四川省成都市郫都区2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题
1．（2025高二上·郫都期中）已知向量，若与共线，则的值为（ ）
A．5 B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量平行的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，
若与共线， 则存在实数使得，即，
即，解得.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据空间向量共线的坐标列式计算即可.
2．（2025高二上·郫都期中）据统计，2023年12月成都市某区域一周指数按从小到大的顺序排列为：45，50，51，53，53，57，60，则这组数据的25百分位数是（ ）
A．45 B．50 C．51 D．53
【答案】B
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：由这组数据共个，因为不是整数，
所以这组数据的25百分位数为第个数据，即：.
故答案为：B.
【分析】按百分位数公式：第一步计算，第二步i为小数时向上取整（而不是四舍五入），得2，即第二个数：50.
3．（2025高二上·郫都期中）在正方体中，异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】C
【知识点】空间直角坐标系；异面直线所成的角；用空间向量求直线间的夹角、距离；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：设正方体的棱长为，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：设正方体的棱长为，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
所以，
所以，
所以，
异面直线与所成角为90°，其余弦值为0.
故答案为：C.
【分析】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，写出直线与直线方向向量的坐标，代入异面直线所成的角的公式，可求得异面直线与所成角的余弦值及其夹角.
4．（2025高二上·郫都期中）已知轴上一点到点与点距离相等，则点的竖坐标为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【知识点】空间直角坐标系；空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】解：由题：设，点到点与点的距离相等，
所以，
，，
解得：，
则点的竖坐标为
故答案为：A
【分析】将点的坐标设出，根据空间两点距离公式构造关于z的方程进行求解.
5．（2025高二上·郫都期中）某校为了解学生的身高情况，随机对部分学生进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生人数相同，分组情况为（单位：），，，，，利用所得数据绘制如下统计图表：
根据图表提供的信息，可知样本数据中下列信息正确的是（ ）
A．身高在区间的男生比女生多人
B．B组中男生和女生占比相同
C．超过一半的男生身高在以上
D．女生身高在组的人数有人
【答案】D
【知识点】频率分布直方图；用样本的数字特征估计总体的数字特征；用样本估计总体的取值规律
【解析】【解答】解：抽取的男生总人数为（人），
因为抽取的样本中，男生、女生人数相同，
所以抽取的女生总人数为人，
由直方图可知，身高在区间的男生人数为12人，
由扇形统计图可知，身高在区间的女生人数为（人），
则身高在区间的男生比女生少3人，选项A错误；
B组中男生和女生占比不相同，选项B错误；
男生身高在以上的占比为，则选项C错误；
女生中E组的人数为（人），则选项D正确；
故答案为：D.
【分析】根据直方图即可求得抽取男生的总人数也就是女生的总人数，然后根据扇形统计图乘以对应的百分比即可求解.
6．（2025高二上·郫都期中）已知随机事件A，B，C中，与相互独立，与对立，且，，则（ ）
A．0.4 B．0.58 C．0.7 D．0.72
【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：因为，
又因为，
所以.
故答案为：B.
【分析】由公式可知只需求出即可，再结合对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而得出的值.
7．（2025高二上·郫都期中）两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且.已知，则线段的长为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】B
【知识点】异面直线所成的角；空间向量基本定理；空间向量的加减法；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意知，
，
所以，
又异面直线a、b所成的角为，
即，
所以，
所以或，
故选：B
【分析】根据向量的线性运算可得，两边同时平方，类比展开，利用向量的数量积运算，结合题意化简得到，进而得出结果.、
8．（2025高二上·郫都期中）阅读下面材料：在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为根据上述材料，解决下面问题：直线是两个平面与的交线，则（ ）是的一个方向向量．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】直线的方向向量；平面的法向量；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：同理可得平面与的一个法向量为和，
设直线的一个方向向量为，
则，
不妨取，则，
故答案为：A.
【分析】根据题干给的条件求出平面与的法向量，再结合向量知识得到直线的方向向量.
9．（2025高二上·郫都期中）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ）
A．的平均数等于的平均数
B．的中位数等于的中位数
C．的标准差不小于的标准差
D．的极差不大于的极差
【答案】B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A、设的平均数为，的平均数为，
则，
因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小，
例如：，可得；例如，可得，故A错误；
B、设，数据的中位数等于的中位数均为，故B正确；
C、因为是最小值，是最大值，则的波动性不大于的波动性，
即的标准差不大于的标准差，
例如：，则平均数，
标准差，
，则平均数，
标准差，
显然，即，故C错误；
D、不妨设，
则，当且仅当时等号成立，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】由题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项判断即可.
10．（2025高二上·郫都期中）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是5”，乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”，丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之积是12”，则下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙对立 B．甲、丙互斥
C．甲、乙相互独立 D．乙、丙相互独立
【答案】B,C
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意可知，先后抛掷两枚骰子出现点数的所有可能情况为36种，
甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是5”记为事件A，
则，可得；
乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7” 记为事件B，
则，可得；
丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之积是12” 记为事件C，
则，可得；
对于A：因为，可知事件甲、乙不是互斥事件，更不可能为对立事件，故A错误；
对于B：因为，即事件甲、丙不可能同时发生，所以事件甲、丙互斥，故B正确；
对于C：因为，则，即，所以甲、乙相互独立，故C正确；
对于D：因为，则，即，所以乙、丙不相互独立，故D错误；
故答案为：BC.
【分析】先列举出各事件包含的所有基本事件，利用公式求其概率.对于选项AB：根据互斥、对立事件的定义事件数量还是辨析；对于选项CD：根据独立事件概率乘法公式分析判断.
11．（2025高二上·郫都期中）在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（ ）
A．当平面时，不可能垂直
B．若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为
C．当时，正方体经过点、P、C的截面面积的取值范围为
D．当时，的最小值为
【答案】B,D
【知识点】棱柱的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：A、建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，，
则，，设平面的一个法向量为，
所以，令，则，即平面的法向量为，
若平面，则，即，
由，则，即P为中点时，有平面，且，该选项错误，不合题意；
B、因为平面，连接，则即为与平面所成角，
若与平面所成角为，则，所以，
即点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，于是点P的轨迹长度为，该选项正确，符合题意；
C、因为，所以点P一定在上，又因为当或1时，的面积取最大值，此时截面面积为，
设的中点为H，由图形的变化可得当点P在DH和运动时，所得截面对称相同，
于是当时，的面积取最小值，此时截面面积为，该选项错误，不合题意；
D、如图，将平面与平面沿展成平面图形，
线段即为的最小值，利用余弦定理得，
所以，该选项正确，符合题意.
故答案为：BD
【分析】在空间直角坐标系中，由向量法结合向量垂直可得，即可判断A；由几何关系得出与平面所成线面角，得，求出点P的轨迹的一个圆，求出周长即可判断B；由得点P在上， 当点P在DH和运动时，所得截面对称相同 ，利用几何关系可得的面积最值在端点及中点位置，代入即可判断C；将平面与平面沿展成平面图形，的最小值时形成线段，根据余弦定理求解判断D.
12．（2025高二上·郫都期中）在一次射击训练中，某运动员5次射击的环数依次是，则该组数据的方差 .
【答案】
【知识点】极差、方差与标准差；用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【解答】解：因为平均数，
所以方差.
故答案为：
【分析】
根据方差公式计算平均数公式和可得.
13．（2025高二上·郫都期中）已知点，，，则点C到直线的距离为 .
【答案】
【知识点】空间中的点的坐标；点、线、面间的距离计算；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：设点到直线的距离为，因为，，
所以，故.
故答案为：
【分析】先利用算出直线的方向向量，再借助空间向量点到直线距离公式计算可得.
14．（2025高二上·郫都期中）九宫格的起源可以追溯到远古神话中的洛书，洛书上的图案正好对应着从1到9九个数字，并且纵向、横向、斜向三条线上的三个数字的和（这个和叫做幻和）都等于15，即现代数学中的三阶幻方.根据洛书记载：“以五居中，五方皆为阳数，四隅为阴数”，其意思为：九宫格中5位于居中位置，四个顶角为偶数，其余位置为奇数.如图所示，若随机填写一组幻和等于15的九宫格数据，记事件”，则的值为 .
5
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】解： 由题意九宫格的中间位置填，位置填偶数，位置填奇数，
因为每一横行，每一竖列以及两条对角线上三个数字之和都等于，
所以、位置填或，
先从中任意选出一个数填入位置，则有个结果，
若填，则填，填，填，填，填，填，填；
或填，填，填，填，填，填，填；
共包含个结果；
所以总的结果个数为个
其中符合的情况有，，，，，共个，
所以.
故答案为：.
【分析】根据题意分类讨论，求出满足题意的总情况有种，再找出满足的种数，然后利用古典概率即可求解.
15．（2025高二上·郫都期中）．
（1）用向量表示向量，并求；
（2）求．
【答案】（1）解：，
则
，
所以.
（2） 解：由空间向量的运算法则，可得，
因为且，
所以
，
，
则.
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）用向量加减法表示出向量，代入模长公式计算可得；
（2）类比（1）求出，代入数量积公式计算可得.
（1），
则
，
所以.
（2）由空间向量的运算法则，可得，
因为且，
所以
，
，
则.
16．（2025高二上·郫都期中）为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组、第2组、第3组、第4组、第5组．
（1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数；
（2）估计抽出的100名志愿者年龄的众数、中位数；
（3）若在抽出的第2组、第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人．求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率．
【答案】（1）解：由直方图知：，可得，
∴估计500名志愿者中年龄在的人数为.
（2）解：由频率分布直方图可得众数为，
前两个小矩形的面积为，第三个小矩形的面积为，
所以中位数在内，为.
（3）解：由题设，第2组、第4组和第5组的频率之比为，
知6名志愿者有2名来自，3名来自，1名来自，
不妨设第2组、第4组和第5组抽取的志愿者分别为，
则抽取两人的基本事件有，
，共15种，
恰好来自同一组的基本事件有，，共4种，
∴抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.
【知识点】频率分布直方图；用样本的数字特征估计总体的数字特征；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）由直方图特征频率和等于面积和等于为1，列方程求出，代入年龄在的人数；
（2）由直方图特征众数为最高条形中点横坐标，中位数的计算公式即可求解；
（3）由分层抽样安装等比例抽取，求出6名志愿者的分布，再应用古典概型的概率求法求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.
（1）由直方图知：，可得，
∴估计500名志愿者中年龄在的人数为.
（2）由频率分布直方图可得众数为，
前两个小矩形的面积为，第三个小矩形的面积为，
所以中位数在内，为.
（3）由题设，第2组、第4组和第5组的频率之比为，
知6名志愿者有2名来自，3名来自，1名来自，
不妨设第2组、第4组和第5组抽取的志愿者分别为，
则抽取两人的基本事件有，
，共15种，
恰好来自同一组的基本事件有，，共4种，
∴抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.
17．（2025高二上·郫都期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是的中点，作交于点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求平面与平面的夹角的大小．
【答案】（1）证明：在四棱锥中，
底面，底面，
则，
由底面是正方形，得，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
设，
则，
，
设平面的法向量为，
则，
令，得，
则，
又因为平面，
所以平面.
（2）证明：由（1）知，，
由，得，
又因为且平面，
所以平面.
（3）解：由（1）知，，且，
设平面的法向量为，
则，取，得，
因为，又因为，
则，
所以，
则平面的一个法向量为，
则，
又因为，
所以，
所以，平面与平面的夹角为.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而求出平面的法向量坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而证出平面
（2）由（1）知，再利用得出，再结合且平面，则根据线面垂直的判定定理证出平面.
（3）由（1）知，，且，利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量和平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和二面角的平面角的取值范围，从而得出平面与平面的夹角的大小．
（1）在四棱锥中，底面，底面，
则，由底面是正方形，得，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
设，则，
，设平面的法向量为，
则，令，得，则，
而平面，所以平面.
（2）由（1）知，，由，得，
又，且平面，
所以平面.
（3）由（1）知，，且，
设平面的法向量为，则，取，得，
，而，则，
即，则的一个法向量为，
因此，而，则，
所以平面与平面的夹角为.
18．（2025高二上·郫都期中）某企业为了推动技术革新，计划升级某电子产品，该电子产品核心系统的某个部件由2个电子元件组成．如图所示，部件是由元件与元件组成的串联电路，已知元件，正常工作的概率都为，且元件工作是相互独立的．
（1）求部件正常工作的概率；
（2）为了促进产业革新，该企业计划在核心系统中新增两个另一产地的电子元件，使得部件正常工作的概率增大．已知新增元件正常工作的概率为，且四个元件工作是相互独立的．现设计以下两种方案：
方案一：新增两个元件都和元件并联后，再与串联；
方案二：新增两个元件，其中一个和元件并联，另一个和元件并联，再将两者串联．则该公司应选择哪一个方案，可以使部件正常工作的概率达到最大？
【答案】（1）解：记事件分别表示元件正常工作，则，
事件表示正常工作，
由元件工作是相互独立的，则
（2）解：设方案一、二正常工作的概率分别为，设新增的两个元件为，
记事件分别表示新增的两个元件正常工作，则．
事件分别表示元件不正常工作，由于四个元件工作相互独立，
则方案一：
．
所以；
方案二：
所以，
所以选择方案二可以使部件正常工作的概率最大．
【知识点】概率的基本性质；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【分析】（1）利用事件的基本关系与相互独立事件的乘法公式P(AB)=P(A)P(B)计算即可；
（2）串联用和事件P(A∪B)=P(A)+P(B) P(A∩B)，串联正常工作的概率用对立事件，并联用独立事件乘法公式P(AB)=P(A)P(B) ，分别计算两方案的概率，作差比较大小即可.
（1）记事件分别表示元件正常工作，则，
事件表示正常工作，
由元件工作是相互独立的，则．
（2）设方案一、二正常工作的概率分别为，设新增的两个元件为，
记事件分别表示新增的两个元件正常工作，则．
事件分别表示元件不正常工作，由于四个元件工作相互独立，
则
．
所以；
所以，
所以选择方案二可以使部件正常工作的概率最大．
19．（2025高二上·郫都期中）在四棱锥中，底面为正方形，是中点，平面，平面平面．
（1）求证：；
（2）如图，且，求点到平面的距离；
（3）设四棱锥的外接球球心为，点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
【答案】（1）解：∵四边形为正方形，∴，
又平面，平面，∴平面
又平面，平面平面，
∴
（2）解：如图所示，取中点，连接，则，
∵平面，平面，平面，
∴，，
∴以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
于是，，，
设平面的法向量为，
则，得，取
∴点M到平面PBC的距离为
（3）解：∵，且平面为正方形，
∴点在平面上的射影是的中心，可设，且，
∴，解得，即
设，则
又，设平面的法向量为
则，，取
设直线与平面所成角为，则
，
所以当时，直线与平面所成角的正弦值取最大值，最大值为．
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；球内接多面体；空间向量的正交分解及坐标表示；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1）由线面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线，与该直线平行。即可求证，
（2）在底面找两条相互垂直的线作为轴，找一条垂直于底面的线PO作为轴，建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据点到平面的距离的向量法公式求解，
（3）根据几何体的结构特征，球心在底面的投影即底面中心（0，1，0），可设得球心的坐标，利用可得球心的坐标；然后求解平面PAB法向量，即可利用向量的夹角公式求解。
（1）∵四边形为正方形，∴，
又平面，平面，∴平面
又平面，平面平面，
∴
（2）如图所示，取中点，连接，则，
∵平面，平面，平面，
∴，，
∴以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
于是，，，
设平面的法向量为，
则，得，取
∴点M到平面PBC的距离为
（3）∵，且平面为正方形，
∴点在平面上的射影是的中心，可设，且，
∴，解得，即
设，则
又，设平面的法向量为
则，，取
设直线与平面所成角为，则
，
所以当时，直线与平面所成角的正弦值取最大值，最大值为．
1 / 1四川省成都市郫都区2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题
1．（2025高二上·郫都期中）已知向量，若与共线，则的值为（ ）
A．5 B．4 C． D．
2．（2025高二上·郫都期中）据统计，2023年12月成都市某区域一周指数按从小到大的顺序排列为：45，50，51，53，53，57，60，则这组数据的25百分位数是（ ）
A．45 B．50 C．51 D．53
3．（2025高二上·郫都期中）在正方体中，异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C．0 D．1
4．（2025高二上·郫都期中）已知轴上一点到点与点距离相等，则点的竖坐标为（ ）
A． B． C．1 D．2
5．（2025高二上·郫都期中）某校为了解学生的身高情况，随机对部分学生进行抽样调查，已知抽取的样本中，男生、女生人数相同，分组情况为（单位：），，，，，利用所得数据绘制如下统计图表：
根据图表提供的信息，可知样本数据中下列信息正确的是（ ）
A．身高在区间的男生比女生多人
B．B组中男生和女生占比相同
C．超过一半的男生身高在以上
D．女生身高在组的人数有人
6．（2025高二上·郫都期中）已知随机事件A，B，C中，与相互独立，与对立，且，，则（ ）
A．0.4 B．0.58 C．0.7 D．0.72
7．（2025高二上·郫都期中）两条异面直线所成的角为，在直线上分别取点和点，使，且.已知，则线段的长为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
8．（2025高二上·郫都期中）阅读下面材料：在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为根据上述材料，解决下面问题：直线是两个平面与的交线，则（ ）是的一个方向向量．
A． B． C． D．
9．（2025高二上·郫都期中）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ）
A．的平均数等于的平均数
B．的中位数等于的中位数
C．的标准差不小于的标准差
D．的极差不大于的极差
10．（2025高二上·郫都期中）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是5”，乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”，丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之积是12”，则下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙对立 B．甲、丙互斥
C．甲、乙相互独立 D．乙、丙相互独立
11．（2025高二上·郫都期中）在正方体中，，点P满足，其中，则下列结论正确的是（ ）
A．当平面时，不可能垂直
B．若与平面所成角为，则点P的轨迹长度为
C．当时，正方体经过点、P、C的截面面积的取值范围为
D．当时，的最小值为
12．（2025高二上·郫都期中）在一次射击训练中，某运动员5次射击的环数依次是，则该组数据的方差 .
13．（2025高二上·郫都期中）已知点，，，则点C到直线的距离为 .
14．（2025高二上·郫都期中）九宫格的起源可以追溯到远古神话中的洛书，洛书上的图案正好对应着从1到9九个数字，并且纵向、横向、斜向三条线上的三个数字的和（这个和叫做幻和）都等于15，即现代数学中的三阶幻方.根据洛书记载：“以五居中，五方皆为阳数，四隅为阴数”，其意思为：九宫格中5位于居中位置，四个顶角为偶数，其余位置为奇数.如图所示，若随机填写一组幻和等于15的九宫格数据，记事件”，则的值为 .
5
15．（2025高二上·郫都期中）．
（1）用向量表示向量，并求；
（2）求．
16．（2025高二上·郫都期中）为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组、第2组、第3组、第4组、第5组．
（1）求图中的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在的人数；
（2）估计抽出的100名志愿者年龄的众数、中位数；
（3）若在抽出的第2组、第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人．求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率．
17．（2025高二上·郫都期中）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是的中点，作交于点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求平面与平面的夹角的大小．
18．（2025高二上·郫都期中）某企业为了推动技术革新，计划升级某电子产品，该电子产品核心系统的某个部件由2个电子元件组成．如图所示，部件是由元件与元件组成的串联电路，已知元件，正常工作的概率都为，且元件工作是相互独立的．
（1）求部件正常工作的概率；
（2）为了促进产业革新，该企业计划在核心系统中新增两个另一产地的电子元件，使得部件正常工作的概率增大．已知新增元件正常工作的概率为，且四个元件工作是相互独立的．现设计以下两种方案：
方案一：新增两个元件都和元件并联后，再与串联；
方案二：新增两个元件，其中一个和元件并联，另一个和元件并联，再将两者串联．则该公司应选择哪一个方案，可以使部件正常工作的概率达到最大？
19．（2025高二上·郫都期中）在四棱锥中，底面为正方形，是中点，平面，平面平面．
（1）求证：；
（2）如图，且，求点到平面的距离；
（3）设四棱锥的外接球球心为，点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】空间向量平行的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，
若与共线， 则存在实数使得，即，
即，解得.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据空间向量共线的坐标列式计算即可.
2．【答案】B
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：由这组数据共个，因为不是整数，
所以这组数据的25百分位数为第个数据，即：.
故答案为：B.
【分析】按百分位数公式：第一步计算，第二步i为小数时向上取整（而不是四舍五入），得2，即第二个数：50.
3．【答案】C
【知识点】空间直角坐标系；异面直线所成的角；用空间向量求直线间的夹角、距离；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：设正方体的棱长为，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：设正方体的棱长为，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
所以，
所以，
所以，
异面直线与所成角为90°，其余弦值为0.
故答案为：C.
【分析】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，写出直线与直线方向向量的坐标，代入异面直线所成的角的公式，可求得异面直线与所成角的余弦值及其夹角.
4．【答案】A
【知识点】空间直角坐标系；空间中两点间的距离公式
【解析】【解答】解：由题：设，点到点与点的距离相等，
所以，
，，
解得：，
则点的竖坐标为
故答案为：A
【分析】将点的坐标设出，根据空间两点距离公式构造关于z的方程进行求解.
5．【答案】D
【知识点】频率分布直方图；用样本的数字特征估计总体的数字特征；用样本估计总体的取值规律
【解析】【解答】解：抽取的男生总人数为（人），
因为抽取的样本中，男生、女生人数相同，
所以抽取的女生总人数为人，
由直方图可知，身高在区间的男生人数为12人，
由扇形统计图可知，身高在区间的女生人数为（人），
则身高在区间的男生比女生少3人，选项A错误；
B组中男生和女生占比不相同，选项B错误；
男生身高在以上的占比为，则选项C错误；
女生中E组的人数为（人），则选项D正确；
故答案为：D.
【分析】根据直方图即可求得抽取男生的总人数也就是女生的总人数，然后根据扇形统计图乘以对应的百分比即可求解.
6．【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：因为，
又因为，
所以.
故答案为：B.
【分析】由公式可知只需求出即可，再结合对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式，从而得出的值.
7．【答案】B
【知识点】异面直线所成的角；空间向量基本定理；空间向量的加减法；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由题意知，
，
所以，
又异面直线a、b所成的角为，
即，
所以，
所以或，
故选：B
【分析】根据向量的线性运算可得，两边同时平方，类比展开，利用向量的数量积运算，结合题意化简得到，进而得出结果.、
8．【答案】A
【知识点】直线的方向向量；平面的法向量；空间向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：同理可得平面与的一个法向量为和，
设直线的一个方向向量为，
则，
不妨取，则，
故答案为：A.
【分析】根据题干给的条件求出平面与的法向量，再结合向量知识得到直线的方向向量.
9．【答案】B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：A、设的平均数为，的平均数为，
则，
因为没有确定的大小关系，所以无法判断的大小，
例如：，可得；例如，可得，故A错误；
B、设，数据的中位数等于的中位数均为，故B正确；
C、因为是最小值，是最大值，则的波动性不大于的波动性，
即的标准差不大于的标准差，
例如：，则平均数，
标准差，
，则平均数，
标准差，
显然，即，故C错误；
D、不妨设，
则，当且仅当时等号成立，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】由题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项判断即可.
10．【答案】B,C
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意可知，先后抛掷两枚骰子出现点数的所有可能情况为36种，
甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是5”记为事件A，
则，可得；
乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7” 记为事件B，
则，可得；
丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之积是12” 记为事件C，
则，可得；
对于A：因为，可知事件甲、乙不是互斥事件，更不可能为对立事件，故A错误；
对于B：因为，即事件甲、丙不可能同时发生，所以事件甲、丙互斥，故B正确；
对于C：因为，则，即，所以甲、乙相互独立，故C正确；
对于D：因为，则，即，所以乙、丙不相互独立，故D错误；
故答案为：BC.
【分析】先列举出各事件包含的所有基本事件，利用公式求其概率.对于选项AB：根据互斥、对立事件的定义事件数量还是辨析；对于选项CD：根据独立事件概率乘法公式分析判断.
11．【答案】B,D
【知识点】棱柱的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：A、建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，，
则，，设平面的一个法向量为，
所以，令，则，即平面的法向量为，
若平面，则，即，
由，则，即P为中点时，有平面，且，该选项错误，不合题意；
B、因为平面，连接，则即为与平面所成角，
若与平面所成角为，则，所以，
即点P的轨迹是以为圆心，以1为半径的个圆，于是点P的轨迹长度为，该选项正确，符合题意；
C、因为，所以点P一定在上，又因为当或1时，的面积取最大值，此时截面面积为，
设的中点为H，由图形的变化可得当点P在DH和运动时，所得截面对称相同，
于是当时，的面积取最小值，此时截面面积为，该选项错误，不合题意；
D、如图，将平面与平面沿展成平面图形，
线段即为的最小值，利用余弦定理得，
所以，该选项正确，符合题意.
故答案为：BD
【分析】在空间直角坐标系中，由向量法结合向量垂直可得，即可判断A；由几何关系得出与平面所成线面角，得，求出点P的轨迹的一个圆，求出周长即可判断B；由得点P在上， 当点P在DH和运动时，所得截面对称相同 ，利用几何关系可得的面积最值在端点及中点位置，代入即可判断C；将平面与平面沿展成平面图形，的最小值时形成线段，根据余弦定理求解判断D.
12．【答案】
【知识点】极差、方差与标准差；用样本的数字特征估计总体的数字特征
【解析】【解答】解：因为平均数，
所以方差.
故答案为：
【分析】
根据方差公式计算平均数公式和可得.
13．【答案】
【知识点】空间中的点的坐标；点、线、面间的距离计算；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：设点到直线的距离为，因为，，
所以，故.
故答案为：
【分析】先利用算出直线的方向向量，再借助空间向量点到直线距离公式计算可得.
14．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】解： 由题意九宫格的中间位置填，位置填偶数，位置填奇数，
因为每一横行，每一竖列以及两条对角线上三个数字之和都等于，
所以、位置填或，
先从中任意选出一个数填入位置，则有个结果，
若填，则填，填，填，填，填，填，填；
或填，填，填，填，填，填，填；
共包含个结果；
所以总的结果个数为个
其中符合的情况有，，，，，共个，
所以.
故答案为：.
【分析】根据题意分类讨论，求出满足题意的总情况有种，再找出满足的种数，然后利用古典概率即可求解.
15．【答案】（1）解：，
则
，
所以.
（2） 解：由空间向量的运算法则，可得，
因为且，
所以
，
，
则.
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算；空间向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）用向量加减法表示出向量，代入模长公式计算可得；
（2）类比（1）求出，代入数量积公式计算可得.
（1），
则
，
所以.
（2）由空间向量的运算法则，可得，
因为且，
所以
，
，
则.
16．【答案】（1）解：由直方图知：，可得，
∴估计500名志愿者中年龄在的人数为.
（2）解：由频率分布直方图可得众数为，
前两个小矩形的面积为，第三个小矩形的面积为，
所以中位数在内，为.
（3）解：由题设，第2组、第4组和第5组的频率之比为，
知6名志愿者有2名来自，3名来自，1名来自，
不妨设第2组、第4组和第5组抽取的志愿者分别为，
则抽取两人的基本事件有，
，共15种，
恰好来自同一组的基本事件有，，共4种，
∴抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.
【知识点】频率分布直方图；用样本的数字特征估计总体的数字特征；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）由直方图特征频率和等于面积和等于为1，列方程求出，代入年龄在的人数；
（2）由直方图特征众数为最高条形中点横坐标，中位数的计算公式即可求解；
（3）由分层抽样安装等比例抽取，求出6名志愿者的分布，再应用古典概型的概率求法求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.
（1）由直方图知：，可得，
∴估计500名志愿者中年龄在的人数为.
（2）由频率分布直方图可得众数为，
前两个小矩形的面积为，第三个小矩形的面积为，
所以中位数在内，为.
（3）由题设，第2组、第4组和第5组的频率之比为，
知6名志愿者有2名来自，3名来自，1名来自，
不妨设第2组、第4组和第5组抽取的志愿者分别为，
则抽取两人的基本事件有，
，共15种，
恰好来自同一组的基本事件有，，共4种，
∴抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.
17．【答案】（1）证明：在四棱锥中，
底面，底面，
则，
由底面是正方形，得，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
设，
则，
，
设平面的法向量为，
则，
令，得，
则，
又因为平面，
所以平面.
（2）证明：由（1）知，，
由，得，
又因为且平面，
所以平面.
（3）解：由（1）知，，且，
设平面的法向量为，
则，取，得，
因为，又因为，
则，
所以，
则平面的一个法向量为，
则，
又因为，
所以，
所以，平面与平面的夹角为.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而求出平面的法向量坐标，再利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而证出平面
（2）由（1）知，再利用得出，再结合且平面，则根据线面垂直的判定定理证出平面.
（3）由（1）知，，且，利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量和平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和二面角的平面角的取值范围，从而得出平面与平面的夹角的大小．
（1）在四棱锥中，底面，底面，
则，由底面是正方形，得，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
设，则，
，设平面的法向量为，
则，令，得，则，
而平面，所以平面.
（2）由（1）知，，由，得，
又，且平面，
所以平面.
（3）由（1）知，，且，
设平面的法向量为，则，取，得，
，而，则，
即，则的一个法向量为，
因此，而，则，
所以平面与平面的夹角为.
18．【答案】（1）解：记事件分别表示元件正常工作，则，
事件表示正常工作，
由元件工作是相互独立的，则
（2）解：设方案一、二正常工作的概率分别为，设新增的两个元件为，
记事件分别表示新增的两个元件正常工作，则．
事件分别表示元件不正常工作，由于四个元件工作相互独立，
则方案一：
．
所以；
方案二：
所以，
所以选择方案二可以使部件正常工作的概率最大．
【知识点】概率的基本性质；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；并（和）事件与交（积）事件
【解析】【分析】（1）利用事件的基本关系与相互独立事件的乘法公式P(AB)=P(A)P(B)计算即可；
（2）串联用和事件P(A∪B)=P(A)+P(B) P(A∩B)，串联正常工作的概率用对立事件，并联用独立事件乘法公式P(AB)=P(A)P(B) ，分别计算两方案的概率，作差比较大小即可.
（1）记事件分别表示元件正常工作，则，
事件表示正常工作，
由元件工作是相互独立的，则．
（2）设方案一、二正常工作的概率分别为，设新增的两个元件为，
记事件分别表示新增的两个元件正常工作，则．
事件分别表示元件不正常工作，由于四个元件工作相互独立，
则
．
所以；
所以，
所以选择方案二可以使部件正常工作的概率最大．
19．【答案】（1）解：∵四边形为正方形，∴，
又平面，平面，∴平面
又平面，平面平面，
∴
（2）解：如图所示，取中点，连接，则，
∵平面，平面，平面，
∴，，
∴以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
于是，，，
设平面的法向量为，
则，得，取
∴点M到平面PBC的距离为
（3）解：∵，且平面为正方形，
∴点在平面上的射影是的中心，可设，且，
∴，解得，即
设，则
又，设平面的法向量为
则，，取
设直线与平面所成角为，则
，
所以当时，直线与平面所成角的正弦值取最大值，最大值为．
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；球内接多面体；空间向量的正交分解及坐标表示；直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1）由线面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线，与该直线平行。即可求证，
（2）在底面找两条相互垂直的线作为轴，找一条垂直于底面的线PO作为轴，建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据点到平面的距离的向量法公式求解，
（3）根据几何体的结构特征，球心在底面的投影即底面中心（0，1，0），可设得球心的坐标，利用可得球心的坐标；然后求解平面PAB法向量，即可利用向量的夹角公式求解。
（1）∵四边形为正方形，∴，
又平面，平面，∴平面
又平面，平面平面，
∴
（2）如图所示，取中点，连接，则，
∵平面，平面，平面，
∴，，
∴以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
于是，，，
设平面的法向量为，
则，得，取
∴点M到平面PBC的距离为
（3）∵，且平面为正方形，
∴点在平面上的射影是的中心，可设，且，
∴，解得，即
设，则
又，设平面的法向量为
则，，取
设直线与平面所成角为，则
，
所以当时，直线与平面所成角的正弦值取最大值，最大值为．
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