等边三角形，则，最后由直角三角形两锐角互余即可得；
（2）先利用线段的和差倍积关系求出AB，再由直角三角形斜边上的中线性质求出CE和AE，则ED可求，最后再利用勾股定理即可．
（1）证明：因为在中，，是斜中线，
所以，
因为，，
所以，所以是等边三角形，
所以，；
（2）解：因为，，
所以，，
所以，
由勾股定理，可得．
22．【答案】（1）解：设乙店中的中果的售价为元/千克，则大果的售价为元/千克，
则，
解得
经检验，是方程的解且符合题意，
，
答；乙店中的大果的售价为元/千克，中果的售价为元/千克；
（2）解：设乙店的大果有千克，则，
解得，
∴，
答：乙店小果的质量为千克；
（3）解：由题意可得，
方程可化为，
∵均为正整数，，
∴.
【知识点】二元一次方程的解；一元一次方程的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）可设乙店中的中果的售价为元/千克，则大果的售价为元/千克，再根据等量关系“ 用60元钱在乙店购买中果的质量比购买大果的质量多0.5千克 ”列分式方程，再解方程并检验即可；
（2）设乙店的大果有千克，再根据等量关系“乙店的总售价比甲店多260元”列方程并求解即可；
（3）根据等量关系“ 总售价恰好与乙店相等 ”列方程关于二元一次方程并求其满足条件的正整数解即可．
（1）解：设乙店中的中果的售价为元/千克，则大果的售价为元/千克，
则，
解得
经检验，是方程的解且符合题意，
，
答；乙店中的大果的售价为元/千克，中果的售价为元/千克；
（2）设乙店的大果有千克，
则，
解得，
∴，
答：乙店小果的质量为千克；
（3）由题意可得，
方程可化为，
∵均为正整数，，
∴
23．【答案】（1）解：
（2）答：猜想为直角三角形，理由如下：
∵，，，
∴，
，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：据题意得，，
因为为大于0小于5的整数，且，
所以，，
①当，为直角边时，第三边为，
②当为斜边时，第三边为．
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】
（1）利用割补法即可，即阴影部分面积等于大正方形面积减去正方形A、B面积的和；
（2）先分别用含的整式表示出a、b、c，再利用勾股定理的逆定理进行判断即可；
（3）先根据题意求出满足条件的m、n的正整数解，再分类讨论，即，都为直角边或为斜边时， 再根据勾股定理分别求出第三边的长即可．
（1）解：
（2）解：猜想为直角三角形．
∵，，，
∴，
，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：据题意得，，，
据题意得为大于0小于5的整数，且，
所以，，
①当，为直角边时，第三边为，
②当为斜边时，第三边为．
24．【答案】证明：（1）如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
解：（2）①如图所示：过点D作，交于点G，
∵是等边三角形，
∴，
，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图，连接并延长交于点H，
当与是“和合”三角形时，，
∵，
∴，
∴，
由①知，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即当的值为时，与是“和合”三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）先由平行线性质得，再由等角的补角相等可得，则，等量代换得，则可依据AAS可证；
（2）①同（1）过点D作交于点G，则可证，则，再结合已知可得，则由三角形的内角和等量代换可得；
②由“和合”三角形的概念知，当与是“和合”三角形时，，则由同角的补角相等可得，则，由于等边中，则垂直平分，则可分别求得，再借助外角的性质可得，即有，则可证，又由①知，则．
1 / 12025-2026学年冀教版数学八年级上册期末检测卷（二）
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（2025八上·永康期中）以下是清华大学、北京大学、浙江大学、上海交通大学校徽的内部图案，其中轴对称图形是 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：观察A、B、C、D选项，只有B选项是轴对称图形，
故答案为：B .
【分析】根据轴对称图形的定义作答.
2．（2025八上·永康期中）空调外机支架一般会采用如图的方法固定，这是利用了三角形的( )
A．全等性 B．美观性 C．对称性 D．稳定性
【答案】D
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：三角形具有稳定性，
故答案为：D .
【分析】根据三角形稳定性作答.
3．（2025八上·瑞安期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，若AB=8，则CD的长为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵ ∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=，
故答案为：B .
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可.
4．（2025八上·永康期中）仔细观察用直尺和圆规作一个角的平分线示意图，请根据三角形全等有关知识，说明AD平分∠BAC 的依据是( )
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：根据作图步骤：以A为圆心任意长为半径作弧，则AF=AE，
以E、F分别为圆心，大于EF长为半径作弧，则DF=DE，
又AD=AD，
∴△ADF≌△ADE（SSS），
∴∠FAD=∠EAD，
即 AD平分∠BAC
故答案为：A .
【分析】根据作图轨迹知AF=AE，DE=DF，再根据公共边AD证明△ADF≌△ADE（SSS），从而说明 AD平分∠BAC .
5．（2025八上·绍兴期中）两个完全一样的三角板如图摆放，使三角尺的一条直角边分别与△ABC的边AB、AC重合它们的顶点重合于点M，则点M一定在（ ）
A．BC边的中垂线上 B．AC边的高上
C．∠A的平分线上 D．AB边的中线上
【答案】C
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：∵MF⊥AC，ME⊥AB，MF=ME，
∴点M在∠AD的平分线上.
故答案为：C.
【分析】根据角平分线的判定即可得出答案.
6．（2025八上·绍兴月考）如图， AB =DB， ∠1=∠2， 添加下列条件， 不能判定△ABC≌△DBE的是( )
A．BC =BE B．AC=DE C．∠A =∠D D．∠ACB=∠DEB
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、添加BC = BE， 可根据SAS判定△ABC≌△DBE， 故正确；
B、添加AC = DE， SSA不能判定△ABC≌△DBE， 故错误；
C、添加∠A=∠D， 可根据ASA判定△ABC≌△DBE， 故正确；
D、添加∠ACB=∠DEB， 可根据AAS判定△ABC≌△DBE， 故正确.
故答案为：B .
【分析】本题要判定△ABC≌△DBE， 已知AB=DB，∠1 =∠2，具备了一组边一个角对应相等，对选项一一分析，选出正确答案.
7．（2025八上·永康期中）下列命题是假命题的是 ( )
A．等腰三角形的两腰相等
B．全等三角形的周长相等
C．等腰三角形的对称轴是顶角平分线
D．对顶角相等
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；勾股定理；对顶角及其性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：根据等腰三角形的定义知： 等腰三角形的两腰相等 ，即A选项正确；
根据全等三角形的性质知： 全等三角形的周长相等 ，即B选项正确；
对称轴是直线，角平分线是射线，故C选项错误；
根据对顶角性质知：对顶角相等，即D选项正确；
故答案为：C .
【分析】根据等腰三角形定义及性质、确定三角形性质、对顶角性质进行作答.
8．（2025八上·普陀期中）在中，的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A、由a：b：c=2：3：4，设a=2x，b=3x，c=4x，
∴a2+b2=4x2+92=13x2，而c2=16x2
∴a2+b2≠c2，故△ABC不是直角三角形，本选项符合题意；
B、∠A+∠B=90°，得∠C=90°，故△ABC是直角三角形，本选项不符合题意；
C、由∠A：∠B：∠C=1：2：3，设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，由三角形内角和定理可得：∠A+∠B+∠C=180°，
∴x+2x+3x=180°
解得：x=30°
∴∠C=90°，故△ABC是直角三角形，本选项不符合题意；
D、由b2=a2-c2得到b2+c2=a2，符合勾股定理逆定理，故△ABC是直角三角形，本选项不符合题意；
故选：A.
【分析】根据勾股定理逆定理即可判断A、D，根据三角形内角和定理即可判断B，C.
9．（2025八上·温州期中）如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线l 是它的对称轴，下列结论中：①∠AOD+∠BOC=180°；②∠BOF=∠COE；③∠BOC=∠AOB；④∠BOD=90°。正确结论的个数是 （ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，
由图形可知： ∠IOA =∠BOG =∠GOC =∠HOD，
则∠AOD +∠BOC =∠AOD +∠BOG +∠GOC =∠AOD +∠IOA +∠DOH =180°，即①正确；
由图形可知： ∠BOE =∠COF，则∠BOE +∠BOF =∠COF +∠BOF，
∴∠BOF =∠COE，即②正确；
由OB = OB，OA = OC，但AB≠BC，则△BOC与△AOB不全等，
∴∠BOC ≠∠AOB，故③错误；
由图形可知： ∠BOG =∠HOD，则∠BOD =∠BOG +∠GOD =∠HOD +∠GOD =90°，即④正确.
综上，正确的有3个.
故答案为：B.
【分析】根据轴对称的性质，结合全等三角形的判定与性质、角的和差以及等量代换逐个判断即可.
10．（2019八上·兰州期中）设a=－1，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【分析】根据二次根式的性质得出＜＜，推出4＜＜5，都减去1即可得出答案．
【解答】∵4＜＜5，
∴4-1＜-1＜5-1，
∴3＜-1＜4，
故答案为：C．
【点评】本题考查了二次根式的性质和估算无理数的大小，注意：＜＜．
11．（2024八上·仙居期末）为缅怀革命先烈，传承红色精神，某校八年级师生在清明节期间前往距离学校的烈士陵园扫墓．一部分师生骑自行车先走，过了后，其余师生乘汽车出发，结果他们同时达到．已知汽车的速度是骑车速度的3倍，设骑车的速度为，根据题意，下列方程正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解： ∵汽车的速度是骑车师生速度的3倍，且骑车师生的速度为x km/h，
∴汽车的速度为3x km/h
由题意得：
故答案为：B.
【分析】 由汽车及骑车师生速度间的关系可得出汽车的速度为3x km/h，再利用“时间、路程、速度”的关系以及等量关系“他们同时达到”列出关于x的分式方程即可．
12．（2025八上·淳安期末）如图，中，，于，平分，于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点，下列结论：①；②；③是等腰三角形；④．
正确的是（ ）．
A．①②③ B．①②④ C．③④ D．①②③④
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一；三角形的角平分线
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
，故①正确；
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵平分，，
∴，
∵，是边的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，故③正确；
作于，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，故④错误，
∴①②③正确．
故答案为：A．
【分析】先根据AAS得到，即可得到是等腰三角形，求出，判断①②③；作于，得到判断④．
二、填空题（每题3分，共12分）
13．（2025八上·温岭期末）若分式的值为零，则 ．
【答案】2
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：根据题意可知：且，
解得，
故答案为：2.
【分析】根据分式的值为零的条件“分式分子的值为零，且分母的值不为零”列出混合组，求解即可.
14．（2019八上·德清期末）命题“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是 ．
【答案】同旁内角互补，两直线平行
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：依题可得逆命题： 同旁内角互补 ， 两直线平行 .
故答案为： 同旁内角互补 ， 两直线平行.
【分析】根据原命题和逆命题之间的关系即可得出答案.
15．（2025八上·柯城期末）如图，，，的延长线交于点若，，，则的周长为 ．
【答案】6
【知识点】全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：，
，，
，
，
，
的周长．
故答案为：．
【分析】由全等三角形的对应边相等，推出，，由线段和差求出CE=2，然后根据三角形周长计算公式、等量代换及线段和差将△CDE的周长转化为EB+CE，从而代值计算可得答案.
16．（2025八上·金华月考）如图，在△AOB中，OA=OB，∠AOB=120°，点C是平面内一点，连结AC、BC、OC，OA=OC，直线BC与直线AO相交于点D，如果△COD是以DO为腰的等腰三角形，则∠OCB的度数为 .
【答案】20°或40°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵直线BC与直线AO相交于点D，且.是以D
O为腰的等腰三角形，
∴有以下两种情况：
①当直线BC与线段AO交于点D时，如图2①所示：
设
是以DO为腰的等腰三角形，即DO=DC，
，
在中，OB=OC，
即
②当直线BC与AO的延长线交于点D时，如图2②所示：
设∠OCB=θ，
∵∠AOB=120°，
∴∠BOD=180°-∠AOB=60°，
∵△COD是以DO为腰的等腰三角形，即DO=DC，
∴∠DOC=∠OCB=θ，
∴∠COB=∠DOC+∠BOD=θ+60°，
在△OBC中，OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=θ，
∵∠OBC+∠OCB+∠COB=180°，
∴θ+θ+θ+60°=180°，
∴θ=40°，
∴∠OCB=θ=40°，
综上所述：∠OCB的度数为20°或40°.
【分析】分两种情况讨论如下：①当直线BC与线段AO交于点D时，设∠OCB=β，则∠DOC=∠OCB=β，∠COB=β+120°，再根据OB=OC得∠OBC=∠OCB=β，再根据三角形内角和定理得β+β+120°+β=180°，则β=20°，②当直线BC与AO的延长线交于点D时，设∠OCB=θ，则∠DOC=∠OCB=θ，再求出∠BOD=60°，得∠COB=θ+60°，根据OB=OC得∠OBC=∠OCB=θ，再根据三角形内角和定理得θ+θ+θ+60°=180°，则θ=40°，综上所述即可得出∠OCB的度数.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2024八上·衢州期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式。
（2）解：原式．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】本题考查二次根式的混合运算．
（1）利用二次根式的运算法则计算可得：原式，再进行计算可求出答案；
（2）先去括号可得：原式，再利用二次根式的运算法则：，进行计算可得：原式=，再进行合并同类二次根式可求出答案．
18．（2025八上·西湖月考）已知：如图，，，求证：平分．请完成下面的推理过程（填空）．
证明：在和中，
______（______），
，
平分．
【答案】；公共边；；
【知识点】三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】证明：在和中，
∵，
，
，
平分．
故答案为：；公共边；；．
【分析】由已知得B=AC，BD=CD，结合公共边AD=AD，从而由“SSS”判断出△ABD≌△ACD，由全等三角形的对应角相等得到，进而根据角平分线的定义可得结论．
19．（2024八上·瓯海期末）如图1，图2都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．如图，线段的两端点均在格点上，在给定的网格中，按下列要求用无刻度的直尺画等腰，使点在格点上．
（1）在图1中，画以为腰的三角形；
（2）在图2中，画以为底的三角形．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求，
（2）解：如图所示，即为所求，
【知识点】等腰三角形的判定；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）取格点C，然后连接AC、BC即可得到；
（2）取格点D，然后连接AD、BD即可得到．
（1）解：如图所示，即为所求，
（2）解：如图所示，即为所求，
20．（2025八上·杭州期末）已知x＝；
（1）求x2+y2﹣xy的值；
（2）若x的小数部分为a，y的小数部分为b，求（a+b）2+的值．
【答案】解：（1）∵x=，
∴x+y=（2－）+（2+）=4，
xy=（2－）×（2+）=4－3=1，
∴x2+y2－xy
=（x+y）2－3xy
=42－3×1
=16－3
=13；
（2）∵1，
∴b＝2+－3＝－1，
∴a＝2－，
∴a+b＝（2－）+（－1）＝1，
a－b＝（2－）－（－1）＝3－2＝3－＜0，
∴（a+b）2+＝12+|3－2|
=1+2－3
=2－2．
【知识点】无理数的估值；分母有理化；二次根式的化简求值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【分析】（1）先分母有理化，求出x、y值，求出x+y和xy的值，再代入求出即可；
（2）求出a、b的值，再求出a+b和a-b的值，再代入求出即可．
21．（2025八上·拱墅期末）如图，在中，，，是斜边上的高线，是斜边上的中线．
（1）若，求证：．
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：在中，，是斜中线，
，
，，
，
是等边三角形，
，；
（2）解：，，
，，
，
．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】
（1）先由线段垂直平分线的性质可得CB＝CE、再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE＝BE，即可证是等边三角形，则，最后由直角三角形两锐角互余即可得；
（2）先利用线段的和差倍积关系求出AB，再由直角三角形斜边上的中线性质求出CE和AE，则ED可求，最后再利用勾股定理即可．
（1）证明：因为在中，，是斜中线，
所以，
因为，，
所以，所以是等边三角形，
所以，；
（2）解：因为，，
所以，，
所以，
由勾股定理，可得．
22．（2025八上·路桥期末）某农场将800千克的葡萄平均分给甲、乙两家水果店销售，甲店不分类直接销售，乙店分为小、中、大果进行销售，其中小果免费品尝，大果的售价是中果的倍，两家水果店的销售信息如表所示．已知用60元钱在乙店购买中果的质量比购买大果的质量多0.5千克，当甲、乙两家水果店的葡萄全部售完时，乙店的总售价比甲店多260元．
水果店 销售方式 质量 单价
甲 不分类 400千克 25元／千克
乙 小果 免费
中果 240千克
大果
（1）乙店大果和中果的售价各是多少元／千克？
（2）求乙店小果的质量；
（3）若甲店先以元／千克的批发价售卖千克的葡萄，再以元／千克的零售价卖完剩下的葡萄，总售价恰好与乙店相等，若均为正整数，求的值．
【答案】（1）解：设乙店中的中果的售价为元/千克，则大果的售价为元/千克，
则，
解得
经检验，是方程的解且符合题意，
，
答；乙店中的大果的售价为元/千克，中果的售价为元/千克；
（2）解：设乙店的大果有千克，则，
解得，
∴，
答：乙店小果的质量为千克；
（3）解：由题意可得，
方程可化为，
∵均为正整数，，
∴.
【知识点】二元一次方程的解；一元一次方程的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）可设乙店中的中果的售价为元/千克，则大果的售价为元/千克，再根据等量关系“ 用60元钱在乙店购买中果的质量比购买大果的质量多0.5千克 ”列分式方程，再解方程并检验即可；
（2）设乙店的大果有千克，再根据等量关系“乙店的总售价比甲店多260元”列方程并求解即可；
（3）根据等量关系“ 总售价恰好与乙店相等 ”列方程关于二元一次方程并求其满足条件的正整数解即可．
（1）解：设乙店中的中果的售价为元/千克，则大果的售价为元/千克，
则，
解得
经检验，是方程的解且符合题意，
，
答；乙店中的大果的售价为元/千克，中果的售价为元/千克；
（2）设乙店的大果有千克，
则，
解得，
∴，
答：乙店小果的质量为千克；
（3）由题意可得，
方程可化为，
∵均为正整数，，
∴
23．（2025八上·龙泉期末）在数学活动课上，同学们用边长为，的两个正方形，（如图1）进行摆放，其中．现有两种摆放方式：方式一，如图2，将正方形放在正方形内部；方式二，如图3，将正方形，并列放置在边长为的正方形内部．若记图1中正方形，的面积之和为，记图2，图3中阴影部分的面积分别为，，解答下列问题：
（1）用，的代数式表示；
（2）若的三边长分别为，，．试猜想是哪一类三角形，并证明你的猜想；
（3）已知直角三角形的两边长为，，且，为整数，当时，求直角三角形第三边的长．
【答案】（1）解：
（2）答：猜想为直角三角形，理由如下：
∵，，，
∴，
，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：据题意得，，
因为为大于0小于5的整数，且，
所以，，
①当，为直角边时，第三边为，
②当为斜边时，第三边为．
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】
（1）利用割补法即可，即阴影部分面积等于大正方形面积减去正方形A、B面积的和；
（2）先分别用含的整式表示出a、b、c，再利用勾股定理的逆定理进行判断即可；
（3）先根据题意求出满足条件的m、n的正整数解，再分类讨论，即，都为直角边或为斜边时， 再根据勾股定理分别求出第三边的长即可．
（1）解：
（2）解：猜想为直角三角形．
∵，，，
∴，
，
∴，
∴是直角三角形；
（3）解：据题意得，，，
据题意得为大于0小于5的整数，且，
所以，，
①当，为直角边时，第三边为，
②当为斜边时，第三边为．
24．（2025八上·路桥期末）【概念呈现】
有一组角互补，另一组角相等，且相等两个角的对边也相等的两个三角形称为“和合”三角形．如图1，在与中，若，，，则与是“和合”三角形．
【性质探究】
（1）如图2，线段交于点，，，容易知道与是“和合”三角形．爱思考的小涛发现，在该组“和合”三角形中可构造出全等三角形，他的作法如下：过点作，交于点．
请证明；
【拓展应用】
（2）如图3，是等边三角形的边上的一动点，在的延长线上，，连接交于点，连接．
①若，求的度数；
②当的值为多少时，与是“和合”三角形．
【答案】证明：（1）如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
解：（2）①如图所示：过点D作，交于点G，
∵是等边三角形，
∴，
，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图，连接并延长交于点H，
当与是“和合”三角形时，，
∵，
∴，
∴，
由①知，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即当的值为时，与是“和合”三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）先由平行线性质得，再由等角的补角相等可得，则，等量代换得，则可依据AAS可证；
（2）①同（1）过点D作交于点G，则可证，则，再结合已知可得，则由三角形的内角和等量代换可得；
②由“和合”三角形的概念知，当与是“和合”三角形时，，则由同角的补角相等可得，则，由于等边中，则垂直平分，则可分别求得，再借助外角的性质可得，即有，则可证，又由①知，则．
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