吉林省松原市油田高中2015-2016学年高二（下）开学数学试卷（理科）（解析版）

2015-2016学年吉林省松原市油田高中高二（下）开学数学试卷（理科）
　
一、选择题：（本大题共12小题，每题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设a＜b＜0，下列不等式一定成立的是（　　）
A．a2＜ab＜b2
B．b2＜ab＜a2
C．a2＜b2＜ab
D．ab＜b2＜a2
2．设P是椭圆上一点，F1、F2是椭圆的焦点，若|PF1|等于4，则|PF2|等于（　　）
A．22
B．21
C．20
D．13
3．下列说法正确的是（　　）
A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”
B．若命题p： x∈R，x2﹣2x﹣1＞0，则命题 p： x∈R，x2﹣2x﹣1＜0
C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题
D．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件
4．已知双曲线的中心为原点，F（3，0）是双曲线的﹣个焦点，是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（　　）
A．
B．
C．
D．
5．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3和a4成等比数列，则a1可以等于（　　）
A．﹣4
B．﹣6
C．﹣8
D．﹣10
6．已知命题p： x∈R，cosx=2；命题q： x∈R，x2﹣x+1＞0，则下列结论中正确的是（　　）
A．p∨q是假命题
B．p∧q是真命题
C．（￢p）∧（￢q）是真命题
D．（￢p）∨（￢q）是真命题
7．设D为△ABC所在平面内一点，，则（　　）
A．
B．
C．
D．
8．
=（　　）
A．
B．
C．
D．
9．若x，y满足约束条件，则的最大值为（　　）
A．2
B．
C．3
D．1
10．已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（　　）
A．
B．
C．
D．
11．已知空间四个点A（1，1，1），B（﹣4，0，2），C（﹣3，﹣1，0），D（﹣1，0，4），则直线AD与平面ABC所成的角为（　　）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
12．已知M（x0，y0）是双曲线C：
=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（　　）
A．
B．
C．
D．
　
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．若且，则实数λ的值是______．
14．若正实数x，y满足2x+y+6=xy，则xy的最小值是______．
15．在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠B=______．
16．已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为______．
　
三、解答题：（本大题共4小题，共36分，其中17、18题各8分，19、20题各10分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，．
（1）若△ABC的面积等于，求a，b；
（2）若sinB=2sinA，求△ABC的面积．
18．等差数列{an}中，a2=4，a4+a7=15．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=2+n，求b1+b2+b3+…+b10的值．
19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）证明：PA⊥BD；
（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
20．椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点到直线x+y+=0的距离为2．
（Ⅰ）
求椭圆的方程；
（Ⅱ）
过点M（0，﹣1）作直线l交椭圆于A，B两点，交x轴于N点，满足=﹣，求直线l的方程．
　
2015-2016学年吉林省松原市油田高中高二（下）开学数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题：（本大题共12小题，每题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设a＜b＜0，下列不等式一定成立的是（　　）
A．a2＜ab＜b2
B．b2＜ab＜a2
C．a2＜b2＜ab
D．ab＜b2＜a2
【考点】不等式的基本性质．
【分析】利用不等式的基本性质即可得出．
【解答】解：∵a＜b＜0，
∴a2＞ab，ab＞b2，
即a2＞ab＞b2，
故选：B．
　
2．设P是椭圆上一点，F1、F2是椭圆的焦点，若|PF1|等于4，则|PF2|等于（　　）
A．22
B．21
C．20
D．13
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由已知条件，利用|PF1|+|PF2|=2a，能求出结果．
【解答】解：∵P是椭圆上一点，
F1、F2是椭圆的焦点，|PF1|等于4，
∴|PF2|=2﹣|PF1|=26﹣4=22．
故选A．
　
3．下列说法正确的是（　　）
A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”
B．若命题p： x∈R，x2﹣2x﹣1＞0，则命题 p： x∈R，x2﹣2x﹣1＜0
C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题
D．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件
【考点】四种命题．
【分析】A，写出它的否命题，即可判定真假；
B，写出命题p的否定￢p；
C，判定原命题的真假性，即可得出它的逆否命题的真假性；
D，由“x=﹣1”得出“x2﹣5x﹣6=0”成立，判定命题是否正确．
【解答】解：对于A，否命题是“若x2≠1，则x≠1”，∴A错误；
对于B，命题p的否定￢p： x∈R，x2﹣2x﹣1≤0，∴B错误；
对于C，命题“若x=y，则sinx=siny”是真命题，∴它的逆否命题是真命题，∴C正确；
对于D，“x=﹣1”时，“x2﹣5x﹣6=0”，∴是充分条件，∴D错误；
故选：C．
　
4．已知双曲线的中心为原点，F（3，0）是双曲线的﹣个焦点，是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据已知条件，利用双曲线的焦点坐标，设出双曲线的标准方程，再由双曲线的渐近线方程，求出双曲线的标准方程．
【解答】解：∵双曲线的中心为原点，F（3，0）是双曲线的﹣个焦点，
∴设双曲线方程为，a＞0，
∵是双曲线的一条渐近线，
∴=，解得a2=4，
∴双曲线方程为．
故选D．
　
5．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3和a4成等比数列，则a1可以等于（　　）
A．﹣4
B．﹣6
C．﹣8
D．﹣10
【考点】等差数列的性质．
【分析】依题意，（a1+2d）2=a1 （a1+3d），可求得a1．
【解答】解：∵等差数列{an}的公差d=2，a1，a3和a4成等比数列，
∴（a1+2d）2=a1 （a1+3d），
∴a1d+4d2=0，∴a1=﹣8，
故选：C．
　
6．已知命题p： x∈R，cosx=2；命题q： x∈R，x2﹣x+1＞0，则下列结论中正确的是（　　）
A．p∨q是假命题
B．p∧q是真命题
C．（￢p）∧（￢q）是真命题
D．（￢p）∨（￢q）是真命题
【考点】复合命题的真假．
【分析】利用余弦函数的性质说明命题p为真命题，利用配方法求得x2﹣x+1的范围，说明命题q为假命题，然后利用符合命题的真值表加以判断即可得到答案．
【解答】解：由x2﹣x+1=（x﹣）2+＞0，所以命题q： x∈R，x2﹣x+1＞0，为真命题；
由cosx≤1，可知命题p： x∈R，cosx=2是假命题．
故由以上可知：
￢p是真命题；q是真命题；pⅤq是真命题；命题“p∧q”是假命题；命题（￢p）∨（￢q）是真命题．
故选：D．
　
7．设D为△ABC所在平面内一点，，则（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】平行向量与共线向量．
【分析】将向量利用向量的三角形法则首先表示为，然后结合已知表示为的形式．
【解答】解：由已知得到如图
由===；
故选：A．
　
8．
=（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】数列的求和．
【分析】根据分式的性质，有=（1﹣），=（﹣），…=（﹣）成立，则可得原式=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣），化简可得答案．
【解答】解：原式=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=
[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1﹣）=；
故选A．
　
9．若x，y满足约束条件，则的最大值为（　　）
A．2
B．
C．3
D．1
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，由的几何意义，即可行域内的动点与定点M（0，1）连线的斜率求得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
的几何意义为可行域内的动点与定点M（0，1）连线的斜率，
联立，解得A（﹣1，﹣1），
∴的最大值为．
故选：A．
　
10．已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】椭圆的标准方程．
【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
代入椭圆方程得，
相减得，
∴．
∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，
==．
∴，
化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．
∴椭圆E的方程为．
故选D．
　
11．已知空间四个点A（1，1，1），B（﹣4，0，2），C（﹣3，﹣1，0），D（﹣1，0，4），则直线AD与平面ABC所成的角为（　　）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
【考点】直线与平面所成的角．
【分析】利用已知条件，分别求出向量和平面ABC的法向量，利用向量法能求出结果．
【解答】解：∵A（1，1，1），B（﹣4，0，2），C（﹣3，﹣1，0），D（﹣1，0，4），
∴=（﹣2，﹣1，3），（﹣5，﹣1，1），=（﹣4，﹣2，﹣1），
设平面ABC的法向量为，
则，，
∴，
∴﹣9x﹣3y=0，
令x=1，得y=﹣3，z=2，∴，
设直线AD与平面ABC所成的角为θ，
则sinθ=|cos＜＞|=||=，
∴θ=30°．
故选：A．
　
12．已知M（x0，y0）是双曲线C：
=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定y0的取值范围．
【解答】解：由题意，
=（﹣x0，﹣y0） （﹣﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，
所以﹣＜y0＜．
故选：A．
　
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．若且，则实数λ的值是　﹣2　．
【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直．
【分析】根据已知求出向量=（λ，1+λ，﹣1），再利用向量垂直的条件即可求出λ的值．
【解答】解：∵，
∴=（λ，1+λ，﹣1），
又∵，
∴（）=0．
∴（λ，1+λ，﹣1） （0，1，﹣1）=0．
即1+λ+1=0．
∴λ=﹣2．
故答案为：﹣2．
　
14．若正实数x，y满足2x+y+6=xy，则xy的最小值是　18　．
【考点】基本不等式．
【分析】首先左边是xy的形式右边是2x+y和常数的和的形式，考虑把右边也转化成xy的形式，使形式统一．可以猜想到应用基本不等式．转化后变成关于xy的方程，可把xy看成整体换元后求最小值．
【解答】解：由条件利用基本不等式可得，
令xy=t2，即
t=＞0，可得．
即得到可解得．
又注意到t＞0，故解为，
所以xy≥18．
故答案应为18．
　
15．在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠B=　　．
【考点】正弦定理．
【分析】由正弦定理可得sinB，再由三角形的边角关系，即可得到角B．
【解答】解：由正弦定理可得，
=，
即有sinB===，
由b＜a，则B＜A，
可得B=．
故答案为：．
　
16．已知以F为焦点的抛物线y2=4x上的两点A、B满足=3，则弦AB的中点到准线的距离为　　．
【考点】抛物线的简单性质；点到直线的距离公式；抛物线的定义．
【分析】设BF=m，由抛物线的定义知AA1和BB1，进而可推断出AC和AB，及直线AB的斜率，则直线AB的方程可得，与抛物线方程联立消去y，进而跟韦达定理求得x1+x2的值，则根据抛物线的定义求得弦AB的中点到准线的距离．
【解答】解：设BF=m，由抛物线的定义知
AA1=3m，BB1=m
∴△ABC中，AC=2m，AB=4m，
直线AB方程为
与抛物线方程联立消y得3x2﹣10x+3=0
所以AB中点到准线距离为
故答案为
　
三、解答题：（本大题共4小题，共36分，其中17、18题各8分，19、20题各10分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，．
（1）若△ABC的面积等于，求a，b；
（2）若sinB=2sinA，求△ABC的面积．
【考点】解三角形；三角形中的几何计算．
【分析】（1）由c及cosC的值，利用余弦定理列出关于a与b的关系式a2+b2﹣ab=4，再由已知三角形的面积及sinC的值，利用三角形的面积公式得出ab的值，与a2+b2﹣ab=4联立组成方程组，求出方程组的解即可求出a与b的值；
（2）利用正弦定理化简sinB=2sinA，得到b=2a，与（1）得出的a2+b2﹣ab=4联立组成方程组，求出方程组的解得到a与b的值，再由sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
【解答】解：（1）∵c=2，cosC=，
∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：a2+b2﹣ab=4，
又△ABC的面积等于，sinC=，
∴，
整理得：ab=4，
联立方程组，
解得a=2，b=2；
（2）由正弦定理，把sinB=2sinA化为b=2a，
联立方程组，
解得：，，
又sinC=，
则△ABC的面积．
　
18．等差数列{an}中，a2=4，a4+a7=15．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=2+n，求b1+b2+b3+…+b10的值．
【考点】等差数列的性质．
【分析】（Ⅰ）建立方程组求出首项与公差，即可求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）bn=2+n=2n+n，利用分组求和求b1+b2+b3+…+b10的值．
【解答】解：（Ⅰ）设公差为d，则，
解得，
所以an=3+（n﹣1）=n+2；
（Ⅱ）bn=2+n=2n+n，
所以b1+b2+b3+…+b10=（2+1）+（22+2）+…+
=（2+22+…+210）+（1+2+…+10）
=+=2101．
　
19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）证明：PA⊥BD；
（Ⅱ）若PD=AD，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
【考点】直线与平面垂直的性质；用空间向量求平面间的夹角．
【分析】（Ⅰ）因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，利用勾股定理证明BD⊥AD，根据PD⊥底面ABCD，易证BD⊥PD，根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证PA⊥BD；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，写出点A，B，C，P的坐标，求出向量，和平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，求出这两个向量的夹角的余弦值即可．
【解答】（Ⅰ）证明：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=，
从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD
又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD
所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD
（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，
射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，则
A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，，0），P（0，0，1）．
=（﹣1，，0），=（0，，﹣1），=（﹣1，0，0），
设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则
即，
因此可取=（，1，）
设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，
即：
可取=（0，1，），cos＜＞==
故二面角A﹣PB﹣C的余弦值为：﹣．
　
20．椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点到直线x+y+=0的距离为2．
（Ⅰ）
求椭圆的方程；
（Ⅱ）
过点M（0，﹣1）作直线l交椭圆于A，B两点，交x轴于N点，满足=﹣，求直线l的方程．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【分析】（Ⅰ）根据圆的离心率为，右焦点到直线x+y+=0的距离为2，建立方程组，可求椭圆的方程；
（Ⅱ）设A
（x1，y1），B（x2，y2），N（x0，0），利用=﹣，可得（x1﹣x0，y1）=﹣（x2﹣x0，y2），设直线l的方程为y=kx﹣1（k≠0），与椭圆方程联立，消去x可得（4k2+1）y2+2y+1﹣8k2=0，由此即可求得直线l的方程．
【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆的离心率为，右焦点到直线x+y+=0的距离为2，
∴
∴c=，a=2，
∴b=，
∴椭圆的方程为；
（Ⅱ）设A
（x1，y1），B（x2，y2），N（x0，0）
∵=﹣，
∴（x1﹣x0，y1）=﹣（x2﹣x0，y2）
∴y1=﹣y2①
易知直线斜率不存在时或斜率为0时①不成立
于是设直线l的方程为y=kx﹣1（k≠0）．
与椭圆方程联立，消去x可得（4k2+1）y2+2y+1﹣8k2=0②
∴y1+y2=﹣③y1y2=④
由①③可得y2=，y1=﹣代入④整理可得：8k4+k2﹣9=0
∴k2=1
此时②为5y2+2y﹣7=0，判别式大于0
∴直线l的方程为y=±x﹣1．
　
2016年10月8日