解三角形中的最值问题 高频考点梳理 专题练 2026届高考数学复习备考

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解三角形中的最值问题 高频考点梳理
专题练 2026届高考数学复习备考
一、单选题
1．在中，已知，最大边与最小边的比为，则的最大角为（ ）
A． B． C． D．
2．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
3．在△ABC中，已知，则△ABC面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．AC的中点为D，，若，则（ ）
A． ` B．b取值范围为
C．面积的最大值为 D．周长的最大值为6
5．已知的内角的对边分别为，且，则（ ）
A． B．的外接圆半径为
C．若，则的面积为 D．边上中线的最大值为4
6．已知的内角，，的对边分别为，，，，的平分线交于，，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为
B．
C．的最大值是
D．的周长的取值范围是
三、填空题
7．已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时， ．
8．如图所示，在三棱锥中，平面平面，若为线段上一动点，则的最小值为 ．
9．如图，在三角形中，若，，，则四边形的面积的最大值为 .
10．在中，内角A，B，C所对的边分别为（）.已知，则的最大值是 .
11．在中，，点D是上的点，平分，的面积是的面积的3倍，当的面积最大时， .
12．已知的三个内角的对边依次为，外接圆半径为2，且满足，则面积的最大值为 .
四、解答题
13．已知，，.
(1)求函数单调递增区间；
(2)设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若且.求面积的最大值.
14．设的内角，，的对边分别为，，，且满足．
(1)证明：；
(2)已知，求取得最小值时的值．
15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A取值的范围；
(2)若，求周长的最大值；
(3)若，求的面积．
16．设的内角的对边分别为，已知．
(1)若，求的面积；
(2)若存在两个这样的，求x的取值范围．
17．在中，角、、的对边分别为、、，满足.
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，求的最小值．
18．的内角的对边分别为，已知.
(1)若，求的值；
(2)求的最大值.
19．在中，内角，，所对的边分别为，，，．
(1)若，，求的面积；
(2)求证：；
(3)当取最小值时，求．
20．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
(1)求C的值；
(2)若内有一点P，满足，，求面积的最小值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B C C BC BC ACD
1．B
【分析】根据正弦定理、余弦定理求解即可.
【详解】法一：直接验证排除：若最大角为，则三角形为等边三角形，排除A；
若最大角为，则最大边与最小边的比值为，排除C；
利用在直角三角形中最大边与最小边的比值为，
可知钝角三角形中大于，排除D．
法二：不妨令，则，
∴，的最大角；
法三：不妨令，由正弦定理得，
即，
∴，，．
故选：B.
2．C
【分析】利用正弦定理化边为角，通过三角公式推出，再将转化，借助基本不等式求最小值.
【详解】因为，由正弦定理得，
所以.又因为，
所以，
所以，即.所以，
，
显然必为正，否则和都为负，就两个钝角，
所以，
当且仅当，即，取等号，
所以的最小值是，
故选：C.
3．C
【分析】根据给定条件，利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理求得，根据基本不等式及三角形面积公式求解面积的最大值．
【详解】在中，，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
∵，∴，
∵，当且仅当时取等号，
因此，
∴面积，
∴当时，的面积取得最大值．
故选：C．
4．BC
【分析】对于A，由三角函数恒等变形结合正弦定理边角互化可判断选项正误；对于B，
由结合A选项分析可得，然后由余弦定理可得，据此可判断选项正误；对于C，由B选项分析结合面积公式可判断选项正误；对于D，令，由B选项分析可得，然后用导数研究函数的单调性，可得周长最大值情况.
【详解】对于A，.
由正弦定理边角互化可得：，
则，故A错误；
对于B，，
则，当且仅当取等号.
由余弦定理，，又，
则，因，则，故B正确；
对于C，由B分析可知，，则，故C正确；
对于D，由B分析，，
得..
令，则，由三角形三边关系可得，
则，则.
则，令.
则，令，
因，则在上单调递减，
则，即周长无最大值，恒小于，
故D错误.
故选：BC
5．BC
【分析】利用正弦定理边化角来求出利用正弦定理求外接圆半径，利用勾股定理来判断直角三角形求出的面积为，利用中线长公式，再结合基本不等式可求出最大值为，从而可作出各选项的判断.
【详解】对于A：由和正弦定理，可得
移项得，即
因，则，代入上式，得，
因，则，故，
又因为，则，故A错误；
对于B：由正弦定理，，即三角形的外接圆半径为故B正确；
对于C：由余弦定理得，，
因为，所以，，
又因为，则，
可知三角形的面积为，故C正确；
对于D：由余弦定理和基本不等式，可得，当且仅当时取等号，
因为边上的中线，则有，
两边取平方，可得，
则，当且仅当时的最大值为 ，故D错误．
故选：BC.
6．ACD
【分析】A应用等面积法及三角形面积公式可得，再应用基本不等式“1”的代换求最值；B应用正弦定理及即可判断；C由正弦定理及已知得，即可求最值；D应用余弦定理及基本不等式得、，即可求周长范围.
【详解】A：由等面积法有，即，
由，，的平分线交于，
所以，即，
所以，
当且仅当时取等号，故的最小值为，故A对；
B：在中，在中，
由的平分线交于，即，故，故B错；
C：由，则，，
所以，
又，即时，的最大值是，故C对；
D：由A分析有，则，故，
所以，当且仅当时取等号，
由，
所以，故三角形周长为，
令，则周长在上单调递增，
所以，即周长范围是，故D对.
故选：ACD
7．/
【分析】设，利用余弦定理表示出后，结合基本不等式即可得解.
【详解】[方法一]：余弦定理
设，
则在中，，
在中，，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以当取最小值时，.
故答案为：.
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.
则C（2t,0），A（1，），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
设BD=x,CD=2x.由余弦定理得
，，
，，
令，则，
，
，
当且仅当，即时等号成立.
[方法四]：判别式法
设，则
在中，，
在中，，
所以，记，
则
由方程有解得：
即，解得：
所以，此时
所以当取最小值时，，即.

8．
【分析】利用勾股定理得，记的中点为，得，根据面面垂直的性质定理得出、为等边三角形，把绕翻折，使得平面与平面在同一平面上，则的最小值为平面内的长度，再利用余弦定理可得答案.
【详解】
因为，
所以，，
记的中点为，连接，因为，所以，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，平面，所以，
由，得，所以为等边三角形，
把绕翻折，使得平面与平面在同一平面上，
连接交于点，则，如图所示，
则的最小值为平面内的长度，所以
，
所以，即的最小值为．
故答案为：
9．
【分析】首先由条件等式，结合正弦定理，余弦定理，基本不等式，以及三角函数的有界性，确定的形状，再以为自变量表示四边形的面积，根据三角函数的性质，即可求解.
【详解】由正弦定理可知可化为，
由余弦定理（当且仅当时等号成立）得，
所以，即，
即（当且仅当时等号成立）
，
整理为，即，又，
所以，又，
所以，即，
同理，条件等式也可化简为和，可得，
所以是等边三角形，
设，，在中，，
，，
，
当时，四边形的面积取得最大值.
故答案为：
10．/
【分析】利用正弦边角关系、三角恒等变换得到、，再应用和角正弦公式、倍角公式，将目标式化为，应用换元法及导数研究其最大值即可.
【详解】由，则，，
所以或，而，且，即，
所以，且，即，
，
令，则，，
当时，则在上递增；
当时，则在上递减；
故为的极大值点，
的最大值为.
故答案为：.
11．/
【分析】建立平面直角坐标系，利用到角公式求出点的轨迹为以为圆心，半径为3的圆，数形结合，得到当在点处时，的面积最大，结合余弦定理和同角的平方关系计算即可求解.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，则，
由，得，又，则，，
设，由角平分线定理得，
当时，，得，此时；
当时，直线的斜率分别为，
则，又，
由到角公式得，即，
得，
整理得，即，点的轨迹为以为圆心，半径为3的圆，
因此当在点处时，的面积最大，此时，
在中，由余弦定理得.
故答案为：
12．
【分析】利用正弦定理可得各边长与角的关系，再由恒等变换可得，利用余弦定理计算可得，利用三角形面积公式计算可得结果.
【详解】由正弦定理及外接圆半径可得，.
因为，，所以.
所以，
即.
因为，所以，即，
所以，
即可得，所以；
当且仅当时取等号，
所以面积为，
则面积的最大值为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用外接圆半径以及切弦互化，并由三角恒等变换和余弦定理和基本不等式求出，可得面积最大值.
13．(1)，
(2)
【分析】通过向量数量积得到函数表达式，并利用三角恒等变换化简函数表达式，再运用正弦函数单调性，整体代换计算即可.
利用余弦定理建立边角关系，结合不等式求面积的最大值.
【详解】（1）首先，根据题意，可得到：
，
，
，
令，，
得：，
即：，
所以的单调递增区间为，.
（2）由 ，得，
，解得：，，
可得，由于，所以；
利用余弦定理可得，，
，
由不等式 ，得：
，
，当且仅当“”时取“=”，
所以.
的面积，
当 取最大值 3 时，面积最大，.
14．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由两角和的正弦公式化简，即可得解；
（2）利用两角和的正切公式得到，再构造函数，利用导数求出函数的最小值，即可得解.
【详解】（1）由，
由正弦定理可得，
所以，
所以，
所以，
因为、为三角形的内角，所以、不可能同时为直角，
若、中有一个直角，不妨令为直角，则，，显然，
则等式不成立，
所以、均不是直角，
所以；
（2）依题意不是直角，
所以，
故，
因为且，所以，
令，
设，，
有，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
综上所述，取得最小值时，，
即取得最小值时，为．
15．(1)；
(2)6；
(3).
【分析】（1）根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换分析可得，在利用余弦定理结合基本不等式分析运算即可；
（2）由（1）可得，结合基本不等式分析运算；
（3）根据题意结合正弦定理可求得，利用正弦定理以及面积公式分析运算.
【详解】（1）由题设，
所以，
，
又，则，
根据正弦边角关系，易得，则，
又，则，当且仅当时取等号，
所以，结合，可得；
（2）由（1）有，又，
又，则，
所以，当且仅当取等号，
所以周长的最大值6.
（3）由，且，
所以，而，则，
由，显然，故，即，
结合，可得，
由，而，
由，整理得，可得（负值舍），
所以，故.
16．(1)2
(2)
【分析】（1）应用正弦定理可得，进而得，根据三角形面积公式可得结果；
（2）法一：由正弦定理得，问题转化为函数的图象与直线在上有两个不同的交点，结合图象可得结果；法二：由余弦定理得有两个不相等的正实数根，利用判别式、根与系数关系列不等式可得结果.
【详解】（1）由正弦定理得，，即，解得，
因为，所以，故，
所以的面积．
（2）法一：由正弦定理得，，即，得，
由得，
所以在内有两解，即函数的图象与直线在上有两个不同的交点，
作出在上的图象，由图可知，，解得，
综上，x的取值范围为.
法二：由余弦定理得，，即，
整理得，
由题意得，该方程有两个不相等的正实数根，
所以，解得，
综上，x的取值范围为.
17．(1)
(2)4
【分析】（1）利用边角互化思想得，由余弦定理求出的值，从而得出角的值；
（2）由三角形的面积公式得出的值，再由基本不等式即可计算得解．
【详解】（1）由正弦定理得，
又由余弦定理得，
因为是三角形内角，所以；
（2）由三角形面积公式得：
，
解得，
因为，当且仅当时取等号，
所以的最小值为4，此时为等边三角形．
18．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理即可求解；
（2）由三角恒等变化结合余弦定理得，再由余弦定理结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）由，
可得.
因为，所以，
则.
又，所以.
因为，且，
所以.
由，可得.
（2）因为
所以由，
可得，则.
根据余弦定理，,可得.
，
当且仅当时，等号成立，
由，可得，故的最大值为.
19．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先由得到的值，再结合得到，根据正弦定理得到，最后由三角形面积公式可得结果；
（2）由同角三角函数的关系和正余弦定理，化简即可证明；
（3）利用和，将表示为，代入，化简可得均值不等式，计算求解即可.
【详解】（1）由题意，，则，，则，
所以，，
所以的面积.
（2）由，可得，即，
由余弦定理得：，
化简得：，即.
（3）由，可得
，又，
所以，
当且仅当，即时取等号，
此时.
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理将边转化为角，得，再利用辅助角公式及诱导公式化成同名函数，即可求出结果；
（2）法一：由余弦定理找到边之间得关系，再利用勾股定理找到等量关系，然后构造不等式求解，即可得出结果；
法二：设，利用余弦定理和勾股定理并结合面积法、基本不等式即可求出答案.
【详解】（1）因为，由正弦定理得，，所以，即，
所以，即，
又因为是三角形得内角，显然，所以，
即，所以.
（2）法一：由（1）得：，设，
在中，由余弦定理得，，
同理在中有：，
，
又因为是直角三角形，所以，
所以，即，
所以，因为，所以，即，所以
，
，
，
，
当且仅当，即时取等号.
的面积的最小值为．
法二：在中，设，
由余弦定理可得，.
由勾股定理可得:，即.
而.
由基本不等式，所以，可解得(由上)，
当且仅当时等号成立，
所以面积最小值为.
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