解三角形中的范围问题 高频考点梳理 专题练 2026届高考数学复习备考

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解三角形中的范围问题 高频考点梳理
专题练 2026届高考数学复习备考
一、单选题
1．已知锐角三角形ABC，角、、所对的边分别为、、，且，．则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则下列4个结论中正确的有（ ）个.
①；②的取值范围为；
③的取值范围为；
④的最小值为
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ）.
A．若，则
B．若，则为等腰三角形
C．若，这样的三角形有两解，则的取值范围为
D．若为锐角三角形，且则其周长范围为
三、填空题
6．已知锐角的内角的对边分别为，若，则的取值范围为 .
7．已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，已知角，，若是锐角三角形，则的面积为S的取值范围为 ；若是钝角三角形，则边a的取值范围为 .
8．已知内角，，所对的边长分别为，，，，若为锐角三角形，且，求的取值范围为 ．
9．中，角、、所对的边分别为、、，若函数有极值点，则角的范围是 .
四、解答题
10．在锐角中，内角的对边分别为，且.
(1)证明：.
(2)若点在边上，且，求的取值范围.
11．在中，角所对的边分别为．已知成公比为q的等比数列．
(1)求q的取值范围；
(2)求的取值范围．
12．若锐角中，、、所对的边分别为、、，且的面积为
(1)求；
(2)求的取值范围.
13．在中，角的对边分别是，且．
(1)证明：．
(2)若是锐角三角形，求的取值范围．
14．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知．
(1)求；
(2)求的取值范围．
15．记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足．
(1)若，，求的面积；
(2)记BC边的中点为D，，若A为钝角，求x的取值范围．
16．已知是锐角三角形，内角，，的对边分别为，，，且，.
(1)求角的大小；
(2)若，求的周长；
(3)求面积的取值范围.
17．在中，角的对边分别为，．
(1)若，求的周长；
(2)若的内切圆、外接圆半径分别为，求的取值范围．
18．在△中，角所对的边分别为且．
(1)求△的外接圆半径；
(2)若△为锐角三角形，求△周长的取值范围．
19．已知中，角，，所对的边分别为，，，其中.
(1)若，求的值；
(2)当取到最大值时，求的值；
(3)已知，，且，记表示，，中最大的数或式，若，求实数的取值范围.
参考答案
题号 1 2 3 4 5
答案 A C B C AC
1．A
【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；再由为锐角三角形求出角的取值范围，利用正弦定理结合三角恒等变换求出的取值范围，
【详解】因为，，则，
由正弦定理得，
，所以，，
因为、，则，
所以，，即．
在锐角中，由，可得，
则，
又，则，
所以，的取值范围为，
故选：A
2．C
【分析】由题意得，令，得，故只需求出的取值范围即可得解.
【详解】因为，所以，，
即，设，
因为，所以，解得，则，
从而，由对勾函数性质可知，
的取值范围是，
从而，
故所求范围为.
故选：C.
3．B
【分析】利用正弦定理与三角恒等变换求得，从而判断A；利用锐角三角形内角的范围判断B；利用正弦定理与倍角公式，结合余弦函数的性质判断C；利用三角恒等变换，结合基本不等式判断D.
【详解】在中，由正弦定理可将式子化为，
又，
代入上式得，即，
因为，则，故，
所以或，即或（舍去），
所以，故A错误；
选项B：因为为锐角三角形，，所以，
由解得，故B错误；
选项C：，
因为，所以，，
即的取值范围为，故C正确；
选项D：
，
当且仅当，即时取等号，
但因为，所以，，无法取到等号，故D错误.
故选：B.
【点睛】易错点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
4．C
【分析】由题设等式，利用正弦定理化边为角与和角公式化简计算，求得，利用正弦定理将所求式整理化成正弦型函数，借助于锐角三角形，求得角的范围，结合正弦函数的图象性质，即可求出其范围.
【详解】由和，可得，
由正弦定理，，即，
因，故得，
因是锐角三角形，故，则有，从而，.
又由正弦定理，，
即得
于是
，
由可得，
则，故，
故的取值范围为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查正、余弦定理在求解三角形中的应用，属于难题.
解题关键是，首先要将代入已知等式，将其化成边的齐次型，为正弦定理化边为角创造条件，再次，要会将的范围通过定理转化为角的三角函数问题，利用正（余）弦型函数的值域求其范围即可.
5．AC
【分析】利用正弦定理判断A、C，利用正弦定理即倍角公式即可判断B，利用正弦定理将边化角，再结合辅助角公式，再求出角的范围即可判断D.
【详解】对于A，因为，由正弦定理可得，所以，故A正确；
对于B，因为，所以，即，
又，所以，所以或，
即或，即为等腰三角形或直角三角形，故B错误；
对于C，因为三角形有两解，所以，即，
即的取值范围为，故C正确.
对D，由，得周长，因为为锐角三角形，所以，
所以，因此周长范围为，故D错误.
故选：AC
6．
【分析】正弦定理边角转换，将原式转化为关于角的式子，根据已知信息求出角的取值范围，利用角的关系，将变量都转化为角，根据角的取值范围求出原式的取值范围.
【详解】在锐角中，由，有，
法一：有余弦定理知，，所以，
所以，
由正弦定理得，
又，所以，所以，
所以的取值范围为.
法二：由正弦定理知，，
又，从而，故，所以的取值范围为.
故答案为：.
7．
【分析】若是锐角三角形，先利用正弦定理求出，再表达出锐角三角形的面积，求出的范围，即可求解；若是钝角三角形，分别讨论为钝角及为钝角，结合直角的临界状态计算即可得.
【详解】由正弦定理得，所以，
故，
又因为是锐角三角形，所以，故，
所以，，故，
即的面积为S的取值范围为；
因为是钝角三角形，
若为钝角，如图，作于点，有，
即，即，
若为钝角，如图，作于点，有，
即，即，
综上所述：的取值范围是；
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：当是钝角三角形，关键点在于分为钝角及为钝角，分别找出直角的临界情况求出范围.
8．
【分析】利用余弦定理即可由已知条件得到，进而得到角A；先由为锐角三角形得到角B的范围，进而利用正弦定理即可得，再结合三角恒等变换公式以及角B的范围进行推算即可得解.
【详解】由，得，
由余弦定理得，
整理得，所以，又，则；
因为为锐角三角形，，
所以可得，
又，故由正弦定理得：
，
因为，所以，所以，则，
所以 ，
故的取值范围为.
故答案为：
【点睛】思路点睛： 通过余弦定理推导角的关系：利用余弦定理，推导出角的余弦值，这是得出角 A的基础. 利用正弦定理和三角形的锐角条件：通过正弦定理和三角形的锐角性质，确定角 B 的范围，这为进一步推导角的取值范围奠定了基础. 结合三角恒等式进行变换：利用三角恒等式和已知条件，最终得出角的取值范围.
9．
【解析】本题首先可根据函数有极值点得出，然后根据余弦定理得出，最后根据即可得出结果.
【详解】因为函数，
所以导函数，
因为函数有极值点，
所以，即，
则，
因为，所以角的范围是，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查导函数与余弦定理的综合应用，能否根据函数有极值得出是解决本题的关键，考查化归与转化思想，是中档题.
10．(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）化简已知等式结合余弦定理可得，再利用两角和的正弦公式即可证明结论；
（2）由已知条件结合正弦定理可得，根据锐角确定角C的范围，即可求得答案.
【详解】（1）证明：因为，所以，
整理得.
又，所以，从而，
整理得，则.
由，得，
即，结合锐角中，，
则，即.
（2）如图，由，可得，则.
在中，由正弦定理得，
整理得.
因为，且是锐角三角形，所以解得，
则，
从而，即的取值范围为.
11．(1)
(2).
【分析】（1）根据等比数列性质与三角形三边关系列出不等式求解即可；
（2）利用正弦定理、余弦定理化简，根据的取值范围利用对勾函数的单调性即可求解.
【详解】（1）由题意知，
根据三角形三边关系知：，
解得；
（2）由（1）及正弦定理、余弦定理知：
，
由对勾函数的性质知：
在上单调递减，在上单调递增，
所以，则，
即的取值范围为.
12．(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理结合三角形面积公式可得答案；
（2）由题可得，后由正弦定理可得，后由正切函数单调性可得答案.
【详解】（1）由余弦定理，，又三角形面积为，
则，又由题，则；
（2）由（1），，又为锐角三角形，
则.
由正弦定理： .
因在上单调递增，则时，.
则，即.
13．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）由正弦边角关系及和差角正弦公式得到，结合三角形内角性质即可证结论；
（2）由题设得，应用正弦边角关系、倍角正弦公式有，即可求范围.
【详解】（1）由题设，
所以，
则，即，
又，则，且，
所以，得证.
（2）由题设，即，得，
由，而，故.
14．(1)
(2)
【分析】（1）已知等式，由正弦定理边化角，由正弦值求角；
（2）由锐角，求出角的范围，化简得，结合正弦函数的性质，求出取值范围.
【详解】（1），由正弦定理得．
因为，所以．因为为锐角三角形，所以．
（2）因为，所以．
因为为锐角三角形，所以得．
因为，
由，得，所以.
即的取值范围为.
15．(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理及三角形面积公式得解；
（2）利用向量的运算及余弦定理得出与的关系，再由基本不等式及为钝角得出范围即可.
【详解】（1）因为，所以，
又，即，
所以，即，
所以.
（2）因为BC边的中点为D，所以,
所以
，
又，
所以，
在三角形中，，所以，
所以，即，
又A为钝角，则，解得，
故由，可得，
所以.
16．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）利用正弦定理边化角求解；（2）利用正弦定理、余弦定理列式求解；（3）利用正弦定理、三角形面积公式列式，再利用差角的正弦及正切函数的性质求出范围.
【详解】（1）在中，由及正弦定理得，
则，两边平方得，
而，解得，所以.
（2）在中，由正弦定理，得，
由余弦定理得，即，解得，
所以的周长为.
（3）在中，，，的面积，
由正弦定理，得，
由为锐角三角形，得，解得，
因此，，则
所以面积的取值范围是.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦定理求出，即可求解的周长，
（2）利用余弦定理可得，即可确定c的取值范围，进而利用正弦定理和面积公式，表示，利用基本不等式即可求解范围.
【详解】（1），，由余弦定理得，，
，解得，或（舍去）
，
的周长为.
（2）由余弦定理得，，整理得，，
，
，即，
由正弦定理得，，，
，，
，
令，，，
函数在上单调递增，，即的取值范围是.
18．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理角化边，在结合余弦定理求得，即可求解；
（2）根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式及辅助角公式，将转化为三角函数，根据为锐角三角形得出的范围，结合三角函数的性质得出范围即可求解．
【详解】（1）因为，所以，
由，
可得：，即，
又，所以，
所以，，
所以，
所以△的外接圆半径为.
（2）由（1）知，，
由正弦定理有，
所以
，
因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，则，
所以，则，
所以周长的取值范围为．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由诱导公式化简得，进而利用正弦定理边角互化可得，即可利用余弦定理求解，
（2）利用余弦定理求解的最小值，根据面积公式求解，
（3）利用的定义，得，，，即可利用完全平方式求解.
【详解】（1）由可得，，
在中，由正弦定理，，
则，
又由正弦定理，得，因 ，
由余弦定理，得；
（2） 由（1）得：，则，
当取到最大值时，角必为锐角，此时取到最小值；
由余弦定理，，
当且仅当，即时取最小值，此时，
则；
（3）设，则，，，
故，，
因为，，且，
故，故；
又当，时，，即，
故实数的取值范围为.
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